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[精品教案]2.2.1对数与对数运算(第二课时)


2.2.1 对数与对数运算教案 第二课时
(一)教学目标 1.知识与技能:理解对数的运算性质. 2. 过程与方法: 通过对数的运算性质的探索及推导过程, 培养学生的 “合情推理能力” 、 “等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法,以及创新意识. 3.情感、态态与价值观 通过“合情推理”“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用,培养学生对立统一、相互 、 联系,相互转化以及“

特殊—一般”的辩证唯物主义观点,以及大胆探索,实事求是的 科学精神.

(二)教学重点、难点 1.教学重点:对数运算性质及其推导过程. 2.教学难点: 对数的运算性质发现过程及其证明. (三)教学方法 针对本节课公式多、思维量大的特点,采取实例归纳,诱思探究,引导发现等方法. (四)教学过程

教学

教学内容

师生互动

设计意图

环节 复习 复习:对数的定义及对数恒等式
lo g a N ? b ? a ? N
b

学生口答,教师板书.

对数的概念 和对数恒等 式是学习本 节课的基础,

( a >0,且

引入

a ≠1,N>0) ,

指数的运算性质.
a ?a ? a
m n m?n

;
m

a

m

?a ? a
n
n

m?n

学习新知前 的简单复习,

(a ) ? a
m n

mn

;

a

n

? am

不仅能唤起 学生的记忆,

而且为学习 新课做好了 知识上的准 备. 提出 探究:在上课中,我们知道,对数式可 看作指数运算的逆运算, 你能从指数与对数 问题 的关系以及指数运算性质, 得出相应的对数 运算性质吗?如我们知道 a ? a ? a
m n m?n

学生探究, 教师启发引导.



那 m ? n 如何表示,能用对数式运算吗? 如:
a ?a ? a
m n m?n

,

设M ? a , N ? a .
m n

于是 M N ? a
M ?a
m

m?n

, 由对数的定义得到

? m ? log a M ,

N ? a ? n ? lo g a N
n

MN ? a

m?n

? m ? n ? log a M N

? lo g a M ? lo g a N ? lo g a M N ( 放 出 投 影 )

即:同底对数相加,底数不变,真数相 乘 提问: 你能根据指数的性质按照以上的 方法推出对数的其它性质吗?

概念

(让学生探究,讨论) 如果 a >0 且 a ≠1,M>0,N>0,那 让学生多角度思考,探究,教 师点拨. (1) lo g a M N ? lo g a M ? lo g a N 让学生讨论、研究,教师引

让学生明确 由 “归纳一猜 想” 得到的结 论不一定正 确, 但是发现

形成

么:

(2) lo g a

M N
n

? lo g a M ? lo g a N

导.

数学结论的 有效方法, 让

(3) lo g a M 证明:

? n lo g a M

(n ? R )

学生体会―归 纳一猜想一

(1)令 M ? a , N ? a
m

n

证明‖是数学 中发现结论,

则:

M N

? a

m

?a ? a
n

m?n

证明结论的 完整思维方 法, 让学生体

? m ? n ? lo g a

M N
n

又由 M ? a ,
m

N ?a

会回到最原 始(定义)的 地方是解决

? m ? log a M , n ? log a N


lo g a M ? lo g a N ? m ? n ? lo g a M N



数学问题的 有效策略. 通 过这一环节

(3)
N

的教学, 训练
n n

n ? 0时 , 令 N ? lo g a M , 则 M ? a
b

学生思维的 广阔性、 发散 性, 进一步加 深学生对字 母的认识和

b ? n lo g a M , 则 M ? a n
N b

?a

n

? a

n

?N ?b

即 lo g a

M N

? lo g a M ? lo g a N

利用, 体会从 ―变‖中发现 规律. 通过本 环节的教学, 进一步体会 上一环节的 设计意图.

当 n =0 时,显然成立.
? lo g a M
n

? n lo g a M

概念

合作探究:

(师组织, 生交流探讨得出

1. 利用对数运算性质时,各字母的取 深化 值范围有什么限制条件?

如下结论) 底数 a>0, a≠1, 且 真数 M >0,N>0;只有所得结果中对 数和所给出的数的对数都存在 时,等式才能成立.

