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三角恒等变换和解三角形题型总结(有参考答案)


三角恒等变换和解三角形基本知识回顾
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:

(2009 年 11 月 19 日)

令? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ??? ? sin 2? ? 2sin ? cos ?

令? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ??? ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

       ?                   ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? tan ? ? tan ? 1+cos2?         ? cos 2 ?= 1 ? tan ? tan ? 2 1 ? cos2?        ?                sin 2 ?= 2 2 tan ?     tan 2? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? ? 如 (1) 下列各式中, 值为 的是 A、sin15? cos15? B、cos 2 ? sin 2 2 12 12 ? ? tan 22.5 1 ? cos 30 D、 (答:C); 2 ? 2 1 ? tan 22.5 (2)命题 P: tan( A ? B ) ? 0 ,命题 Q: tan A ? tan B ? 0 ,则 P 是 Q 的   tan ?? ? ? ? ?
A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件(答:C); (3) 已知 sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? )sin ? ? (4)

C、

3 7 , 那么 cos 2? 的值为____ (答: ) ; 5 25

1 3 的值是______(答:4); ? ? sin10 sin 80?
0 0

(5)已知 tan110 ? a ,求 tan 50 的值(用 a 表示)甲求得的结果是 果是

a? 3 ,乙求得的结 1 ? 3a

1 ? a2 ,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______(答:甲、乙都对) 2a

2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与 角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的 关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其 和差角的变换. 如? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

??? ? , ? ?? ? ? ? ? 等), 2 2 2 2 2 ? 1 ? 3 如 (1) 已知 tan(? ? ? ) ? ,tan( ? ? ) ? , 那么 tan(? ? ) 的值是_____ (答: ) ; 5 4 4 4 22 ? ? 1 ? 2 (2)已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 cos( ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,求 cos( ? ? ? ) 的 2 2 9 2 3 3 490 值(答: );(3)已知? , ? 为锐角, sin ? ? x,cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 5 729 3 4 3 x 的函数关系为______(答: y ? ? 1? x 2 ? x ( ? x ? 1) ) 5 5 5

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,? ? ? ? 2 ?

? ??

?

??

?

(2)三角函数名互化(切化弦),
2010 级高三数学 第1页

如(1)求值 sin 50 (1 ? 3 tan10 ) (答:1);
? ?

sin ? cos ? 2 1 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值(答: ) 1 ? cos 2? 3 8 (3)公式变形使用( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? 。 如 (1) 已知 A、 B 为锐角, 且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 , 则 cos( A ? B) =_____
(2)已知 (答: ?

2 ); 2
(2)设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ?

3 ,则此 4

三角形是____三角形(答:等边)

1 ? cos2 ? 1 ? cos2 ? , 与升幂公式: sin 2 ? ? 2 2 3 1 ? cos2 ? ?2cos 2 ? ,1 ? cos2 ? ?2sin 2 ? )。如(1)若? ? ( ? , ? ) ,化简 2
(4)三角函数次数的降升(降幂公式: cos ? ?
2

1 1 1 1 ? 2 ? ? cos 2? 为_____(答:sin ); cos x (2)函数 f ( x ) ? 5sin xcos x ? 5 3 2 2 2 2 2 5 ? 5? ? 3( x ? R ) 的单调递增区间为___________(答: [ k ? ? ,k ? ? ]( k ?Z ) ) 2 12 12 (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如(1) tan ?(cos ? ?sin ? )

?

sin ? ? tan ? 1 ? sin ? 2 ;(3)化简: (答: sin ? );(2)求证: ? ? ? cot ? ? csc ? 1 ? 2sin 2 1 ?tan 2 2 1 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ? 2 (答: 1 cos 2 x ) ? ? 2 2 tan( ? x) sin 2 ( ? x) 4 4 2 2 2 2 (6)常值变换主要指“1”的变换(1 ? sin x ? cos x ? sec x ? tan x ? tan x ? cot x

1 ? tan

?

3 ? tan ? ? sin ? ? ? 等),如已知 tan ? ? 2 ,求 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 3cos2 ? (答: ). 4 2 5 (7)正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、 sin x cos x ”的内存联系――“知一求二”,如(1)若 t 2 ?1 ),特别提醒:这里 t ? [? 2, 2] ; (2) sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ? __(答:? 2 4? 7 若? ? (0, ? ),sin ? ?cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。(答: ? );(3)已知 2 3 sin 2 ? ?2sin 2 ? ? ? ? k ( ? ? ? ) ,试用 k 表示 sin ? ?cos ? 的值(答: 1 ? k )。 1 ? tan ? 4 2
3、 辅助角公式中辅助角的确定:a sin x ? b cos x ? 限由 a, b 的符号确定,? 角的值由 tan ? ?

a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中? 角所在的象

b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。如(1)若方 a

程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________.(答:[-2,2]);(2)当函数

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y ? 2 cos x ? 3 sin x 取 得 最 大 值 时 , tan x 的 值 是 ______( 答 : ?

