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踏过等比数列的“层峦叠障”


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辅教导学 ?  

数 学 通 讯一 一2 O 1 O年 第 3期 ( 上半月)  

3 3  

踏 过 等 比数 列 的 “ 层峦 叠 障 "  
张多法   李玉亮  
( 山东 省 枣 庄 市第 三 十 九 中学 , 2 7 7 4 0 0 )  

等 比数列 的概 念 与 性质 、 等 比数 列 求 和 问题 


所以 n  一   (  ≥ 2 ) .  

直是 高考 的重 要考点 , 可是 , 由于考 生对 概 念和  因为 n t =1 适合 上式 , 故a  一   (  ∈ N。 ) .   说明  要判 定 一个数 列 为等 比数 列 , 必须说  明从第 二项起 , 每 一项 与它 的前 一 项 的 比为 同一  非零常 数 , 即 
‘‘ , 一 1  

性 质理解 不透彻 、 考虑 不 全面 、 忽 略题 中的隐 含条  件 等原 因 , 常常 出现“ 会 而不对 , 对而不 全”令人 痛 

心 的现象. 制约学 生数学 成 绩 的提 高 , 本 文 结合 笔 
者多年 的教学 实 践 ,精 选 学生 在 考试 中的几 个 易  错 问题 , 有 针对 性 地 帮 你 识 破命 题 者 精 心 设 计 的 

=q ( n≥ 2 )恒成立 , 其中 q 应是 

陷阱, 帮你踏 过等 比数列 的“ 层峦 叠 障” , 以期 达 到 
授人 以渔 的 目的 , 助 你成 功.  


与  无关 的常数 .   二、 因增 加限制 条件而导 致错误  例2   已知 一 个 等 比数 列 的前 四 项 之 积 为 




等 比数 列的判定  例1   已知 {  ) 是首项 为 l 的正项 数列 , 且(  

+1 ) 口  l 一? h 2 : +a , r  ̄ - 1 a   =0 ( n∈ N’ ) , 求它 的通 项 
公 式.   错解  由(  + 1 ) a  l 一  : +口 计l a  = 0 , 得 

第二 、 三项 的和为  , 求这 个等 比数列 的公 比.  

错 解  依 题 意 , 设 这 四 个 数 为   , 詈 , a q , a q 。 ,  
则  a 4一  1   +a q一   ①  ② 

( 口  1 +a   ) [   ( 口  l —a   ) +d 什 1 ]= 0 ,  
而a   >0 , 所以a   +a T r -  ̄ - l >0 , 所 以(  + 1 ) n  l  
一 加 , 即 
an  

一 

1_ 1  

.  

所以{ n   } 是以 1 为 首项 、 —  为公 比的等 比 

由① 得 。一 ±寺, 代人 ② 并整理, 得q   ±  
数列 , n  一 ( —  ) 一.  
2   +l — o , 解得 q=  ± 1 或 q=一  ± 1 ,  

剖析  由‘ ‘   数列是错 误 的 , 由  

一 —  ’ ’ 就认为 { n   ) 为等 比 


因此原等 比数列 的公 比为 q 。 一3 +2   或q 。  
3— 2  

= = = q得 出 { 口   )为等 比数 列 ,  

剖析  表面上 看 , 上面 的解法 正确无误 , 但认 

不仅是 一种形 式 , 更重 要 的是 注意 q 与 "无关这 一 

真 审查整 个解 题 过 程 , 由于 设 这 四个 数 为  a, a,  
q  

要求 . 显然 —  不是与 无关 的常数 , 所 以解答是 
错误 的.  

a q , a q 。 , 公 比为 q 。 , 就等 于规定 了这个 等 比数列 的 

各项 要么 同为正 , 要 么 同为负 , 错误 就 出在这里.   正解  依题 意 , 设 这 四个 数为 口 , a q , a q   , a q 。 ,  
则口   q   而 1, a q +Ⅱ q  :  , 解得 q一 3 4 - 2   或 

正解  同上 面 的解 法可得 (  + 1 ) n   一 椒 ,  
 ̄ [ j a n + 1 . = —  ( ”∈ N  ) , 所以  

. 

. 





. 

q 一 一 5± 2  
Ⅱ , r1  

口1  

Ⅱ2  

n3  



百 _ 2  … ._ 3  ●… 4  … T



2  



说明  在设 等 比数列 的项时 , 将公 比设为 q   ,  
. ..一
. . 

( I n≥ " ‘   … 2 /) ) , .  

这样就 等于增 加 了这 个 数 列 的 限制 条 件 , 不 一定  满足题 意.  
三、 考 虑不全 面 , 导致错 误 

所 以  一 一 1


因为 a l 一 1 ,  

数 学通 讯 一 一 2 0 1 0年 第 3期 ( 上半月)  

?辅教 导 学 ?  

