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(四川专版)2016高考数学二轮复习 专题十一 数列求和及数列的简单应用课件 理


核 心 知 识 聚 焦 考 点 考 向 探 究

专题十一

数列求和及数列的 简单应用

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第11讲

数列求和及数列的简单应用

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1 1.[2015· 安徽卷] 已知数列 {an}中,a1=1,an=an- 1+2 (n≥2),则数列{an}的前 9 项和等于________.
[答案] 27

1 【解析】 由 an=an-1+2 (n≥2) 得, 数列{an}是以 1 为首项, 1 9× 8 1 以2为公差的等差数列,因此 S9=9× 1+ 2 × 2=27.

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第11讲

数列求和及数列的简单应用

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2. [2013· 重庆卷] 已知{an}是等差数列, a1=1, 公差 d≠0, Sn 为其前 n 项和,若 a1,a2,a5 成等比数列,则 S8= ________.
[答案] 64

【解析】设数列{an}的公差为 d,则(1+d)2=1· (1+ 4d ) ,解得 d = 2 或 d = 0 (舍去) ,所以 S8 = 8× 1+ 8× (8-1) × 2=64. 2

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数列求和及数列的简单应用

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3.[2015· 上海卷改编] 已知数列{an}与{bn}满足 an+1- an=2(bn+1-bn),n∈N*.若 bn=3n+5,且 a1=1,则数 列{an}的前 10 项和 S10=________.
[答案] 280

[解析] an+1-an=2 (bn+1-bn) =6, 故数列{an}是首项为 1、 10× 9 公差为 6 的等差数列,所以 S10=10× 1+ 2 × 6=280.

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数列求和及数列的简单应用

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4.[2013· 浙江卷改编] 在数列{an}中,an=11-n,则数 列{|an|}的前 n 项和为________.

[答案]

? 1 2 21 ?-2n + 2 n(n≤11), ? ?1n2-21n+110(n≥12). 2 ?2

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数列求和及数列的简单应用

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[解析] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.当 n≤11 时,|a1|+|a2| 1 2 21 +|a3|+…+|an|=-2n + 2 n, 1 2 21 当 n≥12 时, |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=2n - 2 n+110. 综 上 所 述 , |a1| + |a2| + |a3| + … + |an| = ? 1 2 21 ?-2n + 2 n(n≤11), ? ?1n2-21n+110(n≥12). 2 ?2

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数列求和及数列的简单应用
? ? 1 ? ? ? an=13-3n, 则数列 a a ?的前 ? n n+1? ? ?

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5. [2014· 全国卷改编] 已知 项和 Tn=________.

n

n [答案] 10(10-3n)
1 1 ? 1 1? ? [解析] =3?10-3n-13-3n? ?, anan+1 ? ? ? 1 1 ? 1 ?1 1 ? ?1 1? 1 ? 所以 Tn = 3 [ ?7-10? + ?4-7? + … + ?10-3n-13-3n? ] = ? 3 ? ? ? ? ? ? ? 1 1? n ? ? - ?10-3n 10?=10(10-3n). ? ?

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数列求和及数列的简单应用

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6. [2014· 江西卷改编] 已知数列{an}的通项公式是 an=(2n -1)3n-1,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________.
[答案] (n-1)3n+1

[解析] Sn=1· 30+3· 31+5· 32+…+(2n-1)· 3n-1, 3Sn=1· 31+3· 32+5· 33+…+(2n-1)· 3n, 相减得:-2Sn=1+2(31+32+…+3n-1)-(2n-1)· 3n =-2-(2n-2)3n, 所以 Sn=(n-1)3n+1.

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数列求和及数列的简单应用

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7.[2012· 湖南卷改编] 某公司一下属企业从事某种高科技产 品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元,将其投入生 产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率 与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上 缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元,则 an+1 与 an 的 关系式是________.

3 [答案] an+1=2an-d

3 [解析] an+1=an(1+50%)-d=2an-d.

