kl800.com省心范文网

北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题:圆锥曲线(含答案)


北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题:圆锥曲 线
一、选择题 1 . (2013 届北京大兴区一模理科)双曲线 x 2 - m y 2 = 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 等于





A.

1 4

B.<

br />
1 2

C. 2

D. 4

2 2 . (2013 届北京海滨一模理科)抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P ( x , y ) 为该抛物线上的动点,又点 A ( ? 1, 0 ) ,则

| PF | | PA |

的最 (
2 3 2 2

小值是
1



A. 2

B. 2

C. 2
x a
2 2

D. 3
? y b
2 2

3 . (2013 届北京市延庆县一模数学理)已知双曲线

? 1( a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 ,一个焦点与抛物线

y ? 16 x 的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为
2


3 3



A. y ? ?

3 2

x

B. y ? ?

3 2

x

C. y ? ?

x

D. y ? ? 3 x

4 . (2013 届东城区一模理科) 已知 F1 ( ? c , 0 ) ,F 2 ( c , 0 ) 分别是双曲线 C 1 :
2 2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 的两个焦点,

双曲线 C 1 和圆 C 2 : x ? y ? c 的一个交点为 P ,且 2 ? P F1 F2 ? ? P F2 F1 ,那么双曲线 C 1 的离心率为 ( A.
5 2
y x



B. 3

C. 2

D. 3 ? 1

5 . (2013 届门头沟区一模理科)已知 P ( x , y ) 是中心在原点,焦距为 1 0 的双曲线上一点,且
(? 3 3 , ) ,则该双曲线方程是 4 4
x 2 ? y 2 ?1

的取值范围为

A.

B.

y

2 ?

x

2 ?1

9 2 ?

16 2 ?1

9 2 ?

16 2 ?1

C.

x

y

D.

y

x

16

9

16

9

6 . 北 京市 东城 区 2013 届 高三 上学 期期 末考 试数 学 理科 试题 ) 已知抛物线 y ? 2 p x 的焦点 F 与双曲线 (
2

x

2

?

y

2

? 1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在抛物线上且 | A K | ?

2 | A F | ,则△

7

9

A F K 的面积为

( B.8 C.16 D.32
2



A.4

7 . (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学)方程 x ? xy ? x 的曲线是





A.一个点

B.一条直线

C.两条直线

D.一个点和一条直线
x a
2 2

8 . (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学)已知双曲线

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ,过其右焦

点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M , N 两点, O 为坐标原点.若 O M ? O N ,则双曲线的离心率为 ( A.
?1 ? 2 3



B.

1? 2

3

C.

?1 ? 2

5

D.

1? 2

5

9 . (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l 2 : x ? ? 1 ,抛

物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l 2 的距离之和的最小值是
2





A.

3 5 5

B. 2

C.

11 5

D. 3

10. 【解析】北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) 已知双曲线的中心在原点,一个焦点为 (
F1 ( ? 5 , 0 ) ,点 P 在双曲线上,且线段 PF1 的中点坐标为 ( 0 , 2 ) ,则此双曲线的方程是
2





A.

x

? y

2

?1

B. x ?
2

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

4

4

2

3

3
x a

2
2 2

C :

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

11.【解析】北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )椭圆 (

的左右焦点分

别为 F1 , F 2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P ,使得 ? F1 F 2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范 围是
1 2 ( , ) A. 3 3 ( 1 ,1) ( 2 ,1) 1 1 1 ( , ) ? ( ,1) 2 D. 3 2





B. 2

C. 3

二、填空题 12. (2013 届北京西城区一模理科)在直角坐标系 x O y 中,点 B 与点 A ( ? 1, 0 ) 关于原点 O 对称.点 P ( x 0 , y 0 ) 在抛

物线 y ? 4 x 上,且直线 A P 与 B P 的斜率之积等于 2 ,则 x 0 ? ______.
2

13. (2013 届房山区一模理科数学)已知双曲线 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的焦距为 4

,且过点 ( 2 , 3) ,则它的渐近

线方程为

.

14 . 北 京 市 东 城 区 普 通 高 中 示 范 校 2013 届 高 三 3 月 联 考 综 合 练 习 ( 二 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 若 双 曲 线 (
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 与直线 y ?

3 x 无交点,则离心率 e 的取值范围是

.

15 . 北 京 市 东 城 区 普 通 高 中 示 范 校 2013 届 高 三 3 月 联 考 综 合 练 习 ( 二 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 直 线 (
l : y ? a x ? 1 ? a( a? R ) ,若存在实数 a

使得一条曲线与直线 l 有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线
y ? ?2 x ? 1

段的长度恰好等于 a ,则称此曲线为直线 l 的“绝对曲线”.下面给出的三条曲线方程:① ②(x
? 1) ? ( y ? 1) ? 1
2 2



; x2 ③

? 3y ? 4
2

. 其中直线 l 的“绝对曲线”有_____. (填写全部正确选项的序号) y A 如图, 点, A

16. (北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学(理)试题 )
x a
2 2

F1 和 F2 分别是双曲线

?

y b

2 2

? 1( a ? 0,b ? 0) 的两个焦

和 B 是以 O 为圆心,以 OF1 为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点,且 △F2 AB 是等边三角形,则双 曲线的离心率为 .

F1

O

F2

x

B

17. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)已知椭圆

x

2

?

y

2

4

2

? 1 的两个焦点是 F1 ,F 2 ,点 P

在该椭圆上.若 | P F1 | ? | P F 2 | ? 2 ,则△ P F1 F 2 的面积是______.
18. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) 在平面直角坐标系 xOy 中,设抛物线 y ? 4 x 的 )
2

焦 点 为 F , 准 线 为 l, P 为 抛 物 线 上 一 点 , PA ? l , A 为 垂 足 . 如 果 直 线 AF 的 倾 斜 角 为 120 ? , 那 么
PF ? _______.
2 2

19. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )以双曲线

x

?

y

? 1 的右焦点为圆心,并与其渐近

9

16

线相切的圆的标准方程是

_____.

20.【解析】北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )以 y ? ? x 为渐近线且经过点 ( 2 , 0 ) 的双曲线 (

方程为______.
21.【解析】北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知定点 A 的坐标为 (1, 4 ) ,点 F 是双曲 (
x
2

线

?

y

2

? 1 的左焦点,点 P 是双曲线右支上的动点,则 P F ? P A 的最小值为



4

12

三、解答题 22. (2013 届北京大兴区一模理科)已知动点 P 到点 A(-2,0)与点 B(2,0)的斜率之积为 ?
1 4

,点 P 的轨迹为曲

线 C。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若点 Q 为曲线 C 上的一点,直线 AQ,BQ 与直线 x=4 分别交于 M、N 两点,直线 BM 与椭圆的交点为 D。求证,A、D、N 三点共线。

23. (2013 届北京丰台区一模理科)已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆 C 过 P(2, 2 ),直线 l :

y=kx+m(k≠0)交椭圆 C 于不同的两点 A,B。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在实数 k,使线段 AB 的垂直平分线经过点 Q(0,3)?若存在求出 k 的取值范围;若不存在, 请说明理由。

24. (2013 届北京海滨一模理科)已知圆 M : ( x ?

2) ? y ? r
2 2

2

( r ? 0 ).若椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0



的右顶点为圆 M 的圆心,离心率为

2 2

.

(I)求椭圆 C 的方程; (II)若存在直线 l : y ? k x ,使得直线 l 与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,与圆 M 分别交于 G , H 两点, 点 G 在线段 A B 上,且 A G ? B H ,求圆 M 半径 r 的取值范围.

25. (2013 届北京市延庆县一模数学理)已知动点 P ( x, y ) 与一定点 F (1,0) 的距离和它到一定直线 l : x ? 4 的距离

之比为

1 2

.

