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数列创新题型突破


数列创新题型突破-------五、数阵和数表
所谓数表就是指满足一定的生成规则并按一定的顺序排列成的一个表,数 表问题常与数列知识联手,在高考中奏出一曲曲优美的“乐章” 逐渐成为高考命 , 题的热门, 本文试就数表问题考查的几种常见类型及变化趋势作一阐述,以馈读 者。 一、三角形数表 例 1(2008 年江苏卷 10)将全体正整数排成一个三角形数表: 1 2 4 7 8

5 9 3 6 10

. . . . . . . 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为 .

【评析】 :通过列举、分析、归纳、猜想,前 n-1 行共有 1+2+3+…+ n-1 个
n2 ? n n2 ? n 数,即共有 个,因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 +3 个数, 2 2



n2 ? n ? 6 2

例 2(2008 年山东卷 19) 将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a 6

a7 a8

a9

a10

. . . . . . . 记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1. Sn 为数列{bn} 的前 n 项和,且满足
2bn bn S n ? S n
2

=1(n≥2).

(Ⅰ)证明数列{

1 }成等差数列,并求数列{bn}的通项公式; Sn

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数 列,且公比为同一个正数.当 a81 ? ?
4 时,求上表中第 k(k≥3)行所有项和的和. 91

?1, n ? 1 ? (Ⅰ)证明略, bn ? ? 2 ?? n( n ? 1) , n ? 2 ?

(Ⅱ)析:本题关键在于确定 a81 在表中的位置,再由通项公式求出 q ,然后求 和,设上表中从第三行起,每行的公比都为 q,且 q>0. 因为 1 ? 2 ? ??? ? 12 ?
12 ?13 ? 78, 2

所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列{an}的前 78 项, 故 a81 表中第 13 行第三列, 因此 a81 ? b13 ? q 2 ? ?
4 , 91

又 b13 ? ?

2 , 所以 q=2. 13 ?14

记表中第 k(k≥3)行所有项的和为 S, 则S ?
bk (1 ? q k ) 2 (1 ? 2k ) 2 ? ? ? (1 ? 2k ) (k≥3). 1? q k (k ? 1) 1 ? 2 k (k ? 1)

点拨: 研究数表问题, 首先要明确数表的构成元素,数表是由什么样的数列或 哪些元素构成,即先要寻找数列的递推关系或元素的规律。 二、方形数表 例 3(2004 年北京春季高考题改编)下表给出一个“等差数表” :

4 7 ( ( … ai1 … ) ( ) (

7 12

( ( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) ( … ai3 … … ai4 …

) ) ) )

( ( ( ( … ai5 …

) ) ) )

… … … … … … …

a1j a2j a3j a4j ……

… … … … … … …

… ai2 …

aij


其中每行、每列都是等差数列,aij 表示位于第 i 行第 j 列的数. (1)写出 a 45 的值; (2)写出 aij 的计算公式; (3)写出 2008 这个数在等差数表中所在的一个位置。 【评析】 :本题主要考查等差数列的基础知识,考查学生的逻辑思维能力, 分析问题和解决问题的能力。 由每行和每列均成等差数列和表格中前两行两列的 4 个数,可求出第一行和 第二行所有的数,再由第 5 列的前两个数求得第 4 个数,即 a 45 。 解: (1) (略解) a 45 =49 (2)该等差数表的第 1 行是首项为 4,公差为 3 的等差数列,a1j=4+3(j-1), 第二行是首项为 7,公差为 5 的等差数列,a2j=7+5(j-1),… 第 i 行是首项为 4+3(i-1) ,公差为 2i+1 的等差数列,因此

aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1) =2ij+i+j=i(2j+1)+j
(3)要找 2008 在该等差数表中的位置,也就是要找正整数 i,j 使得 2ij+i+j=2008,所以 j ?
2008 ? i ,当 i=1 时,得 j=669 2i ? 1

