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椭圆和双曲线基础题练习题及答案


圆锥曲线基础测试题
一、选择题( 60
1 已知椭圆
x a
2 2


? 1 ( a ? 5 ) 的两个焦点为 F 1 、 F 2 ,且 | F1 F 2 | ? 8 ,弦 AB 过点 F 1 ,则

?

y

2

25

△ ABF 2 的周长为(
x
2



(A)10 (B)20 (C)2 41 (D) 4 41 2 椭圆
? y
2

? 1 上的点 P 到它的左准线的距离是 10, 那么点 P 到它的右焦点的距离是

100

36

( ) (A)15 (B)12 (C)10 (D)8 3 椭圆
x
2

?

y

2

25

9

? 1 的焦点 F 1 、 F 2 ,P 为椭圆上的一点,已知 PF 1 ? PF 2 ,则△ F1 PF 2 的

面积为( ) (A)9 (B)12 (C)10 (D)8 4 以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为 2 的双曲线方程是( (A) x ? y ? 2
2 2 2 2



(B) y ? x ? 2
2 2

(C) x ? y ? 4 或 y ? x
2

2

? 4

(D) x ? y ? 2 或 y ? x ? 2
2 2 2 2

5 双曲线 (

x

2

?

y

2

? 1 右支点上的一点 P 到右焦点的距离为 2,则 P 点到左准线的距离为

16

9

) (A)6 (B)8 (C)10 (D)12
2 2

6 过双曲线 x ? y ? 8 的右焦点 F2 有一条弦 PQ,|PQ|=7,F1 是左焦点,那么△F1PQ 的周长 为( ) (A)28 (B) 14 ? 8 2 (C) 14 ? 8 2 (D) 8 2 7 双曲线虚轴上的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2, ? F1 MF 2 ? 120 ? ,则双曲线的离心率 为( ) (A) 3 (B)
6 2

(C)

6 3

(D)

3 3
1 2

8 在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 双曲线的离心率为( C ) A、
2 2
2 2

,则该

B、2

C、 2

D、2 2

9 如果椭圆

? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) 36 9 (A) x ? 2 y ? 0 (B) x ? 2 y ? 4 ? 0 (C) 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 (D) x ? 2 y ? 8 ? 0

x

?

y

第 1 页 共 6 页

10 如果双曲线
离是( A A、
4 3 6

x

2

?

y

2

? 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距

4

2

) B、
2 3
2 2

6

C、 2 6

D、 2 3
?
2 ),

11

中心在原点,焦点在 y 轴的椭圆方程是 x sin ? ? y co s ? ? 1 , ? ? ( 0 , (
)
2 2

则 ? ? A. ( 0 ,
?
4

) B. ( 0 ,
?
4 ]

C. (

?
4

,

?
2

)

D. [

?
4

,

?
2

)

12

x y 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0 , b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 a b

3 的直线交 C

于 A、 B 两点,若 A F ? 4 F B ,则 C 的离心率为( A
m



w.w.w. k.s. 5.u.c.o.

A、

6 5

B、

7 5

C、

5 8

D、

9 5

二、填空题(
13 与椭圆 方程是
x
2

20
y
2


3 )的椭圆的标准

?

? 1 具有相同的离心率且过点(2,-

4

3


5 3

14 离 心 率 e ? 是

,一条准线为 x ?3 的椭圆的标准方程 。
x
2

15 以 知 F 是 双 曲 线
P F ? P A 的最小值为

?

y

2

? 1 的 左 焦 点 , A (1, 4 ), P 是 双 曲 线 右 支 上 的 动 点 , 则

4

12

9
? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的左、 右焦点分别为 F1 ( ? c , 0 ), F 2 ( c , 0 ) , 若双曲线
s in P F1 F 2 s in P F 2 F1 ? a c

16 已知双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

上存在一点 P 使
e ? (1, 2 ? 1)

,则该双曲线的离心率的取值范围 是



三、解答题(

70



17) 已知椭圆 C 的焦点 F1(- 2 2 ,0)和 F2( 2 2 ,0) ,长轴长 6,设直线 y ? x ? 2 交 椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。

第 2 页 共 6 页

18) 已知双曲线与椭圆

x

2

?

y

2

? 1 共焦点,它们的离心率之和为

14 5

,求双曲线方程.

9

25

19)求两条渐近线为 x ? 2 y ? 0 且截直线 x ? y ? 3 ? 0 所得弦长为

8 3 3

的双曲线方程。

x 20.(1)椭圆 C: a ?
2

2

y b

2 2

? 1 (a>b>0)上的点 A(1,

3 2

)到两焦点的距离之和为 4,

求椭圆的方程; (2)设 K 是(1)中椭圆上的动点, F1 是左焦点, 求线段 F1K 的中点的轨迹方程; (3)已知椭圆具有性质:若 M、 是椭圆 C 上关于原点对称的两点, 是椭圆上任意一点, N P 当直线 PM、PN 的斜率都存在并记为 kPM、kPN 时,那么 k PM 定值。试对双曲线 解:(1) x4 ?
2

? k PN

是与点 P 位置无关的

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 写出具有类似特性的性质,并加以证明。

y

2

3

?1
2

(2)设中点为(x,y), F1(-1,0) K(-2-x,-y)在 x4 ?
第 3 页 共 6 页

y

2

3

? 1上 ?