(Ⅰ) 求动点 P ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 l ? : x ? my ? 1 交轨迹 C 于 A 、 B 两点,过点 A 、 B 分别作直线 l : x ? 4 的垂线,垂足依次 为点 D 、 E .连接 AE 、 BD ,试探索当 m 变化时,直线 AE 、 BD 是否相交于一定点 N ?若交于定点 N , 请求出 N 点的坐标,并给予证明;否则说明理由.

26. (2013 届北京西城区一模理科) 如图, 椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左焦点为 F , 过点 F 的直线交椭圆于 A ,

B 两点.当直线 A B 经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为 6 0 .

?

(Ⅰ)求该椭圆的离心率; (Ⅱ)设线段 A B 的中点为 G , A B 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D , E 两点.记△ G F D 的面积为 S 1 , △ O E D ( O 为原点)的面积为 S 2 ,求
S1 S2

的取值范围.

27. (2013 届东城区一模理科)已知椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的两个焦点分别为 F1 , F 2 ,离心率为

1 2

,过

F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点,且△ M N F 2 的周长为 8 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点 O 的两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,证明:点 O 到直线 A B 的距离为定 值,并求出这个定值.

28. 2013 届房山区一模理科数学) ( 已知抛物线 C : y 2 ? 2 p x 的焦点坐标为 F (1, 0 ) , F 的直线 l 交抛物线 C 于 A ,B 过

两点,直线 A O ,B O 分别与直线 m : x ? ? 2 相交于 M ,N 两点. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值.

29. (2013 届门头沟区一模理科)在平面直角坐标系 xOy 中, 动点 P 到直线 l : x ? 2 的距离是到点 F (1, 0) 的距离

的 2 倍. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 FP 与(Ⅰ)中曲线交于点 Q ,与 l 交于点 A ,分别过点 P 和 Q 作 l 的垂线,垂足为 M , N ,问: 是否存在点 P 使得 ?APM 的面积是 ?AQN 面积的 9 倍?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

30. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(理)试题 )(本小题满分 14 分) 已

知平面内一动点 P 到点 F ( 0 ,1) 的距离与点 P 到 x 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 , l 2 ,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A , B , l 2 与轨迹 C 相交于点
D , E ,求 AD ? EB 的最小值.

31. 北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学 ( (理) 试题 ) 已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率为

6 3

.

(I)若原点到直线 x ? y ? b ? 0 的距离为 2 , 求椭圆的方程; (II)设过椭圆的右焦点且倾斜角为 45? 的直线和椭圆交于 A,B 两点. (i)当 | AB |?
3 ,求 b 的值;

(ii)对于椭圆上任一点 M,若 OM ? ? OA ? ? OB ,求实数 ? , ? 满足的关系式.

32. 北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题) ( 在平面直角坐标系 x O y 中, 动点 P 到两点 ( ? 3 , ) , 0
( 3 , ) 的距离之和等于 4 ,设点 P 的轨迹为曲线 C ,直线 l 过点 E ( ? 1 , 0 ) 且与曲线 C 交于 A , B 两点. 0

(Ⅰ)求曲线 C 的轨迹方程; (Ⅱ)是否存在△ A O B 面积的最大值,若存在,求出△ A O B 的面积;若不存在,说明理由.

33. (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学)已知椭圆 C:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,左焦点

F (?

3 , 0 ) ,且离心率 e ?

3 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m ( k ? 0 ) 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ( M , N 不是左、右顶点) ,且以 MN 为直 径的圆经过椭圆 C 的右顶点 A. 求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标.

34. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题) 如图, 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F . 过点 P ( 2 , 0 )
2

的直线交抛物线于 A ( x1 , y 1 ) ,
B ( x 2 , y 2 ) 两点,直线 A F , B F 分别与抛物线交于点 M , N .

(Ⅰ)求 y 1 y 2 的值; (Ⅱ)记直线 M N 的斜率为 k 1 ,直线 A B 的斜率为 k 2 .证明:
k1 k2



定值.

35. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) 已知椭圆 C : )

x a

2 2

?y

2

? 1?a ? 1? 的上顶点为 A ,

左焦点为 F ,直线 AF 与圆 M : x ? y ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 相切.过点 ? 0,?
2 2

? ?

1? ? 的直线与椭圆 C 交于 P, Q 两 2?

点. (I)求椭圆 C 的方程; (II)当 ?APQ 的面积达到最大时,求直线的方程.

36. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )已知椭圆的中心在原点 O ,短半轴的端点到其右

焦点 F ? 2 , 0 ? 的距离为 1 0 ,过焦点 F 作直线,交椭圆于 A , B 两点. (Ⅰ)求这个椭圆的标准方程; (Ⅱ)若椭圆上有一点 C ,使四边形 A O B C 恰好为平行四边形,求直线的斜率.

37. (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题

)曲线 C 1 , C 2 都是以原点 O 为对称中心、离心率相

等的椭圆. M 的坐标是 点 (0,1) 线段 MN 是 C 1 的短轴, C 2 的长轴.直线 l : y ? m (0 ? m ? 1) 与 C 1 交于 A,D , 是 两点(A 在 D 的左侧) ,与 C 2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) .
3 2
5 4

(Ⅰ)当 m=

, AC ?

时,求椭圆 C 1 , C 2 的方程;

(Ⅱ)若 OB∥AN,求离心率 e 的取值范围.

38. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,

离心率为

2 2

, 且抛物线 y ? 4 2 x 的焦点是椭圆 M 的一个焦点.
2

(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点,以线段 O A , O B 为邻边作平行四边形 OAPB,其中点 P 在椭圆 M 上, O 为坐标原点. 求点 O 到直线 l 的距离的最小值.

39.【解析】北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知点 A 是椭圆 C : (

x

2

?

y t

2

9

? 1 ? t ? 0 ? 的左

顶点,直线 l : x ? m y ? 1( m ? R ) 与椭圆 C 相交于 E , F 两点,与 x 轴相交于点 B .且当 m ? 0 时,△ A E F 的 面积为
16 3

.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 A E , A F 与直线 x ? 3 分别交于 M , N 两点,试判断以 M N 为直径的圆是否经过点 B ?并 请说明理由.

40.【解析】北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知 E ? 2 , 2 ? 是抛物线 C : y 2 ? 2 p x 上一点, (

经过点 ( 2 , 0 ) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A , B 两点(不同于点 E ) ,直线 E A , E B 分别交直线 x ? ? 2 于点 M , N . (Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标; (Ⅱ)已知 O 为原点,求证: ? M O N 为定值.

41.【解析】北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上, (
3 2

离心率为

,且经过点 M ( 4 ,1) ,直线 l : y = x + m 交椭圆于不同的两点 A、 B .

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)若直线 l 不过点 M ,求证:直线 M A、 M B 的斜率互为相反数.

北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题:圆锥曲线参考答案 一、选择题 1. 2. 3. 4. 5. 6.

D B D D C 【答案】D 解: 双曲线的右焦点为 ( 4 , 0 ) , 抛物线的焦点为 (
p 2 , 0) , 所以 p 2 ? 4, p ?8。 即 所以抛物线方程为 y ? 1 6 x ,
2

0 4 ) , 焦点 F ( 4, 0 ) ,准线方程 x ? ? 4 , K ( ? 即

,设 A (

y

2

, y) ,

过A做 AM

16

垂直于准线于 M,由抛物线的定义可知 A M ? A F ,所以 A K ?
y
2

2 AF ?

2 A M ,即 A M ? M K ,所以

? (?4) ? y
1 2

, 整 理 得
1 2

y ?1 y ? 6
2

? 4 , 0 6 即

(y ?

8 ?)
2

0 , 所 以

y ?8

, 所 以

16
S ?AFK ? KF y ? ? 8 ? 8 ? 3 2 ,选 D.

7.

