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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义 4.4 三角函数的图像和性质


§ 4.4

三角函数的图像和性质

1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 π 3π 正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点:(0,0),( ,1),(π,0),( ,-1), 2 2 (2π,0). π 3π 余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点:(0,1),( ,0),(π,-1),

( ,0), 2 2 (2π,1). 2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图像

定义域

R [-1,1] [- π π + 2kπ , + 2 2

R [-1,1] [ - π + 2kπ , 2kπ](k∈Z)上递增; [2kπ,π+2kπ](k∈Z) 上递减

π {x|x∈R 且 x≠ + 2 kπ,k∈Z}

值域

R

单调性

2kπ](k∈Z)上递增; [ π 3π + 2kπ , + 2 2

π π ( - + kπ , + 2 2 kπ)(k∈Z)上递增

2kπ](k∈Z)上递减 π x= +2kπ(k∈Z)时, 2 最值 ymax=1; π x = - + 2kπ(k∈Z) 2 时,ymin=-1 奇偶性 奇函数

x=2kπ(k∈Z)时,ymax =1; x=π+2kπ(k∈Z)时, ymin=-1 偶函数 奇函数

对称中心 对称轴方 程 周期

(kπ,0)(k∈Z) π x= +kπ(k∈Z) 2 2π

π ( +kπ,0) (k∈Z) 2 x=kπ(k∈Z) 2π

kπ ( ,0)(k∈Z) 2

π

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)常数函数 f(x)=a 是周期函数,它没有最小正周期. π (2)y=sin x 在 x∈[0, ]上是增函数. 2 (3)y=cos x 在第一、二象限上是减函数. (4)y=tan x 在整个定义域上是增函数. (5)y=ksin x+1(x∈R),则 ymax=k+1. (6)若 sin x> 2 π ,则 x> . 2 4 ( √ ( √ ( × ( × ( × ( × ( π D.x=- 2 ) ) ) ) ) ) )

π? 2. (2012· 福建)函数 f(x)=sin? ?x-4?的图像的一条对称轴是 π A.x= 4 答案 C 解析 方法一 ∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点, π π 3π 故令 x- =kπ+ ,k∈Z,∴x=kπ+ ,k∈Z. 4 2 4 π 取 k=-1,则 x=- . 4 方法二 用验证法. π π? π x= 时,y=sin? ?4-4?=0,不合题意,排除 A; 4 π π? π 2 x= 时,y=sin? ?2-4?= 2 ,不合题意,排除 B; 2 π π? π x=- 时,y=sin? ?-4-4?=-1,符合题意,C 项正确; 4 π π π 2 - - ?=- ,不合题意,故 D 项也不正确. x=- 时,y=sin? 2 4 ? ? 2 2 π B.x= 2 π C.x=- 4

?π??对 x∈R 恒成立,且 f?π?<f(π), 3. 已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实数,若 f(x)≤? f ? ?6?? ?2?
则下列结论正确的是 11 ? A.f? ?12π?=-1 ( )

7π? ?π? B.f? ?10?>f?5? C.f(x)是奇函数 π π? D.f(x)的单调递增区间是? ?kπ-3,kπ+6?(k∈Z) 答案 D

?π?? 解析 ∵f(x)≤? ?f?6??对 x∈R 恒成立,
π π π ∴2× +φ=kπ+ ,k∈Z,φ=kπ+ ,k∈Z. 6 2 6 π? π ∵f? ?2?<f(π),sin(π+φ)=-sin φ<sin(2π+φ)=sin φ,sin φ>0.∴φ=2kπ+6,k∈Z. 11π? π 不妨取 φ= ,f? =sin 2π=0,∴A 错; 6 ? 12 ? 7π? 47π 17π ?7π π? ∵f? ?10?=sin? 5 +6?=sin 30 =-sin 30 <0, π? ?2π+π?=sin 17π>0,∴B 错; f? = sin 5 ? ? ? 5 6? 30 ∵f(-x)≠-f(x),∴C 错; π π π π π ∵2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z,∴D 对.故选 D. 2 6 2 3 6 4. (2013· 湖北)将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R) 的图像向左平移 m(m>0)个单位长度后,所 得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 π A. 12 答案 B π π 解析 y= 3cos x+sin x=2sin(x+ )向左平移 m 个单位长度后得到 y=2sin(x+ +m), 3 3 它关于 y 轴对称可得 π π π sin( +m)=± 1,∴ +m=kπ+ ,k∈Z, 3 3 2 π π ∴m=kπ+ ,k∈Z,∵m>0,∴m 的最小值为 . 6 6 5. 设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x+2cos x 取得最大值,则 cos θ=________. 答案 2 5 5 π B. 6 π C. 3 5π D. 6 ( )

