kl800.com省心范文网

新人教A版选修4-5高中数学数学归纳法 同步练习1


数学归纳法 同步练习
1.已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明
1? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 2( ? ??? ) 2 3 4 n ?1 n?2 n?4 2n 时, 若已假设 n ? k (k ? 2 为偶

数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证 A. n ? k ? 1 时等式成立 B. n ? k ? 2 时等

式成立 C. n ? 2k ? 2 时等式成立
f ( n) ?





D. n ? 2(k ? 2) 时等式成立

2.设

1 1 1 1 ? ? ??? (n ? N ? ) n ?1 n ? 2 n ? 3 2n ,则 f (n ? 1) ? f (n) ? 1 B. 2 n ? 2 1 1 ? C. 2n ? 1 2n ? 2 1 1 ? D. 2n ? 1 2n ? 2





1 A. 2n ? 1

3.用数学归纳法证明 时,

12 ? 2 2 ? ? ? (n ? 1) 2 ? n 2 ? (n ? 1) 2 ? ? ? 2 2 ? 12 ?

n(2n 2 ? 1) 3

由 n ? k 的假设到证明 n ? k ? 1 时,等式左边应添加的式子是





A. (k ? 1) ? 2k
2

2

B. (k ? 1) ? k
2

2

C. (k ? 1)

2

1 (k ? 1)[ 2(k ? 1) 2 ? 1] 3 D.

4.某个命题与正整数 n 有关,如果当 n ? k (k ? N ? ) 时命题成立,那么可推得当
n ? k ? 1时

命题也成立. 现已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么可推得 A.当 n=6 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立 C.当 n=4 时该命题不成立 D.当 n=4 时该命题成立





n 5.用数学归纳法证明“ (n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2 ?1? 2 ? ?? (2n ? 1) ” n ? N ? )时, (


用心 爱心 专心

“ n ? k到n ? k ? 1”时,左边应增添的式子是 B. 2(2k ? 1)
1? 2k ? 1 C. k ? 1 2k ? 2 D. k ? 1





A. 2k ? 1

6.用数学归纳法证明“

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n ”时,

由 n ? k 的假设证明 n ? k ? 1 时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为 ( )
1 1 1 ??? ? 2k 2k ? 1 A. k ? 1 1 1 1 ??? ? 2k 2k ? 1 C. k ? 2 1 1 1 1 ??? ? ? 2k 2k ? 1 2k ? 2 B. k ? 1 1 1 1 ??? ? 2k ? 1 2k ? 2 D. k ? 2

2 7. 数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n ? an (n ? 2) ,而 a1 ? 1 ,通过计算 a2 , a3 , a4 , 猜想

an ? ( )
2 2 2 2 n A. (n ? 1) B. n(n ? 1) C. 2 ? 1
a 8.已知数列 ?an ? 的通项公式
n

2 D. 2n ? 1

?

1 (n ? (n ? 1)2

N*) ,记

f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) ,

通过计算 f (1), f (2), f (3), f (4) 的值,由此猜想 f (n) ?
n?2 n?2 A. 2(n ? 1) B. 4 n





2n ? 1 n ?1 2 C. (n ? 1) D. n(n ? 1)

? ? 9.数列 an 中,a1=1,Sn 表示前 n 项和,且 Sn,Sn+1,2S1 成等差数列,通过计
算 S1,S2, S3,猜想 Sn= ( )
用心 爱心 专心

2n ? 1 n ?1 A. 2

2n ? 1 n ?1 B. 2

n( n ? 1) 1 n n ?1 C. 2 D.1- 2

2 10.a1=1, a n?1 ? an , 且(an?1 ? an ) ? 2(an?1 ? an ) ? 1 ? 0, 计算a2 , a3 , 然后猜想

an ? (
A.n

) B.n2 C.n3 D. n ? 3 ? n

11.设

0 ?? ?

?

, 2 已知 a1 ? 2 cos? , an?1 ? 2 ? an , 则猜想 an ? 2 cos





A.

2 cos

?
2 B.
n

?
2
n ?1

C.

2 cos

?
2
n ?1

D.

2 sin

?
2n

12.从一楼到二楼的楼梯共有 n 级台阶,每步只能跨上 1 级或 2 级,走完这 n 级台 阶共有 f (n) 种走法,则下面的猜想正确的是 A. f (n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 2) C. f (n) ? 2 f (n ? 1) ? 1 二、填空题 13.凸 k 边形内角和为 f (k ) ,则凸 k ? 1 边形的内角为
fk ? 1) ? f (k ) ?





