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高考数学一轮复习专题01


高考数学一轮复习资料第一章集合与函数概念
第 1 讲 集合的概念及其运算 【要点解读】 要点一集合的基本概念 【例 1】已知集合 M={y|y=x +1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则 M∩N=( ) A.(0,1),(1,2) B.{(0,1),(1,2)}C.{y|y=1,或 y=2}
2 2

D.{y|y≥1}

【标准解析】M={y|y=x +1,x∈R}={y|y≥1}, N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}. ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选 D. 【变式训练】集合 A ?

?x ax
2

2

? 2 x ? 1 ? 0?中有一正一负两个元素,求 a 的值.

【答案】由题意知,方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 为一元二次方程,且有一正一负根, 设两个根分别是 x1 , x2 ,则由

? ?a ? 0 ? ? ? ? 4 ? 4a ? 0 可得 a ? 0 . ? 1 ? x1 x2 ? ? 0 a ?
要点二集合的关系 【例 2】若 A={2,4, a -2 a - a +7},B={1, a +1, a -2 a +2,- 7},且 A∩B={2,5},则实数 a 的值是________. 【标准解析】∵A∩B={2,5},∴ a -2 a - a +7=5,由此求得 a =2 或 a =±1. A={2,4,5},集合 B 中的元 素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步考查. 当 a =1 时, a -2 a +2=1,与元素的互异性相违背,故应舍去 a =1. 当 a =-1 时,B={1,0,5,2,4},与 A∩B={2,5}相矛盾,故又舍去 a =-1. 当 a =2 时,A={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时 A∩B={2,5},满足题设.故 a =2 为所求. 要点三集合的运算 【变式训练】设全集 U={x|0<x<10,x∈N },若 A∩B={3},A∩CUB={1,5,7},CUA∩CUB={9},则集合 A、B 是________. 【标准解析】A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}. 要点四集合的应用 【例 4】已知集合 A={x|x +(m+2)x+1=0,x∈R},若 A∩ R? = ? ,则实数 m 的取值范围是_..
2 *

3

2

2

1 2 3 2 ( a -3 a -8), a + a +3 a + 2

3

2

2

【标准解析】由 A∩ R? = ? 又方程 x +(m+2)x+1=0 无零根,所以该方程只有两个负根或无实数根,
?? ? ? m ? 2 ?2 ? 4 ? 0, 或△=(m+2)2-4<0.解得 m≥0 或-4<m<0,即 m>-4. ? ? ? ? ? ? m ? 2 ? ? 0,

2

第 2 讲 函数的基本概念及表示 【要点解读】 要点五函数与映射的概念 【例 5】设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {?2, ?1,0,1, 2} ,如果从 M 到 N 的映射 f 满足条件:对 M 中的每个 元素 x 与它在 N 中对应的元素 f ( x ) 的和都为奇数,则映射 f 的个数是( ) A.8 个 B.12 个 C.16 个 D.18 个

【答案】∵ x ? f ( x) 为奇数,∴当 x 为奇数 ?1 、1 时,它们在 N 中的对应的元素只能为偶数 ?2 、 0 或 2 , 由分步计数原理和对应方法有 3 ? 9 种; 而当 x ? 0 时, 它在 N 中的象为奇数 ?1 或 1 , 共有 2 种对应方法. 故
2

映射 f 的个数是 9 ? 2 ? 18 .故选 D. 【变式训练】A={1,2,3,4,5},B={6,7,8}从集合 A 到 B 的映射中满足 f (1) ≤ f (2) ≤ f (3) ≤ f (4) ≤ f (5) 的映射有( )

A.27

B.9

C.21

D.12

【答案】(1)当全是等号时,(即与 B 中的一个元素对应),则 f 有 C 1 3 个;
1 2 (2)有一个不等号时的映射(即与 B 中的两个元素对应), f 有 C 4 ·C 3 =12 个; 2 (3)有二个不等号的映射, f 有 C 4 ·C 3 3 =6 个. 所以共有 3+12+6=21 个,答案选 C.