f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2 cos( x ? ? ) 是奇函数,则 tan ? = ( 答 : - 2) ; ( 4 ) 求 值 :

3 );(3)如果 2

3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? ________(答:32) 2 sin 20? cos 20?
2

4、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择,其标准有 二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数值)。如(1)若

);(2) ?ABC 中, 3sin A ?4cos B ?6,4sin B ? 3cos A ? 1 ,则 ?C =_______(答: 4 ? );(3)若 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? 且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 , cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 , 3 2? 求 ? ? ? 的值(答: ). 3 5、. 三角形中的有关公式: (1)内角和定理:三角形三角和为? ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记! 任意两角和与第三个角总互补, 任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 ? 三内角都是 锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平方和大于第三边的平方. ①正弦定理的 ? b ? c ? 2R (R 为三角形外接圆的半径).注意: sin B sin C a b 一些变式: ? i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ; ? ii ? sin A ? ,sin B ? ,sin C 2R 2R c ;? iii ? a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, b ? 2 R sin C ;②已知三角形两边一对角,求解三角形 ? 2R (2)正弦定理: a

? , ? ? (0, ? ) ,且 tan ? 、 tan ? 是方程 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的两根,则求? ? ? 的值______(答: 3?

sin A

时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解. (3)余弦定理:a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等, 常选用余弦定理鉴定三角
2 2 2

2bc

形的形状. (4)面积公式: S ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c) (其中 r 为三角形内切圆半径).如

2

2

2

?ABC 中,若 sin A cos B ? cos A sin B ? sin C ,判断 ?ABC 的形状(答:直角三角 形)。 特别提醒 :( 1 )求解三角形中的问题时,一定要注意 A ? B ? C ? ? 这个特殊性:
2 2 2 2 2

A? B C ? cos ;(2)求解三角形中含有边角混合关系 2 2 的问题时, 常运用正弦定理、 余弦定理实现边角互化。 如 (1)?ABC 中, A、 B 的对边分别是 a、b , ? 且 A=60 , a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条件的 ?ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、 不能确定 (答: C) ; (2) 在 ?ABC 中, A>B 是 sin A ? sin B 成立的_____条件 (答: 充要) ; 1 (3) 在 ?ABC 中, ( 1 ? tan A )( 1 ? tan B ) ? 2 , 则 log2 sinC =_____ (答: ; (4)在 ?ABC ? ) 2 中, a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,若( a ? b ? c )(sin A ? sin B ? sinC ) ? 3a sin B ,则 A ? B ? ? ? C ,sin( A ? B) ? sin C ,sin
a 2 ? b2 ? c2 ,则 ?C =____(答: ?C =____(答: 60 );(5)在 ?ABC 中,若其面积 S ? 4 3 30? );(6)在 ?ABC 中, A ? 60? , b ? 1 ,这个三角形的面积为 3 ,则 ?ABC 外接圆的直径
?

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是 _______ (答:

2 39 ); ( 7 ) 在△ ABC 中, a 、 b 、 c 是角 A 、 B 、 C 的对边, 3 1 B?C 1 9 2 2 = , b ? c 的最大值为 (答: ; );(8)在△ a ? 3, cos A ? , 则 cos 2 3 2 3 2
(答: 0 ? C ?

ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是

?

6 ? ABC 的 外 心 , 若 ?C ? 75 , 且 ?AOB, ?BOC, ?COA 的 面 积 满 足 关 系 式
S?AOB ? S?BOC ? 3S?COA ,求 ?A (答: 45? ).

);(9)设 O 是锐角三角形

两角和与差的三角函数

(2009 年 11 月 20 日)

例 1.求[2sin50° +sin10° (1+ 3 tan10° )]· 2 sin 2 80? 的值.
1? 解:原式= ?2 sin 50? ? sin10? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 sin10? ? ?? ? 2 sin 80? cos10? ? ? ??

= (2 sin 50? ? sin10? ?

cos10? ? 3 sin10? ) ? 2 sin 80? cos10?

? ? 1 3 cos10? ? sin10? ? ? 2 ? ? 2 cos10? = ?2 sin 50? ? 2 sin10? ? 2 cos10? ? ? ? ? ? ?

=? ? 2 sin 50? ?
?

2 sin10? sin 40? ? ? ? 2 cos10? cos10? ?

=

2 sin 60? ? 2 cos10? ? 2 2 sin 60? cos10?
3 ? 6. 2

=2 2?

变式训练 1:(1)已知? ∈(

3 ? ? , ? ),sin? = ,则 tan(? ? )等于( 5 2 4
C.-



A.

1 7

B.7

1 7


D.-7

(2) sin163° sin223° +sin253° sin313° 等于 ( A.-
1 2

B.

1 2

C.-

3 2

D.

