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数学选修4-1高考题汇编


4-1 高考题汇编 1. 2010·北京)如图,圆 O 的弦 ED,CB 的延长线
交于点 A。若 BD ? AE,AB=4, BC=2, AD=3, 则 DE= ;CE= 。
A O B C D

【命题立意】本题考查几何证明的知识。运用割线定理是解 决本 题的突破口。 【思路点拨】本题可由相交弦定理求出 DE ,再利用三个直角三角形 Rt ?ABD, Rt ?BDE

, Rt ?BCE 中求 CE。
? AE , 得 AE ? 8 。 【 规 范 解 答 】 由 割 线 定 理 得 , AB ? AC ? AD ? AE , 即 4 ? 6 ? 3 DE ? 8 ? 3 ? 5 。 tA ? B D 连接 BE, 因为 BD ? AE , 所以 BE 为直径, 所以 ?BCE ? 900 。 在R
中 , BD ? 42 ? 32 ? 7 。 在 R t? B D E 中 BE ? 52 ? 7 ? 4 2 。 在 R t? B C E 中,

CE ? 3 2? 7? 2 。 7
E
D
3

A 4 B
2
C

【答案】5 2 7

2. (2010·广东)如图, AB, CD 是半径为 a 的
圆 O 的两条弦,他们相交于 AB 的中点 P, PD ?

2a , 3
O
P

?OAP ? 30? ,则 CP =_________. 9 a. 【解析】 因为点 P 是 AB 的中点, 由垂径定理知, OP ? AB . 8
在 Rt ?OPA 中, BP ? AP ? a cos 30 ?
?

A D

3 a. 2

C

B

由相交弦定理知, BP ? AP ? CP ? DP , 即

图3

9 3 3 2 a? a ? CP ? a ,所以 CP ? a . 8 2 2 3

3.(2010·江苏)AB 是圆 O 的直径,D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C,若 DA=DC,求证:AB=2BC。 【命题立意】本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证能力。 【思路点拨】利用圆心角和圆周角之间的关系证明 OB=BC=OD=O 即可. 【规范解答】 方法一:连结 OD,则:OD⊥DC, 又 OA=OD,DA=DC,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO, ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO, 所以∠DCO=30 ,∠DOC=60 , 所以 OC=2OD,即 OB=BC=OD=OA,所以 AB=2BC。 方法二:连结 OD、BD。 因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠ADB=90 ,AB=2 OB。 因为 DC 是圆 O 的切线,所以∠CDO=90 。 又因为 DA=DC,所以∠DAC=∠DCA, 于是△ADB≌△CDO,从而 AB=CO。 即 2OB=OB+BC,得 OB=BC。 故 AB=2BC。
0 0 0 0

4. (2010·天津理)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P, 若

PB 1 PC 1 BC = , = ,则 的值为 PA 2 PD 3 AD

A

6 【答案】 6
D

B P O C

【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质,属于中等题。 因为 A,B,C,D 四点共圆,

, ? CDA ? ? PBC 所 以 ?DAB ? ? PCB , 因 为 ? P 为 公 共 角 , 所 以 ⊿ PBC ∽ ⊿ PAB, 所 以
PB PC BC x y 6y BC x 6 ? ? .设 OB=x,PC=y,则有 ,所 ? ?x? ? ? PD PA AD 3y 2x 2 AD 3 y 6

5.(2010·天津文)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和

DC 相交于点 P。若 PB=1,PD=3,则

BC 的值为 AD



A

B P O C

【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。 【思路点拨】利用相似三角形的性质转化。
D

【规范解答】由题意可知 ? BCP ∽ ? ADP 相似,

BP PD 1 3 BC 1 ? ? ? ? ? 。 BC AD BC AD AD 3 1 【答案】 3
所以 6. (2010·陕西理)如图,已知 Rt ?ABC 的两条直角边 AC,BC

的长分别为 3cm,4cm,以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D, 则
BD ? DA

;.

【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法,属送分题 【思路点拨】条件 ? Rt ?ADC ? Rt ?ADC ? Rt ?ACB ? 论 【 规 范 解 答 】 因 为 以

AD AC ? ? AD ? BD ? 结 AC AB

AC 为 直 径 的 圆 与 AB 交 于 点 D, 所 以

0 ? C ? R t , A D C ?A D C ?9 0 ,A D 为

? Rt ?ADC ? Rt ?ACB,?
BD 16 ? DA 9 16 9

AD AC AC 2 9 9 16 ? , AD ? ? , BD ? AB ? AD ? 5 ? ? , AC AB AB 5 5 5

?

【答案】

7. (2010·陕西文科)如图,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3cm,4cm,以

AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,则 BD=

cm.

