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1989年全国统一高考数学试卷(文科)


1989 年全国统一高考数学试卷(文科) 一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分) 1. (3 分) (2000?北京)如果 I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中 I 是全集,那 么(CIM)∩(CIN)等于( ) A. φ B. {d} C. {a,c} D. {b,e} 2. (3 分)与函数 y=x 有相同图象的一个函

数是( A. B. C. y=alogax.其中D. y=logaax. 其中 a>0,a≠1 a>0,a≠1 3. (3 分)如果圆锥的底面半径为 ,高为 2,那么它的侧面积是( A. B. C. D. ) )

4. (3 分)已知{an}是等比数列,如果 a1+a2+a3=18,a2+a3+a4=﹣9,Sn=a1+a2+…+an,那么 值等于( A. 8 ) B. 16 C. 32 D. 48 )

Sn 的

5. (3 分)如果(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么 a1+a2+…+a7 的值等于( A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 2 6. (3 分)如果 A. B. C. 的值等于( D. )

7. (3 分)直线 2x+3y﹣6=0 关于点(1,﹣1)对称的直线是( ) A. 3x﹣2y+2=0 B. 2x+3y+7=0 C. 3x﹣2y﹣ D. 2x+3y+8=0 12=0 8. (3 分)已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π,它们位于球心的同一侧,且相距为 1,那 么这个球的半径是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 9. (3 分)由数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中偶数共有( A. 60 个 B. 48 个 C. 36 个 D. 24 个 )

10. (3 分)如果双曲线 是( ) A. 10

上一点 P 到它的右焦点的距离是 8,那么点 P 到它的右准线的距离

B.

C.

D.

11. (3 分)如果 A. B. C. ﹣1 D.

最小值是(



12. (3 分)已知 f(x)=8+2x﹣x2,如果 g(x)=f(2﹣x2) ,那么 g(x) ( A. 在区间(﹣1, B. 在区间 (0, 1) 0) 上是减函数 上是减函数 C. 在区间(﹣2, D. 在区间 (0, 2) 0) 上是增函数 上是增函数



二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 13. (4 分)给定三点 A(1,0) ,B(﹣1,0) ,C(1,2) ,那么通过点 A 并且与直线 BC 垂直的直 线方程 _________ . 14. (4 分) (2010?焦作二模)不等式|x2﹣3x|>4 的解集是 _________ .

15. (4 分)函数

的反函数的定义域是

_________



16. (4 分)已知 A 和 B 是两个命题,如果 A 是 B 的充分条件,那么 B 是 A 的 17. (4 分)已知 0<a<1,0<b<1,如果

_________

条件 .

<1,那么 x 的取值范围为

_________

18. (4 分)如图,P 是二面角 α﹣AB﹣β 棱 AB 上的一点,分别在 α,β 上引射线 PM,PN,如果 ∠ BPM=∠ BPN=45° ,∠ MPN=60° ,那么二面角 α﹣AB﹣β 的大小是 _________ .

三、解答题(共 6 小题,满分 60 分) 19. (8 分)设复数 ,求 z 的模和辐角的主值.

20. (8 分)证明:



21. (10 分)如图,在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,已知 AB=5,AD=4,AA1=3,AB⊥ AD, ∠ A1AB=∠ A1AD= .

(Ⅰ )求证:顶点 A1 在底面 ABCD 的射影 O 在∠ BAD 的平分线上; (Ⅱ )求这个平行六面体的体积.

22. (10 分)用数学归纳法证明(1?22﹣2?32)+(3?42﹣4?52)+…+[(2n﹣1) (2n)2﹣2n(2n+1)2]= ﹣n(n+1) (4n+3) . 23. (12 分)已知 a>0,a≠1,试求使方程 有解的 k 的取值范围.

24. (12 分)给定椭圆方程

,求与这个椭圆有公共焦点的双曲线,使得以它们

的交点为顶点的四边形面积最大,并求相应的四边形的顶点坐标.