【答案】C 【解析】由 x ? xy ? x 得 x ( x ? y ? 1) ? 0 ,即 x ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 ,为两条直线,选 C.
2

8.

【答案】D 【解析】由题意知三角形 O M N 为等腰直角三角形,所以 M F ? O F ? c ,所以点 M ( c , c ) ,代入双曲线
c a
2 2

方程

?

c b

2 2

?1 ,当 x ? c 时,

c a

2 2

?

y b

2 2

?1 ,得 y ?

b

2

,所以由 y ?

b

2

? c , 的 b ? a c, 即
2

a

a
1? 2 5

c ? a ? ac, c ? ac ? a ? 0
2 2 2 2

, 所 以 e ? e ?1 ? 0
2

, 解 得 离 心 率 e?

, 选

D.

9.

,【答案】B 【 解析】因为抛物线的方程为 y ? 4 x ,所以焦点坐标 F (1, 0 ) ,准线方程为 x ? ? 1 。所以设 P 到准线的距
2

离为 P B ,则 P B ? P F 。 P 到直线 l : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离为 P A , 1 所 以 P A?
P B ? P? A P F , 其 中 FD 为 焦 点 到 直 线 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的 距 离 , 所 以 ? F D

FD ?

4?0?6 3 ?4
2 2

?

10 5

? 2 ,所以距离之和最小值是 2,选 B.

10. 【答案】B

解:由双曲线的焦点可知 c ?

5 ,线段 PF1 的中点坐标为 ( 0 , 2 ) ,所以设右焦点为 F 2 ,则有 P F 2 ? x ,且

P F 2 ? 4 ,点 P 在双曲线右支上。所以 P F1 ?

(2 5 ) ? 4
2

2

?

3 6 ? 6 ,所以 P F1 ? P F 2 ? 6 ? 4 ? 2 ? 2 a ,

2 2 2 所以 a ? 1, b ? c ? a ? 4 ,所以双曲线的方程为 x ?

2

y

2

? 1 ,选 B.

4

11. 【答案】D

解:当点 P 位于椭圆的两个短轴端点时, ? F1 F 2 P 为等腰三角形,此时有 2 个。 不 在 短 轴 的 端 点 时 , 要 使 ? F1 F 2 P 为 等 腰 三 角 形 , 则 有 P F1 ? F1 F 2 ? 2 c 或

,若点
P F 2 ? F1 F 2 ? 2 c 。 此 时
c a ? 1 3 1 2

P F 2 ? 2 a ? 2 c 。所以有 P F1 ? F1 F 2 ? P F 2 ,即 2 c ? 2 c ? 2 a ? 2 c ,所以 3c ? a ,即

,又当点 P 不在 ,即

短 轴 上 , 所 以 P F1 ? B F1 , 即 2 c ? a , 所 以
1 1 1 , )? ( , 1 ) 3 2 2 ,所以选

c a

?

1 2

。所以椭圆的离心率满足

1 3

? e?1且e ?

(

D.

二、填空题 12. 1 ? 13.
2;
3x

y ? ?

14. (1, 2 ] 15. ②③ 16.
1? 3

17. 【答案】 2

解 : 由椭 圆的 方程 可知 a ? 2 , c ?
| F1 F 2 | ? 2 c ? 2
2

2 , 且 | P F1 | ? | P F 2 | ? 2 a ? 4 , 所 以解 得 | P F1 | ? 3, | P F 2 | ? 1 , 又
2 2

2 ,所以有 | P F1 | ? | P F 2 | ? F1 F 2
1 2 ?2 2 ?1 ? 2。

,即三角形 P F 2 F1 为直角三角形,所以△ P F1 F 2 的面

积S? ?

1 2

F1 F 2 P F 2 ?

18.答案 4 抛物线的焦点坐标为 F (1, 0 ) ,准线方程为 x ? ? 1 .因为直线 AF 的倾斜角为 120 ,所以 ? A F O ? 6 0 ,
0

?

又 ta n 6 0 ?

?

yA 1 ? ( ? 1)

2 ,所以 y A ? 2 3 .因为 PA ? l ,所以 y P ? y A ? 2 3 ,代入 y ? 4 x ,得 x A ? 3 ,所以

P F ? P A ? 3 ? ( ? 1) ? 4 .

19. 【答案】 ( x ? 5) ? y ? 1 6
2 2

解:双曲线的渐近线为 y ? ?

4 3

x ,不妨取 y ?

4 3

x ,即 4 x ? 3 y ? 0 。双曲线的右焦点为 (5, 0 ) ,圆心到直

线 4 x ? 3 y ? 0 的距离为 d ?

4?5 3 ?4
2 2

? 4 ,即圆的半径为 4,所以所求圆的标准方程为 ( x ? 5) ? y ? 1 6 。
2 2

20. 【答案】

x

2

?

y

2

?1

4

4

解:因为双曲线经过点 ( 2 , 0 ) ,所以双曲线的焦点在 x 轴,且 a ? 2 ,又双曲线的渐近线为 y ? ? x ,所以双 曲线为等轴双曲线,即 b ? a ? 2 ,所以双曲线的方程为
21. 【答案】9
x
2

?

y

2

? 1。

4

4

解:由双曲线的方程可知 a ? 2 ,设右焦点为 F1 ,则 F1 ( 4 , 0 ) 。 P F ? P F1 ? 2 a ? 4 ,即 P F ? P F1 ? 4 , 所以 P F ? P A ? P F1 ? P A ? 4 ? A F1 ? 4 ,当且仅当 A , P , F1
A F1 ? ( 4 ? 1) ? 4
2 2

三 点 共 线 时 取 等 号 , 此 时

?

2 5 ? 5 ,所以 P F ? P A ? A F1 ? 4 ? 9 ,即 P F ? P A 的最小值为 9.

三、解答题 22.解: (I)设 P 点坐标 ( x , y ) ,则 k A P
? y x?2 x
2

(x
2

? ?2

) k BP ,

?

y x?2

(x

? 2

) ,

由已知

y x?2

?

y x?2

? ?

1 4 x

,化简得:
2

? y

?1

4 ? y
2

.

所求曲线 C 的方程为

?1

(x

? ?2

) 。

4

(II)由已知直线 AQ 的斜率存在, 且不等于 0,设方程为 y
?x ? 4y
2 2

? k ( x ? 2)



由?

? 4

? y ? k ( x ? 2)

,消去 y 得:

(1 ? 4 k ) x ? 1 6 k x ? 1 6 k ? 4 ? 0 ? ? ? (1).
2 2 2 2

因为 ? 2 , x Q 是方程(1)的两个根, 所以 ? 2 ? x Q 又 yQ
? 16k ? 4
2

1 ? 4k

2

,得 x Q
2 2

?

2 ? 8k 1 ? 4k 4k

2 2

, ,所以 Q (
2 ? 8k 1 ? 4k
2 2

? k ( xQ ? 2 ) ? k (

2 ? 8k 1 ? 4k

? 2) ?

1 ? 4k

2

,

4k 1 ? 4k
2

)



当x

? 4

,得 y M

? 6k

,即 M
1 4k

( 4, 6 k )


? ? 1 4k ( x ? 2)

又直线 BQ 的斜率为 ?

,方程为 y

,当 x

? 4

时,得 y N

? ?

1 2k

,即 N ( 4 , ?

1 2k

)



直线 BM 的斜率为 3 k ,方程为 y
?x ? 4y
2 2

? 3k ( x ? 2)



由?

? 4

? y ? 3k ( x ? 2)

,消去 y 得:

(1 ? 3 6 k ) x ? 1 4 4 k x ? 1 4 4 k ? 4 ? 0 ? ? ? (2).
2 2 2 2

因为 2, x D 是方程(2)的两个根,所以
2 ? xD ? 144k
2

?4
2

1 ? 36k 72k
2


? 3k ( xD ? 2) ? ? 12k 1 ? 36k
2

得 xD

?