π 解析 由 f(x)=sin x+2cos x 可得 f(x)= 5sin(x+φ), 其中 tan φ=2, 当 x+φ= +2kπ(k∈Z) 2 π 2 5 ? 时函数 f(x)取得最大值,所以 cos θ=cos? ?2-φ+2kπ?=sin φ= 5 .

题型一 求三角函数的定义域和最值 例1 πx π? (1)(2012· 山东)函数 y=2sin? ? 6 -3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 A.2- 3 C.-1 B.0 D.-1- 3 ( )

1 (2)函数 y= 的定义域为______________________. tan x-1 思维启迪 求函数的定义域可利用三角函数的图像或数轴;求函数最值或值域时要利用 图像、三角变换、二次函数等知识. 答案 解析 π π (1)A (2){x|x≠ +kπ 且 x≠ +kπ,k∈Z} 4 2 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值.

π π π 7π ∵0≤x≤9,∴- ≤ x- ≤ , 3 6 3 6 π π? ? 3 ? ∴sin? ?6x-3?∈?- 2 ,1?. ∴y∈[- 3,2],∴ymax+ymin=2- 3. tan x-1≠0 ? ? (2)要使函数有意义,必须有? π , x≠ +kπ,k∈Z ? ? 2

?x≠4+kπ,k∈Z 即? π ?x≠2+kπ,k∈Z.
π π 故函数的定义域为{x|x≠ +kπ 且 x≠ +kπ,k∈Z}. 4 2 思维升华 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或

π

三角函数图像来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目: ①形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式, 再求最值(值域); ②形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x=t,化为关于 t 的二次函数求值域 (最值); ③形如 y=asin xcos x+b(sin x± cos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x± cos x,化为关于 t 的二次函数求值域(最值).

(1)函数 y=lg(sin x)+ (2)函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为 A.[-1,1] 5 C.[- ,1] 4 答案

1 cos x- 的定义域为________. 2 ( )

5 B.[- ,-1] 4 5 D.[-1, ] 4

π (1){x|2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z} (2)C 3

sin x>0, ? ? 解析 (1)要使函数有意义必须有? 1 cos x- ≥0, ? 2 ? sin x>0, 2kπ<x<π+2kπ, ? ? ? ? 即? 解得? π (k∈Z), 1 π ?cos x≥2, ? ? ?-3+2kπ≤x≤3+2kπ π ∴2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z, 3 π ∴函数的定义域为{x|2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z}. 3 (2)y=sin2x+sin x-1,令 t=sin x,则有 y=t2+t-1,t∈[-1,1], 画出函数图像如图所示,从图像可以看出, 1 当 t=- 及 t=1 时,函数取最值,代入 y=t2+t-1, 2 5 可得 y∈[- ,1]. 4 题型二 三角函数的单调性、周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期: π? (1)y=sin? ?-2x+3?;(2)y=|tan x|. 思维启迪 π? (1)化为 y=-sin? ?2x-3?,再求单调区间及周期.(2)由 y=tan x 的图像→y=

|tan x|的图像→求单调性及周期. 解 π? (1)y=-sin? ?2x-3?,

π? 它的增区间是 y=sin? ?2x-3?的减区间, π? 它的减区间是 y=sin? ?2x-3?的增区间. π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2

π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 π π 3π 由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 5π 11π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 π 5π? 故所给函数的减区间为? ?kπ-12,kπ+12?,k∈Z; 5π 11π? 增区间为? ?kπ+12,kπ+ 12 ?,k∈Z. 2π 最小正周期 T= =π. 2 π? π ? k∈Z. (2)观察图像可知, y=|tan x|的增区间是? k∈Z, 减区间是? ?kπ,kπ+2?, ?kπ-2,kπ?, 最小正周期 T=π. 思维升华 (1)求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(其中, ω>0)的单调区间时, 要视

“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果 ω<0,那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数,防止把单调性弄错. (2)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律 “同增异减”. (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图像,结合图像判定. π π +4x?+cos?4x- ?的周期、单调区间及最大、最小值. 求函数 y=sin? 6? ?3 ? ? 解 π π π +4x?+? -4x?= , ∵? ?3 ? ?6 ? 2

π? ?π ? ∴cos? ?4x-6?=cos?6-4x? π π ?? ?π ? =cos?2-? ?3+4x? =sin?3+4x?.

