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2009-2010学年度第一学期期末考试高一数学


2009-2010 学年度第一学期期末考试高一数学试题

参考答案(A 卷)
一.选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 题号 答案 B A B B 5 C 6 B 7 D 8 C 9 A 10 D

二.填空题: (每小题 5 分,共 30 分) . 11. P ; 12. 1 ; 13. ?

2 ; 3

14.

? ?5, 0? ? ? 2,5? ;
?

15. ?

3 ; 2

16.先做 f ( x) , x ? ?0, ? 的图象关于直线 x ? 对称的图象,可得 f ( x) , x ? ? 0, ?? 的图象; 2 ? ?? 再做 f ( x) , x ? ? ?, ?? 关于原点 O 对称的图象可得 f ( x) , x ? ? ??, ? ? 图象. 三.解答题:(共 70 分) 17. 解:

? ??

2? ? ? ,可知 f ( x) 的最小正周期为 ? .………………………………..5 分 2 ? ? ? (Ⅱ)由 2 x ? ? ? 2k ? ,得 x ? ? k ?,k ? Z …………………………………7 分 ? 2 6 ? 此时 sin(2 x ? ) ? 1 ,函数 f ( x) 的最大值为 2 .…………………………..10 分 ?
(Ⅰ)由 T ? 18.证明: 任取 x1 , x2 ? ?1, ?? ? 且 x1 ? x2 .……………………………………………………..3 分
2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? x12 ? 2 x1 ? ? ? x2 ? 2 x2 ? ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? 2 ? ……………….6 分

因为 x1 , x2 ? ?1, ?? ? 且 x1 ? x2 , 所以 x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 2 ? 0 . …………………………………………………….9 分 所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? . 故 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上为增函数.……………………………………………………12 分 19.解: (Ⅰ)由三角函数的定义,可得 cos ? ?

3 5 , cos ? ? ? ,…………………………...2 分 5 13 4 因为 ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? .………………………………..5 分 5
??? ??? ? ?

(Ⅱ)解法一: 由已知得:向量 OA, OB 的夹角为 ?AOB ? ? ? ? ,……………………………….7 分 由 cos ? ? ?

5 12 ,可求得 sin ? ? . ………………………………………………9 分 13 13

所以 cos ? ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

??

5 3 12 4 33 . …………………………………………………………….12 分 ? ? ? ? 13 5 13 5 65
??? ? ?3 4? ?5 5? ??? ? ? 5 12 ? , ? ,……………………………………….7 分 ? 13 13 ?

解法二: OA ? ? , ? , OB ? ? ?

??? ??? 33 ? ? . …………………………………………………………………………..9 分 OA ? OB ? 65 ??? ??? ? ? OA ? OB 33 所以 cos ?AOB ? ??? ??? ? . ………………………………………………….12 分 ? ? OA ? OB 65
20.解:
2 由于 | a + b | ? ? a + b ? ? a ? 2a ? b ? b ,……………………………………….3 分 2 2 2

| a - b |2 ? ? a - b ? ? a ? 2a ? b ? b ,………………………………………………6 分
2 2 2

所以,由 | a + b |=| a - b | , 可得 a ? b = 0 .于是 a ? b .……………………………………………………………9 分 几何意义是:对角线相等的平行四边形是矩形.…………………………………….12 分 21.解: 设 A 箱有 x 块糖, B 箱有 y 块糖, B 箱中取出 z 块糖放入 A 箱.

? y ? 100 ? 2 ? x ? 100 ? ?1? ? 则? …………………………………………………….4 分 ? x ? z ? 6 ? y ? z ? ? 2? ?
由⑴得: y ? 2 x ? 300 , 代入⑵得: 11x ? 7 z ? 1800

x ? 163 ?

7 ? z ? 1? 11

,………………………………………………………………….8 分

可知当 z ? 10 时, xmin ? 170 . ………………………………………………………10 分 此时 y ? 40 . 所以 A 箱中的糖果最少有 170 块,此时,B 箱中有 40 块糖果……………………12 分 22.解: (Ⅰ)

1? x ? 0 ? ?1 ? x ?1, 1? x

所以定义域 A ? ?x | ?1 ? x ? 1? . ……………………………………………………3 分 (Ⅱ)因为 f (m) ? f (?m) ? lg

1? m 1? m 1? m 1? m ? lg ? lg( ? ) ? lg1 ? 0 1? m 1? m 1? m 1? m

所以 f (m) ? f (?m) ? 0 ,………………………………………………………….5 分 由上可知,对任意 x ? A ,都有 f ( x) ? f (? x) ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x) . 所以 f ( x) 为奇函数…………………………………………………………………..7 分 (Ⅲ)由已知得 b ? f ( x) , x ? ? 0,

? 9? , ? 11 ? ?

? 9? f ( x) ? lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) ,在 ?0, ? 上为减函数,………………………….9 分 ? 11?
所以 f (

9 9 f ) ? f ( x) ? f (0) ,又 f ( ) ? ?1, (0) ? 1 ,……………………….11 分 11 11
? 9? 上恒有实数根, ? 11? ?

所以方程 f ? x ? ? b ? 0 在区间 ?0,

b 的取值范围为 ? ?1, 0? .………………………………………………………….12 分


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