?2
2

1 ? 36k

,又 y D

,即 D (

72k ? 2
2

1 ? 36k
1 2k )

2

,?

12k 1 ? 36k
2

)



由上述计算: A ( ? 2 , 0 ) , D ( 因为 k A D
? ? 1 12k

72k ? 2
2

1 ? 36k

2

,?

12k 1 ? 36k
2

)

, N (4, ? 。



, k AN

? ?

1 12k

,所以 k A D

? k AN

所以 A、D、N 三点共线。
x a
2 2
2 2

23.解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? ,由题意

?a ? b ? 4 2 2 x y ? 2 2 ? ? 1. ,解得 a ? 8 , b ? 4 ,所以椭圆 C 的方程为 ? 4 2 8 4 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

…………5 分

(Ⅱ)假设存在斜率为 k 的直线,其垂直平分线经过点 Q(0,3) , 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点为 N(x0,y0),
?x y ? ?1 ? 2 2 2 由? 8 得 (1 ? 2 k ) x ? 4 m kx ? 2 m ? 8 ? 0 , 4 ? y ? kx ? m ?
2 2
2 2 2 2 2 2

…………………6 分

? ? 1 6 m k ? 4 (1 ? 2 k )( 2 m ? 8) ? 6 4 k ? 8 m ? 3 2 ? 0 ,所以 8 k ? m ? 4 ? 0 ,…7 分
2 2

x1 ? x 2 ? ?
? x0 ?

4mk 1 ? 2k
2

,
2mk 1 ? 2k
2

x1 ? x 2 2

? ?

, y0 ? kx0 ? m ?

m 1 ? 2k
2

,

……………8 分

? 线段 AB 的垂直平分线过点 Q(0,3) ,

? k N Q ? k ? ? 1 ,即
?? ? 0 ,

y0 ? 3 x0

? k ? ? 1 ,? ? m ? 3 ? 6 k ,…………10 分
2

整理得 3 6 k ? 2 8 k ? 5 ? 0 ,显然矛盾? 不存在满足题意的 k 的值。………13 分
4 2

24.解: (I)设椭圆的焦距为 2 c ,

因为 a ?

2 ,

c a

?

2 2

,所以 c ? 1 ,所以 b ? 1 .

所以椭圆 C :

x

2

? y

2

? 1 ………………4 分

2

(II)设 A ( x 1 , y 1 ) B ( x 2 , y 2 ) ,
? y ? kx ?x ? 2y ? 2 ? 0
2 2

由直线 l 与椭圆 C 交于两点 A , B ,则 ?

2 2 所以 (1 ? 2 k ) x ? 2 ? 0 ,则 x 1 ? x 2 ? 0 , x 1 x 2 ? ?

2 1 ? 2k
2

………………6 分

所以 A B ?

(1 ? k )
2

8 1 ? 2k
2

?

8 (1 ? k )
2

1 ? 2k

2

………………7 分

点 M ( 2 ,0)到直线 l 的距离 d ?

2k 1? k
2

则 GH ? 2 r2 ?

2k

2 2

1? k

………………9 分

显然,若点 H 也在线段 A B 上,则由对称性可知,直线 y ? k x 就是 y 轴,矛盾, 所以要使 A G ? B H ,只要 A B ? G H
B G
2

H

所以

8(1 ? k )
2

1 ? 2k 2k
2 2

2

? 4(r ?
2

2k

2

1? k

)

A

r ?
2

1? k

?

2 (1 ? k )
2

1 ? 2k

2

?

2 ( 3 k ? 3 k ? 1)
4 2

2 k ? 3k ? 1
4 2

? 2 (1 ?

k
4

4 2

2 k ? 3k ? 1

) ………………11 分

当 k ? 0 时, r ?

2 ………………12 分

当 k ? 0 时,

r ? 2 (1 ?
2

1 1 k
4

?

3 k
2

) ? 2 (1 ? ?2

1 2

) ? 3

又显然

r ? 2 (1 ?
2

1 1 k
4

?

3 k
2

)? 2 ?2

,

所以 2 ? r ?

3

综上, 2 ? r ?

3 ………………14 分

25.解:(Ⅰ)由题意得

( x ? 1) ? y
2

2

| x?4|

?

1 2

,化简并整理,得

x

2

?

y

2

? 1.

4 x
2

3

所以动点 P ( x, y ) 的轨迹 C 的方程为椭圆
3 2 3 2

?

y

2

? 1.
3 2

………3 分

4

3
3 2

(Ⅱ)当 m ? 0 时, A(1, ) 、 B (1,? ) , D (4, ) 、 E (4,? ) 直线 AE 的方程为: 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,直线 BD 的方程为: 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 , 方程联立解得 x ?
5 5 , y ? 0 ,直线 AE 、 BD 相交于一点 ( ,0) . 2 2 5

假设直线 AE 、 BD 相交于一定点 N ( ,0) .
2

………5 分

证明:设 A(my1 ? 1, y1 ) , B (my 2 ? 1, y 2 ) ,则 D (4, y1 ) , E (4, y 2 ) ,
? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y2 消去 x 并整理得 (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 ,显然 ? ? 0 , ? ?1 ? 3 ? 4

由韦达定理得 y1 ? y 2 ? 因为 NA ? (my1 ?
3 2 3

? 6m 3m ? 4
2

, y1 y 2 ?

?9 3m ? 4
2

.

………7 分

3 , y1 ) , NE ? ( , y 2 ) , 2 2 3 2 ? my1 y 2 ? 3 2 ( y1 ? y 2 )

所以 (my1 ? ) ? y 2 ? y1 ?
? ? 9m 3m ? 4
2

?

3 2

?

? 6m 3m ? 4
2

?0

………11 分 ………12 分
5

所以, NA // NE ,所以 A 、 N 、 E 三点共线,

同理可证 B 、 N 、 D 三点共线,所以直线 AE 、 BD 相交于一定点 N ( ,0) .14 分
2

26. (Ⅰ)解:依题意,当直线 A B 经过椭圆的顶点 ( 0 , b ) 时,其倾斜角为 6 0 .

?

……1 分

设 F (? c, 0) ,



b c

? ta n 6 0 ?

?

3 .
2 2

………………2 分
2

将 b?

3 c 代入 a ? b ? c ,

解得 a ? 2 c . 所以椭圆的离心率为 e ?
c a

………………3 分
? 1 2


x

…………4 分
2 2

(Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,椭圆的方程可设为

?

y

2 2

?1.

……5 分

4c

3c

设 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) .依题意,直线 A B 不能与 x , y 轴垂直,故设直线 A B 的方程为 y ? k ( x ? c ) ,将 其代入 3 x ? 4 y ? 1 2 c ,整理得 ( 4 k ? 3) x ? 8 ck x ? 4 k c ? 1 2 c ? 0 .……………7 分
2 2 2
2 2 2 2 2 2

则 x1 ? x 2 ?

? 8ck
2

2

4k ? 3

, y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 2 c ) ?
3ck

6ck 4k ? 3
2

,G (

? 4ck
2

2

4k ? 3 4k ? 3
2

,

3ck

) .8 分

因为 G D ? A B ,所以

? ck 4k ? 3 ? k ? ?1 , xD ? . 2 2 ? 4ck 4k ? 3 ? xD 2 4k ? 3
2

2

………9 分

因为 △ G F D ∽△ O E D ,
S1 S2 | GD | | OD |
2 2

( ?

? 4 ck
2

2

所以

?

4k ? 3

?

? ck
2

2

4k ? 3 2 ? ck 2 ( ) 2 4k ? 3
2 2

) ?(
2

3 ck 4k ? 3
2

)

2

…11 分

?

(3 c k ) ? (3 c k )
2 2

2

(ck )
S1 S2

2

2

?

