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【数学文】2011届高考模拟题(课标)分类汇编:数列


【数学文】2011 届高考模拟题(课标)分类汇编:数列 1. (2011·朝阳期末)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a2 ? a4 ? 6 ,则 S5 等于 ( C ) (A)10 (B)12 (C)15 (D) 30

2. (2011·朝阳期末) (本小题满分 14 分) 已知点 P (an , bn ) ( n ? N )满足 an

?1 ? anbn ?1 , bn ?1 ? n
?

bn ,且点 P 的坐标为 1 2 1 ? 4an

(1, ? 1).
(Ⅰ)求经过点 P , P2 的直线 l 的方程; 1 (Ⅱ) 已知点 P (an , bn ) ( n ? N )在 P , P2 两点确定的直线 l 上,求证:数列{ n 1
?

1 }是 an

等差数列. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求对于所有 n ? N ,能使不等式 (1 ? a1 )(1 ? a2 )? (1 ? an ) ≥
?

k

1 成立的最大实数 k 的值. b2b3 ??? bn ?1

解:(Ⅰ)因为 b2 ?

b1 1 1 1 1 ? ,所以 a2 ? a1b2 ? . 所以 P2 ( , ) . ……… 1 分 2 3 3 3 3 1 ? 4a1
………………………… 2 分

所以过点 P , P2 的直线 l 的方程为 2 x ? y ? 1 . 1

(Ⅱ)因为 P (an , bn ) 在直线 l 上,所以 2an ? bn ? 1 . 所以 bn ?1 ? 1 ? 2an ?1 . …… 3 分 n 由 an ?1 ? anbn ?1 ,得 an ?1 ? an (1 ? 2an ?1 ) . 即 an ?1 ? an ? 2an an ?1 . 所以

1 1 1 ? ? 2 . 所以 { } 是公差为 2 的等差数列. an ?1 an an

………………… 5 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)得

1 1 ? ? 2(n ? 1) . an a1

所以

1 ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1. an

所以 an ?

1 . 2n ? 1

…………………………………………………………… 7 分

所以 bn ? 1 ? 2an ?

2n ? 3 . 2n ? 1

……………………………………………… 8 分

依题意 k ≤ (1 ? a1 )(1 ? a2 )? (1 ? an ) b2b3 ??? bn ?1 恒成立. 设 F (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )? (1 ? an ) b2b3 ??? bn ?1 , 所以只需求满足 k ≤ F (n) 的 F (n) 的最小值. ………………………………… 10 分

因为

F (n ? 1) (1 ? a1 )(1 ? a2 )? (1 ? an )(1 ? an ?1 ) b2b3 ??? bn ? 2 ? F ( n) (1 ? a1 )(1 ? a2 )? (1 ? an ) b2b3 ??? bn ?1
= (1 ? an ?1 ) bn ? 2 ?

4 n ? 8n ? 4 2n ? 2 ? 1, = 2 4 n ? 8n ? 3 2n ? 1 2n ? 3
2

所以 F (n) ( x ? N )为增函数. 所以 F (n) min ? F (1) ?

?

……………………………………… 12 分

2 2 3 ? . 3 3
……………………………………… 14 分

所以 k ≤

2 3 2 3 . 所以 kmax ? . 3 3

3.(2011·丰台期末) 已知等比数列 {an } 的公比为 值是( B ) A.30 B.90 C.100 D.120

1 ,并且 a1+a3 + a5 +…+a99=60,那么 a1+a2 +a3+…+a99 +a100 的 2

4.(2011·丰台期末) (本小题满分 13 分)
2 已知函数 f ( x) ? ax ? bx (a ? 0) 的导函数 f ?( x) ? ?4 x ? 22 , 数列 {a n } 的前 n 项和为

S n ,点 Pn (n, Sn ) ( n ?N* )均在函数 y ? f (x) 的图象上.
(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式 an 及前 n 项和 S n ;

(Ⅱ)存在 k ? N ,使得
*

S S1 S 2 ? ? ? ? n ? k 对任意 n ?N* 恒成立,求出 k 的最小 1 2 n
am ? am ?1 为数列 ? an ? 中的项?若存在,求出 m 的值;若 am ? 2

值; (Ⅲ)是否存在 m?N ,使得 不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ax ? bx (a ? 0) ,所以 f ?( x) ? 2ax ? b .
2

*

因为 f ?( x) ? ?4 x ? 22 , 所以 a ? ?2 , b ? 22 . 所以 f ( x) ? ?2 x ? 22 x .
2

因为 点 Pn (n, Sn ) ( n ?N )均在函数 y ? f (x) 的图象上,
*

所以 Sn ? ?2n 2 ? 22n . 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 20 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? ?4n ? 24 , 所 ( n ?N ) .
*

以 ………………………4 分

an ? ?4n ? 24

(Ⅱ)存在 k ? N ,使得
*

S S1 S 2 ? ? ? ? n ? k 对任意 n ?N* 恒成立. 1 2 n

只要 k ? (

S S1 S2 ? ? ? ? n )max 1 2 n

由(Ⅰ)知 Sn ? ?2n 2 ? 22n ,

Sn ? ?2n ? 22 ? 2(11 ? n) . n S S S 当 n ? 11时, n ? 0 ; 当 n ? 11 时, n ? 0 ; 当 n ? 11 时, n ? 0 ; n n n S S S 所以 当 n ? 10 或 n ? 11 时, 1 ? 2 ? ? ? n 有最大值是 110 . 1 2 n 所以 k ? 110 ,
所以 又因为 k ? N ,
*





k





111.