(n ? 3)

B. f (n) ? 2 f (n ? 1)

(n ? 2) (n ? 3)

(n ? 2)

D. f (n) ? f (n ? 1) f (n ? 2)

.

14.平面上有 n 条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设 k 条这样的直 线把平面分 成 f (k ) 个区域,则 k ? 1 条直线把平面分成的区域数
f (k ? 1) ? f (k ) ?

.
n?1

15.用数学归纳法证明“ 2

? n 2 ? n ? 2(n ? N ? ) ”时,第一步验证
用心 爱心 专心



.

n n 16.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时, x ? y 能被 x ? y 整除” ,当第二步假



n ? 2k ? 1(k ? N ? ) 命题为真时,进而需证 n ?

时,命题亦真.

17 . 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 1, 且4an?1 ? an an?1 ? 2an ? 9, 通 过 计 算 a2 , a3 , a4 , 然 后 猜 想

an ? ____.
18.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? (n ? 1)an , 通过计算 a2 , a3 , a4 , 然后猜想 an ? 19. 设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=2n-an (n∈N+) 通过计算数列的前四项, , 猜想 an ? _____.
f ( x) ? 2 , 2 ? x 记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,且 a1 ? f (1),当n ? 2 时,

20.已知函数
Sn ?

2 1 ? (n 2 ? 5n ? 2), f (a n ) 2 则 通 过 计 算 a1 , a2 , a3 , 的 值 , 猜 想 ?an ? 的 通 项 公 式

an ? ___.
三、解答题 21.用数学归纳法证明:

12 22 n2 n(n ? 1) ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) 2(2n ? 1) ;

22.用数学归纳法证明: (Ⅰ) 7 (Ⅱ) a
2n

? 4 2 n ? 297 能被 264 整除;

n ?1

? (a ? 1) 2n?1 能被 a 2 ? a ? 1 整除(其中 n,a 为正整数)

用心 爱心 专心

23.用数学归纳法证明: ( Ⅰ )
1? 1 1 1 1 ? ? ??? n ?n 2 3 4 2 ?1









1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 1(n ? 1) n n ?1 n ? 2 n ;

24.数列

{an }中, a1 ? 2 p, an ? 2 p ?

p2 an?1 , p 是不等于零的常数,求证: p 不在数

列 {an } 中.

25.设数列

{xn } : x1 ?

3 3 1 2 , xn ? ? xn ?1 ? 16 8 2 ,其中 n ? 2, n ? N ,

1 0 ? xn ? 2; 求证: n ? N 都有 (Ⅰ) 对
?

1 1 x ? ? ( )n xn ? xn?1 ; (Ⅲ) n 2 2 . (Ⅱ)

26.是否存在常数 a,b,c,使等式
1 ? 2 2 ? 2 ? 3 2 ? ? ? n(n ? 1) 2 ? n(n ? 1) (an 2 ? bn ? c)对n ? 12 N+都成立,并证明你的

结论.

27.已知数列 ?an ? 的各项为正数,其前 n 项和为 Sn,又 a n 与S n 满足关系式:

4S n 4S1 4S 2 ? ??? ? Sn a1 ? 2 a2 ? 2 an ? 2 ,试求 ?an ? 的通项公式.

用心 爱心 专心

28.已知数列 ?an ? 的各项为正数,Sn 为前 n 项和,且 的公式,并证明你的结论.

Sn ?

1 1 (a n ? ) 2 a n ,归纳出 an

29.已知数列 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1, a3 ? 2, 设
Pn ? a1 ? a3 ? a9 ? ? ? ak (k ? 3n?1 , n ? N+) ,

Qn ? a2 ? a6 ? a10 ? ? ? am (m ? 4n ? 2, n ? N+) 问 Pn 与 Qn 哪一个大?证明你 ,
的结论.

30.已知数列 ?an ? : a0 ? 1, an ? p | an?1 | ?1(n ?N* ,0 ? p ? 1),
? 1 ? a n ? 0. p

(Ⅰ)归纳出 an 的公式,并证明你的结论;

(Ⅱ)求证:

用心 爱心 专心

答案 一、1.B

2.D

3.B

4.C

5.B

6.D

7.B

8.A

9.D

10.B

11.B

12.A 16. 2k ? 1

二、13.? , 14. k ? 1 , 15.当 n ? 1 时,左边=4=右边,命题正确.
6n ? 5 17. 2n ? 1 2n ? 1 n ?1 19. 2

18.n!