所以,2008 在等差数表中的一个位置是第 1 行第 669 列。 点拨:对于数表形等差、等比数列的综合问题,行、列关系较为复杂,在解 题时一定要多找等量关系,少设变量,尽可能把已知元素的值化归到同行或者同 列。 三、回形数表 例 4 (2008 江苏高考零距离突破二轮复习题) 将自然数排成如下的螺旋状

第一个拐弯处的数是 2,第二个拐弯处的数是 3,第 20 个及第 25 个拐弯处 的数分别是 ,

【评析】 :由图可知,前 n 个拐弯处的数依次是 2,3,5,7,10,13,17, 21,26,…,①这是一个数列题目,要求找出它的第 20 项和第 25 项各是多少, 因此要找出这个数列的规则, 经观察, 该数列的后一项减去一项, 得一新数列 1, 2,2,3,3,4,4,5,5,……②,把数列①的第一项添在数列②的前面得 2, 1,2,2,3,3,4,4,5,5,……③,观察数列①,③发现原数列①的第 n
a a 项 a n 就等于数列③的前 n 项和,即 a1 ? 2 , 2 ? 2 ? 1 ? 3 , 3 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 7 , …,

故第 20 个拐弯处的数 a20=2+1+2+2+…+10+10=1+2(1+2+…+10)=111 a25=2+1+2+2+…+12+12+13=170 解法 2:设第 i 个拐弯处的数为 ai,显然 a1=2,a2i=a2i-1+I, a2i+1= a2i+(i+1) ∵20=2×10 25=2×12+1∴a20=1+2(1+2+…+10)=11

a25=1+2(1+2+…+12)+13=170 解法 1 到解法 2 由具体到抽象,体现出思维不断优化的过程。 点拨: 解决数表问题, 需细心研究其元素的排列的规律, 即构成数列的元素, 或数列的项是按照何种规则排列而成的,有时即使找到排列的规则,但如果不能 对所发现的规律所蕴含的信息进行整理再加工,解题同样会误入歧途。 四、数表与排列组合的有机结合 例 5、 (2005 年上海春季高考)用 n 个不同的实数
a1 , a 2 ,?, a n

可得到 n!个 ,

不同的排列,每个排列为一行,写成一个 n!行的数表,对第 i 行
n 记 bi ? ?ai1 ? 2ai 2 ? 3ai 3 ? ? ? (?1) nain

ai1 , ai 2 ,?, ain

( i ? 1,2,?, n! )

1 2 3 1 3 2

例如 1,2,3 可得数表如图

2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1

,由于此数表中每一列数之和均为 12,所

以 b1 ? b2 ? ? ? b6 ? ?12 ? 2 ? 12 ? 3 ? 12 ? ?24 。那么在用 1,2,3,4,5 形成的 数表中, b1 ? b2 ? ? ? b120 ? 【评析】 :此题题目新颖有趣,思维要求较高,它给出计算数表中各数的某 种组合的新思路, 同时又具备高等数学的背景,渗透高等数学背景是高考命题的 一大趋势,值得引起重视。 解:在用 1,2,3,4,5 所形成的数表中,起始数字为 1 的共有 A44 行,类 似, 起始数字为 2, 4, 的行都有 A44 个, 3, 5 于是数表中各数之和为(1+2+3+4+5) A44=360. ∴ b1 ? b2 ? ? ? b120 ? (?1) ? 360 ? 2 ? 360 ? 3 ? 360 ? 4 ? 360 ? 5 ? 360 = (?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? 360 = ? 1080

总之,适应新课程的需要,高考命题会出现一些新情况、新定义、新背景的 问题, 数表作为近年来数学命题的一个新亮点,为在今后高考中再次出现增添了 无限的魅力空间。

数列创新题型突破-------六、数列应用题
数列作为特殊的函数, 在高中数学中占有相当重要的位置, 涉及实际应用的问题广泛而 多样,如:增长率、银行信贷等.解答这一类问题,要充分应用观察、归纳、猜想的手段, 注意其间的递推关系,建立出等差、等比、或递推数列的模型. 建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向. 1.某县位于沙漠边缘,当地居民与风沙进行着艰苦的斗争,到 2000 年底全县的绿地已 占全县总面积的 30%.从 2001 年起,市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度,则每年 有 16%的原沙漠地带变成了绿地,但同时,原有绿地的 4%又被侵蚀,变成了沙漠. (Ⅰ)在这种政策之下,是否有可能在将来的某一年,全县绿地面积超过 80%? (Ⅱ)至少在多少年底,该县的绿地面积才能超过全县总面积的 60%?