要点六求函数的定义域 【例 6】函数 y= log 1 ( x ? 1) 的定义域是(
2 2

)

A.[- 2 ,-1]∪(1, 2 )

B.(- 3 ,-1)∪(1, 2 ) C.[-2,-1]∪(1,2) D.(-2,-1)∪(1,2)

?x 2 ? 1 ? 0 2 2 ? ? ? x ? 1或x ? ?1 ? ?x ? 1 ?x ? 1 ? ? ? ? - 2 ≤x<-1 或 【标准解析】 ? 2 ? ? ? 2 2 log 1 ( x ? 1) ? 0 ? ? ? 2 ? x ? 2 x ? 1 ? 1 x ? 2 ? ? ? ? ? 2

1<x≤ 2 .∴y= log 1 ( x ? 1) 的定义域为[- 2 ,-1]∪(1, 2 ].
2 2

要点七求函数的解析式 【例 7】(1)已知 f ( x ? ) ? x ?
3

1 x

1 ,求 f ( x ) ; x3

(2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x ) ; (3)已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x ) ; (4)已知 f ( x ) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) .

2 x

1 x

要点八 段函数和抽象函数

? x 2 ? 4 x, x ? 0 f ( x ) ? 【例 8】2010 天津理(8)已知函数 若 f (2 ? a 2 ) ? f (a), 则实数 a 的取值 ? 2 ?4 x ? x , x ? 0
范围是 A (??, ?1) ? (2, ??) B (?1, 2) C (?2,1) D (??, ?2) ? (1, ??)
2

【标准解析】由已知,函数在整个定义遇上单调递增的。故 f (2 ? a ) ? f (a) ,等价于

a 2 ? a ? 2 ? 0 ,解得 ? 2 ? a ? 1
【例 9】2010 年重庆理(15) 已知函数 f ( x ) 满足: f (1) ?

1 , 4 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) ? f ( x ? y ), 4

( x, y ? R) ,则 f (2010) ? _______.

【标准解析】取 x=1 y=0 得 f (0) ?

1 2
1 2

法一:通过计算 f (2), f (3), f (4)........ ,寻得周期为 6 故 f ? 2010? =f(0)=

法二:取 x=n y=1,有 f ( n) = f (n ? 1) + f (n ? 1) ,同理 f (n ? 1) = f (n ? 2) + f ( n) 联立得 f (n ? 2) =

? f (n ? 1) 所以 T=6 故 f ? 2010? =f(0)=

1 . 2
第 3 讲函数的性质

要点十函数的单调性 【例 10】定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:对任意实数 m, n ,总有 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? ,且 当 x ? 0 时, 0 ? f ? x ? ? 1.(1)试求 f ? 0 ? 的值;(2)判断 f ? x ? 的单调性并证明你的结论; (3)设 A ?

?? x, y ? f ? x ? ? f ? y ? ? f ?1??, B ? ?? x, y ? f ?ax ? y ? 2 ? ? 1, a ? R? ,若 A ? B ? ? ,试
2 2

确定 a 的取值范围.

【变式训练】已知 f ( x ) 在其定义域 R 上为增函数, f (2) =1, f ( xy ) = f ( x ) )+ f ( y ) .解不等式


f ( x) + f ( x ? 2) ≤3
【标准解析】

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ? f (4) ? f (2) ? f (2) ? 2 ? f (8) ? f (4) ? f (2) ? 3

又f ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 2x)由题意有f ( x ? 2x) ? f (8)
2 2

? x?0 ? f ( x)为R 上的增函数 ? ? x ? 2 ? 0 ? x2 ? 2x ? 8 ?