20.n+1

k (k ? 1) (k ? 1) 2 (k ? 1)(k ? 2) ? ? 2(2k ? 3) . 21.当 n ? k ? 1 时,左边= 2(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 3)
7 2( k ?1) ? 4 2( k ?1) ? 297 ? 49? (7 2k ? 4 2k ? 297) ? 33? 4 2k ? 48? 297 22. (Ⅰ) n ? k ? 1 时, 当

? 49? (7 2k ? 4 2k ? 297) ? 33? 8 ? (2 4k ?3 ? 48? 9) ? 49? (7 2k ? 4 2k ? 297) ? 264? (2 4k ?3 ? 48? 9) 能被 264 整除,命题正确. a k ?2 ? (a ? 1) 2k ?1 ? (a ? 1) 2 [a k ?1 ? (a ? 1) 2k ?1 ] ? a k ?2 ? a k ?1 (a ? 1) 2 n (Ⅱ) ? k ? 1 时, ? (a ? 1) 2 [a k ?1 ? (a ? 1) 2k ?1 ] ? a k ?1 (a 2 ? a ? 1) 能被 a 2 ? a ? 1 整除.
? (1 ? 1 1 1 1 ??? k ) ? ( k ? ? ? k ?1 ) ? k ? 2 2 ?1 2 2 ?1

23. (Ⅰ)当 n ? k ? 1 时,左边

1 1 1 1 ? k ??? k ? k ? 2k ? k ? k ? 1 k 2 2 ) 2 (2 =右边,命题正确
2k 项

(Ⅱ) n ? k ? 1 时,左边

?

1 1 1 1 ??? 2 ? ( 2 ??? )? k ?1 k k ?1 (k ? 1) 2

1 ? (2k ? 1) ?

1 1 k 2 ? k ?1 ? ? 1? ? 1.) k 2 ?1 k k (k 2 ? 1)
an ? n ?1 1 p an ? p ? p ? 0 ? p ? 0 n n ;假设 与条件矛盾.
用心 爱心 专心

24.先用数学归纳法证明

25.三小题都用数学归纳法证明:
3 1 ? x1 ? ,? 0 ? x1 ? 16 2 成立; (Ⅰ) 1? . 当 n ? 1 时,

2? . 假设 n ? k 时,

0 ? xk ?

1 2 成立,

∴当 n ? k ? 1 时,
x k ?1 ?

x k ?1 ?

3 1 2 3 1 1 1 ? xk ? ? ? ? 8 2 8 2 4 2,



3 1 ? 0,? 0 ? x k ?1 ? 8 2;
0 ? xn ? 1 2.

由 1?,2? 知,对 n ? N 都有
?

3 1 3 ? x 2 ? ? x12 ? ? x1 8 2 8 (Ⅱ) 1? . 当 n=1 时, ,命题正确;
2? . 假设 n ? k 时命题正确,即 xk ? xk ?1 ,
2 2 当 n ? k ? 1 时,? xk ?1 ? xk ? 0,? xk ?1 ? xk ,

? xk ?2 ?

3 1 2 3 1 2 ? x k ?1 ? ? x k ? x k ?1 8 2 8 2 ,命题也正确;

? 由 1? , 2? 知对 n ? N 都有 xn ? xn?1 .

(Ⅲ) 1? . 当 n=1 时,

x1 ?

3 1 1 1 ? ?( ) 16 2 2 ,命题正确;
xk ? 1 1 k ?( ) 2 2

2? . 假设 n ? k 时命题正确,即

∴当 n ? k ? 1 时,

x k ?1 ?

3 1 2 3 1 1 1 k 2 3 1 1 1 k 1 ? xk ? ? ? [ ? ( ) ] ? ? ? [ ? ( ) ? ( ) 2k ] 8 2 8 2 2 2 8 2 4 2 2
用心 爱心 专心

?

1 1 k ?1 1 2 k ?1 1 1 k ?1 ?( ) ?( ) ? ?( ) 2 2 2 2 2 ,命题正确; xn ? 1 1 n ?( ) 2 2 .

由 1? 、 2? 知对 n ? N 都有

?

26.令 n=1 得 a ? b ? c ? 24 ①, 令 n=3 得 9a ? 3b ? c ? 70 ③,

令 n=2 得 4a ? 2b ? c ? 44 ②, 解①、②、③得 a=3,b=11,c=10,记原式的
S n? n(n ? 1) (3n 2 ? 11n ? 10) 12 (证明略)

左边为 Sn,用数学归纳法证明猜想

27.计算得 a1 ? 2, a2 ? 4, a3 ? 6, 猜测 an ? 2n ,用数学归纳法证明(证明略).
S1 ? a1 ? 1 1 1 1 (a1 ? ) ? a1 ? 1;?1 ? a2 ? (a 2 ? ) ? a2 ? 2 ? 1; 2 a1 2 a2

28.∵
2 ? a3 ?