(生交流讨论) 2. 性质能否进行推广? 性质(1)可以推广到 n 个 正数的情形,即 loga(M1M2M3…Mn) =logaM1+logaM2 +logaM3+… +logaMn (其中 a>0,且 a≠1,M1、M2、M3…Mn>0).

应用 举例

例 1 用 lo g a x , lo g a y , lo g a z 表示 下列各式 (1) lo g a
xy z

学生思考, 口答, 教师板演、 通 过 例 题 的 解 点评. 例 1 分析:利用对数运算 性质直接化简. 答, 巩固所学的 对数运算法则, 提高运算能力.
xy z

(2) lo g a

x

2 3

y 8

(1) lo g a

? lo g a xy ? lo g a z ? log a x ? log a y ? log a z
x
2 3

(2) lo g a
? lo g a x
2

y z
3

y ? lo g a y

z

? lo g a x ? lo g a
2

? lo g a

3

z
1 2 lo g a y

= 2 lo g a x ?
? 1 3 lo g a z

小结:此题关键是要记住 对数运算性质的形式, 要求学生 不要记住公式.

例 2 求下列各式的值. (1) lo g 2 ( 4 ? 2 )
7 5

例 2 解(1) lo g 2 ( 4 ? 2 )
7 5

? lo g 2 4 ? lo g 2 2
7

5

(2) lg 5 1 0 0

? 14 ? 5 ? 19

(2) lg 5 1 0 0
2

? lg 1 0

5

?

2 5

例 3 计算: (1)lg14-2lg (2)
lg 243 lg 9
lg 27 ? lg 8 ? 3 lg lg 1 . 2 10
7 3

例 3(1)解法一: +lg7-lg18; lg14-2lg
7 3

+lg7-lg18



=lg(2× 7)-2(lg7-lg3) +lg7-lg(32× 2) . =lg2+lg7 - 2lg7+2lg3+lg7 -2lg3-lg2=0. 解法二:lg14-2lg -lg18=lg14-lg( lg18=lg
14 ? 7 7 2 ( ) ? 18 3
7 3 7 3

(3)

+lg7

) 2+lg7-

=lg1=0.

(2)解:

lg 243 lg 9

=

lg 3 lg 3

5 2

=

51 g 3 2 lg 3

=

5 2

.

(3)解:
lg 27 ? lg 8 ? 3 lg lg 1 . 2
1 1 3

10

=

lg( 3 ) 2 ? lg 2 lg

3

? 31 g 10
2

2

3? 2 10

3

(lg 3 ? 21 g 2 ? 1) lg 3 ? 21 g 2 ? 1

=

2

=

3 2

.

小结: 以上各题的解答, 体 现对数运算法则的综合运用, 应 注意掌握变形技巧, 每题的各部 分变形要化到最简形式, 同时注 意分子、 分母的联系, 要避免错 用对数运算性质. 课本 P79 练习第 1,2,3. 课本 P79 练习第 1,2,3. 答 案 : 1. ( 1 ) lg ( xyz ) =lgx+lgy+lgz; (2)lg
xy z
2

=lg(xy2)-lgz

=lgx+lgy -lgz =lgx+2lgy-lgz; (3)lg
xy
3

2

z

=lg(xy3)-lg =lgx+lgy3- =lgx+3lgy-
1 2 1 2

z

lgz lgz;

(4)lg

x y z
2

=lg x -lg(y2z) = =
1 2 1 2

lgx-lgy2-lgz lgx-2lgy-lgz.

2.(1)7; (2)4; (3)-5; (4)0.56. 3.(1)log26-log23 =log2 6 =log22=1;
3

(2)lg5-lg2=lg (3)log53+log5
1 1 3

5 2



=log53× =log51=0;
3

(4)log35-log315 =log3 =-1. 补充练习:若 a>0,a≠1,且 x>y>0, N∈N,则下列八个等式: ①(logax)n=nlogx; ②(logax)n=loga(xn) ; ③-logax=loga( ④
log log
a a

5 15

=log3

1 3

=log33

-1

补充练习答案:4

1 x
x y

) ; ) ;

x y
a

=loga(
x

⑤n ⑥
1 n

log

=

1 x

logax;

logax=loga n x ;
log
x a

⑦an

=xn;

⑧loga

x ? y x ? y

=-loga

x ? y x ? y

.其中成立的

有________个.