3 2

解:(1)A

(2)B

例 2. 已知 α? ( 解:∵α- + α∈(
? 3? , 4 4
? 4

? 3 5 ? 3? ? 3? , ),β? (0, ), cos (α- )= ,sin( +β)= ,求 sin(α+β)的值. 4 5 13 4 4 4 4
3? 4

+β=α+β+
1 3

? 2

) β∈(0, ? 1 ?

? sin x ? 1 )

∴α-

3? ? ? 3? ∈(0, ) β+ ∈( ,π) 4 4 2 4

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∴sin(α-

4 ? )= 5 4

cos(
? 2

12 3? ? ? )=- 13 4

∴sin(α+β)=-cos[ +(α+β)] =-cos[(α-
3? ? 56 )+( ? ? )]= 65 4 4

变式训练 2:设 cos(? -

求 cos(? +β). ? π π π π ? π 解:∵ <? <π,0<β< ,∴ <α- <π,- < -β< . 2 2 4 2 4 2 2 故由 cos(? -

? 1 ? 2 π π )=- ,sin( -β)= ,且 <? <π,0<β< , 9 3 2 2 2 2

? ? 4 5 1 )=- ,得 sin(α- )= . 9 9 2 2

由 sin(

??? ? 5 ? 2 ? ? -β)= ,得 cos( -β)= .∴cos =cos[ (? - )-( -β) ] 3 3 2 2 2 2 2

= cos (? ?

?
2

) cos(

?
2

? ? ) ? sin (? ?

?
2

)sin(

?

1 5 2 4 5 ? ? ? ?) =? ? 9 3 3 9 2
2

?7 5? 7 5 ??? 239 ? ∴cos(? +β)=2cos2 -1= 2 ? ? -1=- . ? ? ? 729 2 27 ? 27 ?
例 3. 若 sinA=
5 10 ,sinB= ,且 A,B 均为钝角,求 A+B 的值. 5 10 5 10 ,sinB= , 5 10

解 ∵A、B 均为钝角且 sinA= ∴cosA=- 1 ? sin A =2

2 5

=-

2 5 , 5

cosB=- 1 ? sin B =2

3 10

=-

3 10 , 10

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB =??
? 2 5 ? ? 3 10 ? ? ×? ? ? - 5 × 10 = 2 ? ? ? 5 ? ? 10 ? 2 10 ? ? 5



? ? <A< ? , <B< ? , 2 2 ∴ ? <A+B<2 ? ② 7? 由①②知,A+B= . 4
又∵ 变式训练 3:在△ABC 中,角 A、B 、C 满足 4sin2 解 在△ABC 中,A+B+C=180° , 由 4sin2
7 A?C -cos2B= , 2 2 7 A?C -- cos2B= ,求角 B 的度数. 2 2

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得 4·

7 1 ? cos( A ? C ) -2cos2B+1= , 2 2 1 2

所以 4cos2B-4cosB+1=0. 于是 cosB= ,B=60° .
1 例 4.化简 sin2 ? · sin2 ? +cos2 ? cos2 ? - cos2 ? · cos2 ? . 2 解 方法一 (复角→单角,从“角”入手) 1 原式=sin2 ? · sin2 ? +cos2 ? · cos2 ? - · (2cos2 ? -1)· (2cos2 ? -1) 2 1 =sin2 ? · sin2 ? +cos2 ? · cos2 ? - (4cos2 ? · cos2 ? -2cos2 ? -2cos2 ? +1) 2 1 =sin2 ? · sin2 ? -cos2 ? · cos2 ? +cos2 ? +cos2 ? 2 1 =sin2 ? · sin2 ? +cos2 ? · sin2 ? +cos2 ? 2 1 1 1 =sin2 ? +cos2 ? - =1- = . 2 2 2 方法二 (从“名”入手,异名化同名) 1 原式=sin2 ? · sin2 ? +(1-sin2 ? )· cos2 ? - cos2 ? · cos2 ? 2 1 =cos2 ? -sin2 ? (cos2 ? -sin2 ? )- cos2 ? · cos2 ? 2 1 =cos2 ? -sin2 ? · cos2 ? - cos2 ? · cos2 ? 2

=cos2 ? -cos2 ? · ? sin2 ? ? cos 2? ?
? ?

?

1 2

?

= =

1 ? cos 2? -cos2 ? 2

2 2 · ?sin ? ? (1 ? 2 sin ? )?

? ?

1 2

? ?