(x?2) 4

2

?

y

2

3

?1

(3)设 M(x1,y1), N(-x1,-y1), P(xo,yo), xo≠x1 则
yo ? b (
2 2 x1 a
2 2

? 1)

y1 ? b (
2 2

x1 a

2 2

? 1)
2 2 ?x 0 1 a 2 2 2

k PM ? k PN ?
为定值.

y 0 ? y1 x 0 ? x1

?

y 0 ? y1 x 0 ? x1

?

y 0 ? y1 x 0 ? x1
2

2

2

2

?

b (

2

x

)

x 0 ? x1

?

b a

2 2

21. 已知双曲线方程为 2 x ? y ? 2 与点 P(1,2),
2 2

(1)求过点 P(1,2)的直线 l 的斜率 k 的取值范围,使直线与双曲线 有一个交点,两个交点,没有交点。 (2) 过点 P(1,2)的直线交双曲线于 A、B 两点,若 P 为弦 AB 的中点, 求直线 AB 的方程; (3)是否存在直线 l ,使 Q(1,1)为 l 被双曲线所截弦的中点?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。 解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点.当 l 的斜率 存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),代入 C 的方程,并整理得 (2-k )x +2(k -2k)x-k +4k-6=0 (ⅰ)当 2-k =0,即 k=± 2 时,方程( )有一个根,l 与 C 有一个交点 (ⅱ)当 2-k ≠0,即 k≠± 2 时 Δ =[2(k -2k)] -4(2-k )(-k +4k-6)=16(3-2k) ①当Δ =0,即 3-2k=0,k=
3 2 3 2
2 2 2 2 2 2 * 2 2 2 2 *

()

时,方程( )有一个实根,l 与 C 有一个交点.
3 2

*

②当Δ >0,即 k<
*

,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k<

时,

方程( )有两不等实根,l 与 C 有两个交点. ③当Δ <0,即 k>
3 2

时,方程( )无解,l 与 C 无交点.
3 2

*

综上知:当 k=± 2 ,或 k=
3 2

,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点;

当 2 <k<

,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点;

第 4 页 共 6 页

当 k>

3 2

时,l 与 C 没有交点.
2 2 2 2

(2)假设以 P 为中点的弦为 AB,且 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2x1 -y1 =2,2x2 -y2 =2 两式 相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=4 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即 kAB=
y1 ? y 2 x1 ? x 2

=1

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与有交点,所以以 P 为中点的弦为: y ? x ? 1 . (3)假设以 Q 为中点的弦存在, 设为 AB, A(x1,y1),B(x2,y2), 2x1 -y1 =2,2x2 -y2 =2 且 则 两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即 kAB=
y1 ? y 2 x1 ? x 2
2 2 2 2

=2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为 中点的弦不存在.

13) 与 椭 圆
x
2

x

2

?

y

2

? 1 具有相同的离心率且过点(2,? 4x
2

3 )的椭圆的标准方程是

4 ? y
2

3 3y
2

? 1或

? 1。 x
2

8

6

25
5 3

25

14)离心率 e ?

,一条准线为 x ? 3 的椭圆的标准方程是

?

9y

2

?1。

5

20

17) 已知椭圆 C 的焦点 F1(- 2 2 ,0)和 F2( 2 2 ,0) ,长轴长 6,设直线 y ? x ? 2 交 椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。(8 分) 解:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c= 2 2 ,a=3,从而 b=1,所以其标准方程是:
x
2

? y

2

9

?x 2 ? y ?1 ? 2 ? 1 .联立方程组 ? 9 ,消去 y 得, 1 0 x ? 3 6 x ? 2 7 ? 0 . ? y ? x ? 2 ?
2

设 A( x 1 , y 1 ),B( x 2 , y 2 ),AB 线段的中点为 M( x 0 , y 0 )那么: x1 ? x 2 ? ? 所以 y 0 = x 0 +2=
1 5

18 5

, x0 =

x1 ? x 2 2

?

9 5

.也就是说线段 AB 中点坐标为(-

9 5

,

1 5

).

第 5 页 共 6 页

18) 已知双曲线与椭圆

x

2

?

y

2

? 1 共焦点,它们的离心率之和为
4 5

14 5

,求双曲线方程.(10

9

25

分)解:由于椭圆焦点为 F(0, ? 4),离心率为 e= 2, 从而 c=4,a=2,b=2 3 . 所以求双曲线方程为:
y
2 2

,所以双曲线的焦点为 F(0, ? 4),离心率为

?

x

? 1.
8 3 3

4

12

20)求两条渐近线为 x ? 2 y ? 0 且截直线 x ? y ? 3 ? 0 所得弦长为 分) 2 2 解:设双曲线方程为 x -4y = ? . 联立方程组得: ?
? x -4 y = ?
2 2

的双曲线方程。 (10

?x ? y ? 3 ? 0

,消去 y 得,3x -24x+(36+ ? )=0

2

x1 ? x 2 ? 8 ? ? 36 ? ? ? 设直线被双曲线截得的弦为 AB, A( x 1 , y 1 ),B( x 2 , y 2 ), 且 那么: x1 x 2 ? ? 3 ? 2 ? ? ? 24 ? 12(36 ? ? ) ? 0 ?

那么:|AB|= (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 解得: ? =4,所以,所求双曲线方程是:
x
2

(1 ? 1)(8 ? 4 ?
2

36 ? ? 3

) ?

8 (1 2 ? ? ) 3

?

8 3 3

? y ?1
2

4

第 6 页 共 6 页


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