小 值 为 ………………………8 分

(Ⅲ)存在 m?N ,使得

*

am ? am ?1 为数列 ? an ? 中的项. am ? 2

由(Ⅰ)知 an ? 24 ? 4n , 所以 am ? 24 ? 4m , am ?1 ? 20 ? 4m , am ? 2 ? 16 ? 4m , 所以

am ? am?1 (24 ? 4m) ? (20 ? 4m) 4(6 ? m)(5 ? m) . ? ? am? 2 16 ? 4m 4?m

令 t ? 4 ? m (t ? 3 t ?Z) , , 所以

am ? am?1 4(6 ? m)(5 ? m) 4(2 ? t )(1 ? t ) 2 ? ? ? 4(t ? 3 ? ) , am? 2 4?m t t

如果

am ? am ?1 2 是数列 {a n } 中的项,那么 t ? 3 ? 为小于等于 5 的整数, am ? 2 t

所以 t ?{?2, ?1,1, 2} .

2 ? 6 ,不合题意; t 2 当 t ? ?1 或 t ? ?2 时, t ? 3 ? ? 0 ,符合题意. t
当 t ? 1或 t ? 2 时, t ? 3 ? 所以, t ? ?1 或 t ? ?2 时, m ? 5 或 m ? 6 时, 当 即

am ? am ?1 为数列 ? an ? 中的项. am ? 2

5.

(2011·东莞期末)在等比数列 ?a n ?中,如果 a1 ? a3 ? 4, a 2 ? a 4 ? 8, 那么该数列
的前 8 项和为( D ) A.12 B.24 C.48 D.204

6.

(2011·东莞期末)将正方形 ABCD 分割成 n 2 (n ? 2, n ? N ) 个全等的小正方形
(图 1, 2 分别给出了 n ? 2,3 的情形) 在每个小正方形的顶 图 , 点各放置一个数,使位于正方形 ABCD 的四边及平行于某边的 任一直线上的数都分别依次成等差数列,若顶点 A, B, C, D 处 的四个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 f ? n ? , 则 f (4) ? ( C )

D

C

D A

C

A

B
图1

B
图2

A.4

B.6

C.

25 4



13 2

7.(2011·东莞期末)(本小题满分 14 分) 已知数列 ? an ? 的各项满足: a1 ? 1 ? 3k (k ? R) , an ? 4 (1) 判断数列 {a n ?
n ?1

? 3an ?1 .

4n } 是否成等比数列; 7

(2)求数列 ? an ? 的通项公式; (3) 若数列 ? an ? 为递增数列,求 k 的取值范围. 解: (1) a n ?1 ?

4 n ?1 4 n ?1 3 ? 4 n ? 3a n ? ? ?3a n ? ? 4 n 7 7 7 n 4 ? ?3(a n ? ) , 7 4 4 3 a1 ? ? 1 ? 3k ? ? ? 3k . 7 7 7 4n 1 4 当 k ? 时, a1 ? ? 0 ,则数列 {a n ? } 不是等比数列; 7 7 7 4n 1 4 当 k ? 时, a1 ? ? 0 ,则数列 {a n ? } 是公比为 ? 3 的等比数列. 7 7 7 n 4 3 1 ? ( ? 3k ) ? (?3) n ?1 , (2)由(1)可知当 k ? 时, a n ? 7 7 7 n 3 4 a n ? ( ? 3k ) ? (?3) n ?1 ? . 7 7 4n 1 当 k ? 时, a n ? ,也符合上式, 7 7 3 4n n ?1 所以,数列 ? an ? 的通项公式为 a n ? ( ? 3k ) ? (?3) ? . 7 7 4n ?1 ? 3 4n ? 3 n n ?1 ? ? ? ? ? 3k ? ? ?3? ? ? ? ? 3k ? ? ?3? (3) an ?1 ? an ? 7 ?7 7 ?7 ? ?
3 ? 4n 12 ? ? ?3? ? ? 7 7
n ?1

? 12 ? ? ?3?

n ?1

k.

∵ ∴

?an ? 为递增数列, n ?1 3 ? 4n 12 ? ? ?3? ? ? 12 ?
7 7

? ?3 ?

n ?1

k ? 0 恒成立.

①当 n 为奇数时, 有 成立,

n ?1 1 ? ?4? ? 3 ? 4n 12 ? 3n ?1 ? ? 12 ? 3n?1 k ? 0 , k ? ?1 ? ? ? ? 恒 即 7 ? ?3? ? 7 7 ? ?

由1 ? ?

?4? ? ?3?

n?1

?4? ? 1? ? ? ?3?

1?1

? 0 得k ? 0.

②当 n 为偶数时, 有 成立,

n ?1 1 ? ?4? ? 3 ? 4n 12 ? 3n?1 即 ? ? 12 ? 3n?1 k ? 0 , k ? ?1 ? ? ? ? 恒 7 ? ?3? ? 7 7 ? ?

7 ?4? ?4? 由1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? , 3 ?3? ?3? 1 得k ? . 3 ? 1? 故 k 的取值范围是 ? 0 , ? . ? 3?

n?1

2 ?1

8.(2011·佛山一检)在等差数列 ? an ? 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若

ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ,则 k ? ( B )
A. 21 C. 23 B. 22 D. 24

9.(2011·佛山一检)(本题满分 14 分) 已知正项等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 12 ,且 2a1 , a2 , a3 ? 1 成等比数列. (Ⅰ)求 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ?

an 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 3n

1 解: (Ⅰ) S3 ? 12 , a1 ? a ?3a ? 12 , 3a2 ?2 , ∵ 即 ∴ 所以 a2 ? 4 , --------------------------------2 2
又∵ 2a1 , a2 , a3 ? 1 成等比数列, ∴
2 a2 ? 2a1 ? (a3 ? 1)





2 a2 ? 2

(a2 ?

d)?

2

,(a ?

d ?1

--------------------------------4 分 解得, d ? 3 或 d ? ?4 (舍去) , ∴

a1 ? a2 ? d ? 1





an ? 3n ? 2



---------------------------------------7 分

an 3n ? 2 1 ? n ? (3n ? 2) ? n , n 3 3 3 1 1 1 1 ∴ Tn ? 1? ? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ? ? ? (3n ? 2) ? n , 3 3 3 3
(Ⅱ)法 1: bn ?