9c k ? 9c k
2 4

c k

2

4

? 9?

9 k
2

? 9 .……13 分

所以

的取值范围是 (9, ? ? ) .

…………14 分

27.解: (I)由题意知, 4 a ? 8 ,所以 a ? 2 .

因为 e ?
b a
2 2

1 2

所以

?

a ?c
2

2

a

2

? 1? e ?
2

3 4



所以 b ? 3 .
2

所以椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

4

3

(II)由题意,当直线 A B 的斜率不存在,此时可设 A ( x 0 , x 0 ) , B ( x 0 , ? x 0 ) . 又 A , B 两点在椭圆 C 上, 所以
x0 4
2

?

x0 3

2

? 1 , x0 ?
2

12 7



所以点 O 到直线 A B 的距离 d ?

12 7

?

2

21 7



当直线 A B 的斜率存在时,设直线 A B 的方程为 y ? kx ? m .
? y ? kx ? m , ? 由? x2 y2 消去 y 得 ? ?1 ? 3 ? 4

(3 ? 4 k ) x ? 8 km x ? 4 m ? 1 2 ? 0 .
2 2 2

由已知 ? ? 0 . 设 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) .
8km 3 ? 4k
2

所以 x1 ? x 2 ? ?

, x1 x 2 ?

4m ? 12
2

3 ? 4k

2



因为 O A ? O B , 所以 x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 . 所以 x1 x 2 ? ( kx1 ? m )( kx 2 ? m ) ? 0 . 即 ( k ? 1) x1 x 2 ? km ( x1 ? x 2 ) ? m ? 0 .
2 2

所以 ( k ? 1)
2

4m ? 12
2

3 ? 4k

2

?

8k m 3 ? 4k

2

2 2

?m

2

? 0.

整理得 7 m

2

? 12 ( k

2

? 1) ,满足 ? ? 0 .

所以点 O 到直线 A B 的距离
d ? |m | k ?1
2

?

12 7

?

2

21 7

为定值.

28. (Ⅰ)由焦点坐标为 (1, 0 )

可知

p 2

?1

所以 p ? 2

所以抛物线 C 的方程为 y

2

? 4 x …………………………………4 分

(Ⅱ) 当直线 l 垂直于 x 轴时, ? ABO 与 ? MNO 相似, 所以
S ?ABO S ?M NO ?( OF 2 ) ?
2

1 4

…………………………………….…6 分

当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 1) ………………………7 分 设 M ( ? 2, y M ) , N ( ? 2, y N ) , A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 解
? y ? k ( x? 1 ) ? 2 ? y ? 4x

整理得

k

2

x ? ( 4 ? 2k
2

2

) x? k ? , 0
2

所以 x 1 ? x 2 ? 1
1 ? S ?ABO S ?M NO ? 2 1 2 ? A O ? B O ? s in ? A O B

…………………………………………………………….9 分

? ? M O ? N O ? s in ? M O N

AO MO

?

BO NO

?

x1 2

?

x2 2

?

1 4

…………………….14 分

综上

S ?ABO S ?M NO

?

1 4

29. (Ⅰ)解:设点 P 的坐标为 ( x, y ) .

由题意知 2 ? ( x ? 1) ? y ? 2 ? x
2 2

……………………………3 分

化简得

x ? 2y ? 2
2 2

所以动点 P 的轨迹方程为

x ? 2y ? 2
2 2

……………………………5 分

(Ⅱ)设直线 FP 的方程为 x ? ty ? 1 ,点 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 因为 ?AQN ∽ ?APM ,所以有 PM ? 3QN ,由已知得 PF ? 3QF , 所以有 y1 ? ?3 y2 (1) 由?
? x ? ty ? 1 ?x ? 2 y ? 2
2 2

……………………………7 分

,得 (t ? 2) y ? 2ty ? 1 ? 0 , ? ? 0
2 2

y1 ? y2 ? ?

2t t ?2
2

(2) y1 ? y2 ? ? ,

1 t ?2
2

(3)

……………………………10 分

由(1) (3)得 t ? ?1, y1 ? 1, y2 ? ? 或 t ? 1, y1 ? ?1, y2 ? (2)
3

1

1 3

所以 存在点 P 为 (0, ?1)
30.解析: (1)设动点 P 的坐标为 ( x , y ) ,由题意得
x
2

……………………………13 分
? ( y ? 1)
2

? y ?1

……………2 分

化简得 x

2

? 2y ? 2 y
2

当y ? 0时x

? 4 y ;当 y ? 0 时 x ? 0
2

所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x

? 4y 和x ? 0(y ? 0)

………………………5 分

(2)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k ,则 l1 的方程为 y ? kx ? 1 . 由 ?
? y ? kx ? 1 ? x
2 2

? 4y

得x

? 4 kx ? 4 ? 0

设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则
x1 ? x 2 ? 4 k , x1 x 2 ? ? 4 , y1 ? y 2 ? 4 k
2

? 2, y1 y 2 ? 1

…………………………7 分
x3 ? x4 ? ? 4 k , x 3 x 4 ? ?4 ,

因为 l1 ? l 2 , 所以 l 2 的斜率为 ?
y3 ? y4 ? 4 k
2

1 k

. D ( x 3 , y 3 ), E ( x 4 , y 4 ) , 设 则同理可得

? 2, y3 y 4 ? 1

…………………………8 分

AD ? EB ? ( AF ? FD ) ? ( EF ? FB ) ? AF ? EF ? FD ? EF ? AF ? FB ? FD ? FB ? FD ? EF ? AF ? FB ? FD EF ? AF FB ? ( y 3 ? 1)( y 4 ? 1) ? ( y 1 ? 1)( y 2 ? 1)
? y 3 y 4 ? ( y 3 ? y 4 ) ? 1 ? y1 y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 1
? 8 ? 4k
2

…………………………………11 分 ……………………………13 分 …………………………14 分
? c a
2
2 2

?
2

4 k
2

? 8 ? 4(k 1

2

?

1 k
2

) ? 8 ? 4 ? 2 ? 16
???? ??? ?

当且仅当 k ?

k

2

即 k ? ? 1 时, A D ? E B 取最小值 16.
c a 6 3

31.解: (I)? d ?

b 2

?

2

?b ? 2
2 3

?e ?

?

?

2 3

?a ?b ? c
2 2

2

?a ? 4 ?
2

a

2

解得 a ? 12, b ? 4.
2

椭圆的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

…………………………4 分

12
c 6 3
2

4
2 3

(II) ? ? (i)∵e
2

,? a

2

? 3b , c ?
2 2

a

2

? 2b . 椭圆的方程可化为:
2

x ? 3y
2

2

? 3b

① ②

易知右焦点 F ( 2b,0) ,据题意有 AB: y ? x ? 2b 由①,②有: 4 x ? 6 2bx ? 3b ? 0
2 2



设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,
72b ? 48b
2 2

| AB |?

( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )
2

2

?

(1 ? 1 )
2

4

2

?

2?

24b 4
2

2

?

3b ?

3

?b ? 1

………………………8 分

(2) (ii)显然 OA 与 OB 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量 OM , 有且只有一对实数λ ,μ ,使得等 OM ? ? OA ? ? OB 成立. 设 M(x,y) ,
? ( x, y ) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x 2 , y 2 ),? x ? ?x1 ? ?x 2 , y ? ?y1 ? ?y 2 ,

又点 M 在椭圆上,? (?x1 ? ?x 2 ) ? 3(?y1 ? ?y 2 ) ? 3b
2 2

2



由③有: x1 ? x 2 ?

3 2b 2

, x1 x 2 ?