【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法,属送分题 【思路点拨】 条件 ? Rt ?ADC ? Rt ?ADC ? Rt ?ACB ? 【 规 范 解 答 】 因 为 以

AD AC ? ? AD ? BD AC AB

AC 为 直 径 的 圆 与 AB 交 于 点 D, 所 以

?ADC ? 900 , ?ADC为Rt ?ADC,

? Rt ?ADC ? Rt ?ACB,?
【答案】

AD AC AC 2 9 9 16 ? , AD ? ? , BD ? AB ? AD ? 5 ? ? , AC AB AB 5 5 5

16 5


8. (2010·湖南)如图 1 所示,过圆 O 外一点 P 作一条
线与圆 O 交于 A, B 两点.已知 PA=2,点 P 到圆 O 的切线 长 PT=4,则弦 AB 的长为 解析:由圆的切割线定理得: .

PT 2 ? PA ? PB ? 42 ? 2PB ,
? PB ? 8 ,故 AB ? 8 ? 2 ? 6 .

9. 如图,在四边形 ABCD 中,△ABC≌△BAD.
求证:AB∥CD.

解: 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识,考查推理论证能力。满分 10 分。 证明:由△ABC≌△BAD 得∠ACB=∠BDA,故 A、B、C、D 四点共圆, 从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD 得∠CAB=∠DBA。 因此∠DBA=∠CDB,所以 AB∥CD。 10. (2009·辽宁)已知 ? ABC 中,AB=AC, D 是 ? ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不 与点 A,C 重合) ,延长 BD 至 E。 (1) 求证:AD 的延长线平分 ? CDE; A (2) 若 ? BAC=30,? ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3 ,求

? ABC 外接圆的面积。
D
( 1 )如图,设 F 为 AD 延长线上一点,∵A,B,C, D 四点共 B 圆, ?CDF = ?ABC , 又 AB=AC ,∴ ?ABC ? ?ACB ,且 ?ADB ? ?ACB , ∴ ?ADB ? ?CDF ,对顶角 ?EDF ? ?ADB ,故 ?EDF ? ?CDF , 故 AD 的延长线平分 ?CDE 。---------------5 分 A .( 2)设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H ,则 AH⊥BC , 连接 OC ,由题意 ? OAC= ? OCA = 15 , ?ACB ? 75 ,
?
?

E

C

O
B
H

D

E

C

F

∴ ?OCH ? 60 ,设圆半径为 r,则 r ?
?

3 r ? 2? 3, 2

得:r= 2 ,故外接圆面积为 4? 。 ---------10 分 11. (2009·宁海)如图,已知 ? ABC 中的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H , ? B=60 ,
?

F 在 AC 上,且 AE ? AF 。
(1)证明: B, D, H , E 四点共圆; (2)证明:CE 平分 ? DEF。

(Ⅰ)在△ABC 中,因为∠B=60°, 所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为 AD,CE 是角平分线, 所以∠HAC+∠HCA=60°, 故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°, 所以 B,D,H,E 四点共圆。 (Ⅱ)连结 BH,则 BH 为 ?ABC 的平分线,得 ?HBD ? 30° 由(Ⅰ)知 B,D,H,E 四点共圆, 所以 ?CED ? ?HBD ? 30° 又 ?AHE ? ?EBD ? 60°,由已知可得 EF ? AD , 可得 ?CEF ? 30° 所以 CE 平分 ? DEF 12. (2008·广东)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 . AC 是圆 O 的直径, PC 与圆 O 交于点 B , PB ? 1 ,则圆 O 的半径 R ? . 【解析】依题意,我们知道 ?PBA ? ?PAC , 由相似三角形的性质我们有

PA PB ? , 2 R AB

即R?

PA ? AB 2 ? 22 ? 12 ? ? 3。 2PB 2 ?1
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13. 如图 5 所示,圆 O 的直径 AB ? 6 , C 为圆周上一点, BC ? 3 过 C 作圆的切线 l , A C ? 过 A 作 l 的垂线 AD ,AD 分别与直线 l 、 圆交于点 D,E , 则∠D , 线段 AE 的 长为
新疆奎屯
· 2007·

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E
? ;3。 6

D

C
B

答案:

A

O
图5

l

解析:根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互 余,很容易得到答案; AE=EC=BC=3;

14. 如图,已知 AP 是圆 O 的切线, P 为切点, AC 是圆 O 的割线,与圆 O 交于 B,C 两 点,圆心 O 在 ?PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点. P ,P,O,M 四点共圆; (Ⅰ)证明 A (Ⅱ)求 ?OAM ? ?APM 的大小. A O
(Ⅰ)证明:连结 OP,OM . 因为 AP 与 ? O 相切于点 P ,所以 OP ? AP . 因为 M 是 ? O 的弦 BC 的中点,所以 OM ? BC .

B

M

C

于是 ?OPA ? ?OMA ? 180° . ,P,O,M 四点共圆. 由圆心 O 在 ?PAC 的内部, 可知四边形 APOM 的对角互补, 所以 A ,P,O,M 四点共圆,所以 ?OAM ? ?OPM . (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 A 由(Ⅰ)得 OP ? AP . 由圆心 O 在 ?PAC 的内部,可知 ?OPM ? ?APM ? 90° . 所以 ?OAM ? ?APM ? 90° .


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