?

?

π? 2π π ∴y=2sin? ?4x+3?,周期 T= 4 =2. π π π 当- +2kπ≤4x+ ≤ +2kπ (k∈Z)时,函数单调递增, 2 3 2 5π kπ π kπ? ∴函数的递增区间为? ?-24+ 2 ,24+ 2 ? (k∈Z). π π 3π 当 +2kπ≤4x+ ≤ +2kπ (k∈Z)时,函数单调递减, 2 3 2 π kπ 7π kπ? ∴函数的递减区间为? ?24+ 2 ,24+ 2 ?(k∈Z). π kπ 当 x= + (k∈Z)时,ymax=2; 24 2

5π kπ 当 x=- + (k∈Z)时,ymin=-2. 24 2 题型三 三角函数的奇偶性和对称性 例3 π? (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x(x∈R),函数 y=f(x+φ) ? ?|φ|≤2?的图像关于直线 x=0 对 称,则 φ 的值为________. 4π ? (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图像关于点? ? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的最小值为( π A. 6 答案 解析 π B. 4 π (1) (2)A 6 π? (1)f(x)=2sin? ?x+3?, π C. 3 π D. 2 )

π ? y=f(x+φ)=2sin? ?x+3+φ?图像关于 x=0 对称, 即 f(x+φ)为偶函数. π π π ∴ +φ= +kπ,k∈Z,φ=kπ+ ,k∈Z, 3 2 6 π π 又∵|φ|≤ ,∴φ= . 2 6 4π ? ?2π ? (2)由题意得 3cos? ?2× 3 +φ?=3cos? 3 +φ+2π? 2π 2π π ? =3cos? ? 3 +φ?=0,∴ 3 +φ=kπ+2,k∈Z, π π ∴φ=kπ- ,k∈Z,取 k=0,得|φ|的最小值为 . 6 6 思维升华 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当 x=0 时,f(x)取得最大值或最小值. 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当 x=0 时,f(x)=0. π 如果求 f(x)的对称轴,只需令 ωx+φ= +kπ (k∈Z),求 x. 2 如果求 f(x)的对称中心的横坐标,只需令 ωx+φ=kπ (k∈Z)即可. (1)若函数 f(x)=sin ax+cos ax(a>0)的最小正周期为 1, 则它的图像的一个对 称中心为 π A.(- ,0) 8 1 C.(- ,0) 8 B.(0,0) 1 D.( ,0) 8 ( )

π π π (2)设函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(- , ))的最小正周期为 π,且其图像关于直线 x= 2 2 12

π π 对称,则在下面四个结论:①图像关于点( ,0)对称;②图像关于点( ,0)对称;③在[0, 4 3 π π ]上是增函数;④在[- ,0]上是增函数中,所有正确结论的编号为________. 6 6 答案 解析 (1)C (2)②④ π (1)由条件得 f(x)= 2sin(ax+ ), 4

2π 又函数的最小正周期为 1,故 =1,∴a=2π, a π 故 f(x)= 2sin(2πx+ ). 4 1 将 x=- 代入得函数值为 0. 8 (2)∵T=π,∴ω=2. π π π 又 2× +φ=kπ+ (k∈Z),∴φ=kπ+ (k∈Z). 12 2 3 π π π π ∵φ∈(- , ),∴φ= ,∴y=sin(2x+ ), 2 2 3 3 由图像及性质可知②④正确.