1 1 1 1 1 1 ② ? 4 ? 3 ? 7 ? 4 ? ? ? (3n ? 5) ? n ? (3n ? 2) ? n?1 2 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 ① ? ②得, Tn ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? 3 ? n ? (3n ? 2) ? n ?1 3 3 3 3 3 3 3 1 1 (1 ? n ?1 ) 2 1 1 5 1 1 1 3 ? ? 3? 3 ? (3n ? 2) ? n ?1 ? ? ? n ?1 ? (3n ? 2) ? n ?1 1 3 3 6 2 3 3 1? 3
① ? 得, Tn ? 1? ∴

1 3

Tn ?

5 1 1 3n ? 2 1 5 6n ? 5 1 ? ? n?2 ? ? n ? ? ? n. 4 4 3 2 3 4 4 3

------------------------------------

---14 分

an 3n ? 2 1 1 ? n ? n ? n ?1 ? 2 ? n , n 3 3 3 3 1 1 1 1 设 An ? 1 ? 2 ? ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 , ① 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 则 An ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? ? ? n ? n , ② 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 ① ? ②得, An ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? n 3 3 3 3 3 3 1 1? n 3 ? n ? 1 ? 3 ? ( 3 ? n) ? 1 ? 1 3n 2 2 3n 1? 3 9 9 3 1 ∴ An ? ? ( ? n) ? n , 4 4 2 3 1 1 ? (1 ? n ) 3 ? 9 ? ( 9 ? 3 n) ? 1 ? (1 ? 1 ) ? 5 ? 6n ? 5 ? 1 . ∴ Tn ? An ? 2 ? 3 1 4 4 2 3n 3n 4 4 3n 1? 3
法 2: bn ? 10. (2011·广东四校一月联考) 设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知
3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ?

( C.5

B ) D.6

A.3

B.4

11. (2011·广东四校一月联考) (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?
x 2 , 方程 x ? f ( x) 有唯一解, 其中实数 a 为常数,f ( x1 ) ? , a( x ? 2) 2013

f ( xn ) ? xn ?1 (n ? N * )

(1)求 f ( x) 的表达式;

(2)求 x2011 的值; (3)若 an ?
2 a 2 ? an 4 (n ? N* ) ,求证: b1 ? b2 ? ? ? bn ? n ? 1 ? 4023 且 bn ? n ?1 2an ?1an xn

解: (1)由

x ? x ,可化简为 ax( x ? 2) ? x a( x ? 2)

? ax2 ? (2a ? 1) x ? 0

-------2 分 ? 当且仅当 a ? -------4 分

1 时,方程 x ? f ( x) 有唯一解. ---3 分 2

从而 f ( x) ?

2x x?2

(2)由已知 f ( xn ) ? xn ?1 (n ? N * ) ,得
?

2 xn ? xn ?1 xn ? 2

-------5 分

1 1 1 1 1 1 ? ? ,即 ? ? (n ? N * ) xn ?1 2 xn xn ?1 xn 2

?1? 1 1 ? 数列 ? ? 是以 为首项, 为公差的等差数列. x1 2 ? xn ?

-------6 分

2 x1 1 1 1 (n ? 1) x1 ? 2 ,? xn ? ? ? (n ? 1) ? ? (n ? 1) x1 ? 2 xn x1 2 2 x1

? f ( x1 ) ?

2 x1 2 2 1 ,? ,即 x1 ? ? x1 ? 2 2013 2013 1006
2?

1 2 1006 ? xn ? ? 1 (n ? 1) ? ? 2 n ? 2011 1006

-------7 分

故 x2011 ?

2 1 ? 2011 ? 2011 2011

-------8 分 -------10 分

(3)证明:? xn ?
? bn ?

2 n ? 2011 ,? an ? 4 ? ? 4023 ? 2n ? 1 n ? 2011 2

2 2 an ?1 ? an (2n ? 1)2 ? (2n ? 1) 2 4n2 ? 1 2 1 1 ? ? 2 ?1? =1 ? ? 2an ?1an 2(2n ? 1)(2n ? 1) 4n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

---12 分
1 1 1 1 1 1 ?b1 ? b2 ? ?bn ? n ? (1 ? 1 ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) ? n ? 1? ?1, 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

故 b1 ? b2 ? ? ? bn ? n ? 1

-------14 分

12. (2011·广州期末) 已知等比数列 12 .

?an ? 的公比是 2 , a3 ? 3 ,则 a5 的值是

13.(2011·广州期末)(本小题满分14分) 已知数列 中,

{a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 Sn ? 1 ? an (n ? N * ) .各项为正数的数列 {bn }
n

对于一切 n?N ,有 (1)求数列 (2)设数列 (1)解:∵

*

?
k ?1

1 bk ? bk ?1

?

n b1 ? bn ?1
, 且

b1 ? 1, b2 ? 2, b3 ? 3

.

{an }



{bn }

的通项公式;

{anbn }

的前 n 项和为 ,

Tn

,求证:

Tn ? 2

.

Sn ? 1 ? an

当 n ? 1 时,

a1 ? S1 ? 1 ? a1

, 解得

a1 ?

1 2.
,

……1分

当 n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? ?1 ? an ? ? ?1 ? an ?1 ?

an 1 ? 2a ? an?1 a 2. 得 n , 即 n ?1

…… 3分

1 1 {a n }是首项为 2 , 公比为 2 的等比数列. ∴数列
1 ?1? an ? ? ? ? 2 ?2? ∴
n ?1

?

1 2n .

…… 4分

∵ 对于一切 n?N ,有

*

?
k ?1

n

1 bk ? bk ?1 ?