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数列求和及数列的简单应用

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8.[2015· 江苏卷] 设数列{an}满足 a1=1,且 an+1-an=n ?1? * +1(n∈N ),则数列?a ?前 10 项的和为________. ? n?
[答案] 20 11

因为 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2 n(n+1) -a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1= ,所以 2 1 2 1 1 1 1 1 10 ,故 a =2[(1-2)+(2 an=n(n+1)=2(n-n+1) n=1n [解析]
?

1 1 1 20 -3)+…+(10-11)]=11.
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数列求和及数列的简单应用

—— 教师知识必备 ——
知识必备
数 列 求 和 常 及 用 数 求 列 和 的 公 简 式 单 应 用 正整数 等比 数列 等差 数列

数列求和及数列的简单应用
n(n-1) n(a1+an) Sn=na1+ d= ,特别 1+2+3+…+n= 2 2 n(n+1) 2
? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? , q ? 1, ? 1 ? q 1 ? q 2 n-1 Sn= ? 特别 1 + 2 + 2 +…+ 2 =2n-1 ? na , q ? 1 ? 1

12 + 22 + 32 + … + n2 =

(2n+1) (1 + 2 + … + n) = 3

平方和 n(n+1)(2n+1) 6 正整数 立方和
?n(n+1)?2 ? 1 +2 +…+n =(1+2+…+n) =? 2 ? ?
3 3 3 2

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数列求和及数列的简单应用

—— 教师知识必备 ——
数 列 求 和 常 及 用 数 求 列 和 的 方 简 法 单 应 用 错位 相减法 倒序 相加法 裂项法 公式法 如 an=2+2n,an=3n 分组法 如 an=2n+2n,an= (-1)nn+2 1 1 如 an= = n(n+1) n 1 - n+1 如 an=(2n-1)· 2n
0 1 如 Cn +Cn +…+kCk n n +…+nCn

常用裂项方法: 1 ? 1 1?1 =k?n-n+k?; n(n+k) ? ? 1 ? 1 1? 1 - ?; = ? n2-1 2?n-1 n+1? 1 ? 1 1? 1 - ? ?; = 4n2-1 2?2n-1 2n+1? n+1 = n(n-1)· 2n 1 1 - - (n-1)· 2n 1 n·2n
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数列求和及数列的简单应用

—— 教师知识必备 ——
数 列 求 和 及 数 列 的 简 单 应 用 注:表中 n,k 均为正整数.
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等差数列

基本特征是均匀增加或者减少 基本特征是指数增长,常见的是增长率问题、 存款复利问题

等比数列

数列 模型 基本特征是指数增长的同时又均匀减少.如年 一个简单 收入增长率为 20%,每年年底要拿出 a(常数) 递推数列 作为下年度的开销, 记第 n 年的年收入为{an}, 则数列{an}满足 an+1=1.2an-a

第11讲

数列求和及数列的简单应用

? 考点一 ? 考向一 数列求和

数列求和 分组转化法求和

考 点 考 向 探 究

分组转化 ——利用分组的方法把项转化为便于求和的部分 数列求和 题型:选择、填空、解答 分值:5-12 分 热点:含有正负项交替的数列求和 难度:中等

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数列求和及数列的简单应用
已知函数
2 ? ?n ,n为奇数, f(n)=? 且 2 ? - n , n 为偶数, ?

例1

an=f(n)+f(n+

1),则 a1+a2+a3+…+a100=( A.0 B.100 C.-100 D.10 200

)

[答案] B
考 点 考 向 探 究

[解析] 由题意可得,a1+a2+a3+…+a100=12-22-22+32 + 32 - 42 - 42 + 52 + … + 992 - 1002 - 1002 + 1012 =- (1 + 2) + (3+2)-…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100) +(2+3+…+100+101)=-1+101=100.

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数列求和及数列的简单应用

[小结] 数列的项如果具有奇偶性、周期性,则可使用分组 转化法求和.

考 点 考 向 探 究

变式题 =an+1,

已知数列{an}中,a1=1,a2n=n-an,a2n+1

则 a1+a2+a3+…+a100= ________.

