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1111高中数学函数知识点总结


高中数学函数知识点总结
函数概念 1. 对函数的概念了解吗?函数 f:A→B,是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应 能构成函数? (一对一,多对一,允许 B 中有元素剩余。 ) 2.你知道定义域、值域与集合 A、B 的关系吗? 定义域=A 值域是 B 的子集 3.函数 y ? ? ( x) 的图象与直线 x ? a 交点的个数为 1 个。

4. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 5.你在解函数问题时注意到定义域优先原则了吗? 6.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 7. 如何求复合函数的定义域? 复合函数定义域的求法:已知 y ? f ( x) 的定义域为 ?m, n ? ,求 y ? f ?g ( x)? 的定义域,可由 m ? g ( x) ? n 解出 x 的范 围,即为 y ? f ?g ( x)? 的定义域。 8.函数解析式的求法 (1)待定系数法(已知函数的类型) (2)换元法 (3)构造法(拼凑法) (4)赋值法 方法总结: (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) ,则用待定系数法; (2)若已知复合函数 f [ g ( x)] 的解析式,则可用换元法或配凑法; (3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出 9.函数值域的求法(先考虑其定义域) (1)观察法(直接法) (2)函数单调性法 (3)图像法 (4)基本不等式法 (5)分离常数法 (6)导数法 注:在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直 接法,函数单调性法,图像法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。

10.分段函数的理解 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数,但是是一个函数。 (2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集 函数的基本性质

(一)函数的单调性(局部性质) 1.定义: (1)增函数:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. 等价定义:

(2)减函数:如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是 减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 等价定义: 注意:函数的单调性是函数的局部性质; 2. 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间 上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. 3. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 4.判断函数单调性的方法有哪些? (1)定义法: 根据定义,设任意的 x1<x2,找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系 等价变形为求

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) 的正负号或者 与 1 的关系 x1 ? x2 f ( x2 )

(2)图象法 (3)基本函数合成法(性质法) : ①函数 f(x)与 f(x)+c(c 是常数)单调性相同 ②函数 f(x)与 cf(x)(c 是常数),当 c>0 时,它们的单调性相同;当 c<0 时,它们的单调性相反。 ③如果函数 f1(x),f2(x)同向变化,则函数 f1(x)+f2(x)和它们同向变化; (函数相加) ④如果正值函数 f1(x),f2(x)同向变化, 则函数 f1(x)f2(x)和它们同向变化; 如果负值函数 f1(2)与 f2(x)同向变化, 则函数 f1(x)f2(x)和它们反向变化; (函数相乘) ⑤函数 f(x)与
1 f ( x)

、—f(x)单调性相反。

⑥若函数 u=φ (x),x[α ,β ]与函数 y=F(u),u∈[φ (α ),φ (β )]或 u∈[φ (β ),φ (α )]同向变化,则在[α , β ]上复合函数 y=F[φ (x)]是递增的;若函数 u=φ (x),x[α ,β ]与函数 y=F(u),u∈[φ (α ),φ (β )]或 u∈[φ (β ),φ (α )]反向变化,则在[α ,β ]上复合函数 y=F[φ (x)]是递减的。 (同增异减) f(g) 增 增 减 减 g(x) 增 减 增 减 f[g(x)] 增 减 减 增 f(x)+g(x) 增 / / 减 f(x)*g(x) 是正数 增 / / 减 都

4.导数法 (二)函数的奇偶性(整体性质) 1.定义: (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数

一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 等价定义

这种方法可以做如下变形 f(x)+f(-x) =0 奇函数 f(x)-f(-x)=0 f(x) ?1 f(-x) f(x) ? ?1 f(-x) 偶函数 偶函数 奇函数

2.判断函数奇偶性的方法 (1).定义法 1)首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2)确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3.图像法 图像关于原点成中心对称的函数是奇函数; 图像关于 y 轴对称的函数是偶函数 3.性质法 奇函数+奇函数=奇函数;奇函数-奇函数=奇函数; 偶函数+偶函数=偶函数;偶函数-偶函数=偶函数; 奇函数*奇函数=偶函数;奇函数/奇函数=偶函数;偶函数*偶函数=偶函数;偶函数/偶函数=偶函数; 奇函数*偶函数=奇函数;奇函数/偶函数=奇函数 复合函数的奇偶性 f(g) 奇 奇 偶 偶 g(x) 奇 偶 奇 偶 f[g(x)] 奇 偶 偶 偶 f(x)+g(x) 奇 非奇非 偶 非奇非 偶 偶 f(x)*g(x) 偶 奇 奇 偶