1 ? cos 2? 1 1 - cos2 ? = . 2 2 2 方法三 (从“幂”入手,利用降幂公式先降次) 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 原式= · + · - cos2 ? · cos2 ? 2 2 2 2 2 1 1 1 1 = (1+cos2 ? · cos2 ? -cos2 ? -cos2 ? )+ (1+cos2 ? · cos2 ? +cos2 ? +cos2 ? )- · cos2 ? · cos2 ? = . 4 4 2 2 方法四 (从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方) 1 原式=(sin ? · sin ? -cos ? · cos ? )2+2sin ? · sin ? · cos ? · cos ? - cos2 ? · cos2 ? 2 1 1 =cos2( ? + ? )+ sin2 ? · sin2 ? - cos2 ? · cos2 ? 2 2 1 =cos2( ? + ? )- · cos(2 ? +2 ? ) 2 1 1 =cos2( ? + ? )- · [2cos2( ? + ? )-1]= . 2 2
? ? ? 变式训练 4:化简: (1) 2 sin ? ? ? x ? + 6 cos ? ? x ? ; ?4 ? ?4 ?

?

?

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(2)

2 cos 2 ? ? 1 . ?? ? ?? ? 2 tan ? ? ? ? sin 2 ? ? ? ? ?4 ? ?4 ?
?1 3 ?? ? ?? ?? ? x? ? ? cos ? ? x ?? ?4 ? 2 ?4 ?? ?

解 (1)原式=2 2 ? sin ?
?2 ?

? ? ? =2 2 ?sin sin ? ? ? x ? ? cos cos? ? x ? ? 6 ?4 6 ? ?4 ?? ?

?

?

?

?

?

?

? =2 2 cos ? ? ? ? x ? =2 2 cos(x?6 4 ?

?

?

? 12

).

(2)原式=

cos 2? cos 2? = =1. cos 2? 1 ? tan ? ? ?? ?? ( 1 ? sin 2 ? ) ?1 ? cos? ? 2? ?? 1 ? sin 2? 1 ? tan ? ? ?2 ??

二倍角的正弦、余弦、正切
sin 40?(1 ? 2 cos 40?) 2 cos2 40? ? cos 40? ? 1

(2009 年 11 月 21 日)

例 1. 求值: 解:原式=

sin 40 ? ? sin 80 ? cos 40 ? ? cos 80 ?

= cos( 60 ? ? 20 ?) ? cos( 60 ? ? 20 ?) = 3 变式训练 1: (cos A.- 解:D 例 2. 已知 α 为锐角,且 tan ? ? ,求 解:∵α 为锐角 ∴ =
sin 2? cos ? ? sin ? sin 2? cos 2?
2 = sin? (2 cos ? ? 1)

sin( 60 ? ? 20 ?) ? sin( 60 ? ? 20 ?)

?
12

? sin
1 2

?
12

) (cos

? 12

+sin
1 2

? 12

)= D.

( )
3 2

3 2

B.-

C.

1 2

sin 2? cos? ? sin? 的值. sin 2? cos 2?

2 sin? cos? cos2?

5 1 = 1 ? tan 2 ? = 4 cos ?

变式训练 2:化简:

2 tan(

?
4

2 cos 2 ? ? 1 ? ? ) ? sin 2 (

?
4

??)

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解:原式=
2 sin( cos(

? ?
4

cos 2? ??) ??) ? cos 2 (

=1
?
4 ??)

4

例 3.已知 f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x ; (1) 求 f (
25? ) 的值; 6
25 1 ? 6 2

(2) 设? ? (0, ? ), f ( ) ? ?
2
cos 25? 3 ? 6 2

?

1 4

3 ,求 sinα 的值. 2

解:(1)∵ sin ∴f(

25? 25? 25? 25? ) ? ? 3 cos 2 ? sin cos ?0 6 6 6 6
3 3 1 cos 2 x ? ? sin 2 x 2 2 2

(2) f ( x) ? ∴f( )?
a 2

3 1 3 1 3 cos ? ? sin? ? ? ? 2 2 2 4 2

16sin22-4sinα-11=0 解得 sin ? ? ∵ 2 ? (0, ? ) ?sin? ? 0 变式训练 3:已知 sin( 解:cos( =2sin2(
?
6

1? 3 5 8
1? 3 5 8

故 sin? ? ?

1 2? ? ? )= ,求 cos( ? 2? )的值. 3 3

2? ? +2α)=2cos2( +α)-1 3 3

7 ? -α) -1=- 9 6

例 4.已知 sin2 2α+ sin 2α cosα-cos2α=1,α? (0, 解:由已知得 sin22α+sin2αcosα-2cos2α=0 即(sin2α+2cosα) (sin2α-cosα)=0 cos2α(1+sinα) (2sinα-1)=0 ∵α∈(0, ) cosα≠0 sinα≠-1 ∴2sinα=1 sinα=
1 2

? ),求 sinα、tanα 的值. 2

? 2

∴tanα=

3 3

变式训练 4:已知 α、β、r 是公比为 2 的等比数列 (? ? [0,2? ]) ,且 sinα、sinβ、sinr 也成等比数列, 求 α、β、r 的值. 解:∵α、β、r 成公比为 2 的等比数列. ∴β=2α,r=4α ∵sinα、sinβ、sinr 成等比数列 ∴
sin ? sin r sin 2? sin 4? ? ? ? ? cos ? ? 2 cos 2 2 ? 1 sin? sin ? sin? sin 2?