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数列求和及数列的简单应用

[答案] 1306

考 点 考 向 探 究

[解析] ∵an=n-a2n, an=a2n+1-1, ∴a2n+1+a2n=n+1, ∴a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a98+a99)=1+2+3+…+ 50=1275. 又 a100=50-a50=50-(25-a25)=25+a12+1=26+(6 -a6)=32-(3-a3)=29+(a1+1)=31, ∴a1+a2+a3+…+ a100=1275+31=1306.

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数列求和及数列的简单应用

? 考向二 数列求和

错位相减求和

考 点 考 向 探 究

错位相减求和——使用错位相减的方法求数列的前 n 项 和 题型:选择、填空、解答 分值:5-12 分 难度:中等 热点:等差数列、等比数列综合题中使用错位相减方法求和

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数列求和及数列的简单应用

例 2 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且 S1, 2S2,3S3 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

解:(1)设数列{an}的公比为 q,若 q=1,则 S1=a1 =1,2S2=4a1=4,3S3=9a1=9,S1+3S3=10≠2×2S2,
考 点 考 向 探 究

a1(1-qn) 1-qn 与已知矛盾,故 q≠1,所以 Sn= = . 1-q 1-q 由 S1,2S2,3S3 成等差数列,得 S1+3S3=2×2S2,即 1-q3 1-q2 1 1+3× =4× ,解得 q= (q=0 舍去),所以 an 3 1-q 1-q =a1·q
n-1

?1?n-1 =?3? . ? ?
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数列求和及数列的简单应用

?1?n-1 (2)由(1)得,bn=nan=n?3? , ? ? ?1?2 ?1?n-1 1 所以Tn=1+2×3+3×?3? +…+n?3? ,① ? ? ? ? ?1?2 ?1?3 ?1?n 1 1 ? ? ? ? ? ? 3Tn=3+2×?3? +3×?3? +…+n?3? ,② 9 3+2n?1?n-1 由①-②可解得Tn=4- 4 ?3? . ? ?

考 点 考 向 探 究

[小结] 错位相减求和法适用于一个等差数列与一个等 比数列对应项相乘后得出的数列的求和,但要注意求和的 准确性,注意相减后得出 n+1 项和式的结构.特别要注意 两种情况:(1)第 1 项到第 n 项组成等比数列;(2)第 1 项到 第 n 项不能组成等比数列,但第 2 项到第 n 项能组成等比 数列.在计算时要把各个部分计算准确.
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数列求和及数列的简单应用

变式题 在等差数列{an}中,公差 d≠0,a1=1 且 a1, a2 ,a5 成等比数列.在数列{bn}中,b1=3,bn+1=2bn- 1(n∈N*). (1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{an·(bn-1)}的前 n 项和 Tn.
考 点 考 向 探 究

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数列求和及数列的简单应用

考 点 考 向 探 究

2 解:(1)依题意得 a1=1,a2 (1+4d), 2=a1a5,即(1+d) =1· 解得 d=2,∴an=1+2(n-1)=2n-1. 在数列{bn}中,由 bn+1=2bn-1,得 bn+1-1=2(bn-1),∴ 数列{bn-1}是首项为 b1-1=2, 公比为 2 的等比数列, ∴bn-1 =2×2n-1=2n,即 bn=2n+1. (2)由(1)得 an·(bn-1)=(2n-1)· 2n, ∴ Tn = 1×2 + 3×22 + 5×23 + … + (2n - 3)· 2n - 1 + (2n - 1)· 2n, 2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)· 2n+(2n-1)· 2n+1, - + 两式相减得-Tn=2+2(22+23+…+2n 1+2n)-(2n-1)· 2n 1=2

22(1-2n 1) +2× -(2n-1)· 2n+1,整理得 Tn=6+(2n-3)2n+1. 1-2


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数列求和及数列的简单应用

?

