kl800.com省心范文网

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型


三角函数图像与性质知识点总结和经典题型
1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx
-5? 2 -4? -7? -3? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

/>7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -2? -3? 2 -? -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2 4?

x

y

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

2.三角函数的单调区间:

? ?? ? 2 y ? sin x 的 递 增 区 间 是 ?2k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 递 减 区 间 是 2 2? ?

? 3? ? ? 2k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) ; 2 ? 2 2? ?
2 y ? cos x 的 递 增 区 间 是 ?2k? ? ?,k? ? (k ? Z ) , 递 减 区 间 是

?2k?,k? ? ? ? (k ? Z ) , 2
? ?? ? y ? tan x 的递增区间是 ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
(其中A ? 0,? ? 0) 3.函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B

最大值是 A ? B ,最小值是 B ? A ,周期是 T ?

2?

?

,频率是 f ?

?x ? ? ,初相是 ? ;其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ?
与直线 y ? B 的交点都是该图象的对称中心。

?
2

? ,相位是 2?

(k ? Z ) ,凡是该图象

4.由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只 有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时, 提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现 无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量” 起多大变化,而不是“角变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单位,再将
1 倍(ω >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。 ? 途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 1 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω >0),再沿 x 轴向 ? |? | 左( ? >0)或向右( ? <0=平移 个单位,便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

图象上各点的横坐标变为原来的

?

5.由 y=Asin(ω x+ ? )的图象求其函数式: 给出图象确定解析式 y=Asin(ω x+ ? )的题型,有时从寻找“五点”中的第一 零点(-
? ,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。 .. ?

6.对称轴与对称中心: y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? ,对称中心为 (k? ,0) k ? Z ; 2 y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k? ? ? , 0) ; 2 对于 y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来说,对称中心与零点相联系,对称 轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式, 要特别注意 A、 ? 的正负 利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在 同一单调区间; 8.求三角函数的周期的常用方法: 经过恒等变形化成“ y ? A sin(? x ? ? ) 、 y ? A cos(? x ? ? ) ”的形式,在利用 周期公式,另外还有图像法和定义法。
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

9.五点法作 y=Asin(ω x+ ? )的简图: 五点取法是设 x=ω x+ ? ,由 x 取 0、 、π 、 应的 y 值,再描点作图。
π 2 3π 、2π 来求相应的 x 值及对 2

四.典例解析 题型 1:三角函数的图象 例 1. (2000 全国,5)函数 y=-xcosx 的部分图象是( )

解析:因为函数 y=-xcosx 是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除

A、C,当 x∈(0,

? )时,y=-xcosx<0。答案为 D。 2

题型 2:三角函数图象的变换 例 2.试述如何由 y= sin(2x+ 解析:y= sin(2x+
1 3
π ) 3

1 3

π )的图象得到 y=sinx 的图象。 3

1 π 2倍 ?横坐标扩大为原来的 ?? y ? sin x ? ) ? ?? ? ?? ? ? ( 纵坐标不变 3 3
图象向右平移 个单位 1 ?? ? ? ? ?3 ??? y ? sin x ? 纵坐标不变 3 π

3倍 ?纵坐标扩大到原来的?? y ? sin x ???????? 横坐标不变

另法答案: (1)先将 y= sin(2x+ 象; (2)再将 y= sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得
1 3 1 3
π π 1 )的图象向右平移 个单位,得 y= sin2x 的图 3 6 3

y= sinx 的图象;
(3)再将 y= sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍(横坐标不变) , 即可得到 y=sinx 的图象。 例 3. (2003 上海春,15)把曲线 ycosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移 位,再沿 y 轴向下平移 1 个单位,得到的曲线方程是( ) A. (1-y)sinx+2y-3=0 B. y-1)sinx+2y-3=0 ( C. y+1)sinx+2y+1=0 ( D.-(y+1)sinx+2y+1=0
1 3

1 3

? 个单 2

解析:将原方程整理为: y=

1 ,因为要将原曲线向右、向下分别移 2 ? cos x



? 1 个单位和 1 个单位,因此可得 y= -1 为所求方程.整理得 ? 2 2 ? cos(x ? ) 2

(y+1)sinx+2y+1=0. 点评: 本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平 移有深刻理解,可直接化为: y+1)cos(x- ( 项。 题型 3:三角函数图象的应用 例 4. (2003 上海春,18)已知函数 f(x)=Asin (ω x+ ? ) A>0,ω >0, x∈R)在一个周期内的图 ( 象如图所示,求直线 y= 3 与函数 f(x)图象的所 有交点的坐标。 解析: 根据图象得 A=2, = T