三角函数的单调性、对称性 π π 典例: (20 分)(1)已知 ω>0, 函数 f(x)=sin(ωx+ )在( , π)上单调递减, 则 ω 的取值范围是( 4 2 1 5 A.[ , ] 2 4 1 C.(0, ] 2 1 3 B.[ , ] 2 4 D.(0,2]

)

π π (2)已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 对任意实数 x 有 f(x+ )=f(-x)成立, 且 f( )=1, 则实 4 8 数 b 的值为 A.-1 B.3 C.-1 或 3 D.-3 ( )

π 5π (3)(2012· 课标全国)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两 4 4 条相邻的对称轴,则 φ 等于 π A. 4 π B. 3 π C. 2 3π D. 4 ( )

π π 2π (4)函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0 且|φ|< )在区间[ , ]上单调递减,且函数值从 1 减小到-1, 2 6 3 那么此函数图像与 y 轴交点的纵坐标为 ( )

1 A. 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

6+ 2 4

π 思维启迪 (1)( ,π)为函数 f(x)某个单调减区间的子集; 2 π (2)由 f(x+ )=f(-x)可得函数的对称轴,应用函数在对称轴处的性质求解即可; 4 T (3)f(x)=sin(ωx+φ)图像相邻两条对称轴之间的距离是 ;(4)可结合图像分析函数的单调 2 性,周期性确定 ω,φ. 解析 π π π π π (1)由 <x<π 得 ω+ <ωx+ <πω+ , 2 2 4 4 4

π π π π 3π 由题意知( ω+ ,πω+ )?[ , ], 2 4 4 2 2

?2ω+4≥2, ∴? π 3π ?πω+4≤ 2

π

π π

1 5 ,∴ ≤ω≤ ,故选 A. 2 4

π π (2)由 f(x+ )=f(-x)可知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 关于直线 x= 对称,又函数 f(x)在对 4 8 称轴处取得最值,故± 2+b=1,∴b=-1 或 b=3. (3)利用三角函数的对称轴求得周期. 5π π? 由题意得周期 T=2? ? 4 -4?=2π, 2π ∴2π= ,即 ω=1,∴f(x)=sin(x+φ), ω π? ?π+φ?=± ∴f? = sin ?4? ?4 ? 1, π π 5π ∵0<φ<π,∴ <φ+ < , 4 4 4 π π π ∴φ+ = ,∴φ= . 4 2 4 (4)函数 y=sin(ωx+φ)的最大值为 1,最小值为-1, π 2π 由该函数在区间[ , ]上单调递减,且函数值从 1 减小到-1, 6 3 2π π π 2π 2π 可知 - = 为半周期,则周期为 π,ω= = =2, 3 6 2 T π 此时原函数式为 y=sin(2x+φ), π 又由函数 y=sin(ωx+φ)的图像过点( ,1), 6 π 代入可得 φ= , 6

π 1 因此函数为 y=sin(2x+ ),令 x=0,可得 y= . 6 2 答案 (1)A (2)C (3)A (4)A

温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 ω 的范围的问题,首先,明确已 知的单调区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利 用它们之间的关系可求解.(2)函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的图像与其对称轴的交点是最值 点.

方法与技巧 1. 讨论三角函数性质,应先把函数式化成 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式. 2π 2. 函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期 |ω| 为 π . |ω|

3. 对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令 t=ωx +φ,将其转化为研究 y=sin t 的性质. 失误与防范 1. 闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要 讨论参数对最值的影响. 2. 要注意求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时 ω 的符号,尽量化成 ω>0 时情况.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 π 1. 下列函数中,周期为 π 且在[0, ]上是减函数的是 2 π A.y=sin(x+ ) 4 C.y=sin 2x 答案 D 解析 对于函数 y=cos 2x,T=π, π 当 x∈[0, ]时,2x∈[0,π],y=cos 2x 是减函数. 2 π B.y=cos(x+ ) 4 D.y=cos 2x ( )

π? 2. (2012· 湖南)函数 f(x)=sin x-cos? ?x+6?的值域为 A.[-2,2] C.[-1,1] 答案 B 解析 将函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式后求解. π? ∵f(x)=sin x-cos? ?x+6? π π =sin x-cos xcos +sin xsin 6 6 =sin x- 3 1 3 1 cos x+ sin x= 3? sin x- cos x? 2 2 2 ?2 ? B.[- 3, 3] D.?-

(

)

?

3 3? , 2 2?

π? = 3sin? ?x-6?(x∈R), ∴f(x)的值域为[- 3, 3]. 3. (2013· 浙江)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ= π ”的 2 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 B π π π ωx+ ?=-Asin ωx 为奇函数,∴“f(x)是奇函数”是“φ= ” 解析 φ= ?f(x)=Acos? 2 ? ? 2 2 的必要条件. π π 又 f(x)=Acos(ωx+φ)是奇函数?f(0)=0?φ= +kπ(k∈Z)D/?φ= . 2 2 π ∴“f(x)是奇函数”不是“φ= ”的充分条件. 2 4. 函数 y=cos 2x+sin2x,x∈R 的值域是 A.[0,1] 答案 A 1-cos 2x 1+cos 2x 解析 y=cos 2x+sin2x=cos 2x+ = . 2 2 ∵cos 2x∈[-1,1],∴y∈[0,1]. π 5. (2012· 天津)将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图像向右平移 个单位长度,所得图像经过点 4 1 B.[ ,1] 2 C.[-1,2] D.[0,2] ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

?3π,0?,则 ω 的最小值是 ?4 ?