即 2 cos 2 2 ? cos ? ? 1 ? 0 ,解得 cosα=1 或 cos ? ? ?

1 2

当 cosα=1 时,sinα=0 与等比数列首项不为零矛盾故 cosα=1 舍去
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当 cos ? ? ? 时,∵2∈[0,2π] ∴ 2 ? ∴? ?

1 2

2? 2? 或2 ? 3 3

2? 4? 8? 4? 8? 16? 或? ? , ? ? , r ? ,? ? ,r ? 3 3 3 3 3 3

简单的三角恒等变换
例 1: 不查表求值

(2009 年 11 月 22 日) .

2 cos10? ? sin 20? = cos 20?

例 2:已知

sin

x x ? 2 cos ? 0 2 2

(1)求 tan x 的值; (2)求

cos 2 x 2 cos( ? x) ? sin x 4

?

的值.

解析:(1)由 sin

x x x ? 2 cos ? 0 , ? tan ? 2 , 2 2 2

x 2 ? 2? 2 ? ? 4 . ? tan x ? x 1 ? 22 3 1 ? tan 2 2 2 tan
(2) 原式=

cos2 x ? sin 2 x 2( 2 2 cos x ? sin x) sin x 2 2

?

(cos x ? sin x)(cos x ? sin x) (cos x ? sin x) sin x

?

cos x ? sin x 3 1 ? cot x ? 1 ? (? ) ? 1 ? . sin x 4 4

【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手. 例 3. (福建省师大附中 2008 年高三上期期末考试)

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设向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) ,且0 ? ? ? ? ? ? , 若 a ? b ? 求 tan ? 的值。 【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系. 解析:
? a ? b ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? cos(? ? ? ) ?
? ?

?

?

?

?

4 4 , tan ? ? , 5 3

4 5

4 5 又 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 0

3 5 3 ? tan(? -? )=4 4 又 ? tan? = 3 ? sin(? -? )=3 4 ? ? tan(? ? ? ) ? tan ? 7 4 3 ? tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? ? ? 3 4 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 24 1 ? (? ) ? 4 3

【名师指引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换 、例 4.(2007· 四川 )已知 cos ? ? (Ⅰ)求 tan 2? 的值.(Ⅱ)求 ? . 【解题思路】由同角关系求出 tan ? 再求 tan2 ? ;又 ? ? ? ? ?? ? ? [解析](Ⅰ)由 cos ? ? ,0 ? ? ? ∴ tan ? ?

? 1 13 , cos(? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14

? 结合角 ? 的范围定角。
2

1 7

?

1? 4 3 ,得 sin ? ? 1 ?cos 2 ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 7 ?7?

sin ? 4 3 7 2 ? 4 3 ? ? ? 4 3 ,于是 tan2 ? ? 2tan ? ? 2 cos ? 7 1 1 ? tan ? 1 ? 4 3

?

?

2

8 3 ?? 47

(Ⅱ)由 0 ? ? ? ? ?

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2
2

又∵ cos ?? ? ? ? ?

13 ? 3 3 13 ,∴ sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 14 14 ? 14 ?

由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得: cos ? ?cos ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?

? 1 13 4 3 3 3 1 ? cos ? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? 7 14 7 14 2 3
【名师指引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以 及计算能力。
2010 级高三数学 第 10 页

例题 5:(08 湖北卷 16) 已知函数 f (t ) ?

1? t 17? , g ( x) ? cos x ? f (sin x) ? sin x ? f (cos x), x ? (? , ). 1? t 12

(Ⅰ)将函数 g ( x) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0 ,? ? 0 ,? ? [0, 2? ) )的形式; (Ⅱ)求函数 g ( x) 的值域. 本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识,考查三角恒等变换、代数式的 化简变形和运算能力.(满分 12 分) 解:(Ⅰ) g ( x) ? cos x?

1 ? sin x 1? cos x ? sin x? 1 ? sin x 1? cos x

? cos x?

(1 ? sin x) 2 (1 ? cos x) 2 ? sin x ? cos 2 x sin 2 x

1 ? sin x 1 ? cos x ? cos x? ? sin x? . cos x sin x

? 17? ? ? x ? ? ?, ? ,? cos x ? ? cos x, sin x ? ? sin x, ? 12 ?

1 ? sin x 1 ? cos x ? g ( x) ? cos x? ? sin x? ? cos x ? sin x

? sin x ? cos x ? 2
= 2 sin ? x ? (Ⅱ)由 ?<x ?

? ?

?? ? ? 2. 4?