? )+2(y+1)-1=0,即得 C 选 2

1 x 7 ? π- (- ) =4π , ∴ω = , y=2sin ∴ ( +? ) , 2 2 2 2

又由图象可得相位移为-

1 ? ? ? ? ? , ∴- =- , ? = .即 y=2sin ∴ ( x+ ) 。 1 2 2 2 4 4 2

根据条件 3 =2sin(

1 ? 1 ? 1 ? ? x? ) ,∴ x ? =2k π + (k∈Z)或 x ? =2k 3 2 4 2 4 2 4

π+

5 2 ? π (k∈Z) ,∴x=4kπ + (k∈Z)或 x=4kπ + π (k∈Z) 。 3 6 6
∴所有交点坐标为(4kπ +

?
6

, 3 )或(4kπ +

5? , 3 ) k∈Z) ( 。点评:本 6

题主要考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 题型 4:三角函数的定义域、值域 例 5. (1)已知 f(x)的定义域为[0,1] ,求 f(cosx)的定义域; (2)求函数 y=lgsin(cosx)的定义域; 分析:求函数的定义域: (1)要使 0≤cosx≤1, (2)要使 sin(cosx)>0, 这里的 cosx 以它的值充当角。

解析: (1)0≤cosx<1 ? 2kπ -

π π ≤x≤2kπ + ,且 x≠2kπ (k∈Z) 。 2 2 π π ,2kπ + ]且 x≠2kπ ,k∈Z}。 2 2 π π ,2kπ + ) k∈Z}。 , 2 2

∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ -

(2)由 sin(cosx)>0 ? 2kπ <cosx<2kπ +π (k∈Z) 。又∵-1≤cosx≤1, ∴0<cosx≤1。故所求定义域为{x|x∈(2kπ -

点评:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二 是三角函数线。 题型 5:三角函数的单调性 例 6.求下列函数的单调区间: (1)y= sin(
1 2 π π 2x - )(2)y=-|sin(x+ )|。 ; 4 4 3 1 2 2 3 π 4

分析: (1)要将原函数化为 y=- sin( x- )再求之。 (2)可画出 y=- |sin(x+ )|的图象。解: (1)y= sin( 故由 2kπ -
π 4 1 2 π 1 π 2x 2x - )=- sin( - ) 。 4 2 4 3 3

π π π 3π 2x 9π ≤ - ≤2kπ + 。 ? 3kπ - ≤x≤3kπ + (k∈Z) , 2 4 2 8 3 8 π π 3π 2x 9π 21 π ≤ - ≤2kπ + 。? 3kπ + ≤x≤3kπ + (k 2 4 2 3 8 8 3π 9π ,3kπ + ] , 8 8

为单调减区间; 2kπ + 由

∈Z) ,为单调增区间。∴递减区间为[3kπ - 递增区间为[3kπ + (2)y=-|sin(x+ [kπ -
π π ,kπ + ] 。 4 4
5? 4 3? 4 ? 4

9π 21 π ,3kπ + ] k∈Z) ( 。 8 8 π π 3π )|的图象的增区间为[kπ + ,kπ + ] ,减区间为 4 4 4

-

-

y?
4

3? 4

5? 4

7? 4

o
题型 6:三角函数的奇偶性

x

例 7. (2001 上海春)关于 x 的函数 f(x)=sin(x+ ? )有以下命题: ①对任意的 ? ,f(x)都是非奇非偶函数; ②不存在 ? ,使 f(x)既是奇函数,又是偶函数; ③存在 ? ,使 f(x)是奇函数;

④对任意的 ? ,f(x)都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是_____.因为当 ? =_____时,该命题的结论不成立。 答案:①,kπ (k∈Z) ;或者①,

? ? +kπ (k∈Z) ;或者④, +kπ (k∈Z) 2 2

解析:当 ? =2kπ ,k∈Z 时,f(x)=sinx 是奇函数。当 ? =2(k+1)π ,k ∈Z 时 f(x)=-sinx 仍是奇函数。当 ? =2kπ + 当 ? =2kπ -