(

)

1 A. 3 答案 D

B.1

5 C. 3

D.2

π? 解析 根据题意平移后函数的解析式为 y=sin ω? ?x-4?, 3π ? ωπ 将? ? 4 ,0?代入得 sin 2 =0,则 ω=2k,k∈Z,且 ω>0, 故 ω 的最小值为 2. 二、填空题 π 6. 函数 y=cos( -2x)的单调减区间为________. 4 答案 π 5π [kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 8 8

π π 解析 由 y=cos( -2x)=cos(2x- )得 4 4 π 2kπ≤2x- ≤2kπ+π(k∈Z), 4 π 5π 故 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 8 8 π 5π 所以函数的单调减区间为[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z). 8 8 1 7. 函数 y=sin x 的定义域为[a,b],值域为[-1, ],则 b-a 的最大值为________. 2 答案 4 π 3 13π 5π 4π - = . 6 6 3

解析 由正弦函数的图像知(b-a)max=

π 8. 已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ),y=f(x)的部分图像如图, 2 π 则 f( )=________. 24 答案 3

3π π π π 解析 由题中图像可知,此正切函数的半周期等于 - = ,即最小正周期为 , 8 8 4 2 3π 所以 ω=2.由题意可知,图像过定点( ,0), 8 3π 3π 所以 0=Atan(2× +φ),即 +φ=kπ(k∈Z), 8 4 3π 所以 φ=kπ- (k∈Z), 4 π π 又|φ|< ,所以 φ= . 2 4

又图像过定点(0,1),所以 A=1. π 综上可知,f(x)=tan(2x+ ), 4 π π π π 故有 f( )=tan(2× + )=tan = 3. 24 24 4 3 三、解答题 π 9. 设函数 f(x)=sin(2x+φ) (-π<φ<0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. 解 π π π (1)令 2× +φ=kπ+ ,k∈Z,∴φ=kπ+ ,k∈Z, 8 2 4

3π 又-π<φ<0,则 φ=- . 4 3π? (2)由(1)得:f(x)=sin? ?2x- 4 ?, π 3π π 令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z, 2 4 2 π 5π 可解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 8 8 π 5π ? 因此 y=f(x)的单调增区间为? ?8+kπ, 8 +kπ?,k∈Z. πx π πx 10.设函数 f(x)=sin( - )-2cos2 +1. 4 6 8 (1)求 f(x)的最小正周期. 4 (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称,求当 x∈[0, ]时,y=g(x)的最大 3 值. 解 = (1)f(x)=sin πx π πx π πx cos -cos sin -cos 4 6 4 6 4

3 πx 3 πx sin - cos 2 4 2 4

πx π = 3sin( - ), 4 3 2π 故 f(x)的最小正周期为 T= =8. π 4 (2)方法一 在 y=g(x)的图像上任取一点(x,g(x)), 它关于 x=1 的对称点(2-x,g(x)). 由题设条件,知点(2-x,g(x))在 y=f(x)的图像上,

π π 从而 g(x)=f(2-x)= 3sin[ (2-x)- ] 4 3 π πx π = 3sin[ - - ] 2 4 3 πx π = 3cos( + ). 4 3 4 π πx π 2π 当 0≤x≤ 时, ≤ + ≤ , 3 3 4 3 3 4 因此 y=g(x)在区间[0, ]上的最大值为 3 π 3 g(x)max= 3cos = . 3 2 4 2 方法二 区间[0, ]关于 x=1 的对称区间为[ ,2], 3 3 且 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称, 4 故 y=g(x)在[0, ]上的最大值为 3 2 y=f(x)在[ ,2]上的最大值. 3 πx π 由(1)知 f(x)= 3sin( - ), 4 3 2 π πx π π 当 ≤x≤2 时,- ≤ - ≤ . 3 6 4 3 6 4 因此 y=g(x)在[0, ]上的最大值为 3 g(x)max= 3sin π 3 = . 6 2 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1. 函数 y= |sin x+cos x|-1的定义域是 π A.[kπ,kπ+ ](k∈Z) 2 π B.[2kπ,2kπ+ ](k∈Z) 2 π C.[- +kπ,kπ](k∈Z) 2 π D.[- +2kπ,2kπ](k∈Z) 2 答案 A 解析 |sin x+cos x|-1≥0?(sin x+cos x)2≥1 ( )