1 1 ( a3 ? ) ? a3 ? 3 ? 2 2 a3 ,?,猜想 an ? n ? n ? 1(n ?N*).用数

学归纳法证明(略).
an ? n?2 30 ? 1 31 ? 1 3n ?1 ? 1 3 n ? 2n ? 1 , P1 ? ? ??? ? , 2 ∴ 2 2 2 4

29.∵
Qn ?

4 ?1 ? 2 ? 1 4 ? 2 ? 2 ? 1 4n ? 2 ? 1 2 n 2 ? n ? ??? ? ; 2 2 2 2 计算得①

当 1≤n≤3 时,Pn<Qn;②猜想 n≥4 时 Pn>Qn,用数学归纳法证明,即证:当 n ≥4 时

3n ? 4n 2 ? 1; (n ? k ? 1时用比较法证)
a0 ? 1 ? a2 ? ?1 ? p ? ? 1 ? ( ? p) 2 1 ? (? p) 2 ? 1 ? (? p) 3 , a3 ? p ? ?1 ? 1? p 1? p 1? p ,?,

30. Ⅰ) ( ∵

用心 爱心 专心

猜测

an ?

? 1 ? (? p) n 1? p ,数学归纳法证明(略).
n

1 1 ? (? p) n?1 0 ?| (? p) |? 1,? an ? 0; 而an ? ? ? 0, p p(1 ? p) (Ⅱ)∵
an ? ? 1 1 , 得 ? ? a n ? 0. p p



用心 爱心 专心


高中数学 第四讲《数学归纳法证明不等式》教案 新人教A版选修4-5

高中数学 第四讲《数学归纳法证明不等式》教案 新人教A版选修4-5 《数学归纳...1-q>0,|q|<1 解得-1<q<0 或 0<q< 5 三.巩固练习 巩固练习 1. (...

第四讲《数学归纳法证明不等式》教案(新人教选修4-5).1

第四讲《数学归纳法证明不等式》教案(新人教选修4-5).1_数学_高中教育_教育...练习: 1.用数学归纳法证明 3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( ) A.n=1...

甘肃省会宁县第二中学高中数学选修2-2同步练习 综合测试题1 (新人教A版选修2-2)]

甘肃省会宁县第二中学高中数学选修2-2同步练习 综合测试题1 (新人教A版选修2-2)] 高中新课标数学选修(2-2)综合测试题一、选择题 1.在数学归纳法证明“ 1 ...

高中数学全套教案新人教版选修2-2(1)

高中数学全套教案新人教版选修2-2(1)_高一数学_...课题:数学归纳法 1. 使学生了解归纳法, 理解数学...(4)=61,f(5)=71,f(6) =83,f(7)=97,f(...

2011年高考一轮数学复习 x2-1数学归纳法及其应用 理 同步练习(名师解析)

数学复习 x2-1数学归纳法及其应用 理 同步练习(名师解析)_高考_高中教育_...(1)当 n=2 时,左边= +++=> ,不等式成立. 3 4 5 6 20 10 (2)...

2014-2014学年甘肃省会宁二中高二数学课时练习:综合测试1(新人教A版选修2-2)

2014-2014学年甘肃省会宁二中高二数学课时练习:综合测试1(新人教A版选修2-2)_...10/21/2014 高中新课标数学选修(2-2)综合测试题一、选择题 1.在数学归纳法...

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:2.3 数学归纳法 课时作业

2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:2.3 数学归纳法 课时作业_高中教育_...【解析】验证可知.n=1,2,3,4 时,|n2-5n+5|=1,n=5 时,|52-5×5+...

甘肃省会宁县第二中学高中数学选修2-2同步练习 综合测试题2 (新人教A版选修2-2)]

甘肃省会宁县第二中学高中数学选修2-2同步练习 综合...(x1, x2>0)处有极值,且 1< x1 ≤5,求 a ...5 ? 0 ,知 在第象限; 10、用数学归纳法证明...

数学归纳法与贝努利不等式(选修4-5)

数学归纳法与贝努利不等式(选修4-5)_数学_高中教育...k ? 1 代入命题. (二)数学归纳法的适用范围: ...人教A版 选修4-5不等式选... 25页 1下载券 4.2...

2014-2014学年甘肃省会宁二中高二数学课时练习:综合测试4(新人教A版选修2-2)

综合测试4(新人教A版选修2-2)_数学_高中教育_...R 且 x y 5 ,则 x ? y ? ? ? 1 ? i ...下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时,公式显然...