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函数知识归纳梳理


【知识归纳梳理】 1、 平面内点的坐标的特点 ⑴各象限内的点的特征,如图:

y

(-,+)
⑵坐标轴上点的坐标的特征: 点 P(x,y)在 x 轴上 ? y=0,x 为任意数; 点 P(x,y)在 y 轴上 ? x=0,y 为任意数; 点 P(x,y)既在原点 ? x、y 同时为 0、即点 P(0,0) 。 ⑶对称点的坐标特征

: 点 P 与点 P1 关于 x 轴对称 ? 横坐标相等,纵坐标相反; 点 P 与点 P1 关于 y 轴对称 ? 横坐标相反,纵坐标相等; 点 P 与点 P1 关于原点对称 ? 横坐标和纵坐标都相反。 ⑷点与原点、点与坐标轴的距离 第二象限

(+,+)
第一象限

(-,-)
第三象限

o

(+,-)
第四象限

x

P(a,b)与原点的距离为 a 2 ? b 2 ;P(a,b)到 x 轴的距离为∣b∣,到 y 轴的距离为∣a∣。 ⑸平面直角坐标系内图形的平移与图形上的点的坐标的变化的关系:设(a>0,b>0) 图形向上(或向下)平移 a 个单位长度 ? 图形上的点的横坐标不变,纵坐标加(或减)a; 图形向左(或向右)平移 a 个单位长度 ? 图形上的点的纵坐标不变,横坐标减(或加)a; 2、一次函数 y=kx+b(k≠0)的图像和性质 ⑴当 b=0,即为正比例函数 y=kx(k≠0)时: k 的符号 k>0 y 图像的大致位置 O y k<0

x

O

x

经过象限 性质 (2)当 b≠0 时: k、b 的符号

第一、三象限 Y 随 x 的增大而增大

第二、四象限 Y 随 x 的增大而减小

k>0 b>0 y

k>0 b<0 y

k<0 b>0 y

k<0 b<0 y

图像的大致位置

O

x

O

x

O

x

O

x

经过象限 性质

第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 Y 随 x 的增大而增大Y 随 x 的增大而增大Y 随 x 的增大而减小Y 随 x 的增大而减小

5、反比例函数 y ? k 的符号

k (k≠0)的图像和性质 x
k>0 y o x k<0 y o x

图像的大致位置

经过象限 性质

第一、三象限

第二、四象限

在每一象限内,Y 随 x 的增大而减小 在每一象限内,Y 随 x 的增大而增大

6、二次函数的定义:如果 y=ax +bx+c(a、b、c 为常数,a ? 0),那么 y 叫做 x 的二次函数。
2

7、二次函数的图像:二次函数 y=ax +bx+c ( a ? 0 ) 的图像是一条抛物线
2

A 8、二次函数的性质: (1)抛物线 y=ax +bx+c 的顶点是(2

b b 4ac ? b 2 , ) ;对称轴是 x=. 2a 2a 4a

B

(2)挡 a>0 时,抛物线开口向上,在对称轴的左侧 y 随 x 值的增大而减小, ,在对称轴的右侧 y 随 x 值 的增大而增大;a<0 时,抛物线开口向下,在对称轴的左侧 y 随 x 值的增大而增大, ,在对称轴的右侧 y 随 x 值的增大而减小。 (3)当 a>0,x=-

b b 4ac ? b 2 4ac ? b 2 时,y 有最小值 ;当 a<0,x=时,y 有最大值 。 2a 2a 4a 4a

(4)特殊抛物线的性质 开口方向 抛物线 y=ax
2 2

a>0 向上 向上 向上 向上

a<0 向下 向下 向下 向下

对称轴 X=0 X=0 X=h X=h

顶点坐标 (0,0) (0,c) (h,0) (h,k)

y=ax +c y=a(x-h)
2 2

y=a(x-h) +k

9、抛物线解析式的三种形式: (1)一般形式:y=ax +bx+c (a、b、c 为常数,a ? 0)
2

(2)顶点式:y=a(x-h) +k (a ? 0),其中 h、k 为抛物线的顶点的横、纵坐标。
2

(3)交点式:y=a(x-x 1 )(x-x 2 ) (a ? 0),其中 x 1 、x 2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标。 10、二次函数的图像的画法————五点法 顶点 与 x 轴的交点 与 y 轴的交点及它的对称点 11、二次函数的图像位置与 a,b,c, ? 的关系 (1) a 的正负决定抛物线的开口方向,挡 a>0 时,抛物线开口向上;a<0 时,抛物线开口向下;|a| 的大小决定抛物线的开口大小,|a|越大,抛物线开口越小,反之越大。 (2) b=0 时,抛物线的对称轴为 y 轴,若 a、b 同号,对称轴在 y 轴的左侧,若 a、b 异号,对称轴在 y 轴的右侧,即“左同右异” 。 (3) 抛物线与 y 轴的交点为(0,c), 当 c=0 时, 抛物线过原点, 当 c>0 时, 抛物线与 y 轴的正半轴相交, 当 c<0 时,抛物线与 y 轴的负半轴相交。 ⑷ ? 决定抛物线与 x 轴的交点个数,当 ? >0 时,抛物线与 x 轴有两个交点;当 ? <0 时,抛物线与 x 轴有一个交点;当 ? =0 时,抛物线与 x 轴没有交点。 13、已知函数关系式,判断点是否在函数图像上的方法: 点 P(x,y)的坐标适合函数关系式 ? 点 P(x,y)在函数图像上; 点 P(x,y)的坐标不适合函数关系式 ? 点 P(x,y)不在函数图像上。 14、用函数关系式确定函数关系式的方法: ⑴由题意设出函数关系式 ⑵根据图像过已知点或通过别的途径得到的自变量与因变量的对应关系列出关于待定系数的方成(组) ⑶解关于待定系数的方程(组) ,求出待定系数 ⑷将求出的待定条件代回到原来设的关系式中即可求出。需要条件: 正比例函数的表达式 y=kx(k≠0) ,需要一个独立条件。 一次函数的表达式 y=kx+b(k≠0) ,需要两个独立条件。 反比例函数的表达式 y ?

k (k≠0) ,需要一个独立条件。 x
2

二次函数的一般形式:y=ax +bx+c (a、b、c 为常数,a ? 0),需要三个独立条件。 二次函数的顶点式:y=a(x-h) +k (a ? 0),其中 h、k 为抛物线的顶点的横、纵坐标,需要一个独立条
2

件以及顶点坐标。 二次函数的交点式:y=a(x-x 1 )(x-x 2 ) (a ? 0),其中 x 1 、x 2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标,需要一个 独立条件以及与 x 轴的交点坐标。


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