4.函数奇偶性的性质: (1)奇函数的图像关于原点对称;偶函数的图像关于 y 轴对称。 (2)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则 其单调性恰恰相反. (3)若奇函数 f ( x ) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .故 f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的既不充分也不必要条件。 (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差) ” 。 (三)函数的周期性 函数的周期性的定义:对于函数 f ( x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得定义域内的每一个 x 值,都满足 f ( x ? T ) ? f ( x) , 那么函数 f ( x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。 2.周期性的性质 (1)若 y ? f ( x) 图像有两条对称轴 x ? a, x ? b(a ? b) ,则 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为 T ? 2 | a ? b | ;

(2)若 y ? f ( x) 图像有两个对称中心 A(a,0), B(b,0)( a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期函数,且一周期为 T ? 2 | a ? b | ; (3)如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,则函数 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期 为T ? 4 | a ? b | ; (4)①若 f(x+a)=f(x+b) ③若 f ( x ? a) ? 则 T=|b-a|;②函数 f ( x ) 满足 ? f ?x ? ? f ?a ? x ? ,则 f ( x ) 是周期为 2 a 的周期函数;

1 1 (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a ;④若 f ( x ? a) ? ? (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a . f ( x) f ( x)

(四)图像变换

y ? f ( x)与y ? f (?x)的图象关于y轴对称 y ? f ( x)与y ? f ( x)的图象关于x轴对称 y ? f ( x)与y ? ? f (?x)的图象关于 原点对称
y ? f ( x)与y ? f ?1 ( x)的图象关于直线y ? x对称

联想点(x,y),(-x,y) 联想点(x,y),(x,-y) 联想点(x,y),(-x,-y) 联想点(x,y),(y,x) 联想点(x,y),(2a-x,y) 联想点(x,y),(2a-x,0)

y ? f ( x)与y ? f (2a ? x)的图象关于 直线x ? a对称 y ? f ( x)与y ? ? f (2a ? x)的图象关于 点(a, 0)对称
左移a(a?0) 个单位 y ? f ( x ? a) 将y ? f ( x) 图象 ???????? ?? 右移a(a?0) 个单位 y ? f ( x ? a) 上移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a) ? b ???????? ?? 下移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a) ? b
翻折”变换:

f ( x)? ? ? | f ( x把 ) |轴下方的图像翻到上面 x f ( x)? ? ?f( |x 把 | )轴右方的图像翻到上面 y
(五)二次函数 1.二次函数的解析式的三种形式: (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。 (2)顶点式(配方式) :f(x)=a(x-h)2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。 (3)两点式(因式分解) :f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2 是抛物线与 x 轴两交点的坐标。 2.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴 x ?

?b b 4ac ? b 2 , ) ,顶点坐标 (? 2a 2a 4a

b b ?b 4ac ? b 2 ] 上单调递减,在 [ ? ,?? ) 上单调递增, x ? 1)a>0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ?? ,? 时, f ( x) min ? ; 2a 2a 2a 4a
2 ) a<0 时 , 抛 物 线 开 口 向 下 , 函 数 在 ( ?? ,?

b b ?b ] 上 单 调 递 增 , 在 [ ? ,?? ) 上 单 调 递 减 , x ? 时, 2a 2a 2a

f ( x) max ?

4ac ? b 2 。 4a

3.应用:①“三个二次” (二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程

ax 2 ? bx ? c ? 0,? ? 0时,两根x1、x 2 为二次函数y ? ax 2 ? bx ? c的图象与x轴 的两个交点,也是二次不等式ax 2 ? bx ? c ? 0 (? 0) 解集的端点值。
②求闭区间[m,n]上的最值。

b ) f m a x? f (m ) , f m ?i n f n( ) 2a b 区间在对称轴右边(m ? ? ) f m a x? f (n ) , f m ?i n f m ( ) 2a b 区间在对称轴2边 (n ? ? ? m) 2a 4 ac ? b 2 f m i n? f, m a ?x mfa m x ( f(n ) , ( ) ) 4a 也可以比较m , n 和对称轴的关系, 距离越远,值越大 区间在对称轴左边(n ? ? (只讨论a ? 0的情况)

4 “ . 双 勾 函 数y ” ? x?

k ?k ? 0? x

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?(均值不等式一定要注意等号成立的条件)

y

? k
O

k

x

基本初等函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式 (1)根式的概念 根式的概念
n 如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根

