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新人教A版选修4-5高中数学数学归纳法 同步练习2


数学归纳法 同步练习
1.⑴用数学归纳法证明(n+1)(n+2)?(n+n)=2 ·1·2?(2n-1) 从“k 到 k+1”,左端需乘的代数式为
2k ? 1 C. k ? 1
2k ? 3 D. k ? 1
n

(n∈N) , ( )

A.2k+1

B.2(2k+1)

r />
⑵某个命题与自然数 n 有关, n=k (k∈N)时该命题成立, 若 那么可推得 n=k+1 时该命题也成立。现已知当 n=5 时该命题不成立,那么可推得 ( ) A.当 n=6 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立 C.当 n=4 时该命题不成立 D.当 n=4 时该命题成立 ⑶用数学归纳法证明 3 3
4( k ?1)? 2 4 n? 2

+5

2 n?1

(n∈N)能被 14 整除,当 n=k+1 时对于式子

+5

2( k?1)?1

应变形为_______________________。

3a n 1 ⑷已知 a1= 2 ,an+1= a n ? 3 ,则 a2,a3,a4,a5 的值分别为_________,由此猜想

an=_________.
2n 2.用数学归纳法证明 4 ?1 +3n+2 能被 13 整除,其中 n∈N*.

1 1 1 13 ? ??? ? 2n 24 . 3.若 n 为大于 1 的自然数,求证: n ? 1 n ? 2

4.设 a n = 1×2 + 2×3 +?+ n(n ?1) +1)
2

1 1 (n∈N),证明: 2 n(n+1)<a n < 2 (n



n( a1 ? a n ) 2 5.设数列{a n }的前 n 项和为 S n ,若对于所有的自然数 n,都有 S n = ,

证明{a n }是等差数列。 6.已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+?+b10=145. (1)求数列{bn}的通项公式 bn;
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(2)设数列{an}的通项 an=loga(1+

1 bn

)(其中 a>0 且 a≠1)记 Sn 是数列{an}的前 n

1 项和,试比较 Sn 与 3 logabn+1 的大小,并证明你的结论.

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参考答案 1.简解:⑴n=k 时,左端的代数式是(k+1)(k+2)?(k+k),n=k+1 时,左端的
( 2k ? 1)( 2k ? 2) k ?1 代数式是(k+2)(k+3)?(2k+1)(2k+2),所以应乘的代数式为 ,

选 B; ⑵原命题与逆否命题等价,若 n=k+1 时命题不成立,则 n=k 命题不成立,选 C。 ⑶答: (3
4k ? 2

+5

2 k ?1

)3 +5

k

2 k ?1

(5 -3 ) ;

2

4

1 3? 3a1 2 ? 3 ? 3 同理, ? ? 4 ? a2 ? a1 ? 3 1 ? 3 7 2 ? 5 2 3a2 3 3 3 3 3 3 3 a3 ? ? ? , a4 ? ? , a5 ? ? , 猜想an ? a2 ? 3 8 3 ? 5 9 4?5 10 5 ? 5 n?5
答: 3 3 3 3 7 、 8 、 9 、 10
3 n?5

2.证明:(1)当 n=1 时,42×1+1+31+2=91 能被 13 整除 (2)假设当 n=k 时,42k+1+3k+2 能被 13 整除,则当 n=k+1 时, 42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2 ?) ∵42k+1·13 能被 13 整除,42k+1+3k+2 能被 13 整除 ∴当 n=k+1 时也成立. 由①②知,当 n∈N*时,42n+1+3n+2 能被 13 整除.
1 1 7 13 ? ? ? 3.证明:(1)当 n=2 时, 2 ? 1 2 ? 2 12 24 1 1 1 13 ? ? ?? ? 2k 24 (2)假设当 n=k 时成立,即 k ? 1 k ? 2
则当n ? k ? 1时, 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ? k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 k ? 1 13 1 1 1 13 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 24 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 24 2k ? 1 2k ? 2 13 1 13 ? ? ? 24 2( 2k ? 1)( k ? 1) 24