17? 5? ? 5? 得 <x ? ? , . 12 4 4 3

? 5? 3? ? ? 3? 5? ? ?sin t 在 ? , ? 上为减函数,在 ? , ? 上为增函数, ? 4 2? ? 2 3?
又 sin

5? 5? 3? ? 5? ? 17? ? (当 x ? ? ?, ), <sin ,? sin ? sin( x ? )<sin 2 ? 3 4 2 4 4 ? ?
? 4 2 ? , ?? 2 ? 2 ? 2 sin( x ? ) ? 2< ? 3, 2 4

即 ?1 ? sin( x ? )< ?

故 g(x)的值域为 ? ? 2 ? 2, ?3 .

?

?

3x x 2sinx 例 6::证明 tan -tan = 2 2 cosx+cos2x
2010 级高三数学 第 11 页

3x x 3x x 【解题思路】细心观察已知等式中的角,发现它们有隐含关系: + =2x, - =x 2 2 2 2

? 2 -2 =x

3x

x

3x x 3x x ∴sinx=sin cos -cos sin 2 2 2 2

① ②

3x x 又 cosx+cos2x=2cos cos 2 2 ①÷ ②即得: 3x x sin sin 2 2 2sinx 3x x = - =tan -tan . 3x x 2 2 cosx+cos2x cos cos 2 2 【名师指引】三角恒等式的证明在高考中出现较少,方法与化简类似. 例题 7:.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ (1) (2) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期. 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=

? 2 )+sin x. 3

1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

解: (1) f(x)=cos(2x+

? ? 1 ? cos2 x 1 3 ? ?sin 2 x sin ? ? ? sin 2 x )+sin 2 x.= cos2 xcos 3 3 2 2 2 3
1? 3 ,最小正周期? . 2
所以 sin C ?

所以函数 f(x)的最大值为

(2) f ( ) =

c 2

1 3 1 ? sin C =- , 2 2 4

3 , 2

因为 C 为锐角,

所以 C ?

?
3

,

又因为在 ? ABC 中, cosB= ,

1 3

所以 sin B ?

2 3, 3

所以

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

2 1 1 3 2 2? 3 2? ? ? ? . 3 2 3 2 6

【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及 三角形中的三角关系. 例题 8:(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2 sin x cos
2

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(1)求? .的值; (2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ?

2 , f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2

2010 级高三数学

第 12 页

解: (1) f ( x) ? 2sin x ?

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 ,由诱导公式知 sin ? ? 1 ,因为

0 ? ? ? ? ,所以? ?

?
2

.所以 f (x) ?sin( x ? ) ? cos x

?

2

(2)因为 f ( A) ?

3 3 ? ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? .又因为 2 2 6 b sin A 1 2 a b ? 2 ? ? ,也就是 sin B ? , ? a 2 2 sin A sin B

a ? 1, b ? 2 , 所以由正弦定理,得
因为 b ? a ,所以 B ?

?
4

或B ?

3? . 4 7? 3? ? 3? ? ;当 B ? 时, C ? ? ? ? ? . 12 4 6 4 12

当B ?

?
4

时, C ? ? ?

?
6

?

?
4

?

【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质, 并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.

解三角形

(2009 年 11 月 23 日)

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例题 2: 2009 全国卷Ⅰ理) 在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、 已知 a ? c ? 2b , b、 c,
2 2

且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) a ? c ? 2b 左侧是二次的右
2 2

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侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin Acos C ?3cos A sin C , 过 多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破 口而失分. 解法一:在 ?ABC 中? sin A cos C ? 3cos A sin C, 则由正弦定理及余弦定理 有: a ?

a 2 ? b2 ? c2 b2 ? c2 ? a 2 ?3 ?c, 化简并整理得: 2(a 2 ? c 2 ) ? b 2 .又由已知 2ab 2bc

. a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0( 舍) 解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 。
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ?2 ?????????????① 又 sin A cos C ? 3cos Asin C ,?sin A cos C ? cos Asin C ? 4cos Asin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ?4cos A sin C
由正弦定理得 sin B ? sin C ,故 b ? 4c cos A ?????????② 由①,②解得 b ? 4 。 评析:从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、 提高自己对 问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒: 两纲中明确不再考的知识和方法了解就 行,不必

b c

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2010 级高三数学

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三角恒等变换和解三角形测试题
一、选择题
1. 已知 x ? (? A.
7 24

?
2

,0) , cos x ?
? 7 24

4 ,则 tan 2 x ? ( 5
24 7



B.

C.

D.

?

24 7

2. 函数 y ? 3sin x ?4cos x ? 5 的最小正周期是( A.



? 5

B.

? 2

C.

?

D.

2?


3. 在△ABC 中, cos A cos B ? sin A sin B ,则△ABC 为( A. 锐角三角形
0

B. 直角三角形
0

C. 钝角三角形
0 0

D. 无法判定

4. 设 a ? sin14 ? cos14 , b ? sin16 ? cos16 , c ? 则 a, b, c 大小关系( A. C. )

6 , 2

a?b?c c ? b? a

B. D.

b?a?c a ? c? b


5. 函数 y ?