1989 年全国统一高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分) 1. (3 分) (2000?北京)如果 I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中 I 是全集,那 么(CIM)∩(CIN)等于( ) A. φ B. {d} C. {a,c} D. {b,e} 考点: 分析: 解答: 点评: 交、并、补集的混合运算. 根据交集、补集的意义直接求解.或者根据(CIM)∩(CIN)=CI(M∪ N)求解. 解:CIM={b,e},CIN={a,c},∴ (CIM)∩(CIN)=?, 故选 A 本题考查集合的基本运算,较容易. )

2. (3 分)与函数 y=x 有相同图象的一个函数是( A. B. C. y=alogax.其中D. y=logaax. 其中 a>0,a≠1 a>0,a≠1 考点: 分析: 解答:

点评:

反函数. 欲寻找与函数 y=x 有相同图象的一个函数,只须考虑它们与 y=x 是不是定义域与解析式都相 同即可. 解:对于 A,它的定义域为 R,但是它的解析式为 y=|x|与 y=x 不同,故错; 对于 B,它的定义域为 x≠0,与 y=x 不同,故错; 对于 C,它的定义域为 x>0,与 y=x 不同,故错; 对于 D,它的定义域为 R,解析式可化为 y=x 与 y=x 同,故正确; 故选 D. 本题主要考查了函数的概念、函数的定义域等,属于基础题. )

3. (3 分)如果圆锥的底面半径为 ,高为 2,那么它的侧面积是( A. B. C. D. 考点: 专题: 分析: 解答: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 计算题. 根据圆锥的侧面积公式直接解答即可. 解:圆锥的底面半径为 ,高为 2,母线长为: 那么它的侧面积: 点评: 故选 C. 本题考查圆锥的侧面积和表面积,是基础题、必会题.



4. (3 分)已知{an}是等比数列,如果 a1+a2+a3=18,a2+a3+a4=﹣9,Sn=a1+a2+…+an,那么 值等于( A. 8 考点: ) B. 16 C. 32 D. 48

Sn 的

极限及其运算;等比数列的前 n 项和;等比数列的性质.

专题: 分析:

计算题. 由题意知 ,所以, Sn= .

解答:

解:∵ a1+a1q+a1q2=18,a1q+a1q2+a1q3=﹣9, ∴ .∴ ,



Sn=



点评:

故选 B. 本题考查等比数列的计算和极限,解题时要正确选取公式,注意公式的灵活运用. )

5. (3 分)如果(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么 a1+a2+…+a7 的值等于( A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 2 考点: 专题: 分析: 解答:

点评:

二项式定理的应用. 计算题. 本题由于是求二项式展开式的系数之和,故可以令二项式中的 x=1,又由于所求之和不含 a0, 令 x=0,可求出 a0 的值,代入即求答案. 解:令 x=1 代入二项式(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 得, (1﹣2)7=a0+a1+…+a7=﹣1, 令 x=0 得 a0=1∴ 1+a1+a2+…+a7=﹣1 ∴ a1+a2+…+a7=﹣2 故选择 A 本题主要考查二项式定理的应用, 一般再求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展 开式中的未知数 x 赋值为 1 或 0 或者是﹣1 进行求解.本题属于基础题型. 的值等于( B. C. D. )

6. (3 分)如果 A.

考点: 分析:

二倍角的余弦. 由题目中给出的角 θ 的范围,确定余弦值,用余弦表示 sin 要求结果的正负,要用角的范围帮助分析

,求出结果,容易出错的地方是,

解答:

解:∵ ∴ ∵ ∴ ∵ 或 , ,





∴ 点评:



故选 C 已知一个角的某个三角函数式的值,求这个角的其他三角函数式的值,一般需用三个基本关系 式及其变式,通过恒等变形或解方程求解.已知一个角的某个三角函数式的值,求这个角的半 角或二倍角的三角函数值,要用到二倍角公式.