讲解: 本题为实际问题, 首先应该读懂题意, 搞清研究对象, 然后把它转化为数学问题. 不 难看出,这是一道数列型应用问题.因此,我们可以设: 全县面积为 1,记 2000 年底的全县绿地面积占总面积的百分比为 a0 ,经过 n 年后全县 绿地面积占总面积的百分比为 an ,则我们所要回答的问题就是: (Ⅰ)是否存在自然数 n ,使得 an >80% ? (Ⅱ)求使得 an >60%成立的最小的自然数 n . 为了解决这些问题,我们可以根据题意,列出数列 ?an ? 的相邻项之间的函数关系,然后 由此递推公式出发,设法求出这个数列的通项公式.

y 3x-y=130

由题可知: a0 ? 30% ?

3 , 10

M 4x+6y=320

4 4 an ? 5 25 4 4 所以,当 n ? 1时, a n ? a n ?1 ? ,两式作差得: 5 25 4 a n?1 ? a n ? ?a n ? a n?1 ? 5
4 ? 4 1 1 ?4 x 又 a1 ? a0 ? ? a0 ? ? ? a0 ? ? a0 ? , 5 25 25 5 10 ? ?

an?1 ? ?1 ? 4%?an ? 16%?1 ? an ? ?

所以,数列 ?an ? an ?1? 是以 a1 ? a0 ? 等比数列. 所以, an ? ? an ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? ? ? a1 ? a0 ? ? a0
1 4 (1 ? ( ) n ) 3 4 1 4 10 5 ? ? ? ? ? ( )n 4 10 5 2 5 1? 5

1 4 为首项,以 为公比的 5 10

由上式可知:对于任意 n ? N ,均有 a n ? 80%. (Ⅱ)令 a n ?

4 .即全县绿地面积不可能超过总面积的 5

3 4 2 ,得 ( ) n ? , 5 5 5 4 5

由指数函数的性质可知:g ? n ? ? ( ) n 随 n 的增大而单调递减, 因此, 我们只需从 n ? 0

开始验证,直到找到第一个使得 ( ) n ?

2 的自然数 n 即为所求. 5 4 2 4 2 验证可知:当 n ? 0,1, 2,3, 4 时,均有 ( ) n ? ,而当 n ? 5 时, ( )n ? 0.32768 ? , 5 5 5 5 4 2 由指数函数的单调性可知:当 n ? 5 时,均有 ( ) n ? . 5 5
所以,从 2000 年底开始,5 年后,即 2005 年底,全县绿地面积才开始超过总面积的

4 5

60%. 点评: (Ⅱ)中,也可通过估值的方法来确定 n 的值. 2. 某铁路指挥部接到预报, 小时后将有一场超历史记录的大暴雨, 24 为确保万无一失, 指挥部决定在 24 小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算, 其工程量除现有施工人员连续奋战外,还需要 20 辆翻斗车同时作业 24 小时。但是,除了 有一辆车可以立即投入施工外,其余车辆需要从各处紧急抽调,每隔 20 分钟有一辆车到达 并投入施工,而指挥部最多可组织 25 辆车。问 24 小时内能否完成防洪堤坝工程?并说明 理由. 讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型. 由 20 辆车同时工作 24 小时可完成全部工程可知,每辆车,每小时的工作效率为

1 , 480

设从第一辆车投入施工算起,各车的工作时间为 a1,a2,…, a25 小时,依题意它们组成公 差 d ? ? 1 (小时)的等差数列,且 3
a1 ? 24, 则有 a a1 a 1 192 . ? 2 ? ? ? 25 ? 1,即 (a1 ? a 25 ) ? 25 ? 480 ,化简可得 2a1 ? 8 ? 480 480 480 2 5
5