? n ?1

n b1 ? bn ?1
, ①

当 n ? 2 时, 有

?
k ?1

n ?1

1 bk ? bk ?1

b1 ? bn





1

? ② 得:

1 n n ?1 ? ? bn ? bn ?1 b1 ? bn ?1 b1 ? bn
, , ③ ④ ……6分

化简得:

(n ? 1)bn?1 ? nbn ? b1 ? 0

用 n ? 1替换③式中的 n ,得: ③-④ 整理得:

nbn? 2 ? (n ? 1)bn?1 ? b1 ? 0


bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn

∴当 n ? 2 时, 数列

{bn }

为等差数列.



b3 ? b2 ? b2 ? b1 ? 1

, …… 8分

∴ 数列 ∵

{bn }

为等差数列.

b1 ? 1, b2 ? 2

∴数列 ∴

{bn }

的公差 d ? 1 . . …… 10分

bn ? 1 ? ? n ? 1? ? n

(2)证明:∵数列

{anbn }

的前 n 项和为

Tn

,



Tn ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n 2 2 2 2 ,



1 1 2 n Tn ? 2 ? 2 ? ? ? n?1 2 2 2 ∴2 ,



1 1 1 1 n Tn ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 ⑤-⑥得: 2
1? ?1? ?1 ? ? ? 2? ?2? ? ? 1 1? 2
n

…… 12分

? ? ? ?? n 2n ?1

? 1?

n?2 2n?1 .



Tn ? 2 ?

n?2 ?2 2n .

……14分

14. (2011·哈九中高三期末)若两个等差数列 已知

?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别是 S n 和 Tn ,
( )

Sn a 7n ? ,则 5 ? Tn n ? 3 b5
B.

A. 7 【答案】D

2 3

C.

27 8

D.

21 4

【分析】根据等差数列的性质,把

a5 S 转化为 9 . b5 T9

9(a1 ? a9 ) a 2a a ? a9 S 21 2 【解析】 5 ? 5 ? 1 ? ? 9 ? . b5 2b5 b1 ? b9 2(b1 ? b9 ) T9 4 2
【考点】数列。 【点评】 如果两个等差数列 ? an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别是 S n 和 Tn , 仿照本题解析的方法一 定有关系式

15. (2011·哈九中高三期末)设 ?a n ?是公比为 q 的等比数列,其前 n 项积为 Tn ,并满足 条件 a 1 ? 1, a 99 a 100 ? 1 ? 0, (1) 0 ? q ? 1 ; (2) T198

an S n 。 ? bn Tn

a 99 ? 1 ? 0 ,给出下列结论: a 100 ? 1 (3) a 99 a 101 ? 1 ; (4)使 Tn ? 1 成立的最小自然数 n ? 1;

等于 199 ,其中正确的编号为 【答案】 (1)(3)(4) 、 、 。 【分析】首先判断数列的单调性,然后再根据等比数列的性质进行分析判断。 【解析】根据等比数列的性质,如果等比数列的公比是负值,在其连续两项的乘积是负值,

a99 ? 1 ? 0 可知,a99 , a100 一个 a100 ? 1 大于 1 , 一个小于 1 , a1 ? 1 , 而 所以数列不会是单调递增的, 只能单调递减, 所以 0 ? q ? 1 ,
根据 a99 a100 ? 1 ? 0 ,可知该等比数列的公比是正值,再根据 而且 a99 ? 1, a100 ? 1,又 a99 a101 ? a100 ? 1 , (1) (3)正确;
2

T198 ? a1a2 ?? ? a99 a100 ?? ? a197 a198 ? (a99 a100 )99 ? 1 , (2)不正确; T199 ? a1a2 ?? ? a100 ?? ? a198 a199 ? (a100 )199 ? 1 ,故(4)正确。
【考点】数列。 【点评】本题设置开放性的结论,综合考查等比数列的性质以及分析问题的能力,试题比较 符合高考命题的趋势。在等比数列中最主要的性质之一就是

am ? an ? a p ? aq ? m ? n ? p ? q (m, n, p, q ? N* ) 。

16 .

(2011 · 湖 北 重 点 中 学 二 联 )

已 知 等 差 数 列

{an }中, a1 ? 3a8 ? a15 ? 120, 则2a9 ? 2a10 ?
A.20 ( C ) B.22 C.24 D.-8

17 . (2011·湖北重点中学二联 ) 已 知 数 列 {an } 是 公 差 为 零 的 等 差 数 列 ,

a1 ? 1.若 a1 , a2 , a5成等比数列,则 an =

an ? 2n ? 1



18.(2011·湖北重点中学二联)(12 分) 已知单调递增的等比数列 {an } 满足 : a2 ? a3 ? a4 ? 28, 且a3 ? 2是a2 , a4 的等差中项。

(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)若 bn ? an log 1 an , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 求使Sn ? n ? 2n?1 ? 50 成立的正整数 n 的
2

最 小值。 解: (Ⅰ)设等比数列 ? an ? 的首项为 a1 ,公比为 q. 依题意,有 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ,代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 , 可得 a3 ? 8 ,? a2 ? a4 ? 20 ,所以

1 ? ?a1q 2 ? 8, ?q ? 2, ? ?q ? , 解之得 ? 或? 2 ? 3 ?a1q ? a1q ? 20, ?a1 ? 2 ? ? a1 ? 32. ? 又数列 ? an ? 单调递增,所以 q ? 2 , a1 ? 2 ,

……4 分

?数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 n.
2

……6 分
2 n

( Ⅱ ) 因 为 bn ? 2n log 1 2n ? ?n ? 2n , 所 以 Sn ? ?(1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? n ? 2 ) ,

2Sn ? ?[1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 ] ,
2 3

……8 分

两式相减, 得 Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 3 n n ?1

? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1.
……10 分
n?1

? Sn ? n ? 2n ?1 ? 50 即 2n?1 ? 2 ? 50 ,即 2n?1 ? 52.