2sin(2 x ? ? )cos[2( x ? )] ? 是(

A. 周期为

? 的奇函数 4 ? 的奇函数 2

B. 周期为

? 的偶函数 4 ? 的偶函数 2


C. 周期为

D. 周期为

6. 已知 cos2 ? ?

2 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为( 3
11 18
C.
0

A.

13 18

B.

7 9

D.

?1
0

7. 在△ABC 中,若 C ? 90 , a ? 6, B ? 30 ,则 c ? b 等于( A. 1 B.



?1

C.

2 3

D.

?2 3


8. 若 A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( A. s i nA B. c o s A C.

t a nA

D.

1 t a nA

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第 17 页

9. 在△ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A ? sin B, 则△ABC 的形状是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 10. 等腰三角形一腰上的高是 3 ,这条高与底边的夹角为 60 0 , 则底边长为( A. )

2

B.

3 2

C.

3

D.

2 3

0

11. 在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( A.

30 0 或60 0

B.

45 0 或60 0

C. 120 或60

0

D. 30 或150 )
0

0

0

12. 边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( A. 90
0

B. 120

0

C. 135

0

D. 150

二、填空题
tan40 1. 求值: tan20 ?
0 0 0 ? 3tan20 tan40 0

? _____________.

2. 若

1 ? tan ? 1 ? 2008, 则 ? tan 2? ? 1 ? tan ? cos 2?

.

3. 函数 f ( x ) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是___________. 4. 已知 sin

?
2

? cos

?
2

?

2 3 , 那么 sin ? 的值为 3

, cos 2? 的值为

.

5.

?ABC 的三个内角为 A 、 B 、 C ,当 A 为
且这个最大值为 .
0

时, cos A ?2cos

B?C 取得最大值, 2

6. 在 Rt △ABC 中, C ? 90 ,则 sin A sin B 的最大值是_______________. 7. 在△ABC 中,若 a ? b ? bc ? c , 则A ? _________.
2 2 2

8. 在△ABC 中,若 b ? 2, B ? 30 , C ? 135 , 则a ? _________.
0 0

9. 在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶13 ,则 C ? _____________. 10. 在△ABC 中, AB ?

6 ? 2 , C ? 300 ,则 AC ?BC 的最大值是________.

三、解答题
1. 已知 sin ? ?sin ? ? sin ? ? 0,cos ? cos ?

?cos ?

?0, ?
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求 cos( ? ? ? ) 的值.

2010 级高三数学

2. 若 sin ? ? sin ? ?

2 , 求 cos? ? cos ? 的取值范围. 2

3. 求值:

1 ? cos20 0 1 ? sin10 0 (tan ? 5 0 2sin20

0

tan5 ? )0

4. 已知函数 y ? sin

x x ? 3 cos , x ? R. 2 2

(1)求 y 取最大值时相应的 x 的集合;

(2)该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到 y ? sin x( x ? R) 的图象.

5. 在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ? c cos C, 则△ABC 的形状是什么?

6. 在△ABC 中,求证:

a b cos B cos A ? ? c( ? ) b a b a

2010 级高三数学

第 19 页

7. 在锐角△ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cosC .

8. 在△ABC 中,设 a ? c ? 2b, A ? C ?

?
3

, 求 sin B 的值.

参考答案
一、选择题 1. D

x ? (?

?

4 3 3 2 tan x 24 , 0) , cos x ? ,sin x ? ? , tan x ? ? , tan 2 x ? ?? 2 2 5 5 4 1 ? tan x 7 2? ? 2? 1
2010 级高三数学 第 20 页

2. D

y ? 5sin( x ? ? ) ? 5, T ?

3. C 4. D 5. C

cos A cos B ? sin A sin B ? cos( A ? B) ? 0, ? cos C ? 0,cos C ? 0, C 为钝角
a ? 2 sin 590 , b ? 2 sin 610 , c ? 2 sin 600
y ? ? 2 sin 2 x cos 2 x ? ? 2 2? ? sin 4 x ,为奇函数,T ? ? 2 4 2

6. B

1 sin 4 ? ? cos 4 ? ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) 2 ? 2sin 2 ? cos 2 ? ? 1 ? sin 2 2? 2 1 11 2 ? 1 ? (1 ? c o s? 2 ? ) 2 18

7. C 8. A 9. C

b ? tan 300 , b ? a tan 300 ? 2 3, c ? 2b ? 4 4, c ? b ? 2 3 a
0 ? A ? ? ,sin A ?0

cos A ? sin(

?
2

?A ) ?sin B ,

?
2

?A , B 都是锐角,则

?
2

? A ? B, A ? B ?

?
2

,C ?