解得x ? ? 2, 4?
要点十一函数的奇偶性 【例 11】判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x ) =x
? 2n 2 n ?1

(n∈N, x≠0)(2) f ( x ) =log2(x+ x 2 ? 1 ), x∈R

1 1 1 (x≠0) (4) f ( x ) =( ? x )·tanx 2 2 2 ?1 x 1 ? sin x ? cos x (5) f ( x ) = 1 ? sin x ? cos x
(3) f ( x ) =lgx +lg
2

【标准解析】判断函数的奇偶性,首先要求出函数的定义域,看定义域是否关于原点对称.然后利用定义判 断,寻找 f ? x ? 和 f ? ? x ? 的关系. (1) ∵n∈N, ∴2n 是偶函数,2n+1 是奇数,∴ f ? ? x ? =(-x) (2) f ? ? x ? =log2(-x+ x 2 ? 1 )=log2 (3) f ( x ) =lgx +lg
2

?

2n 2 n ?1

=x

?

2n 2 n ?1

= f ? x ? ∴ f ( x ) 是偶函数。

1 x ?1 ? x
2

=-log2(x+ x 2 ? 1 )=- f ? x ? , ∴ f ( x ) 是奇函数。

1 =0,则 f ? ? x ? = f ( x ) 且 f ? ? x ? =- f ( x ) ,∴ f ( x ) 既是奇函数,又是偶函数。 x2 k? 1 1 (4) f ( x ) 的定义域是{x|x∈R 且 x≠ k∈Z}关于原点对称,又 f ? ? x ? =( ? ? x )·tan(-x) 2 2 2 ?1 1 1 1 1 =-( ? x )tanx=( ? x )tanx= f ( x ) ∴ f ( x ) 为偶函数 2 2 ?1 2 2 ?1
(5)对于三角形 1+sinx+cosx,当 x=

? ? 时,其值为 2,当 x=- 时,其值为零,由此 1 可知原函数 2 2 1 ? sin x ? cos x ? ? f ( x) = 的定义域中包含 x= , 但是不包含 x=- , 所以定义域不关于原点对称, 所以 f ( x ) 1 ? sin x ? cos x 2 2

是非奇偶的函数。 要点十二函数的最值或值域 【例 12】求下列函数的值域: (3) y ?

3x ? 1 ;(4) y ? x ? 4 1 ? x ; (5) y ? x ? 1 ? x 2 ; x?2

(6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ;

(7) y ?

1 ? sin x 2x2 ? x ? 2 2x2 ? x ? 1 1 y ? ( x ? ) ; (9) y ? ; ( 8 ) 2 2 ? cos x x ? x ?1 2x ?1 2
3x ? 1 3( x ? 2) ? 7 7 , ? ? 3? x?2 x?2 x?2
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【答案】(3)分离变量法: y ? ∵

3x ? 1 7 7 的值域为 { y ? R | y ? 3} ? 0 ,∴ 3 ? ? 3 ,∴函数 y ? x?2 x?2 x?2
2

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(4)换元法(代数换元法):设 t ? 1 ? x ? 0 ,则 x ? 1 ? t , ∴原函数可化为 y ? 1 ? t 2 ? 4t ? ?(t ? 2)2 ? 5(t ? 0) ,∴ y ? 5 ,∴原函数值域为 ( ??,5] (5)三角换元法:∵ 1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,∴设 x ? cos ? , ? ?[0, ? ] ,
2
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则 y ? cos ? ? sin ? ? ∴ sin(? ?

? ? ? 5? 2 sin(? ? ) ∵ ? ?[0, ? ] ,∴ ? ? ? [ , ] , 4 4 4 4
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?
4

) ? [?

? 2 ,1] ,∴ 2 sin(? ? ) ? [?1, 2] ,∴原函数的值域为 [?1, 2] 4 2

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??2 x ? 3 ( x ? ?4) ? (?4 ? x ? 1) , ∴ y (6)数形结合法: y ?| x ? 1| ? | x ? 4 |? ?5 ?2 x ? 3 ( x ? 1) ?

? 5 ,∴函数值域为 [5, ??)

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(7)判别式法:∵ x ? x ? 1 ? 0 恒成立,∴函数的定义域为 R
2

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由y?