? 2 ? 32 ? 52 ,当 n ? 5 时, 2 n ?1 故使 Sn ? n ? 2 ? 50 成立的正整数 n 的最小值为 5.
易知:当 n ? 4 时, 2
n?1 5

? 26 ? 64 ? 52.
……12 分

19、(2011·淮南一模)若实数x,y满足不等式组: 成的平面区域的面积是

? x ? y ? ?1 ? ?x ? y ? 1 ?3x ? y ? 3 ?

,则该约束条件所围

A.3

5 B. 2

C.2

D. 2 2

8.C【解析】可行域为直角三角形,其面积为

1 S ? ? 2 2 ? 2 ? 2. 2

20 、

(2011 · 淮 南 一 模 ) 已 知 数 列 ?an ?
,则

的前 n 项和

S n ? n 2 ? 2n ? 1

a1 ? a3 ? a5 ? ?? a25 =



? 2, n ? 1 an ? ? ?2n ? 1, n ? 2 , 350 【解析】

所以

a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a25 ? ? a1 ? 1? ? a3 ? a5 ? ? ? a25 ? 1 ?

? 3 ? 51? ?13 ? 1 ? 350.
2

21、(2011·淮南一模)(本小题13分)已知等比数列 且

?an ? 满足: 2a1 ? a3 ? 3a2 ,

a3 ? 2

是 a 2 , a 4 的等差中项。

(Ⅰ)求数列

?an ? 的通项公式;
1 an


bn ? a n log 2
(Ⅱ)若 数 n 的最小值。

Sn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ,求 2 n ?1 ? S n ? 60n ? 2

成立的正整

【解】(Ⅰ)设等比数列

?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q ,

?a1 (2 ? q 2 ) ? 3a1 q ? ? ? ? ? ?(1) ?2a1 ? a3 ? 3a 2 ? ?? ? 3 2 ?a 2 ? a 4 ? 2(a3 ? 2) ?a1 (q ? q ) ? 2a1 q ? 4 ? ? ? ? ? ?(2) ? 依题意,有


(1) 及 a1 ? 0 ,得 q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ? q ? 1 ,或 q ? 2
┉┉┉┉┉4分 ┉┉┉┉┉6分

当 q ? 1 时, (2) 式不成立;当 q ? 2 时,符合题意
把 q ? 2 代入(2)得

a1 ? 2 ,所以, a n ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n

bn ? an log2
(Ⅱ)

1 1 ? 2n ? log2 n ? ?n ? 2n an 2

┉┉┉┉┉┉┉┉7分

? ?S n ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? ? ? n ? 2 n ? ? ? ? ? ?(3)
? ?2S n ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? ? ? ? ? (n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n?1 ? ? ? ? ? ?(4)
( 3
2 3


n

n?1



4





Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? n ? 2
┉┉10分

2(1 ? 2n ) ? ? n ? 2 n?1 ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2 1? 2
┉┉┉

2 n?1 ? S n ? 60 n ? 2

,即?

n ? 2n?1 ? 60n ,? 2n?1 ? 60

n?1 5 又当 n ? 4 时,? 2 ? 2 ? 32 ? 60

当 n ? 5 时,? 2
故使

n?1

? 26 ? 64 ? 60
成立的正整数

┉┉┉┉┉┉┉┉12分

2 n ?1 ? S n ? 60 ? n ? 2

n 的最小值为5 . ┉┉┉┉┉┉┉┉13分

22、 (2011·黄冈期末) 设 y 是 1 ? x 与 1 ? x 的等比中项,则 3 x ? 4 y 的最大值为 ( C A、3 ) B、4 C、5 D、7

23、(2011·黄冈期末)已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 S2 ? 10, S5 ? 55 , 则过点 P ( n, an ) 和 Q( n ? 2, an? 2 )( n ? N * ) 的直线的一个向向量的坐标是( B )

1 A、 (2, ) 2
24 、

1 B、 ( ? , ?2) 2

1 C、 ( ? , ?1) 2

D、 (-1,-1)

(2011 · 黄 冈 期 末 )

已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列

?a n ?

满 足

2 2 an?1 ? an?1an ? 2an ? 0(n ? N * ) 且 a3 ? 2 是 a 2 、 a4 的等差中项。

(1)求数列 ?a n ? 的通项公式 a n . (2)若 bn ? an log 1 an ,求证: ?bn ? 的前 n 项和 S n ? ?2 .
2

2 2 解:? an?1 ? an an?1 ? 2an ? 0

? (an?1 ? an )(an?1 ? 2an ) ? 0 …………………………………2 分
??an ? 的各项均为正

? an?1 ? an ? 0


? an?1 ? 2an

??an ? 是以 2 为公比的等比数列,又 a2 ? a4 ? 2a3 ? 4

an ? 1 ? 2 ……………………………………………………4 分 an

? 2a1 ? 8a1 ? 8a1 ? 4
n

? a1 ? 2

? an ? 2 ……………………………………………………6 分
(2)由(1)及 bn ? an ? log 1 an ? ? n ? 2n
2

? Sn ? ?(2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? ? n ? 2n ) 2 Sn ? ?(22 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? ( n ? 1)2n ? n ? 2n?1 )
25.(2011·锦州期末)设数列 ?an ? 满足

a1 ? 1, log 2 an ?1 ? log 2 an ? 1 (n ? N ? ) ,它的前 n 项和为 S n ,则 n 最小为下列何值时
S n >1025 ( (A)9 C ) (B)10 (C)11 (D)12

26 . 2011 · 九 江 七 校 二 月 联 考 ) 设 等 比 数 列 {an } 中 , 前 n 项 和 为 (

Sn ,已知S3 ? 8, S6 ? 7, 则a7 ? a8 ? a9 ?
A.



A ) D.

1 8

B. ?

1 8

C.

57 8

55 8

27、(2011·日照一调)(本小题满分12分) 等比数列

{an }

中,

a1 ? 2, a4 ? 16

.

