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【2014年秋备课】高中数学 2.2.3 对数函数的性质与应用课件 新人教A版必修1


基本初等函数(I) 2.2 对数函数 2.2.3 对数函数的性质与应用

第二章

复习引入
1. 物体作匀速直线运动的位移s是时间t

的函数,即s=vt,其中速度v是常量; 反过来,也可以由位移s和速度v(常量) 确定物体作匀速直线运动的时间,即

复习引入
1. 物体作

匀速直线运动的位移s是时间t

的函数,即s=vt,其中速度v是常量; 反过来,也可以由位移s和速度v(常量) 确定物体作匀速直线运动的时间,即

s t? . v

2.

y= a x

2.

y= a x
x是自变量,y是x的函数,

2.

y= a x
x是自变量,y是x的函数, 定义域x∈R,

2.

y= a x
x是自变量,y是x的函数, 定义域x∈R,值域

2.

y= a x
x是自变量,y是x的函数, 定义域x∈R,值域y∈(0, +∞).

2.

y= a x
x是自变量,y是x的函数, 定义域x∈R,值域y∈(0, +∞).

x=logay

2.

y= a x
x是自变量,y是x的函数, 定义域x∈R,值域y∈(0, +∞).

x=logay
y是自变量,x是y的函数,

2.

y= a x
x是自变量,y是x的函数, 定义域x∈R,值域y∈(0, +∞).

x=logay
y是自变量,x是y的函数, 定义域y∈

2.

y= a x
x是自变量,y是x的函数, 定义域x∈R,值域y∈(0, +∞).

x=logay
y是自变量,x是y的函数, 定义域y∈(0, +∞),

2.

y= a x
x是自变量,y是x的函数, 定义域x∈R,值域y∈(0, +∞).

x=logay
y是自变量,x是y的函数, 定义域y∈(0, +∞),值域

2.

y= a x
x是自变量,y是x的函数, 定义域x∈R,值域y∈(0, +∞).

x=logay
y是自变量,x是y的函数, 定义域y∈(0, +∞),值域x∈R.

探讨1: 所有函数都有反函数吗?为什么?

探讨1: 所有函数都有反函数吗?为什么? 探讨2: 互为反函数定义域、值域的关系 是什么?

探讨1: 所有函数都有反函数吗?为什么? 探讨2: 互为反函数定义域、值域的关系 是什么?

函数y=f(x) 反函数y=f-1(x)
定义域 值域
A C C A

探讨1: 所有函数都有反函数吗?为什么? 探讨2: 互为反函数定义域、值域的关系 是什么?

函数y=f(x) 反函数y=f-1(x)
定义域 值域
A C C A

探讨3: y=f-1(x)的反函数是什么?

探讨3: y=f-1(x)的反函数是什么?

探讨4: 互为反函数的函数的图象关系 是什么?

探讨3: y=f-1(x)的反函数是什么?

探讨4: 互为反函数的函数的图象关系 是什么?
1. 函数y=f(x)的图象和它的反函数 y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.

探讨3: y=f-1(x)的反函数是什么?

探讨4: 互为反函数的函数的图象关系 是什么?
1. 函数y=f(x)的图象和它的反函数 y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称. 2. 互为反函数的两个函数具有相同 的增减性.

对数函数y=logax (a>0,且a≠1) 的图象与性质

-1 3 2.5

a>1 象
1


5 6 7 8

3

2.5


1

0<a<1
1
2 3 4 5 6 7 8

2

2
1.5

1 0

1.5
1

0.5

1
1
2 3 4

1

0.5

-1

-0.5

0

-0 .5

-1

-1
-1.5

-1 .5
-2

-2
-2.5

-2 .5

( 0,+∞) R (1 ,0) 即当x =1时,y=0 在(0,+∞)上是 增函数 在(0,+∞)上是 减函数

定义域 : 值 域 : 过定点

当x>1时, y>0 当x=1时, y=0 y<0 当0<x<1时,

同正异负

当x>1时, y<0 当x=1时, y=0 当0<x<1时, y>0

回顾指数函数及其性质的应用:
题型1: 过定点问题 题型2:利用单调性比较大小 题型3:利用单调性解不等式 题型4:求指数型复合函数的单调区间 题型5:求指数型复合函数的值域

题型一:对数型函数的过定点问题
y ? log a x(a ? 0,且a ? 1) 性质:对数函数

恒过定点(1,0).

函数y ? log a (3 x ? 2) ? 5(a ? 0且a ? 1)的图象恒过定点 例 1:

.