?sin 2x≥0,∴2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,

π 故原函数的定义域是[kπ,kπ+ ](k∈Z). 2 π π 2. 设函数 f(x)=3sin( x+ ), 若存在这样的实数 x1, x2, 对任意的 x∈R, 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2) 2 4 成立,则|x1-x2|的最小值为________. 答案 2 解析 π π 2 f(x)=3sin( x+ )的周期 T=2π× =4, 2 4 π

f(x1),f(x2)应分别为函数 f(x)的最小值和最大值, T 故|x1-x2|的最小值为 =2. 2 3. 已知函数 f(x)=cos xsin x(x∈R),给出下列四个命题: ①若 f(x1)=-f(x2),则 x1=-x2; ②f(x)的最小正周期是 2π; π π ③f(x)在区间[- , ]上是增函数; 4 4 3π ④f(x)的图像关于直线 x= 对称. 4 其中真命题是________. 答案 ③④ 解析 1 π f(x)= sin 2x,当 x1=0,x2= 时, 2 2

f(x1)=-f(x2),但 x1≠-x2,故①是假命题; f(x)的最小正周期为 π,故②是假命题; π π π π 当 x∈[- , ]时,2x∈[- , ],故③是真命题; 4 4 2 2 3π 1 3 1 因为 f( )= sin π=- , 4 2 2 2 3 故 f(x)的图像关于直线 x= π 对称,故④是真命题. 4 4. 已知函数 f(x)=sin 2x- 3cos 2x+1. π π (1)当 x∈[ , ]时,求 f(x)的最大值和最小值; 4 2 (2)求 f(x)的单调区间. 解 π (1)f(x)=sin 2x- 3cos 2x+1=2sin(2x- )+1. 3

π π π π π 2π ∵ ≤x≤ ,∴ ≤2x≤π,∴ ≤2x- ≤ , 4 2 2 6 3 3 1 π π ∴ ≤sin(2x- )≤1,∴1≤2sin(2x- )≤2, 2 3 3

π 于是 2≤2sin(2x- )+1≤3, 3 ∴f(x)的最大值是 3,最小值是 2. π π π (2)由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z 2 3 2 π 5π 得 2kπ- ≤2x≤2kπ+ ,k∈Z, 6 6 π 5π ∴kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 12 12 π 5π 即 f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ],k∈Z, 12 12 π π 3π 同理由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z 2 3 2 得 f(x)的单调递减区间为[kπ+ 5π 11π ,kπ+ ],k∈Z. 12 12

π? ? π? 5. 已知 a>0,函数 f(x)=-2asin? ?2x+6?+2a+b,当 x∈?0,2?时,-5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; π? (2)设 g(x)=f? ?x+2?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. 解 π? π ?π 7π? (1)∵x∈? ?0,2?,∴2x+6∈?6, 6 ?.

π? ? 1 ? ∴sin? ?2x+6?∈?-2,1?, π? ∴-2asin? ?2x+6?∈[-2a,a]. ∴f(x)∈[b,3a+b], 又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5. π? (2)由(1)得,f(x)=-4sin? ?2x+6?-1, π? 7π? ? g(x)=f? ?x+2?=-4sin?2x+ 6 ?-1 π? =4sin? ?2x+6?-1, 又由 lg g(x)>0,得 g(x)>1, π? ∴4sin? ?2x+6?-1>1, π? 1 ∴sin? ?2x+6?>2, π π 5π ∴2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z, 6 6 6

π π π 其中当 2kπ+ <2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 时, 6 6 2 π g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+ ,k∈Z, 6 π? ∴g(x)的单调增区间为? ?kπ,kπ+6?,k∈Z. π π 5π 又∵当 2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z 时, 2 6 6 π π g(x)单调递减,即 kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z. 6 3 π π? ∴g(x)的单调减区间为? ?kπ+6,kπ+3?,k∈Z.


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