(I)求数列 (Ⅱ)若

{an }

的通项公式;

a3 , a5

分别为等差数列

{bn }

的第4项和第16项,试求数列

{bn }

的前 n 项和

Sn

.

解: (Ⅰ)设

{an }

的公比为 q ,
3

由已知得 16 ? 2q ,解得 q ? 2 .

…………………………………………3分

n ?1 n ?1 n 又 a1 ? 2 ,所以 an ? a1q ? 2 ? 2 ? 2 . …………………………………………6分

(Ⅱ)由(I)得

a2 ? 8



a5 ? 32

,则 b4 ? 8 , b16 ? 32 .

?b1 ? 3d ? 8, ?b1 ? 2, ? ? b ? 15d ? 32, {b } d ? 2. …………………………9分 设 n 的公差为 d ,则有 ? 1 解得 ?
S n ? nb1 ? n(n ? 1) n(n ? 1) d ? 2n ? ? 2 ? n 2 ? n. 2 2

则数列

{bn }

的前 n 项和

…… 12分

28.(2011·日照一调)(本小题满分14分)

?? ? ?? ? L ? {( x, y ) | y ? m ? n} ,其 中 m ? (2 x ? b,1), n ? (1, b ? 1) , 点列 Pn ( a n , bn ) 已 知点 集
( n ? N )在L中, P1 为L与y轴的交点,数列 (Ⅰ)求数列
?

{a n }

是公差为1的等差数列.

{bn }

的通项公式;

? a , (n为奇数) f ( n) ? ? n ?bn .(n为偶数) S n ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f ( n) ,试写出 S n 关 (Ⅱ)若 令
于 n 的表达式;

? a , (n为奇数) f ( n) ? ? n ? ? m ?bn .(n为偶数) (Ⅲ) 若 给定奇数m(m为常数, ? N ,m ? 2 ). 是否存在 k ? N ,
使得 f (k ? m) ? 2 f (m) ,若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

?3 2 n 1 * ? 4 n ? 2 ? 4 ,(n ? 2k ? 1, k ? N ) ? 因此 Sn ? ? ? 3 n2 . ( n ? 2 k , k ? N* ) ?4 ?
* (Ⅲ)假设存在 k ? N ,使得 f (k ? m) ? 2 f (m) ,

…………9分

因为 m 为奇数, (1)若 k 为奇数,则 k ? m 为偶数,于是 f (m) ? m ? 1 , f (m ? k ) ? 2( m ? k ) ? 1 ,

1 k ?? , * 2 与 k ? N 矛盾; 由 2( m ? k ) ? 1 ? 2( m ? 1) ,得

…………11分

(2)若 k 为偶数,则 k ? m 为奇数,于是 f (m) ? m ? 1 , f (m ? k ) ? (m ? k ) ? 1 , 由 ( m ? k ) ? 1 ? 2( m ? 1) ,得 k ? m ? 1 ( m ? 1 是正偶数). …………13分

综上,对于给定奇数m(m为常数, m ? N , m ? 2 ), 这样的 k 总存在且 k ? m ? 1 . …………14分

?

29、 2011· ( 三明三校一月联考) 如图, 圆周上按顺时针方向标有 1, 2 , 3 , 4 , 5 五个点。一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点。若它 停在奇数点上,则下一次只能跳一个点; 若停在偶数点上,则跳两个点。该青蛙从 5 这点跳起,经 2011 次跳后它将停在的点是 ( A A. 1 B. 2 )
4 3 5 1

2

C. 3

D. 4

30、 (2011·三明三校一月联考) (本小题满分 12 分)已知等差数列 ?a n ?和正 项等比数列 ?bn ? , a1 ? b1 ? 1 , a3 ? a7 ? 10 , b3 = a 4 (1)求数列 ?a n ?、 ?bn ? 的通项公式 (2)若 c n ? a n ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 解(1)依题意, ?a n ?为等差数列,设其公差为 d ; ?bn ? 为正项等比数列,设其公比为 q , 则可知 q ? 0 ∵

a3 ? a7 ? 10

∴可知 2 a 5 ? 10 ,即 a5 ? 5 ∴ a5 ? a1 ? 4d ? 4 ,解得 d ? 1

又 a1 ? 1

故 a n ? a1 ? (n ? 1)d ? n …………………………………………………………………3 分 由已知 b3 = a 4 =4, ∴ bn ? b1 q 所以
n ?1

∴ q ?
2

b3 ? 4 ,即 q ? 2 b1

? 2 n ?1

an ? n , bn ? 2 n ?1 ………………………………………………………………6 分

n ?1 (2)∵ c n ? a n ? bn = n ? 2

∴ ∴

Tn =1? 2 0 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n?1
2Tn


1 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n?1 ? n ? 2 n
0 1 2 n ?1

以上两式相减,得- Tn = 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 =

? n ? 2 n ………………………9 分

1 ? (1 ? 2 n ) ? n ? 2 n = (1 ? n) ? 2 n ? 1 1? 2



Tn = (n ? 1) ? 2 n ? 1 ………………………………………………………………12 分

32、(2011·上海长宁期末)无穷等比数列 ?an ? 中,公比为 q ,且所有项的和
2 2 2 4 为 ,则 a1 的范围是___ (0, ) ? ( , ) ______ 3 3 3 3

33、(2011· 上海长宁期末)如图,连结 ?ABC 的各边中点得到一个新的 ?A1 B1 C1 ,
又 ?A1 B1C1 的各边中点得到一个新的 ?A2 B2 C 2 ,如此无限继续下去,得到一系列三角形,