4.分析:与自然数 n 有关,考虑用数学归纳法证明。n=1 时容易证得,n=k+1 时,

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因为 a k?1 =a k + ( k ? 1)( k ? 2) ,所以在假设 n=k 成立得到的不等式中同时加上

( k ? 1)( k ? 2) ,再与目标比较而进行适当的放缩求解。
1 1 1 2 解:当 n=1 时,a n = 2 , 2 n(n+1)= 2 , 2 (n+1) =2 ,

∴ n=1 时不等式成立。
1 1 2 假设当 n=k 时不等式成立,即: 2 k(k+1)<a k < 2 (k+1) , 1 1 2 当 n=k+1 时, 2 k(k+1)+ ( k ? 1)( k ? 2) <a k?1 < 2 (k+1) + ( k ? 1)( k ? 2) , 1 1 1 1 2 k(k+1)+ ( k ? 1)( k ? 2) > 2 k(k+1)+(k+1)= 2 (k+1)(k+3)> 2 (k+1)(k+

2),
1 1 1 3 2 ( k ? 1)( k ? 2) = 2 (k+1) 2 + k 2 ? 3k ? 2 < 2 (k+1) 2 +(k+ 2 )= 2 (k+1) +

1 2 (k+2) 2 ,
1 1 2 所以 2 (k+1)(k+2) <a k < 2 (k+2) ,即 n=k+1 时不等式也成立。

1 1 2 综上所述,对所有的 n∈N,不等式 2 n(n+1)<a n < 2 (n+1) 恒成立。

说明:用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题,注意适当选用放缩法。本题
3 ( k ? 1)( k ? 2) 缩小成(k+1)、将 ( k ? 1)( k ? 2) 放大成(k+ 2 )的两步放 中分别将

缩是证 n=k+1 时不等式成立的关键。为什么这样放缩,而不放大成(k+2),这是 与目标比较后的要求,也是遵循放缩要适当的原则。

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本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明。主要是抓住对 n(n ?1) 的分析, 注意与目标比较后, 进行适当的放大和缩小。 解法如下: 由 n(n ?1) >n 可得, n >1 a
1 1 1 n(n ?1) <n+ 2 可得,a n <1+2+3+?+n+ 2 × +2+3+?+n= 2 n(n+1);由 1 1 1 1 1 1 2 2 2 n= 2 n(n+1)+ 2 n= 2 (n +2n)< 2 (n+1) 。所以 2 n(n+1)<a n < 2 (n+1) 。

5.分析:要证明{a n }是等差数列,可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形 式,即证:a n =a 1 +(n-1)d 。命题与 n 有关,考虑是否可以用数学归纳法进行 证明。 解:设 a 2 -a 1 =d,猜测 a n =a 1 +(n-1)d 当 n=1 时,a n =a 1 , ∴ 当 n=1 时猜测正确。 ∴当 n=2 时猜测正确。

当 n=2 时,a 1 +(2-1)d=a 1 +d=a 2 ,

假设当 n=k(k≥2)时,猜测正确,即:a k =a 1 +(k-1)d ,
( k ? 1)( a1 ? a k ?1 ) k ( a1 ? a k ) 2 2 当 n=k+1 时,a k?1 =S k?1 -S k = - ,

将 a k =a 1 +(k-1)d 代入上式,得到 2a k?1 =(k+1)(a 1 +a k?1 )-2ka 1 -k(k-1)d, 整理得(k-1)a k?1 =(k-1)a 1 +k(k-1)d, 因为 k≥2,所以 a k?1 =a 1 +kd,即 n=k+1 时猜测正确。 综上所述,对所有的自然数 n,都有 a n =a 1 +(n-1)d,从而{a n }是等差数列。 说明: 将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数 n 成立的问题。 在

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n( a1 ? a n ) 2 证明过程中 a k?1 的得出是本题解答的关键, 利用了已知的等式 S n = 、 数