符号表示

备注

n ? 1且n ? N ?
n

当 n 为奇数时 , 正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次方根是一个负数 当 n 为偶数时 ,正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反 数

a

零的 n 次方根是零 负数没有偶次方根

? n a (a ? 0)

(2) .两个重要公式

?a ? n n ① a ?? ?a(a ? 0) ?| a |? ?? a(a ? 0) ? ?

n 为奇数 ; n 为偶数

② (n a ) n ? a (注意 a 必须使 n a 有意义) 。 3.实数指数幂的运算性质 (1) a · a ? a
r r r ?s

(a ? 0, r , s ? R) ; (a ? 0, r , s ? R) ;

(2) (a ) ? a
r s r

rs

(3) (ab) ? a a
r

s

(a ? 0, r , s ? R) .

(二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R.
x

注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1
6

0<a<1
6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1) (三)对数及其运算

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1)

1.对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 .a 为底 ..N 的对数,
x

记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式) 说明:○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 a ? N ? loga N ? x ; . ○
x

两个重要对数: 1 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; ○ 2 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . ○

2.对数的运算性质及性质(必须熟记) : 运算法则: (1) loga (M · N ) ? loga M + loga N ; (2) log a

M ? loga M - loga N ; N

(3) loga M n ? n loga M 对数恒等式

(n ? R) .

( 1 ) loga a ? 1

(2) loga 1 ? 0
(4)a loga N ? N

( 3 ) loga a N ? N
换底公式 (1) loga b ? 推论 (2) log a m b n ? (二)对数函数

logc b lg b ln b ? ? logc a lg a ln a

1 n (3) loga b ? . log a b ; m logb a

1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) .
5

注意: 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如: y ? 2 log2 x , y ? log 5 x 都不是对数函数, 而只能称其为对数型函数. 2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2

0<a<1
3 2.5 2

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过定点(1,0) (三)幂函数

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点(1,0)

? 1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数.

2.幂函数的图像 幂函数 y=xα 的图象由于 α 的值不同而不同. α 的正负:α>0 时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α<0,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之 也成立;

注:在上图第一象限中如何确定 y=x3,y=x2,y=x, y ? x 2 ,y=x-1 方法:可画出 x=x0; 当 x0>1 时,按交点的高低,从高到低依次为 y=x ,y=x , y=x, y ? x , y=x-1;
3 2

1

1 2

当 0<x0<1 时,按交点的高低,从高到低依次为 y=x , y ? x
-1

1 2

,y=x, y=x2,y=x3 。 y=x3
1 2

3、幂函数的性质 y=x y=x2

y?x

y=x-1

定义域 值域 奇偶性 单调性

R R 奇 增

R [0, ?? ) 偶 x∈ (??, 0] 时,减

R R 奇

[0, ?? ) [0, ?? ) 非奇非偶 增

?x | x ? R且x ? 0?

? y | y ? R且y ? 0?
奇 x∈(0,+ ? )时,减; x∈(- ? ,0)时,减

x∈[0,?? ) 时, 增; 增

定点

(1,1)

4、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1) ;

? ? 0 时, (2) 幂函数的图象通过原点, 并且在区间 [0,??) 上是增函数. 特别地, 当 ? ? 1 时, 幂函数的图象下凸; 当0 ? ? ?1
时,幂函数的图象上凸;

(3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼 近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. (四)抽象函数问题 1.解题方法:赋值法、结构变换

如:(1)x ? R,f ( x) 满足f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 为奇函数。

(先令x ? y ? 0 ? f (0) ? 0再令y ? ?x,??) (2)x ? R,f ( x) 满足f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 是偶函数。
(先令x ? y ? ?t ? f ?(?t )(?t )? ? f ( t·t )

∴f (?t ) ? f (?t ) ? f ( t ) ? f ( t ) ∴f (? t ) ? f ( t ) ??)

(3)证明单调性:f ( x 2 ) ? f ?x 2 ? x1 ? ? x 2 ? ??
1、 2、 3、 代 y=x, 令 x=0 或 1 来求出 f(0)或 f(1) 求奇偶性,令 y=—x;求单调性:令 x+y=x1

?

?