考向三

裂项相消求和

数列求和

考 点 考 向 探 究

裂项相消求和——通过对数列的项分解裂项达到求和 的目的 题型:选择、填空、解答 分值:5-12 分 难度:中等 热点:在等差数列的综合题中使用裂项方法求和

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数列求和及数列的简单应用

例 3 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意的正整数 n, 都有 an=5Sn+1 成立. (1)求数列{an}的通项公式; ? 1 ? ? ? (2)设 bn=log4|an|,求数列?b ·b ?的前 n 项和 Tn. ? n+2? ? n ?
考 点 考 向 探 究

1 解:(1)当 n=1 时,a1=5S1+1,∴a1=-4. 又 an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1,∴an+1-an=5an+1, an+1 1 1 1 即 a =-4,∴数列{an}是首项为-4,公比为-4的等 n 比数列, ? 1?n ∴an=?-4? . ? ?
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数列求和及数列的简单应用
?? 1?n? (2)bn=log4??-4? ?=-n, ? ? ?? 1 ? 1 1 1? ?1 ∴ = = ?n-n+2? ?, bnbn+2 n(n+2) 2? ? ?1 ? 1 ? 1? ?1 1? 1? ?? ? ? ∴Tn=2??1-3?+?2-4?+…+?n-n+2?? ?= ? ? ? ?? ? ??

考 点 考 向 探 究

1 1 1 ? 2n+3 1? ? ? 3 1+2- - ?=4-2(n+1)(n+2). n + 1 n + 2 2? ? ?

[小结 ] 裂项相消求和的基本思想是把数列的通项分解 为两项的差,如 an=bn+1-bn 的形式,在求数列{an}的前 n 项和时就出现了相互抵消的项,最后的结果是两项(或者四 项)的和差.
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数列求和及数列的简单应用

?

考点二

数列的简单应用

数列的应用——等差数列、等比数列、简单递推数列模型 的应用 题型:选择、填空、解答 分值:5-12 分 难度:中等 热点:等差、等比数列、递推数列在数列模型问题中的应用

考 点 考 向 探 究

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第11讲

数列求和及数列的简单应用

考 点 考 向 探 究

例 4 甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液 300 ml, 从甲容器中取出 100 ml 溶液,将其倒入乙容器中搅匀,再从乙容器 中取出 100 ml 溶液,将其倒入甲容器中搅匀,称这为一次调和.已 知第一次调和后,甲、乙两种溶液的浓度分别为 a1=20%,b1=2%, 记第 n 次调和后甲、乙两种溶液的浓度分别为 an,bn(n∈N*). (1)请用 an,bn 分别表示 an+1 和 bn+1. (2) 经过多少次调和后,甲、乙两容器中溶液的浓度之差小于 0.1%?

100an+300bn 1 3 解:(1)由题意可得 bn+1= = 4 an + 4 bn , an + 1 = 100+300

100bn+1+200an 1 3 ? 2 2 1?1 3 1 =3bn+1+3an=3?4an+4bn?+3an=4an+4bn. 100+200 ? ? (2)由于题目中的问题是针对甲、乙两容器中溶液的浓度之 差,所以不妨直接考虑数列{an-bn}.
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数列求和及数列的简单应用
由(1)可得
?3 1 ? ?1 3 ? 1 ? ? ? an+1-bn+1= 4an+4bn - 4an+4bn?=2(an-bn),所 ? ? ? ?

考 点 考 向 探 究

1 以数列{an-bn}是以 a1-b1=0.18 为首项, 以2为公比的等比数列, ?1?n-1 ?1?n-1 1 ? ? ? ? 所以 an-bn=0.18× 2 .令 an-bn<0.001, 得2 < (n∈N*), 180 ? ? ? ? lg 180 所以 n - 1 > lg 2 = log2180(n∈N*) .由 27 < 180 < 28 ,得 7 < log2180<8,所以 n>8(n∈N*),即第 9 次调和后甲、乙两容器中 溶液的浓度之差小于 0.1%.

[小结] 数列应用题的解法一般是根据题设条件建立等 差或等比数列模型,然后用数列的知识,选用适当的方法 求解,最后返原(把数学问题的解结合实际问题的情景,选 择其符合实际问题的解).
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数列求和及数列的简单应用

—— 教师备用例题 ——

【配例 2 使用】已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项 1 和为 Sn,首项为 a1,且2,an,Sn 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若
?1? bn 2 an=? ? ?2?