?
2

10. D 作出图形 11. D

1 b ? 2a sin B,sin B ?2sin A sin B ,sin A ? , A ? 30 2

0

或150

0

12. B 设中间角为? ,则 cos ? ? 二、填空题 1.

52 ? 82 ?72 1 0 ? , ? ?60 ,180 2 ?5 ?8 2 tan 200 ? tan 400 ? 3 1 ? tan 200 tan 400
0 ta n ?20 0

0

60 ?

0

120 ?

0

为所求

3

tan 600 ? tan(200 ? 400 ) ?
0 0 3? 3 tan 2 0 tan 4 ?0

tan 40

2.

2008
?

1 1 s i n?2 ?1 s ? in 2 ?tan ? 2? ? ? cos ? 2 c o? s2 c? os 2 ? cos 2
(cos ? ? sin ? )2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? ? ? ? 2008 cos 2 ? ? sin 2 ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ?

3.

?
1 7 , 3 9

f ( x) ? c o s 2 x?

3 sin x? 2

? 2? 2 co x? s ( 2,T ? ) ? ? 3 2

4.

(sin

?

? 4 1 7 ? cos )2 ? 1 ? sin ? ? ,sin ? ? , cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 2 2 3 3 9

2010 级高三数学

第 21 页

5.

3 6 00 , 2

B? C c o sA ? 2 c o s ? 2 ? ?2sin 2

cA o? s

A 2 s? i n? 2

A 12 2? sin 2

A 2 sin 2

A A A 1 3 ? 2sin ? 1 ? ?2(sin ? ) 2 ? 2 2 2 2 2
max

当 sin

A 1 B?C ? ,即 A ? 600 时,得 (cos A ?2cos ) 2 2 2

?

3 2

6.

1 2
0

1 1 sin A sin B ? sin A cos A ? sin 2 A ? 2 2
c o sA ? b2 ? c 2 ? a 2 1 0 ?? A , ? 12 0 2bc 2
a b b sin A 6 ?2 ? ,a ? ? 4sin A ? 4sin150 ? 4 ? sin A sin B sin B 4

7. 120

8. 9.

6 ? 2 A ? 150 ,

120 0

a ∶ b ∶ c ? sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶8 ∶13 ,
令 a ? 7k , b ? 8k , c ? 13k cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ? , C ? 1200 2ab 2

10.

4

AC BC AB AC ? BC AB ? ? , ? , A C? B C sin B sin A sin C sin B ? sin A sin C ? 2( 6 ? 2)(sin A ? sin B) ? 4( 6 ? 2)sin
? 4cos A? B ? 4, ( AC ? BC ) max ? 4 2

A? B A? B cos 2 2

三、解答题 1. 解: sin ? ?sin ? ? ? sin ? ,cos ? cos ?

? ?cos ? ,?

(sin ? ? sin ? )2 ? (cos ? ? cos ? )2 ? 1,

1 2 ? 2cos( ? ? ? ) ? 1, cos( ? ? ? ) ? ? . 2
2. 解: 解:原式 ?
0 2 cos 2 100 sin 50 0 cos 5 ? sin10 ( ? ) 4sin100 cos100 sin 50 cos 50 0

?

cos100 cos10 0 ? 2sin 20 0 ? 2 cos10 ? 2sin100 2sin100

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第 22 页

?

0 0 0 cos100 ? 2sin(30 0 ? 10 0 ) cos10 0 ? 2sin 30 cos10 ? 2cos 30 sin10 ? 2sin100 2sin100

0

? c o s 300?
3. 解: y ? sin

3 2

x x x ? ? 3cos ?2sin( ? ) 2 2 2 3

(1)当

x ? ? ? ? ? 2k? ? ,即 x ? 4k? ? , k ? Z 时, y 取得最大值 2 3 2 3

? ? ? ? x | x ? 4k? ? , k ? Z ? 为所求 3 ? ?
(2) y ? 2sin( ?
? 右移 个单位 x ? x 横坐标缩小到原来的2倍 3 ) ????? ? y ? 2sin ??????? ? y ? 2sin x 2 3 2

纵坐标缩小到原来的2倍 ??????? ? y ? sin x

4. 解: a cos A ?bcos B ?ccos C ,sin A cos A sin ? cos B

Bsin ? cos C

C

sin 2 A ? sin 2B ? sin 2C, 2sin( A ? B) cos( A ? B) ? 2sin C cos C cos( A ? B) ? ? cos( A ? B), 2cos A cos B ? 0

cos A ? 0 或 cos B ? 0 ,得 A ?
所以△ABC 是直角三角形.

?
2

或B ?

?
2
A ?C A ?C B cos ? 4sin cos 2 2 2 B , 2

5. 解:∵ a ? c ? 2b, ∴ sin A ? sin C ? 2sin B ,即 2sin

∴ sin

B 1 A?C 3 B 13 B ? ? cos ? ,而 0 ? ? , ∴ cos ? , 2 2 2 4 2 4 2 2 B B 3 13 cos ? 2 ? ? ? 2 2 4 4

∴ sin B ? 2sin

39 8

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