解得 a1 ? 23 1 ,由于23 1 ? 24 .
5

可见 a1 的工作时间可以满足要求,即工程可以在 24 小时内完成. 3. 某学校为了教职工的住房问题,计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为 A(m2)的宿 舍楼.已知土地的征用费为 2388 元/m2,且每层的建筑面积相同,土地的征用面积为第一层 的 2.5 倍.经工程技术人员核算,第一、二层的建筑费用相同都为 445 元/m2,以后每增高一

层,其建筑费用就增加 30 元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数,使总费用最少,并求出其 最少费用.(总费用为建筑费用和征地费用之和). 讲解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型? 设楼高为 n 层,总费用为 y 元,则征地面积为 2.5 A m 2 ,征地费用为 5970 A 元,楼层建筑
n

n

费用为[445+445+ (445+30)(445+30×2) + +…+445+30× n-2) ( ] 元,从而
y? 5970 A 30 A 6000 ? 15nA ? ? 400 A ? (15n ? ? 400 ) A ? 1000 A (元) n n n

A 30 ? (15n ? ? 400 ) A n n

当且仅当 15n ? 6000 , n=20(层)时,总费用 y 最少.
n

故当这幢宿舍楼的楼高层数为 20 层时, 最少总费用为 1000A 元. 5.某人计划年初向银行贷款 10 万元用于买房.他选择 10 年期贷款,偿还贷款的方式 为:分 10 次等额归还,每年一次,并从借后次年年初开始归还,若 10 年期贷款的年利率 为 4%,且每年利息均按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息) ,问每年应还多少 元(精确到 1 元)? 讲解:作为解决这个问题的第一步,我们首先需要明确的是:如果不考虑其它因素, 同等款额的钱在不同时期的价值是不同的.比如说:现在的 10 元钱,其价值应该大于 1 年 后的 10 元钱.原因在于:现在的 10 元钱,在 1 年的时间内要产生利息. 在此基础上,这个问题,有两种思考的方法: 法 1.如果注意到按照贷款的规定,在贷款全部还清时,10 万元贷款的价值,与这个 人还款的价值总额应该相等.则我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间(即贷款全 部付清时)去计算.
5 10 万元,在 10 年后(即贷款全部付清时)的价值为 10 ?1 ? 4% ? 元. 10

设每年还款 x 元.则第 1 次偿还的 x 元,在贷款全部付清时的价值为 x ?1 ? 4% ? ;
9

第 2 次偿还的 x 元,在贷款全部付清时的价值为 x ?1 ? 4% ? ;
8

……; 第 10 次偿还的 x 元,在贷款全部付清时的价值为 x 元.于是: 105×(1+4%)10= x(1+4%)9+x(1+4%)8+x(1+4%)7+…+x

1.0410 -1 由等比数列求和公式可得: 10 ?1.04 = ? x .其中 1.04-1
5 10

所以, x ?

105 ?1.4802 ? 0.04 =12330 0.4802

法 2.从另一个角度思考,我们可以分步计算.考虑这个人在每年还款后还欠银行多少 钱. 仍然设每年还款 x 元.则第一年还款后,欠银行的余额为: ?105 ?1 ? 4% ? ? x ? 元; ? ? 如果设第 k 年还款后,欠银行的余额为 ak 元,则 ak ? ak ?1 ?1 ? 4% ? ? x . 不难得出: a10 =105×(1+4%)10-x(1+4%)9-x(1+4%)8-x(1+4%)7-…-x 另一方面,按道理,第 10 次还款后,这个人已经把贷款全部还清了,故有 a10 ? 0 .由 此布列方程,得到同样的结果. 点评:存、贷款问题为典型的数列应用题,解决问题的关键在于:1.分清单利、复利(即 等差与等比) ;2.寻找好的切入点(如本题的两种不同的思考方法) ,恰当转化.3.一般来 说,数列型应用题的特点是:与 n 有关. 6. 某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%,并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆, 那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