2.几类常见的抽象函数 正比例函数型的抽象函数 f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±y)=f(x)±f(y) 1. 幂函数型的抽象函数 f(x)=xa----------------f(xy)= f(x)f(y) ;f( 2. 指数函数型的抽象函数 f(x)=ax------------------- f(x+y)=f(x)f(y) ;f(x-y)= 3. 对数函数型的抽象函数

x f ( x) )= y f ( y)

f ( x) f ( y)

f(x)=logax(a>0 且 a≠1)-----f(x·y)=f(x)+f(y) ;f( 4. 三角函数型的抽象函数 f(x)=tgx-------------------------- f(x+y)=

x )= f(x)-f(y) y

f ( x) ? f ( y ) 1 ? f ( x) f ( y )

f(x)=cotx------------------------ f(x+y)=

f ( x) f ( y ) ? 1 f ( x) ? f ( y )

例 1 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 均有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且当 x>0 时,f(x)>0,f(-1)= -2 求 f(x) 在区间[-2,1]上的值域. 分析:先证明函数 f(x)在 R 上是增函数(注意到 f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1) ) ;再根据区 间求其值域. 例 2 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 均有 f(x+y)+2=f(x)+f(y) ,且当 x>0 时,f(x)>2,f(3)= 5,求不 2 等式 f(a -2a-2)<3 的解. 分析:先证明函数 f(x)在 R 上是增函数(仿例 1) ;再求出 f(1)=3;最后脱去函数符号. 例 3 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)f(y) ,且 f(-1)=1,f(27)=9,当 0≤x<1 时,

f(x)∈[0,1]. (1) 判断 f(x)的奇偶性; (2) 判断 f(x)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明; (3) 若 a≥0 且 f(a+1)≤ 3 9 ,求 a 的取值范围.

分析: (1)令 y=-1; (2)利用 f(x1)=f( (3)0≤a≤2. 例 4 设函数 f(x)的定义域是(-∞,+∞) ,满足条件:存在 x1≠x2,使得 f(x1)≠f(x2) ;对任何 x 和 y, f(x+y)=f(x)f(y)成立.求: (1) f(0) ; (2) 对任意值 x,判断 f(x)值的符号. 分析: (1)令 x= y=0; (2)令 y=x≠0. 例 5 是否存在函数 f(x) ,使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②f(a+b)= f(a)f(b) ,a、b∈N;③f(2) =4.同时成立?若存在,求出 f(x)的解析式,若不存在,说明理由. 分析:先猜出 f(x)=2x;再用数学归纳法证明. 例 6 设 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 f(x·y)=f(x)+f(y) ,f(3)=1,求: (1) f(1) ; (2) 若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围. 分析: (1)利用 3=1×3; (2)利用函数的单调性和已知关系式. 例 7 设函数 y= f(x)的反函数是 y=g(x).如果 f(ab)=f(a)+f(b) ,那么 g(a+b)=g(a) ·g(b)是 否正确,试说明理由. 分析:设 f(a)=m,f(b)=n,则 g(m)=a,g(n)=b, 进而 m+n=f(a)+f(b)= f(ab)=f [g(m)g(n)]?. 例 8 已知函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件: ① ② ③ x1、x2 是定义域中的数时,有 f(x1-x2)=

x1 x ·x2)=f( 1 )f(x2) ; x2 x2

f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 ; f ( x2 ) ? f ( x1 )

f(a)= -1(a>0,a 是定义域中的一个数) ; 当 0<x<2a 时,f(x)<0.

试问: (1) f(x)的奇偶性如何?说明理由; (2) 在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由. 分析: (1)利用 f [-(x1-x2)]= -f [(x1-x2)],判定 f(x)是奇函数; (3) 先证明 f(x)在(0,2a)上是增函数,再证明其在(2a,4a)上也是增函数. 对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题,对应的特 殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象 函数问题. 例 9 已知函数 f(x) (x≠0)满足 f(xy)=f(x)+f(y) , (1) 求证:f(1)=f(-1)=0; (2) 求证:f(x)为偶函数;

(3)

若 f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式 f(x)+f(x-

1 )≤0. 2

分析:函数模型为:f(x)=loga|x|(a>0) (1) 先令 x=y=1,再令 x=y= -1; (2) 令 y= -1; (3) 由 f(x)为偶函数,则 f(x)=f(|x|). 例 10 已知函数 f(x)对一切实数 x、y 满足 f(0)≠0,f(x+y)=f(x) ·f(y) ,且当 x<0 时,f(x)>1, 求证: (1) 当 x>0 时,0<f(x)<1; (2) f(x)在 x∈R 上是减函数. 分析: (1)先令 x=y=0 得 f(0)=1,再令 y=-x; (3) 受指数函数单调性的启发: 由 f(x+y)=f(x)f(y)可得 f(x-y)=

f ( x) , f ( y)

进而由 x1<x2,有

f ( x1 ) =f(x1-x2)>1. f ( x2 )


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