归纳 总结

1.对数的运算性质. 2.对数运算法则的综合运用,应掌握变 形技巧: (1)各部分变形要化到最简形式,同 时注意分子、分母的联系; (2)要避免错用对数运算性质. 3.对数和指数形式比较:
式子 ab=N a——幂的底数 名称 b——幂的指数 N——幂值 am·n=am+n a 运算性 质 am÷ n=a a
m n m-n

通过师生 的合作总结, 使学生对本节 学生先自回顾反思, 教师点 课所学知识的 评完善. 结构有一个明 晰的认识,形 成知识体系.

(a ) =a

mn

(a>0,且 a≠1,m、n∈R) 式子 logaN=b a——对数的底数 名称 b——以 a 为底的 N 的对数 N——真数 loga(MN)=logaM+logaN 运算性 质 loga
M N

=logaM-logaN

logaMn=nlogaM(n∈R) (a>0,且 a≠1,M>0,N>0)

课后 作业

作业:2.1 第四课时 习案

学生独立完成

巩固新知 提升能力

备选例题
例 1 计算下列各式的值: (1)
1 2 lg 32 49 ? 2 3 ? 4 3 lg 8 ? lg 5 ? lg 20 ? (lg 2 )
2

lg

8 ? lg

245

; .

(2) lg 5 2

【解析】 (1)方法一: 原式=
1 2 4 3
3 1

(lg 2

5

? lg 7 ) ?

2

lg 2

2

? lg( 7

2

? 5) 2

= = =

5 2 1 2 1 2

lg 2 ? lg 7 ? 2 lg 2 ? lg 7 ? 1 2 (lg 2 ? lg 5 ) ? 1 2
4 2 7

1 2

lg 5

lg 2 ?

lg 5

.
? lg 4 ? lg 7 5

方法二:原式= lg = lg = lg(

4 2?7 5 7?4
2? 5) ? 1 2

.

(2)原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2 =2lg10 + (lg5 + lg2)2 = 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3. 【小结】易犯 lg52 = (lg5)2 的错误. 这类问题一般有两种处理方法:一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则 将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值; 另一种方法是将式中的对数的和、 积、 差、 商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、 商、幂、方根,然后化简求值. 计算对数的值时常用到 lg2 + lg5 = lg10 = 1. 例 2: (1)已知 lg2 = 0.3010,lg3 = 0.4771,求 lg (2)设 logax = m,logay = n,用 m、n 表示 log (3)已知 lgx = 2lga + 3lgb – 5lgc,求 x.
45


x
4

a

[4 a ? 3

];

y

【分析】由已知式与未知式底数相同,实现由已知到未知,只须将未知的真数用已知的 真数的乘、除、幂表示,借助对数运算法则即可解答. 【解析】 (1) lg
?
? 45 ? 1 2 lg 4 5 ? 1 2 lg 90 2

1 2 1
2

[lg 9 ? lg 1 0 ? lg 2 ]
[ 2 lg 3 ? 1 ? lg 2 ]
1 2 ? 1 2 lg 2 ?

? lg 3 ?

0.4771+0.5 – 0.1505

= 0.8266 (2) lo g a [ 4 a ? 3
1 4

x
4

]

y
1 12

1 3

? lo g a a ? lo g a x ? lo g a y
? 1 4 ? 1 3 log
a

x?

1 12

log

a

y ?

1 4

?

1 3

n?

1 12

m.

(3)由已知得:
lg x ? lg a
2 2

? lg b

3

? lg c

5

? lg

a b c
5

2

3



∴x

?

a b c
5

3

.

【小结】①比较已知和未知式的真数,并将未知式中的真数用已知式的真数的乘、除、 乘方表示是解题的关键,并且应注意对数运算法则也是可逆的;②第(3)小题利用下列结 论:同底的对数相等,则真数相等. 即 logaN = logaM ? N = M.


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