? ,k∈Z 时,f(x)=cosx,或 2

? ,k∈Z 时,f(x)=-cosx,f(x)都是偶函数.所以②和③都是 2

正确的。无论 ? 为何值都不能使 f(x)恒等于零。所以 f(x)不能既是奇函数 又是偶函数。①和④都是假命题。 点评:本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力,注意 k ∈Z 不能不写,否则不给分,本题的答案不惟一,两个空全答对才能得分。 题型 7:三角函数的周期性 例 8.设 f ( x) ? a sin ?x ? b cos?x(? ? 0) 的周期 T ? ? ,最大值 f ( ) ? 4 , 12 (1)求 ? 、 a 、 b 的值; (2) 若?、、?为方程f ( x) ? 0的两根,?、、?终边不共线,求tan(? ? ? )的值 。 解析:(1) f ( x) ? a 2 ? b 2 sin(?x ? ? ) , ?T ? ? , ? ? ? 2 ,
? f (x) 的 最 大 值 。 ? f ( ) ? 4 , ? 4 ? a 2 ? b 2 12 2? 2? b=3. 4 ? a sin ? b cos ②,由 ①、②解出 a=2 , 12 12

?



?



,且

(2) f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 4 sin(2 x ?
? 4 sin(2? ?
2? ?

?

?
3

) ? 4 sin(2? ?

?
3

3

) , ? f (? ) ? f (? ) ? 0 ,

) ,

? 2? ?

?
3

? 2k? ? 2? ?

?
3



或 或

?
3

? 2k? ? ? ? (2? ?

?
3

), 即

故舍去) , ? ? k? ? ? ( ?、? 共线,

3 (k ? Z ) 。 6 3 6 点评: 方程组的思想是解题时常用的基本思想方法;在解题时不要忘记三角函数 的周期性。

? ? ? ? k? ?

?

,? tan(? ? ? ) ? tan(k? ?

?

)?

题型 8:三角函数的最值

例 9. (2000 京、皖春理,10)函数 y=

1 的最大值是( 2 ? sin x ? cos x
2 2
D.-1-



A.

2 -1 2

B.

2 +1 2

C.1-

2 2

解析:B; y ?

1 1 1 2 ? ? ?1? 2 ? sin x ? cos x 2 ? 2 sin( x ? ? ) 2 ? 2 2 4


三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型_数学_高中教育_教育专区。三角函数图像与性质知识点总结和经典题型 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 y=sinx -5? 2...

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

三角函数图像与性质经典题型 题型 1:三角函数的图象 例 1. (2000 全国,5)函数 y=-xcosx 的部分图象是( ) 解析:因为函数 y=-xcosx 是奇函数,它的图象关于...

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型_数学_高中教育_教育专区。函数图像与性质知识点总结和经典题型 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 y=sinx -4? -7?...

三角函数的图像与性质 知识点与题型归纳

三角函数图像与性质 知识点与题型归纳_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档三角函数图像与性质 知识点与题型归纳_数学_高中教育_教育...

人教版高一数学三角函数图象与性质最全知识点总结级典型复习题

人教版高一数学三角函数图象与性质最全知识点总结典型复习题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。三角函数图象与性质复习题函数 y ? sin x y ? cos x y ? ...

三角函数的图像及性质知识点梳理、经典例题及解析、历年高考题练习带答案

三角函数的图像及性质知识点梳理、经典例题及解析、历年高考题练习带答案_数学_高中...三角函数图像与性质知识... 7页 1下载券 三角函数图象和性质(总结... 19页...

三角函数知识归纳与典型例题

任意角的三角函数 三角函数的诱导公式 三角函数图象与性质1/2 相关文档推荐 ...三角函数知识归纳与典型例题 三角函数知识归纳与典型例题 1、角的概念的推广:平面...

三角函数图像与性质知识点总结

三角函数图像与性质知识点总结_数学_高中教育_教育专区。函数图像与性质知识点...注意区分下列两题的单调增区间不同 ;利用换元法求复 合函数的单调区间(要注意...

三角函数的图像与性质(名师经典总结)

三角函数图像与性质(名师经典总结)_数学_高中教育_教育专区。名师课堂讲义,课外...6 ? 2 题型 7:周期性、奇偶性、单调性、对称性的综合应用 知识点 1.周期...

三角函数的图像与性质 | 三角函数图像与性质 | 三角函数的图像和性质 | 反三角函数图像与性质 | 三角函数图像性质 | 三角函数图像及其性质 | 三角函数图像和性质 | 三角函数图像及性质 |