列中通项与前 n 项和的关系 a k?1 =S k?1 -S k 建立含 a k?1 的方程,代入假设成立的式 子 a k =a 1 +(k-1)d 解出来 a k?1 。另外本题注意的一点是不能忽视验证 n=1、n =2 的正确性,用数学归纳法证明时递推的基础是 n=2 时等式成立,因为由(k- 1)a k?1 =(k-1)a 1 +k(k-1)d 得到 a k?1 =a 1 +kd 的条件是 k≥2。 另解:可证 a n?1 -a n = a n - a n?1 对于任意 n≥2 都成立:当 n≥2 时,a n =S n -
n( a1 ? a n ) ( n ? 1)( a1 ? a n ?1 ) ( n ? 1)( a1 ? a n ?1 ) 2 2 2 S n?1 = - ; 同理有 a n?1 =S n?1 -S n = -

n( a1 ? a n ) ( n ? 1)( a1 ? a n ?1 ) ( n ? 1)( a1 ? a n ?1 ) 2 2 2 ; 从而 a n?1 -a n = -n(a 1 +a n )+ , 整

理得 a n?1 -a n = a n - a n?1 ,从而{a n }是等差数列。 一般地,在数列问题中含有 a n 与 S n 时,我们可以考虑运用 a n =S n -S n?1 的关系, 并注意只对 n≥2 时关系成立,象已知数列的 S n 求 a n 一类型题应用此关系最多。
?b1 ? 1 ?b ? 1 ? ?? 1 ? 10(10 ? 1) d ? 145 ?d ? 3 ?10b1 ? 2 6.(1)解: 设数列{bn}的公差为 d,由题意得 ? ,∴bn=3n

-2 (2)证明:由 bn=3n-2 知
1 1 Sn=loga(1+1)+loga(1+ 4 )+?+loga(1+ 3n ? 2 )
1 1 =loga[(1+1)(1+ 4 )?(1+ 3n ? 2 )]

1 1 3 而 3 logabn+1=loga 3n ? 1 , 于 是 , 比 较 Sn 与 3 logabn+1 ? 的 大 小 ? 比 较

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1 1 3 (1+1)(1+ 4 )?(1+ 3n ? 2 )与 3n ? 1 的大小.
3 3 3 取 n=1,有(1+1)= 8 ? 4 ? 3 ?1 ? 1

1 3 ) ? 8 ? 3 7 ? 3 3? 2 ?1 取 n=2,有(1+1)(1+ 4 1 1 3 推测:(1+1)(1+ 4 )?(1+ 3n ? 2 )> 3n ? 1 (*)

①当 n=1 时,已验证(*)式成立.
1 1 3 ②假设 n=k(k≥1)时(*)式成立,即(1+1)(1+ 4 )?(1+ 3k ? 2 )> 3k ? 1
1 1 1 1 (1 ? 1)(1 ? )?(1 ? )(1 ? ) ? 3 3k ? 1(1 ? ) 4 3k ? 2 3(k ? 1) ? 2 3k ? 1 则当 n=k+1 时,

3k ? 2 3 3k ? 1 3k ? 1 3k ? 2 3 ?( 3k ? 1) 3 ? (3 3k ? 4 ) 3 3k ? 1 (3k ? 2) 3 ? (3k ? 4)(3k ? 1) 2 9k ? 4 ? ? ?0 2 (3k ? 1) (3k ? 1) 2 ?
? 3k ? 1 (3k ? 2) ? 3 3k ? 4 ? 3 3(k ? 1) ? 1 3k ? 1 1 1 1 从而(1 ? 1)(1 ? )?(1 ? )(1 ? ) ? 3 3(k ? 1) ? 1 4 3k ? 2 3k ?1 ,即当 n=k+1 时,(*)式成立
3

由①②知,(*)式对任意正整数 n 都成立.
1 1 于是,当 a>1 时,Sn> 3 logabn+1 ?,当 0<a<1 时,Sn< 3 logabn+1 ?

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