?A1 B1 C1 , ?A2 B2 C 2 , ?A3 B3C3 , ?, 这 一 系 列 三 角 形 趋 向 于 一 个 点 M 。 已 知

A?0,0?, B?3,0?, C ?2,2? ,则点 M 的坐标是( A )

y

C

5 2 A、 ( , ) 3 3

5 B、 ( ,1) 3

2 2 C、 ( ,1) D、 (1, ) 3 3
A

B1 A2 o

C2

A1 B2

C1

B

x

34、(2011·上海长宁期末)(本题满分 18 分,第(1) 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 已 知 点 P1 (a1 , b1 ) , P2 (a2 , b2 ) , … , Pn (an , bn ) ( n 为 正 整 数 ) 都 在 函 数
y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图像上,其中 {a n } 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列。

(1)求数列 {a n } 的通项公式,并证明数列 {bn } 是等比数列; (2)设数列 {bn } 的前 n 项的和 S n ,求 lim (3)设 Qn (a n ,0) ,当 a ?
Sn ; n?? S n ?1

2 时,问 ?OPn Qn 的面积是否存在最大值?若存在,求 3 出最大值;若不存在,请说明理由;

解: (1) a n ? 2n ? 1 , n ? N ? ) (



…………………………………………………. 2 分

bn ? a an ? a 2 n?1 ,?

bn ?1 2 ? a(定值) ? 数列?bn ?是等比数列。 , bn

…………………………………………………. 4 分
Sn 1 ? a 2n a(1 ? a 2 n ) ? (2)因为 ?bn ? 是等比数列,且公比 a ? 1 ,? S n ? , 。 S n ?1 1 ? a 2 n ? 2 1? a2
2

…………………………………………………. 6 分 当 0 ? a ? 1 时, lim
Sn ?1 ; n ?? S n ?1

…………………………………………………. 7 分 1 ?1 2n Sn 1? a 1 a 2n 当 a ? 1 时, lim ? lim ? lim ? 2。 2n?2 n ?? S n ?? 1 ? a n ?? 1 a n ?1 ? a2 2n a …………………………………………………. 9 分 ?1,0 ? a ? 1 S ? 因此, lim n ? ? 1 。 n ?? S ,a ?1 2 n ?1 ?a ? …………………………………………………. 10 分 2 2 n ?1 1 2 (3) bn ? ( ) , S ? ? ? (2n ? 1) ? ( ) 2 n ?1 , 3 2 3 ………………………………………………….12 分 设 cn ?
?c n ? c n ?1 1 2 , ? (2n ? 1) ? ( ) 2 n ?1 ,当 c n 最大时,则 ? 2 3 ?c n ? c n ?1

…………………………………………………. 14 分
? n ? 2 .3 解得 ? , n ? N ? ,?n ? 2 。 ? n ? 1 .3

…………………………………………………. 16 分 4 4 所以 n ? 2 时 c n 取得最大值 ,因此 ?OPn Qn 的面积存在最大值 。 9 9 …………………………………………………. 18 分

35. (2011· 上海普陀区期末) 若数列 且 ,则 =__40______.

对任意的

都有



36.(2011· 上海普陀区期末) 已知数列

的前 项和





),则 37.

2

.

(2011·上海普陀区期末)
已知 是直线 , 、 均为非零常数),其中数列 是等差数列; ,求证: 时,恒有 ; ( 和 都是不大于 的 ,使得 为等差数列. 上的 个不同的点



(1)求证:数列 (2)若点 (3) 设 正整数, 且

是直线 上一点,且 ,且当 ).试探索:在直线

上是否存在这样的点

成立?请说明你的理由.

解:(1)证:设等差数列 因为 所以 (2)证:因为点 于是,

的公差为

, ,

为定值,即数列 、 和

也成等差数列. ( )

都是直线 上一点,故有

令 (3)假设存在点 则有



,则有 满足要求 ,

. ,

又当

时,恒有

,则又有 ,

所以 又因为数列 于是 所以, 成等差数列, ,



,同理

,且点

在直线上(是



的中

点),即存在点

满足要求.

38.(2011·杭州一检)等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n 已知 a3 =4, S 3 =9,则 S 4 = A.14 C.28 ( A ) B.19 D.60

39. (2011· 杭州一检)已知等比数列前 3 项

1 1 1 , , , 则其第 8 项是 ? 2 4 8

?

1 256



40 . (2011·杭州一检 ) ( 本 题 满 分 14 分 ) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 且

Sn ? 4an ? 3 (n ? 1, 2,?) ,
(1)证明:数列 ?an ? 是等比数列; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ?1 ? an ? bn (n ? 1, 2,?) , b1 ? 2 ,求数列 ?bn ? 的通项公式. 解: (1)证:因为 Sn ? 4an ? 3 (n ? 1, 2,?) ,则 Sn ?1 ? 4an ?1 ? 3 (n ? 2,3,?) , 所以当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 4an ? 4an ?1 , 整理得 an ?

4 an ?1 . 3

5分

由 Sn ? 4an ? 3 ,令 n ? 1,得 a1 ? 4a1 ? 3 ,解得 a1 ? 1 . 所以 ?an ? 是首项为 1,公比为

4 的等比数列. 3

7分

(2)解:因为 an ? ( ) n ?1 , 由 bn ?1 ? an ? bn (n ? 1, 2,?) ,得 bn ?1 ? bn ? ( )n ?1 . 由累加得 bn ? b1 ? (b2 ? b`1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn ?1 )

4 3

4 3

9分

4 1 ? ( ) n ?1 4 3 =2? ( , ? 3( ) n ?1 ? 1, n ? 2 ) 4 3 1? 3 4 当 n=1 时也满足,所以 bn ? 3( ) n ?1 ? 1 . 3
41.