3b 4

2

则 x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ? x1 x 2 ? 3( x1 ? 2b)( x 2 ? 2b) ? 4 x1 x 2 ? 3 2b( x1 ? x 2 ) ? 6b 2
3b ? 9b ? 6b ? 0
2 2 2


2 2 2 2 2 2

又 A,B 在椭圆上,故有 x1 ? 3 y1 ? 3b , x 2 ? 3 y 2 ? 3b 将⑥,⑤代入④可得: ? ? ? ? 1.
2 2



……………………14 分
3, ) , ( 3 , ) 为 焦 点 , 长 半 轴 长 为 2 0 0

32. 解 . ( Ⅰ ) 由 椭 圆 定 义 可 知 , 点 P 的 轨 迹 C 是 以 ( ?

的椭

圆.……………………………………………………………………………3 分 故曲线 C 的方程为
x
2

? y ? 1 . …………………………………………………5 分
2

4

(Ⅱ)存在△ A O B 面积的最大值. …………………………………………………6 分 因为直线 l 过点 E ( ? 1 , 0 ) ,可设直线 l 的方程为 x ? m y ? 1 或 y ? 0 (舍) .
?x 2 ? y ? 1, ? 则? 4 ? x ? m y ? 1. ?
2

整理得 ( m ? 4 ) y ? 2 m y ? 3 ? 0 .…………………………………7 分
2 2

由 ? ? (2m ) ? 12(m ? 4) ? 0 .
2 2

设 A ( x1, y 1 ), B ( x 2, y 2 ) .
m ?2
2

解得

y1 ?

m ?3
2

m ?4
4 m ?3
2



y2 ?

m?2
2

m ?3
2

m ?4





| y 2 ? y1 |?
? 1 2

m ?4
2



因为 S ? A O B
? 2
2

O E ? y1 ? y 2

m ?3 m ?4
2

?
2

2 m ?3? 1 m ?3
2

. ………………………10 分

设 g (t ) ? t ?

1 t

,t ?

m ? 3 ,t ?
2

3 .

则 g ( t ) 在区间 [ 3 , ? ? ) 上为增函数.
4 3 3 3 2
3 2

所以 g ( t ) ?



所以 S ? A O B ?

,当且仅当 m ? 0 时取等号,即 ( S ? A O B ) m a x ?



所以 S ? A O B 的最大值为

3 2

.………………………………………………………………13 分

?c ? 3 ? c 3 ? 33.解: (Ⅰ)由题意可知: ? e ? ? a 2 ? 2 2 ?a ? b ? c 2 ?

……1 分

解得 a ? 2 , b ? 1

………2 分

所以椭圆的方程为:

x

2

? y

2

?1

……3 分

4

?x2 2 ? y ?1 ? (II)证明:由方程组 ? 4 ? y ? kx ? m ?
? ? ( 8 km ) ? 4 (1 ? 4 k )( 4 m
2 2 2

得( 1 ? 4 k ) x
2

2

? 8 kmx ? 4 m

2

? 4 ? 0 …4 分

? 4) ? 0

整理得 4 k 2 ? m 2 ? 1 ? 0 设 M ( x 1 , x 2 ), N ( x 2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ? ?
8 km 1 ? 4k
2

………..5 分

, x1 x 2 ?

4m

2

?4
2

1 ? 4k

…….6 分

由已知, AM ? AN 且椭圆的右顶点为 A ( 2 , 0 )
? ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) ? y 1 y 2 ? 0
2

………7 分 ………
2

8分

y 1 y 2 ? ( kx 1 ? m )( kx 2 ? m ) ? k x 1 x 2 ? km ( x 1 ? x 2 ) ? m

即 (1 ? k ) x 1 x 2 ? ( km ? 2 )( x 1 ? x 2 ) ? m ? 4 ? 0
2 2

也即 (1 ? k )) ?
2

4m

2

?4
2

1 ? 4k

? ( km ? 2 ) ?

? 8 km 1 ? 4k
2

? m

2

? 4 ? 0

…… 10 分

2 2 整理得: 5 m ? 16 mk ? 12 k ? 0

……11 分 ……12 分

解得 m ? ? 2 k 或 m ? ? 当

6k 5

2 2 均满足 4 k ? m ? 1 ? 0

m ? ? 2 k 时,直线的 l 方程为 y ? kx ? 2 k ,过定点(2,0)与题意矛盾舍去……13 分
6k 5

当m ? ?

时,直线的 l 方程为 y ? k ( x ?
6 5

6 5

) ,过定点 (

6 5

,0 )

故直线 l 过定点,且定点的坐标为 ( , 0 )
34. (Ⅰ)解:依题意,设直线 A B 的方程为 x ? m y ? 2 .

…….14 分 ………………1 分 ………………4 分 ………………5 分

将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,整理得 y ? 4 m y ? 8 ? 0 .
2 2

从而 y1 y 2 ? ? 8 .

(Ⅱ)证明:设 M ( x 3 , y 3 ) , N ( x 4 , y 4 ) .
y1
2 2



k1 k2

?

y3 ? y4 x3 ? x 4

?

x1 ? x 2 y1 ? y 2

?

y3 ? y4 y3 4
2

?

y2

2

?

y4 4

4 ? 4 y1 ? y 2

?

y1 ? y 2 y3 ? y4



………………7 分

设直线 A M 的方程为 x ? n y ? 1 ,将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,
2

整理得 y ? 4 n y ? 4 ? 0 .
2

………………9 分 ………………10 分 ………………11 分
y1 y 2 ?4

所以 y1 y 3 ? ? 4 . 同理可得 y 2 y 4 ? ? 4 . 故
k1 k2 ? y1 ? y 2 y3 ? y4 ? y1 ? y 2 ?4 y1
k1 k2

?

?4 y2

?



………………13 分

由(Ⅰ)得

? 2 ,为定值.

………………14 分

35. 解:(I)将圆 M 的一般方程 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 化为标准方程 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 3 ,则圆 M 的圆心
2 2
2 2

M ?? 3,1? ,半径 r ?

3 .由 A?0,1?, F ?? c,0 ? c ?

?

a ? 1 得直线 AF 的方程为 x ? cy ? c ? 0 .
2

?

由直线 AF 与圆 M 相切,得

?3?c ?c 1? c
2

?

3,

所以 c ? 当c ?

2 或 c ? ? 2 (舍去). 2 时, a ? c ? 1 ? 3 ,
2 2

故椭圆 C 的方程为

x

2

?y

2

?1

3

(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为 k , 则直线的方程为 y ? kx ?
? ?

1 2

.

因为点 ? 0,?

1? ? 在椭圆内, 2?

所以对任意 k ? R ,直线都与椭圆 C 交于不同的两点.

1 ? y ? kx ? , ? 9 ? 2 由? 2 得 ?1 ? 3k 2 ?x 2 ? 3kx ? ? 0 . 4 ? x ? y2 ? 1 ? 3 ?

设点 P, Q 的坐标分别为 ? x1 , y1 ?, ? x 2 , y 2 ? ,则
y1 ? kx1 ? 1 2 , y 2 ? kx 2 ? 1 2 , x1 ? x 2 ? 3k 1 ? 3k
2

, x1 x 2 ? ?

4 1 ? 3k

?

9
2

?

,

所以 PQ ?
?
3
2

?x2
1

? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ?
2

2

?1 ? k ???x
2

? x 2 ? ? 4 x1 x 2
2
2

?

?

?1 ? k ??1 ? 4k ?
1 ? 3k
2

.

又因为点 A?0,1? 到直线 y ? kx ?

1 2

的距离 d ?

3 2 k ?1
2

,

所以 ?APQ 的面积为 S ?
1 1 ? 3k
2

1 2

PQ ? d ?
1 3t

9 1 ? 4k 4 1 ? 3k
? 1 3

2

?

2

?

设t ?

,则 0 ? t ? 1 且 k 2 ?
1 3 9 4 4t 3 t
2

,
1 3 4 3

S ?

9 4

t?

4 3t

?

?

?

?

9 4

?

?t ? 2?2

?

.