1 解:令3x+2=1,则x=- , y ? ?5. 3

1 所以函数的图象恒过定点(- , ?5). 3
2

(3,3), (?2,3).
.

练习:函数 y ? log a ( x ? x ? 5) ? 3, (a ? 0, 且a ? 1)的图像恒过定点

方法总结:令对数型函数的真数部分等于1.

题型三:利用对数函数的单调性解不等式
例4:(1)已知 log 0.7 (2 x) ? log 0.7 ( x ? 1),求x的范围. 1 (2)已知 log a ? 1, 求a的取值范围. 2
解:(1) 函数f ( x) ? log 0.7 x在(0, +?)上为减函数. ?由已知得:

?2 x ? 0 ? ?x ?1 ? 0 ?2 x ? x ? 1 ?

解得x>1.
注意:对数 的真数必须 大于0.

1 1 (2)由 log a ? 1得 log a ? log a a, 2 2 1 若a ? 1, 有a ? , 此时无解. 2

? 不等式的解集为(1, +?).

1 1 若0 ? a ? 1, 有a ? , 所以 ? a ? 1. 2 2 1 综上,a的取值范围为( ,1). 2

化同底

练习:已知 log a (3a ? 1) ? 1, 求a的取值范围.
解:由 log a (3a ? 1) ? 1得 log a (3a ? 1) ? log a a,
?3a ? 1 ? a 若a ? 1, 有 ? , 此时无解. ?3a ? 1 ? 0 ?3a ? 1 ? a 1 若0 ? a ? 1, 有 ? , 得a ? ? , 所以0 ? a ? 1. 3 ?3a ? 1 ? 0
综上,a的取值范围为(0,1).

例5:(1)分析函数 y ? log 2 ( x ? 2) 的单调性. (2) 分析函数 y ? log 0.3 (3 x ? 2) 的单调性 解:(1) x-2>0,即x>2,

题型四:对数型复合函数的单调性
?函数的定义域为(2,+?).

令t ? g ( x) ? x ? 2, 则y ? log 2 t ,

t ? (0, ??)

t ? g ( x)在(2, ??)上为增函数,且y ? log 2 t在(0,+?)上为增函数,

? y ? log 2 ( x ? 2)在(2, ??)上为增函数.
2 (2) 3 x ? 2 ? 0, 即x ? , 3

令t ? g ( x) ? 3x ? 2, 则y ? log 0.3 t ,

2 ?函数的定义域为( , ??). 3

t ? (0, ??)

? y ? log 0.3 (3 x ? 2)在( , ??)上为减函数. 3

2 t ? g ( x)在( , ??)上为增函数,且y ? log 0.3 t在(0,+?)上为减函数, 3 2

练习: 分析函数y ? log a (?2 x ? 1)的单调性. 1 1 解: ?2 x ? 1 ? 0, ? x ? , 即函数的定义域为(-?, ) 2 2

1 g ( x)在(-?, )上为减函数, t ? g ( x) ? (0, ??) 2 若a ? 1, 则y ? log a t在(0, ??)上为增函数,
1 ? y ? log a (?2 x ? 1)在(??, )上为减函数. 2 若0 ? a ? 1, 则y ? log a t在(0, ??)上为减函数, 1 ? y ? log a (?2 x ? 1)在(??, )上为增函数. 2

令t ? g ( x) ? ?2 x ? 1, 则y ? log a t.

例6:已知函数f ( x) ? log a ( x ? 1), g ( x) ? log a (1 ? x)(a ? 0, 且a ? 1),

题型五:综合应用

(1)求函数f ( x) ? g ( x)的定义域.
(2)判断函数f ( x) ? g ( x)的奇偶性,并说明理由.
解: (1) ?x ?1 ? 0 , 解得 -1 ? x ? 1, ? f ( x) ? g ( x)的定义域为(-1,1). ? ?1 ? x ? 0
令F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? log a ( x ? 1) ? log a (1 ? x), x ? (?1,1)

(2)判断:f ( x) ? g ( x)在( ?1,1)上为偶函数.

则F (? x) ? log a (1 ? x) ? log a (1 ? x) ? F ( x)

? F ( x) ? f ( x) ? g ( x)在(-1,1)上为偶函数.

课堂小结
对数函数的性质的应用 : 共五个题型: ①过定点问题 ②利用单调性比较大小 ③利用单调性解不等式 ④分析对数型函数的单调性 ⑤性质的综合应用


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