7. (3 分)直线 2x+3y﹣6=0 关于点(1,﹣1)对称的直线是( ) A. 3x﹣2y+2=0 B. 2x+3y+7=0 C. 3x﹣2y﹣ D. 2x+3y+8=0 12=0 考点: 分析: 解答:

点评:

与直线关于点、直线对称的直线方程. 直线 2x+3y﹣6=0 关于点(1,﹣1)对称的直线,和直线 2x+3y﹣6=0 平行,排除 A、C,在直 线 2x+3y﹣6=0 选特殊点,关于点(1,﹣1)对称点求出,验证 B 即可得到答案. 解:直线 2x+3y﹣6=0 关于点(1,﹣1)对称的直线,和直线 2x+3y﹣6=0 平行,排除 A、C, 在直线 2x+3y﹣6=0 选特殊点(0,2) ,它关于点(1,﹣1)对称点(2,﹣4) ,显然(2,﹣4) 不在 2x+3y+7=0 上. 故选 D. 选择题的解法,灵活多样,本题用排除、特值、验证的方法解答.本题是基础题.

8. (3 分)已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π,它们位于球心的同一侧,且相距为 1,那 么这个球的半径是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 考点: 专题: 分析: 解答: 球面距离及相关计算. 计算题. 画出图形,求出两个截面圆的半径,即可解答本题. 解:由题意画轴截面图, 截面的面积为 5π,半径为 , 截面的面积为 8π 的圆的半径是 , 设球心到大截面圆的距离为 d, 球的半径为 r,则 5+(d+1)2=8+d2, ∴ d=1,∴ r=3 故选 B.

点评:

本题考查球的截面圆的半径,球的半径,球心到截面圆心的距离的关系,是基础题. )

9. (3 分)由数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中偶数共有( A. 60 个 B. 48 个 C. 36 个 D. 24 个 考点: 分析: 解答:

分步乘法计数原理. 偶数即个位数字只能是 2 或 4 解:偶数即个位数字只能是 2 或 4,其它位置任意排放共有 C21?A44=2× 4× 3× 2× 1=48 个

点评:

故选 B 分步乘法计数原理的理解,偶数怎样选,注意没有 0;当然也可以用概率解答.

10. (3 分)如果双曲线 是( ) A. 10

上一点 P 到它的右焦点的距离是 8,那么点 P 到它的右准线的距离

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析:

双曲线的简单性质. 计算题. 由双曲线的第二定义可知点 P 到双曲线

右焦点的距离和点 P 到它的右准线的距离之

比等于离心率,由此可以求出点 P 到它的右准线的距离. 解答: 解:设点 P 到它的右准线的距离是 x,∵ ∴ 点评: ,解得 .故点 P 到它的右准线的距离是 , .故选 D.

本题考查双曲线的第二定义,解题时注意认真审题. 最小值是( B. C. ﹣1 D. )

11. (3 分)如果 A.

考点: 专题: 分析:

函数的值域;同角三角函数基本关系的运用. 压轴题. 由|x| 最小值. ,可进一步得到 sinx 的范围,借助二次函数求最值的配方法,就可以确定出函数的

解答:

解:函数 f(x)=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx= ∵ |x|≤ ∴ ,∴ 时, ∴

点评:

故选 D. 本题有两点值得注意: (1)sin2x+cos2x=1 (2)求函数最值的有效方法之一是函数思想,即求最值建函数. )

12. (3 分)已知 f(x)=8+2x﹣x2,如果 g(x)=f(2﹣x2) ,那么 g(x) ( A. 在区间(﹣1, B. 在区间 (0, 1) 0) 上是减函数 上是减函数 C. 在区间(﹣2, D. 在区间 (0, 2)

0) 上是增函数 考点: 专题: 分析: 解答:

上是增函数

点评:

复合函数的单调性. 计算题;综合题;压轴题. 先求出 g(x)的表达式,然后确定它的区间的单调性,即可确定选项. 解:因为 f(x)=8+2x﹣x2, 则 g(x)=f(2﹣x2)=8+2x2﹣x4 =﹣(x2﹣1)2+9,因为 g′(x)=﹣4x3+4x,x∈(﹣1,0) , g′(x)<0,g(x)在区间(﹣1,0)上是减函数. 故选 A. 本题考查复合函数的单调性,考查学生发现问题解决问题的能力,是基础题.