3

因为 0 ? t ? 1 , 所以当 t ? 1 时, ?APQ 的面积 S 达到最大, 此时
1 1 ? 3k
2

? 1 ,即 k ? 0 . 1 2

故当 ?APQ 的面积达到最大时,直线的方程为 y ? ?
x a
2 2

36.解: (Ⅰ)由已知,可设椭圆方程为

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? ,…………………… 1 分

则 a ? 所以

10 , c ? 2 .

…………………………………………2 分
10 ? 4 ? 6 , …………………………………3 分

b ?

a ?c
2

2

?

所以 椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1 . …………………………………………4 分

10

6

(Ⅱ)若直线 l ? x 轴,则平行四边形 AOBC 中,点 C 与点 O 关于直线对称,此时点 C 坐标为 ? 2 c , 0 ? .因 为 2c ? a 直. , 所 以 点 C 在 椭 圆 外 , 所 …………………………………………6 分 以 直 线 与
x







于是,设直线的方程为 y ? k ? x ? 2 ? ,点 A ? x1 , y1 ? , B ? x 2 , y 2 ? , …7 分
? x y ? ? 1, ? 则 ? 10 整理得, ? 3 ? 5 k 2 ? x 2 ? 2 0 k 2 x ? 2 0 k 2 ? 3 0 ? 0 … 8 分 6 ? y ? k ? x ? 2?, ?
2 2

x1 ? x 2 ?

20k

2 2

3 ? 5k


12k 3 ? 5k
2

………………………………………… 9 分

所以

y1 ? y 2 ? ?



……………………………………… 10 分

因为 四边形 A O B C 为平行四边形, 所以 O A ? O B ? O C ,
2

??? ?

??? ?

????

……………………………………… 11 分

? 20k 12k ? ,? 所以 点 C 的坐标为 ? , ……………………………12 分 2 2 ? 3 ? 5k ? ? 3 ? 5k
? 20k ? ? 2 ? ? 3 ? 5k ?
2 2

所以

?

12k ? ? ?? 2 ? ? 3 ? 5k ? 6

2

?1,

……………………………13 分

10
2 解得 k ? 1 ,

所以 k ? ? 1 .
37.解: (Ⅰ)设 C1 的方程为
x a
2 2 2

………………………………14 分
? y ? 1 ,C2 的方程为
x b
2 2

? y ? 1 ,其中 a ? 1, 0 ? b ? 1 ...2 分
2

? C1 ,C2 的离心率相同,所以

a ?1
2

a

2

? 1 ? b ,所以 a b ? 1 ,……………………….…3 分
2

? C2 的方程为 a x ? y ? 1 .
2 2 2

当 m=

3 2

时,A ( ?

a 2

,

3 2

) ,C (

1 2a

,

3 2

) . .………………………………………….5 分

又? A C ?

5 4

,所以,

1 2a

?

a 2
2

?

5 4

,解得 a=2 或 a=

1 2

(舍), ………….…………..6 分

? C1 ,C2 的方程分别为

x

2

? y ? 1 , 4 x ? y ? 1 .………………………………….7 分
2 2

4
1 a 1? m
2

(Ⅱ)A(- a 1 ? m ,m), B(2

,m) . …………………………………………9 分

? OB∥AN,? k O B ? k A N ,

?
?

m 1 a 1? m
2
2

?

m ?1 ?a 1? m
2

,? m ?

1 a ?1
2

. …………………………………….11 分

e ?
2

a ?1 a
2

,? a ?
2

1 1? e
2

,? m ?

1? e e
2
2

2

. ………………………………………12 分

? 0 ? m ? 1 ,? 0 ?

1? e e
2

2

? 1 ,?

? e ? 1 .........................................................13 分

2
x a
2 2

38. 解 : I ) 由 已 知 抛 物 线 的 焦 点 为 ( 2 , 0 ) , 故 设 椭 圆 方 程 为 (

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,



c ?

2 ,由 e ?

2 2

, 得 a ? 2 , b ? 2 . 所以椭圆 M 的方程为
2

x

2

?

y

2

? 1 . ……5 分

4

2

(II)当直线 l 斜率存在时,设直线方程为 y ? k x ? m ,
? y ? kx ? m ,
2 ? x2 y ? ? 1. ? ? 4 2

则由 ?

消去 y 得, (1 ? 2 k ) x ? 4 km x ? 2 m ? 4 ? 0 ,
2 2 2

…………………6 分
2

? ? 1 6 k m ? 4 (1 ? 2 k )( 2 m ? 4 ) ? 8( 2 ? 4 k ? m ) ? 0
2 2 2 2 2



①…………7 分

( ( 设 A、 B、 P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、 x 2 , y 2 )、 x 0 , y 0 ) ,则:
4 km 1 ? 2k
2

x 0 ? x1 ? x 2 ? ?

, y 0 ? y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 m ?

2m 1 ? 2k
2

…………8 分 ,

由于点 P 在椭圆 M 上,所以

x0 4

2

?

y0 2

2

?1 .

……… 9 分

从而

4k m

2

2 2 2

(1 ? 2 k )

?

2m

2 2 2

(1 ? 2 k )

? 1 ,化简得 2 m ? 1 ? 2 k ,经检验满足①式.
2 2

………10 分 又点 O 到直线 l 的距离为:
1 d ? |m | 1? k
2

?k

2

?

2 1? k
2

?

1?

1 2 (1 ? k )
2

?

1?

1 2

?

2 2

………11 分 ………12 分

当且仅当 k ? 0 时等号成立 当直线 l 无斜率时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上,

从而点 P 的坐标为 ( ? 2, 0 ) 或 ( 2, 0 ) ,直线 l 的方程为 x ? ? 1 ,所以点 O 到直线 l 的距离为 1 .
2 2

所以点 O 到直线 l 的距离最小值为

.

………13 分

39.解: (Ⅰ)当 m ? 0 时,直线 l 的方程为 x ? 1 ,设点 E 在 x 轴上方,
?x y ? ? 1, 2 2t 2 2t 4 2t ? ), F (1, ? ) ,所以 E F ? 由? 9 解得 E (1, . t 3 3 3 ? x ?1 ?
2 2

因为△ A E F 的面积为

1 2

?4?

4

2t 3

?

16 3

,解得 t ? 2 .

所以椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

…………………………………………………4 分

9
2 2

2

?x y ? ? 1, ? 2 2 (Ⅱ)由 ? 9 得 ( 2 m ? 9 ) y ? 4 m y ? 1 6 ? 0 ,显然 m ? R .…………………5 分 2 ? x ? my ?1 ?

设 E ( x1 , y 1 ), F ( x 2 , y 2 ) , 则 y1 ? y 2 ?
?4m 2m ? 9
2

, y1 y 2 ?

?16 2m ? 9
2

,………………………………………………6 分

x1 ? m y 1 ? 1 , x 2 ? m y 2 ? 1 .

y1 ? ( x ? 3), 6 y1 ?y ? x1 ? 3 ( x ? 3) ,由 ? ), 又直线 A E 的方程为 y ? 解得 M (3, x1 ? 3 x1 ? 3 ? x ? 3 ?
y1

同理得 N (3,

???? ? ???? 6 y1 6 y2 ) .所以 B M ? ( 2 , ), B N ? ( 2 , ) ,……………………9 分 x1 ? 3 x2 ? 3 x2 ? 3 6 y2 6 y1 x1 ? 3 6 y2 x2 ? 3

又因为 B M ? B N ? ( 2 ,

???? ???? ?

) ? (2,

)

? 4?

3 6 y1 y 2 ( x1 ? 3)( x 2 ? 3)

? 4?

3 6 y1 y 2 ( m y 1 ? 4 )( m y 2 ? 4 )

?

4 ( m y 1 ? 4 )( m y 2 ? 4 ) ? 3 6 y 1 y 2 m y1 y 2 ? 4 m ( y1 ? y 2 ) ? 1 6
2

?

