kl800.com省心范文网

6.2算术平均数与几何平均数(1)


一、问题情境
现有甲乙两商场对单价相同的同类产品 进行促销,甲商场采取的促销方式是在原价p 折的基础上再打q折;乙商场的促销方式则是 p+q 两次都打 折。 2 试问:对顾客而 言,哪种打折方式更合算?

二、新课讲授
1.重要不等式: 重要不等式:

如果a, b ∈ R, 那么a + b ≥ 2ab (当且仅当a = b时取“ ”号) =
2 2

证明:(作差比较法)

a +b 2.定理: 如果a, b ∈ R ,那么 ≥ ab 2 (当且仅当a = b时取“ ”号) =
+

注意: 注意
a+b (1) 可以看作是两个正数 a , b的等差中项 , 2 a+b 我们称 为a , b的算术平均数 . 2 ( 2) ab可以看作是两个正数 a , b的等比中项 ,

我们称 ab为a , b的几何平均数 .

两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数

(3)均值不等式的几何意义是“半 )均值不等式的几何意义是“ 径不小于半弦” 径不小于半弦”。 (4)两个定理成 ) 立的条件不同, 立的条件不同,前 者只要求 a,b都是 都是 实数, 实数,后者则要求 a,b都是正实数。 都是正实数 都是正实数。

D
ab

A

a

C b D/

B

a+b 2 + (2)ab ≤ ( ) ( a, b ∈ R ) 2 b a (3) + ≥ 2(ab > 0) a b
2 2

三、公式变形 2 2 a +b (1)ab ≤ ( a, b ∈ R ) 2

a +b a+b 2 请比较 与( ) 的大小 2 2 2 2 a +b a+b 2 用作差比较法,得 ≥( ) 2 2

四、公式的推广: 公式的推广 定理: 定理:如果 a, b, c ∈R
3 3 3

a + b + c ≥ 3abc

+ ,那么 那么

(当且仅当 当且仅当a=b=c时取“=”号) 时取“ 号 当且仅当 时取

a +b +c 3 + 推论: (1) ≥ abc (a, b, c ∈ R ) 3 a1 + a2 +L+ an n (2) ≥ a1 ? a2 ?L? an n + (a1 ? a2 ?L? an ∈ R )

五、公式的应用: 公式的应用
都是正数,求证: 例1:已知a,b,c,d都是正数,求证: :

(ab + cd )(ac + bd ) ≥ 4abcd
例2:已知a、b、c都是正数, 都是正数, 求证:( 求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc

例3:若a,b,c是互不相等的实数,求证: a + b + c > ab + bc + ac
2 2 2

方法1:用作差比较法。 方法2:用均值不等式。

例4: 已知a, b ∈ R , 求证: 2 2 a +b a+b 2 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b

+

例5:“a+b≥2 ab ”是“a∈R+,b∈R+”的 : + 是 ∈ ∈ ( ) B A.充分不必要条件 . B.必要不充分条件 . C.充要条件 . D.即不充分也不必要条件 . 2ab,a +b ,b中最大的是 A ) , 中最大的是( 中最大的是 A.b B.a2+b2 . . C.2ab D.1 . .
2 1 例6:设b>a>0,且a+b=1,则此四个数 , : > > , + = , 2 2 2

例7:已知a,b,c ∈ R , 且a + b + c = 1, 1 1 1 求证: + + ≥ 9 a b c
分析:巧用“1”的代换 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c 证明: + + = + + a b c a b c b a c a c b = 3+ ( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 9 a b a c b c 1 当且仅当a=b=c= 时,等号成立. 3

+

小结:常用的不等式 (1)a + b ≥ 2ab(a, b ∈ R )
2 2

a+b + (2) ≥ ab (a, b ∈ R ) 2 2 2 a+b 2 a +b (3)ab ≤ ( ) ≤ ( a, b ∈ R ) 2 2

b a (4) + ≥ 2(ab > 0) a b

作业:三维设计课时作(四)


6.2算术平均数与几何平均数

§ 6.2 算术平均数与几何平均数 (时间:45 分钟 满分:100 分) 一、选择题(每小题 7 分,共 35 分) 1.下列结论中不正确的是 1 A.a>0 时,a+ ≥2 ...

6.2算术平均数与几何平均数1

6.2.1 算术平均数与几何平均数● 教学目标 1. 学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理; 2. 理解定理的几何意义; 3. 能够简单应用定理证明不等式...

6.2.1算术平均数与几何平均数

高一编写: 陆华 审核签名: 陆华 年级 数学姓名: 学科学案纲要班别: 新授课 学号: 学习内容 6.2.1 算术平均数与几何平均数 课型 学习 目标 课时安排 2 ...

6[1].2 算术平均数与几何平均数 例题

教案-6.2算术平均数与几... 3页 1下载券6​[​1​]​.​2​...用不等式的形式联系起来,是本题获解的关键.算术平 2 2 均数与几何平均数...

§6.2算术平均数与几何平均数

§6.2 算术平均数与几何平均数〖基础练习〗一、重要不等式: 如果 a , b ? R,那么 a + b ? 2 a b (当且仅当 对此定理,注意以下两点: 2 2 2 2 ...

第二册上6.2《算术平均数与几何平均数》第二课时

6.2算术平均数与几何平均数... 15页 1财富值喜欢此文档的还喜欢 6.1平均数第2课时 25页 免费 第六章第2课时 平均数(2) 暂无评价 2页 免费 【优秀教案...

6.2 算术平均数与几何平均数

6.2 算术平均数与几何平均数(1) 算术平均数与几何平均数( )教学目的: 教学目的: 1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定 理...

6.2《算术平均数与几何平均数1》教案(旧人教).

6.2算术平均数与几何平均数1》教案(旧人教)._高二数学_数学_高中教育_教育专区。算术平均数与几何平均数 高考资源网——提供高考试题、高考模拟题,发布高考...

6.2 算术平均数与几何平均数2

9页 免费 62算术平均数几何平均数(2... 8页 免费 算术平均数与几何平均数典... 8页 1财富值 高二数学教案:算术平均数... 6页 2财富值如...

6.2《算术平均数与几何平均数》第二课时

6.2 一、教学目标: 算术平均数与几何平均数第二课时 1.进一步掌握均值不等式定理; 2.会应用此定理求某些函数的最值; 3.求最大值时注意一正二定三相等。 ...