二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 13. (4 分)给定三点 A(1,0) ,B(﹣1,0) ,C(1,2) ,那么通过点 A 并且与直线 BC 垂直的直 线方程 x+y﹣1=0 . 考点: 分析: 解答: 直线的点斜式方程. 先求得斜率,再用点斜式求得方程. 解:k=﹣ ∴ 过点 A 的直线方程:y=﹣(x﹣1) 即:x+y﹣1=0 故答案是 x+y﹣1=0 本题主要考查如何求解直线方程. {x|x<﹣1,或 x>4} .

点评:

14. (4 分) (2010?焦作二模)不等式|x2﹣3x|>4 的解集是 考点: 专题: 分析: 解答:

点评:

绝对值不等式的解法. 计算题. 用绝对值的意义将绝对值不等式转化为一般不等式求解. 解:∵ |x2﹣3x|>4 ∴ x2﹣3x>4 或 x2﹣3x<﹣4 由 x2﹣3x>4 解得 x<﹣1 或 x>4,x2﹣3x<﹣4 无解 ∴ 不等式|x2﹣3x|>4 的解集是 {x|x<﹣1 或 x>4} 故应填{x|x<﹣1 或 x>4} 考查绝对值不等式的解法,用绝对值的几何意义来进行转化.

15. (4 分)函数

的反函数的定义域是

(﹣1,1)



考点: 专题: 分析: 解答:

反函数. 计算题. 欲求反函数的定义域,可以通过求在函数的值域获得,所以只要求出函数的值域即可. 解:由 得,

ex=



∵ ex>0, ∴ .>0,

点评:

∴ ﹣1<y<1, ∴ 反函数的定义域是(﹣1,1) . 故填: (﹣1,1) 本题主要考查反函数的性质,考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域正好相反.属于基 础题. 必要 条件

16. (4 分)已知 A 和 B 是两个命题,如果 A 是 B 的充分条件,那么 B 是 A 的 考点: 专题: 分析: 解答:

点评:

必要条件、充分条件与充要条件的判断. 压轴题;阅读型. 本题考查的知识点是充要条件的定义,如果 A 是 B 的充分条件,那么 B 是 A 的必要条件. 解:由充要条件的定义, 如果 A 是 B 的充分条件, 那么 B 是 A 的必要条件. 故答案为:必要 判断充要条件的方法是:① 若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必 要条件; ② 若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题, 则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③ 若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件;④ 若 p?q 为假命题且 q?p 为假命 题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件.⑤ 判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根 据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系. <1,那么 x 的取值范围为 (3,4) .

17. (4 分)已知 0<a<1,0<b<1,如果 考点: 专题: 分析: 解答:

指数函数的单调性与特殊点;对数函数的单调性与特殊点. 计算题;压轴题;转化思想. 根据条件 0<a<1,0<b<1,以及指数函数、对数函数的单调性和特殊点,把不等式进行等 价转化,从而得到 x 的取值范围. 解:∵ 0<a<1,0<b<1,如果 <1,∴ logb(x﹣3)>0,

点评:

∴ 0<x﹣3<1,∴ 3<x<4, 故答案为: (3,4) . 本题考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点,体现了等价转化的数学思想.

18. (4 分)如图,P 是二面角 α﹣AB﹣β 棱 AB 上的一点,分别在 α,β 上引射线 PM,PN,如果 ∠ BPM=∠ BPN=45° ,∠ MPN=60° ,那么二面角 α﹣AB﹣β 的大小是 90° .