b 讲解 设 2001 年末汽车保有量为 b1 万辆, 以后各年末汽车保有量依次为 b2 万辆, 3 万
辆,……,每年新增汽车 x 万辆,则

b1 ? 30 , bn ?1 ? 0.94bn ? x
所以,当 n ? 2 时, bn ? 0.94bn ?1 ? x ,两式相减得: bn ?1 ? bn ? 0.94?bn ? bn ?1 ? (1)显然,若 b2 ? b1 ? 0 , 则 bn?1 ? bn ? bn ? bn ?1 ? ? ? 0 , 即 bn ? ? ? b1 ? 30 , 此时 x ? 30 ? 30 ? 0.94 ? 1.8. (2)若 b2 ? b1 ? 0 ,则数列 ?bn ?1 ? bn ? 为以 b2 ? b1 ? x ? 0.06b1 ? x ? 1.8 为首项,以

0.94 为公比的等比数列,所以, bn ?1 ? bn ? 0.94 n ? ?x ? 1.8? .
(i)若 b2 ? b1 ? 0 ,则对于任意正整数 n ,均有 bn ?1 ? bn ? 0 , 所以, bn ?1 ? bn ? ? ? b1 ? 30 ,此时, x ? 30 ? 30 ? 0.94 ? 1.8. (ii)当 x ? 1.8万 时, b2 ? b1 ? 0 ,则对于任意正整数 n ,均有 bn ?1 ? bn ? 0 ,所以,

bn ?1 ? bn ? ? ? b1 ? 30 ,
由 bn ?1 ? bn ? 0.94 n ? ?x ? 1.8? ,得
bn ? ?bn ? bn?1 ? ? ?bn ?1 ? bn ?2 ? ? ? ? ?b2 ? b1 ? ? b1 ?

?b2 ? b1 ??1 ? 0.94 n?1 ?
1 ? 0.94

? 30

n?2

? ? ? ? ?b2 ? b1 ? ? b1 ?

?b2 ? b1 ??1 ? 0.94 n?1 ?
1 ? 0.94

? 30

?x ? 1.8??1 ? 0.94 n?1 ? ? 30 , ?
0.06

要使对于任意正整数 n ,均有 bn ? 60 恒成立, 即

?x ? 1.8??1 ? 0.94 n?1 ? ? 30 ? 60
0.06

对于任意正整数 n 恒成立,解这个关于 x 的一元一次不等式 , 得

x?
上式恒成立的条件为: x ? ?

1.8 ? 1.8 , 1 ? 0.94 n

? 1.8 ? ? 1.8 ? ,由于关于 n 的函数 n ? 1 ? 0.94 ? 在n?N上 的 最 小 值

f ?n ? ?

1.8 ? 1.8 单调递减,所以, x ? 3.6 . 1 ? 0.94 n

本题是 2002 年全国高考题,上面的解法不同于参考答案,其关键是化归为含参数的不 等式恒成立问题,其分离变量后又转化为函数的最值问题. 7.现有流量均为 300 m2 / s 的两条河流 A、B 会合于某处后,不断混合,它们的含沙 量分别为 2 kg / m 和 0.2 kg / m .假设从汇合处开始,沿岸设有若干个观测点,两股水流
3 3

在流经相邻两个观测点的过程中,其混合效果相当于两股水流在 1 秒钟内交换 100 m3 的水 量,即从 A 股流入 B 股 100 m3 水,经混合后,又从 B 股流入 A 股 100 m3 水并混合.问: 从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于 0.01 kg / m (不考虑泥沙沉淀)?
3

讲解:本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于 0.01 kg / m ” 但直接建构这样的 .
3

不等关系较为困难.为表达方便,我们分别用 an , bn 来表示河水在流经第 n 个观测点时,A 水流和 B 水流的含沙量. 则 a1 =2 kg / m , b1 =0.2 kg / m ,且
3 3

bn ?1 ?