例3   设 等 比数 列 {   } 的前 ” 项 和为 S   , a 。 ≠ 

一 ( 一 2)× ( 1— 2  )一 1 4— 1 1 2,  

0 , 若s 。 +S  : 2 S 。 , 求 数列 { n   ) 的公 比 q .  
错 解  因为 S 。 +S  一 2 S 。 , 所 以 

或 S— S  ~ ( 2 +1 2 )  
一  

二 
l— g 

~ 1 4  

1一 q  

十   l 二   一2 ×   l 二 
  。 1一 q  

1一 q   ,  
一  

由于 n l ≠0 , 整 理得 q 。 ( 2 q   一q 3 —1 )= 0 .  
因为 口≠ 0 , 所以 ( 2 q   +1 ) ( q 。 一1 )一 0 ,  
一 一

[ 1 一( 一3   ) ] 一1 4  
3 7 8 .  

剖 析  在上 面 的求解 过 程 中 , 并 没有求 出三  所 以 q= 1 或 q=一   .   剖析  在使 用 等 比数 列 前  项 和 公式 表 示  个基本 量 a t , q和  , 这是 它 的可取之 处 , 但在 求 出   矿 一 2或 一 3后 , 没有考 虑 它成立 的合理 性. 事实 

5 。 , s   , S   时 未 考 虑 g — l 的 情 况 . S   一  旱 l 二  


上, 当  为偶数 时 , q  不可 能等于 一 3 .  
正解  同上 面的解法 可得 
f q   一 2,   r q ”一 一 3,  

口 

本 身隐含 q ≠1 , 而在解题 过程 中却 又得 出 q一 1 ,   所 以矛盾 , 这 也是解 题不仔 细所致 .  
正 解  当 q: 1 时, S 3 —3 a 1 , S 6 :6 a l , S 9 — 
9 口 1 , 由S 3 +S 6— 2 S 9 , 得 3 口 1 +6 a 1 — 2× 9 a 1 , 所 

{ 尚= - 2 ,  ̄ t  一 丢 .  
当  为偶 数时 , q  = 2 ,  
s 一  一 ( 2+ 1 2 )  


以a  一 0 , 与n  ≠ 0矛盾 , 故 q≠ 1 , 所 以 
!   二  1一 q   +    ’ 二  1一 q   一 2 ×  … 二  1一 口
. ‘  

( 一2 )× ( 1— 2   )一 1 4— 1 1 2 .  

因为 q ≠0 , g ≠1 , 所 以可得 2 g 。 +1 :0 , 所以 
q = 一

当  为奇数 时 , 矿 = 2或 q  =一 3 .  
5 : 




. 二 

一( 2+ 1 2 )  

2.  

四、 忽 略题 中的隐含条 件而导 致 出错  例4   在等 比数列 ( a   } 中, 前n 项和为 2 , 紧接  着后 面 的 2  项 和为 1 2 , 再 紧接着 后面 的 3  项和 S  
是 多少 ?  

( 一2 )× ( 1— 2   )一 1 4  
1 1 2。  



或 S一  
一  

一( 2 +1 2 )  

错解  设数 列 { a   )的公 比为 q , 首项 为 a   , 显 
然 q ≠ 1 , 则 
— — —   — — — — 一
l— q  

[ 1 一( 一3 )   ] 一1 4  

一 ~ 37 8 .  

一 2, '   — — —   — — — — — 一 ~  : 1 2+  2, 『 ’  


说 明  在 等 比数列 求 和过 程 中, 也时 常有隐 

』一 q  

解 得 
r q ”= 2,   r 矿 一一 3 ,  

含条件对公 比 q的取 值 范 围的 限制 , 应 注意 挖掘 ,  
否则将导致 错误.  
( 收 稿 日期 : 2 0 0 9 —1 1 一O 8 )  

{  一  或 1  一 号 。  
S —S   ~( 2 +1 2 ) 一  掣
( 上接 第 3 2页 )  

一1 4  
≠ 一  ,  ≠ 一 挈时 0  , c   A一{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) ;  

当A— j 2 『 时, 综 上讨论 知 P∈ R, 且 P≠一5 ,  

户 = / : - 4 , 户 ≠ 一 萼 , p ≠ ~   2 9 .   当 p   E   R , 且 户 ≠ ~ 5 ,   ≠ 一 4 ,   ≠ 一 萼 ,  
?


当 p 一 一 娑时 , c   A :{ 1 , 2 , 3 , 4 ) ;  
当 p一一   时 ,c   u A 一 { 1 , 2 , 4 , 5 ) ;  



p ≠ 一 弩 时 , A 一  , c 【 』 A 一 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) .  
综上所 述 : 当P   E   R, 且 P≠~ 5 , P≠一 4 ,P  

当 P一一4时 ,c   L , A一 { 1 , 3 , 4 , 5 }   当 P一一 5时 , e   , A— f 2 , 3 , 5 } .  
( 收 稿 日期 : 2 0 0 9 —1 0 —2 7 )  


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