考点:

与二面角有关的立体几何综合题.

专题: 分析:

解答:

计算题;压轴题. 本题考查的知识点是二面角及其度量,我们要根据二面角的定义,在两个平面的交线上取一点 Q,然后向两个平面引垂线,构造出二面角的平面角,然后根据平面几何的性质,求出含二面 角的平面角的三角形中相关的边长,解三角形即可得到答案. 解:过 AB 上一点 Q 分别在 α,β 内做 AB 的垂线,交 PM,PN 于 M 点和 N 点 则∠ MQN 即为二面角 α﹣AB﹣β 的平面角,如下图所示: 设 PQ=a,则∵ ∠ BPM=∠ BPN=45° ∴ QM=QN=a PM=PN= a 又由∠ MPN=60° ,易得△ PMN 为等边三角形 则 MN= a 解三角形 QMN 易得∠ MQN=90° 故答案为:90°

点评:

求二面角的大小, 一般先作出二面角的平面角. 此题是利用二面角的平面角的定义作出∠ MQN 为二面角 α﹣AB﹣β 的平面角,通过解∠ MQN 所在的三角形求得∠ MQN.其解题过程为:作 ∠ MQN→证∠ MQN 是二面角的平面角→计算∠ MQN,简记为“作、证、算”.

三、解答题(共 6 小题,满分 60 分) 19. (8 分)设复数 考点: 专题: 分析: 解答: ,求 z 的模和辐角的主值.

复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 计算题. 首先把复数提出系数,变化为复数的三角形式,根据三角形式的乘方运算法则,写出 5 次方的 结果,从复数的三角形式上看出模长和幅角的主值. 解: ∵ = ∴ 复数 z 的模为 32,的模和辐角的主值为

点评:

本题考查复数的代数形式转化为三角形式, 复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两 种形式,注意两种形式的标准形式,不要在简单问题上犯错误. .

20. (8 分)证明: 考点: 分析:

两角和与差的正弦函数;三角函数恒等式的证明;弦切互化. 等式左边是两个正切值,右边是余弦、正弦的分式,左边是半角

与 ,右边是单角 x 和倍角

2x.若从右向左证,需进行单角变半角,而分母可进行和化积,关键是分子的变化,仍从角入 手,将 x 写成 为单角.

﹣ ,再用两角差公式,而从左向右证,需进行切变弦,同时还要考虑变半角

解答: 证明: 点评: =

本题主要考查同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式.属中档题.三角函数部分公式比 较多要强化记忆.

21. (10 分)如图,在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,已知 AB=5,AD=4,AA1=3,AB⊥ AD, ∠ A1AB=∠ A1AD= .

(Ⅰ )求证:顶点 A1 在底面 ABCD 的射影 O 在∠ BAD 的平分线上; (Ⅱ )求这个平行六面体的体积.

考点: 专题: 分析:

解答:

棱柱、棱锥、棱台的体积. 计算题;证明题;综合题. (Ⅰ ) 如图利用 Rt△ A1NA≌ Rt△ A1MA 证明 A1M=A1N, OM=ON, 即证明顶点 A1 在底面 ABCD 的射影 O 在∠ BAD 的平分线上; (Ⅱ )求出底面 ABCD 的面积,和高 A1O,然后可求几何体的体积. 解: (Ⅰ )证:连接 A1O,则 A1O⊥ 底面 ABCD. 作 OM⊥ AB 交 AB 于 M,作 ON⊥ AD 交 AD 于 N,连接 A1M,A1N 由三垂线定理得 A1M⊥ AB,A1N⊥ AD∵ ∠ A1AM=∠ A1AN, ∴ Rt△ A1NA≌ Rt△ A1MA∴ A1M=A1N∴ OM=ON. ∴ 点 O 在∠ BAD 的平分线上 (Ⅱ )∵ AM=AA1 ∴ AO=AM . , ,

又在职 Rt△ AOA1 中,A1O2=AA12﹣AO2= ∴ A1O= . .