100an ? 300bn 1 100bn ?1 ? 200an 1 3 2 ? an ? bn , an ?1 ? = bn ?1 ? an . (*) 4 3 ?100 ? 300 ? 4 ?100 ? 200 ? 3

由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差,所以,我们不妨直接考虑数列

?an ? bn ? .
由(*)可得:
22 ? ? 22 2 ? ? ? 1 1 3 3 ? ?? ? 1 1 2 ?11 ? ? ana1 ?1 bnb1 ?? ? ? bnb1n ?1 ? anan? bnb1n ?? ? ? a?na? bnb1n?1? ? ? a? a? ? ? anan ? bnbn??? ? ? a? an bn bn ? ? ?n ? ? ?n 1 ? ? ? n ?? ? ? n n ? n ? ? ? ? ??? 1 ? 33 ? ? 33 3 ? ? ? 4 4 4 4 ? ?? ? 2 2 3 ?33 ? ? ?

所以,数列 ?an ? bn ? 是以 a1 ? b1 ? 1.8 为首项,以

1 为公比的等比数列. 2

?1? 所以, an ? bn ? 1.8 ? ? ? ? 2?

n ?1



由题,令 an ? bn < 0.01,得 ? ?

?1? ? 2?

n?1

?

lg180 1 ? log 2 180 . .所以, n ? 1 ? 180 lg 2

由 27 ? 180 ? 28 得 7 ? log 2 180 ? 8 ,所以, n ? 8 . 即从第 9 个观测点开始,两股水流的含沙量之差小于 0.01 kg / m .
3

点评:本题为数列、不等式型综合应用问题,难点在于对题意的理解. 8.为促进个人住房商品化的进程,我国 1999 年元月公布了个人住房公积金贷款利率和 商业性贷款利率如下: 贷款期 (年 数) …… 11 12 13 14 15 …… 公积金贷款 (‰) …… 4.365 4.455 4.545 4.635 4.725 …… 月利率 商业性贷款 (‰) …… 5.025 5.025 5.025 5.025 5.025 …… 月利率

汪先生家要购买一套商品房,计划贷款 25 万元,其中公积金贷款 10 万元,分十二年 还清;商业贷款 15 万元,分十五年还清.每种贷款分别按月等额还款,问: (1)汪先生家每月应还款多少元? (2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款,如果他想把余下的商业贷款也一次性还 清;那么他家在这个月的还款总数是多少? (参考数据:1.004455144=1.8966,1.005025144=2.0581,1.005025180=2.4651) 讲解 设月利率为 r,每月还款数为 a 元,总贷款数为 A 元,还款期限为 n 月 第 1 月末欠款数 A(1+r)-a 第 2 月末欠款数 [A(1+r)-a](1+r)-a= A(1+r)2-a (1+r)-a 第 3 月末欠款数 [A(1+r)2-a (1+r)-a](1+r)-a =A(1+r)3-a (1+r)2-a(1+r)-a …… 第 n 月末欠款数
A(1 ? r )n ? a(1 ? r )n ?1 ? a(1 ? r )n ?2 ? ? ? a(1 ? r ) ? a ? 0

得:

a ? A(1 ? r )n ?

r (1 ? r )n ? 1
0.004455 ? 942.37 1.004455144 ? 1

对于 12 年期的 10 万元贷款, =144,=4.455‰∴ a ? 100000 ? 1.004455144 ? n r 对于 15 年期的 15 万元贷款,n=180,r=5.025‰ ∴ a ? 150000 ? 1.005025180 ?
0.005025 ? 1268.22 1.005025180 ? 1

由此可知,汪先生家前 12 年每月还款 942.37+1268.22=2210.59 元,后 3 年每月还 款 1268.22 元. (2)至 12 年末,汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款
X ? A(1 ? r)144 ? a(1 ? r)143 ? a(1 ? r)142 ? ? ? a(1 ? r ) ? a

其中 A=150000,a=1268.22,r=

5.025‰ ∴X=41669.53 再加上当月的计划还款数 2210.59 元,当月共还款 43880.12 元. 需要提及的是,本题的计算如果不许用计算器,就要用到二项展开式进行估算,这在 2002 年全国高考第(12)题中得到考查.


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