(2011·泰安高三期末)等差数列{a }的前 n 项和 S ,若 a + a - a
n n 3 7

10

=8, a11-

a4=4,则 S13 等于( C ) A.152 42. B.154 C.156 D.158

(2011·泰安高三期末) (本小题满分 12 分)

在数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c 是常数,n=1,2,3…),且 a1, a2,a3,成公比不为 1 的 等比数列. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求{an}的通项公式. 解: (1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c, ……………………………………………………………(1 分) 因为 a1,a2,a32成等比数列, 所以(2+c) =2(2+3c), 解得 c=0 或 c=2. ……………………………………………………………………………… (4 分) 当 c=0 时,a1=a2=a3,不符合题意舍去,故 c=2. …………………………………………… (5 分) (2)当 n≥2 时,由于 a2 – a1 =c, a3 – a2 =2c, …… an – an-1=(n-1)c, 所以 an –a1 =[1+2+…+(n-1) ]c=
2

n(n ? 1) c. 2

又 a1=2,c=2,故 an=2+n(n -1)= n - n +2(n =2,3,…). 当 n=1 时,上式也成立, 所以 an= n - n +2(n =1,2,…). ………………………………………… 43、 (2011·温州十校期末联考)我国的刺绣有着悠久的历史,下图(1)(2) 、 、 (3)(4)为刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣 、 越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同), 设第 n 个图形包含 f (n) 个小正方 形.则 f (n) 的表达式为
2

f ( n) ? 2 n 2 ? 2 n ? 1 .

44、 (2011·温州十校期末联考) (本题满分 14 分)已知等差数列 ?a n ? 满足前 2 项的和为 5,前 6 项的和为 3. (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)设 bn ? (4 ?an ) ? 2 , (n ? N ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 。
n ?

2 ?1 ? ? 2a1 ? 2 d ? 5 解: (1)设等差数列 ?a n ? 的首项为 a1 ,公差为 d,则 ? 6?5 ?6a1 ? d ?3 2 ?
?a ?3 解 ? 1 得 ?d ? ?1
———4 分

————2 分

? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 4 ? n
————7 分

————6 分

(2) bn ? (4 ?an ) ? 2 n ? n ? 2 n , (n ? N ? )

S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n 2S n ?

?

1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1 ?
1 2 n n ?1

?-?,得 ? S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? n ? 2
? S n ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 —11 分 ? 1? 2

—13 分

-------------14 分

45. (2011·烟台一月调研)等差数列 {an } 中,若 a1 , a2011 为方程 x2 ? 10x ? 16 ? 0 的 两根,则 a2 ? a1006 ? a2010 ? ( B A.10 46. ) C.20 D.40

B.15

(2011·烟台一月调研) (本小题满分 12 分)
1 1 1 将函数 f ( x) ? sin x ? sin ( x ? 2π) ? sin ( x ? 3π) 在区间 (0,?? ) 内的全部极值点按从小 4 4 2

到大的顺序排成数列 {an }(n ? N *). (1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)设 bn ? 2n an ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的表达式.
1 1 1 1 解: (1)化简 f ( x) ? sin x ? sin ( x ? 2π) ? sin ( x ? 3π) ? ? sin x 4 4 2 4 π 其极值点为 x ? kπ ? (k ? Z ) , 2

它在 (0, ??) 内的全部极值点构成以

π 为首项, 2

π 为公差的等差数列,…………………………………………
an ? π 2n ? 1 ? (n ? 1) ? π ? π(n ? N *) .……………………6 分 2 2 π (2n ? 1) ? 2n ……………… 2

(2) bn ? 2n an ?

π ?Tn ? [1 ? 2 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n ?1 ? (2n ? 1) ? 2n ] 2 π 2Tn ? [1 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1 ] 2

相减,得
π ?Tn ? [1 ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? 2 ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ] 2
?Tn ? π[(2n ? 3) ? 2n ? 3] ………………………………………………………………………

47.(2011·中山期末)等差数列{

an

}的前n项和为

Sn

.若

a2和a10

是方程

x2 ? 12 x ? 8 ? 0 的两个根,那么 S11 的值为 ( D )
A.44 B.-44 C.66 D.-66

48.(2011·中山期末) (本小题满分14分) 已知

{a n }是各项为正数的等比数列, 且 a1a3 ? 2a2 a4 ? a3a5 ? 100 ,

4 是 a2 和 a4 的一个等比中项.
(1)求数列 (2)若

{a n }的通项公式;

{a n }的公比 q ? (0, 1) ,设 bn ? an ? log2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . {a n }是各项为正数的等比数列,且 a1a3 ? 2a2 a4 ? a3a5 ? 100

解: (1)

∴ a 2 ? 2a 2 a 4 ? a 4 ? 100 ,
2 2

(a2 ? a4 ) 2 ? 100 即: a 2 ? a 4 ? 10
? a2 ? a4 ? 10 ?a ? 2 ?a 2 ? 8 ?? 2 ? ? 2 ?a2 a4 ? 4 ? 16 ?a 4 ? 8 或 ?a 4 ? 2 ?a 2 ? 2 ? ?a 4 ? 8 ?a 2 ? 8 ? ?a 4 ? 2
q2 ?
时,



①当

a4 ? 4 ? q ? 2(q ? ?2 a ? a 2 q n ? 2 ? 2 n ?1 a2 舍去) , n a4 1 1 1 ? ? q ? (q ? ? a2 4 2 2 舍去) a n ? a 2 q n ? 2 ? 2 5? n ,
a n ? a 2 q n ? 2 ? 2 5? n

q2 ?
时,

②当

(2)若 0 ? q ? 1 ,则:

l o 2g n ? 5 ? n a bn ? an log2 an ? (5 ? n) ? 25?n

S n ? 4 ? 2 4 3 ? 23 ? 2 ? 22 ? ?? (5 ? n) ? 25?n +
2 1 4?n 4 ? 2 3 + 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? (5 ? n) ? 2

2 ?1 S n ?
两式相减得:

2 ?1 S n ? 4 ? 2 4 ? (23 ? 22 ? 21 ? ?? 25?n ) ? (5 ? n) ? 2 4?n

? 64 ?
S n ? 96 ? (n ? 3) ? 2 5? n

23 (1 ? 21?n ) ? (5 ? n) ? 2 4?n 1 ? 2 ?1


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