∴ 平行六面体的体积 V= 点评:

本题考查棱柱的体积,以及射影问题,考查学生逻辑思维能力,是基础题.

22. (10 分)用数学归纳法证明(1?22﹣2?32)+(3?42﹣4?52)+…+[(2n﹣1) (2n)2﹣2n(2n+1)2]= ﹣n(n+1) (4n+3) . 考点: 专题: 分析: 数学归纳法. 证明题. 用数学归纳法证明问题的步骤是:第一步,验证当 n=n0 时命题成立,第二步假设当 n=k 时命 题成立,那么再证明当 n=k+1 时命题也成立.关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论,

解答:

点评:

否则会导致错误. 证明:当 n=1 时,左边=﹣14,右边=﹣1?2?7=﹣14,等式成立 假设当 n=k 时等式成立, 即有(1?22﹣2?32)+(3?42﹣4?52)++[(2k﹣1) (2k)2﹣2k(2k+1)2] =﹣k(k+1) (4k+3) 那么当 n=k+1 时, (1?22﹣2?32)+(3?42﹣4?52)++[(2k﹣1) (2k)2﹣2k(2k+1)2] 2 2 +[(2k+1) (2k+2) ﹣(2k+2) (2k+3) ] =﹣k(k+1) (4k+3)﹣2(k+1)[4k2+12k+9﹣4k2﹣6k﹣2] =﹣(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=﹣(k+1)[4k2+15k+14] =﹣(k+1) (k+2) (4k+7)=﹣(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3]. 这就是说,当 n=k+1 时等式也成立. 根据以上论证可知等式对任何 n∈N 都成立. 本题考查数学归纳法的思想,应用中要注意的是要用上归纳假设. 有解的 k 的取值范围.

23. (12 分)已知 a>0,a≠1,试求使方程 考点: 专题: 分析: 对数函数图象与性质的综合应用. 计算题;压轴题. 由题设条件可知,原方程的解 x 应满足 立时, (3)显然成立, 因此只需解 质可以求出 k 的取值范围. 解:由对数函数的性质可知, 原方程的解 x 应满足 当(1) , (2)同时成立时, (3)显然成立, 因此只需解 由(1)得 2kx=a(1+k2) (4) 当 k=0 时,由 a>0 知(4)无解,因而原方程无解. 当 k≠0 时, (4)的解是 把(5)代入(2) ,得 .

,当(1) , (2)同时成

,再根据这个不等式组的解集并结合对数函数的性

解答:

点评:

解得:﹣∞<k<﹣1 或 0<k<1. 综合得,当 k 在集合(﹣∞,﹣1)∪ (0,1)内取值时,原方程有解. 解题时要注意分类讨论思想的灵活运用.

24. (12 分)给定椭圆方程

,求与这个椭圆有公共焦点的双曲线,使得以它们

的交点为顶点的四边形面积最大,并求相应的四边形的顶点坐标.

考点: 专题: 分析:

直线与圆锥曲线的综合问题. 计算题;压轴题. 设所求双曲线的方程是 ,由题设知 c2=α2+β2=a2﹣b2.由方程组

,解得交点的坐标满足

.由此可推出相应的四边形顶 点坐标. 解答: 解:设所求双曲线的方程是 由题设知 c2=α2+β2=a2﹣b2.

由方程组

解得交点的坐标满足



由椭圆和双曲线关于坐标轴的对称性知,以它们的交点为顶点的四边形是长方形,其面积

因为 S 与 所以当

同时达到最大值, 时达到最大值 2ab

这时 因此,满足题设的双曲线方程是 相应的四边形顶点坐标是

, .

. 点评: 本题考查圆锥曲线的综合应用,解题时要认真审题,仔细解答.


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