?16(4m ? 36) ? 16 ? 4 m ? 16 ? 4(2 m ? 9)
2 2 2

?32m ? 16(2 m ? 9)
2 2

?

?64m ? 576 ? 64m ? 128m ? 576
2 2 2

? 0 .…………………………13 分

9

所以 B M ? B N ,所以以 M N 为直径的圆过点 B . …………………………………14 分
40.解: (Ⅰ)将 E ? 2 , 2 ? 代入 y ? 2 p x ,得 p ? 1
2

???? ?

????

所以抛物线方程为 y ? 2 x ,焦点坐标为 (
2

1 2

, 0)

………………3 分

(Ⅱ)设 A (

y1 2

2

, y1 ) , B (

y2 2

2

, y 2 ) , M ( x M , y M ), N ( x N , y N ) ,

法一: 因为直线 l 不经过点 E ,所以直线 l 一定有斜率 设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2 )
? y ? k ( x ? 2) ?y
2

与抛物线方程联立得到 ?

? 2x

,消去 x ,得:

ky ? 2 y ? 4k ? 0
2

则由韦达定理得:

y1 y 2 ? ? 4 , y1 ? y 2 ?

2 k

………………6 分 直线 A E 的方程为: y ? 2 ?
y1 ? 2 y1 2
2

? x ? 2 ? ,即 y

?

2 y1 ? 2

?x ? 2? ? 2 ,

?2
x ? ?2


yM ? 2 y1 ? 4 y1 ? 2



得 …………

……9 分 同
yN ? 2 y2 ? 4 y2 ? 2







: ……

…………10 分 又 O M ? ( ? 2 , y m ), O N ? ( ? 2 ,
???? ???? ?

???? ?

????

?4 ym

),

所以 O M ? O N ? 4 ? y M y N ? 4 ?
4[ y 1 y 2 ? 2 ( y 1 ? y 2 ) ? 4 ] [ y1 y 2 ? 2 ( y1 ? y 2 ) ? 4 ]

2 y1 ? 4 2 y 2 ? 4 ? y1 ? 2 y2 ? 2

? 4?

4(?4 ? ? 4? 4(?4 ?

4 k 4 k

? 4) ? 4)

? 0

………………13 分
π 2

所以 O M ? O N ,即 ? M O N 为定值 法二: 设直线 l 方程为 x ? m y ? 2
?x ? my ? 2 ?y
2

………………14 分

与抛物线方程联立得到 ?

? 2x

,消去 x ,得:

y ? 2my ? 4 ? 0
2

则由韦达定理得:
y 1 y 2 ? ? 4, y 1 ? y 2 ? 2 m

………………6 分 直线 A E 的方程为: y ? 2 ?
y1 ? 2 y1 2
2

? x ? 2 ? ,即 y

?

2 y1 ? 2

?x ? 2? ? 2 ,

?2
x ? ?2


yM ? 2 y1 ? 4 y1 ? 2



得 …………

……9 分 同
yN ? 2 y2 ? 4 y2 ? 2







: ……

…………10 分 又 O M ? ( ? 2 , y m ), O N ? ( ? 2 ,
???? ? ???? ?4 ym ),

???? ???? ? 4 ( y 1 ? 2 )( y 2 ? 2 ) OM ?ON ? 4 ? yM yN ? 4 ? ( y 1 ? 2 )( y 2 ? 2 )
4[ y 1 y 2 ? 2 ( y 1 ? y 2 ) ? 4 ] [ y1 y 2 ? 2 ( y1 ? y 2 ) ? 4 ]

? 4?

? 4?

4(?4 ? 2m ? 4) 4(?4 ? 2m ? 4)

? 0

………
π 2

………12 分 所以 O M ? O N ,即 ? M O N 为定值
x a
2 2

………………13 分
3 2
2 2

41.

(Ⅰ)设椭圆的方程为

?
1 b
2

y b

2 2

? 1 ,因为 e ?

2 2 ,所以 a ? 4 b ,

又因为 M ( 4,1) ,所以
x
2

16 a
2

?

? 1 ,解得 b ? 5, a ? 2 0 ,

故椭圆方程为

?

y

2

?1.

…………………4 分

20

5 x
2

(Ⅱ)将 y ? x ? m 代入

?

y

2

? 1 并整理得 5 x ? 8 m x ? 4 m ? 2 0 ? 0 ,
2 2

20
2 2

5

? = (8 m ) -2 0 ( 4 m -2 0 )> 0, 解得 ? 5 ? m ? 5 .

…………………7 分

(Ⅲ)设直线 M A , M B 的斜率分别为 k 1 和 k 2 ,只要证明 k 1 ? k 2 ? 0 . 设 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,
8m 5 4m ? 20
2

则 x1 ? x 2 ? ?

, x1 x 2 ?
y2 ? 1 x2 ? 4



…………………9 分

5
( y 1 ? 1)( x 2 ? 4 ) ? ( y 2 ? 1)( x1 ? 4 ) ( x1 ? 4 )( x 2 ? 4 )

k1 ? k 2 ?

y1 ? 1 x1 ? 4

?

?

分 子 ? ( x1 ? m ? 1)( x 2 ? 4 ) ? ( x 2 ? m ? 1)( x1 ? 4 ) ? 2 x1 x 2 ? ( m ? 5)( x1 ? x 2 ) ? 8( m ? 1) ? 2(4m ? 20)
2

?

8 m ( m ? 5) 5

? 8( m ? 1) ? 0

5

所以直线 M A、 M B 的斜率互为相反数.

…………………14 分


北京2013届高三最新理科试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题精选)专题:圆锥曲线

北京2013届高三最新理科试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题精选)专题:圆锥曲线_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编 (含 ...

北京2013届高三最新理科试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题精选)专题:圆锥曲线

北京2013 届高三最新模拟试题分类汇编 (含 9 区一模及上学期期末试题精选) 专题:圆锥曲线一、选择题 1 .( 2013 届北京大兴区一模理科) 双曲线 x2 - my 2 ...

【精品推荐】北京2013届高三最新文科试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题精选)专题9:圆锥曲线

【精品推荐】北京 2013 届高三最新文科试题分类汇编(含 9 区一模及上学期 期末试题精选)专题 9:圆锥曲线一、选择题 1 .(2013 届北京东城区一模数学文科)已知点...

北京2013届高三最新文科试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题精选)专题9:圆锥曲线

北京2013届高三最新文科试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题精选)专题9:圆锥曲线_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京2013届高三最新文科试题分类汇编(含9区...

北京2013届高三最新数学文试题分类汇编专题9:圆锥曲线

北京2013届高三最新数学试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题精选)专题9:圆锥曲线北京2013届高三最新数学试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题精选)专题9...

北京市10区2013届高三上学期期末数学(理)试题分类汇编:圆锥曲线

北京市10区2013届高三上学期期末数学(理)试题分类汇编:圆锥曲线_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市 2013 届高三上学期期末数学试题分类汇编 圆锥曲线一、...

北京2013届高三最新理科数学试题分类汇编 专题:圆锥曲线

北京2013 届高三最新模拟试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题:圆锥 曲线一、选择题 1 .(2013 届北京大兴区一模理科)双曲线 x 2 - my 2 = ...

北京市10区2013届高三上学期期末数学(理)试题分类汇编:圆锥曲线

北京市10区2013届高三上学期期末数学(理)试题分类汇编:圆锥曲线 2013年高考数学---专题2013年高考数学---专题隐藏>> 北京市 2013 届高三上学期期末数学试题分类...

山东省14市2016届高三上学期期末数学理试题分类汇编:圆锥曲线 Word版含答案

山东省14市2016届高三上学期期末数学理试题分类汇编:圆锥曲线 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。山东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学理试题...