例1

bn ,cn=a ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. n

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数列求和及数列的简单应用

1 解:(1)由题意知 2an=Sn+ ,an>0. 2 1 1 当 n=1 时,2a1=a1+2,∴a1=2. 1 1 当 n≥2 时,Sn=2an- ,Sn-1=2an-1- , 2 2 an 两式相减得 an=2an-2an-1,整理得 =2, an-1 1 ∴数列{an}是以 为首项,2 为公比的等比数列, 2 1 ∴an=2×2n-1=2n-2. - bn - (2)由(1)知 a2 =22n 4,∴bn=4-2n, n=2 4-2n 16-8n bn ∴cn=a = n-2 = 2n , 2 n
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数列求和及数列的简单应用
24-8n 16-8n 8 0 -8 ∴Tn=2+22+ 23 +…+ n-1 + 2n ,① 2 24-8n 16-8n 1 8 0 T = + +…+ 2 n 22 23 2n + 2n+1 .②
?1 1 1 ? 16-8n 1 ①-②,得2Tn=4-8?22+23+…+2n?- n+1 =4- 2 ? ?

1 ? 1? ? ? 2?1- n-1? ? 2 ? 16-8n 2? 1 ? ? ? 16-8n 4n 1 - - - 8× - n+1 =4-4? = n, + 2n 1? 1 2 2 2n 1 ? ? 1 -2 8n ∴Tn= n . 2

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例 2 【配例 3 使用】数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列{bn}满足 b1=a1,b4=S3. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; 1 1 (2)设 cn= ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,证明:Tn<2. bnbn+1

解:(1)∵an 是 Sn 和 1 的等差中项,∴Sn=2an-1. 当 n=1 时,a1=S1=2a1-1,∴a1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an- 2an-1, an ∴an=2an-1 ,即 =2, an-1

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∴数列{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, - ∴an=2n 1,Sn=2n-1. 设数列{bn}的公差为 d,则 b1=a1=1,b4=1+3d=7,∴d=2, ∴bn=1+(n-1)×2=2n-1. 1 1 1 (2) 证 明 : 由 (1) 知 cn = = =2 bnbn+1 (2n-1)(2n+1) ? 1 1 ? ? ? ?2n-1-2n+1?, ? ? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? ∴ Tn = 2 ?1-3+3-5+…+2n-1-2n+1? = ? 2 ? ? 1 ? 1? 1 ? * ∵n∈N ,∴Tn=2?1-2n+1? < ? 2. ? ?

1 ? ? 1 ? ? ? ? 2n ? 1 ? . 又

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数列求和及数列的简单应用

例 3 【配例 3 使用】[2013· 江西卷] 正项数列{an}的前 n 2 2 项和 Sn 满足:S2 - ( n + n - 1) S - ( n +n)=0. n n (1)求数列{an}的通项公式 an; n+1 (2)令 bn= 2,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明: (n+2)2an 5 对于任意的 n∈N ,都有 Tn< . 64
*

2 2 解:(1)由 S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0,得 [Sn-(n2+n)](Sn+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以 Sn>0,Sn=n2+n. 于是 a1=S1=2,n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n- 1)2-(n-1)=2n. 综上,数列{an}的通项为 an=2n.

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数列求和及数列的简单应用

n+1 (2)证明:由于 an=2n,bn= 2, (n+2)2an
? 1 n+1 1? ?1 ? - 2 则 bn= 2 . 2 2= (n+2) ? 4n (n+2) 16? ?n ?

1 ?1 ? 12 ? 12 ? 12 ? 12 ? 12 ? ? ? 1 2 ? 1 2 ? 12 ? 1 2 ? Tn= = ? n ? 1? ? n ? 1? n ? n ? 2 ? ? 16 ? ? 3 2 4 3 5 ?
? 1 ?1 ? 1 ? 1 1 1 1? 5 ? ? ? ? 2 1 + - - < 2 ? =64. 22 (n+1)2 (n+2)2? 16? ? ? 16 ?

?

?

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