2x2 ? x ? 2 得: ( y ? 2) x2 ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 x2 ? x ? 1



①当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,①即 3 x ? 0 ? 0 ,∴ x ? 0 ? R
2 ②当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,∵ x ? R 时方程 ( y ? 2) x ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 恒有实根, 2 2 ∴ ? ( y ? 1) ? 4 ? ( y ? 2) ? 0 , ∴ 1 ? y ? 5 且 y ? 2 ,∴原函数的值域为 [1,5]

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1 2 x 2 ? x ? 1 x(2 x ? 1) ? 1 1 1 1 (8) y ? ? ? x? ? x? ? 2 ? , 1 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2 x? 2 2

1 1 1 1 ∵ x ? ,∴ x ? ? 0 ,∴ x ? ? 2 ? 2 ( x ? ) 2 1 2 2 (x ? 1) 2 2 x?
2 2
1 1? 2 1 当且仅当 x ? ? 2 时,即 x ? 时等号成立 ∴ y ? 1 2 x? 2 2
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1

1

? 2,

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2?

1 1 ,∴原函数的值域为 [ 2 ? , ??) 2 2

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(9)方程法:原函数可化为: sin x ? y cos x ? 1 ? 2 y ,
2 ∴ 1 ? y sin( x ? ? ) ? 1 ? 2 y(其中 cos ? ?

1 1 ? y2

,sin ? ?

y 1 ? y2

) , ∴ sin( x ? ? ) ?

1? 2 y 1? y2

?[?1,1] ,

2 ∴ |1 ? 2 y |? 1 ? y ,∴ 3 y 2 ? 4 y ? 0 ,∴ 0 ? y ?

4 4 ,∴原函数的值域为 [0, ] 3 3

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要点十三函数的周期性 【例 13】设函数 f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f (1) ? 1 , f (2) ? ( )
3 4
3a ? 4 ,则 a 的取值范围是 a ?1

(A) a ?

(B) a ?

3 且 a ? ?1 4

(C) a ?

3 3 或 a ? ?1 (D) ? 1 ? a ? 4 4

【标准解析】∵ f ( x) 以 3 为周期,所以 f (2) ? f (?1) ,又 f ( x) 是 R 上的奇函数, ∴ f (?1) ? ? f (1) ,则 f (2) ?
f (?1) ? ? f (1) ,再由 f (1) ? 1 ,可得 f (2) ? ?1 ,即 3a ? 4 ? ?1 a ?1

,解之得 ? 1 ? a ?

3 ,故选 D 4

【变式训练】函数 f ( x) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x ? 2) ?

1 ,若 f (1) ? ?5 ,则 f ( x) 1 ,∴ f ( x)

f ( f (5)) ?

【标准解析】∵函数 f ( x) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x ? 2) ?
? 1 ? f ( x ? 2)

f ( x ? 4) ? f ( x ? 2 ? 2)

,即 f ( x) 的周期为 4,∴ f (5) ? f (1) ? ?5 ,∴ 1 ? f ( x) 1 f ( x)
f (?1) ? 1 1 1 ? ?? f (?1 ? 2) f (1) 5

f ( f (5)) ? f (?5)

? f (?5 ? 4) ?

【题型透视】抽象函数的周期没有固定的模式,掌握常见的抽象函数的周期的一些规律,对解题大有裨益: ① f ? x ? a ? ? ? f ? x ? 型:周期为 2 a ;② f ? x ? a ? ?

1 型:周期为 2 a ; f ? x?

③ f ( x ? a) ?

1 ? f ( x) f ( x1 ) ? f ( x2 ) 型:周期为 3a .④ f ( x1 ? x2 ) ? 且 1 ? f ( x) 1 ? f ( x1 ) f ( x2 )

f (a) ? 1 ( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1, 0 ?| x1 ? x2 |? 2a) ,则 f ( x) 的周期 T=4a;
要点十四函数的图像 【例 14】2009 年山东 6. 函数 y ? y 1 O 1 x 1 O1 x

e x ? e? x 的图像大致为( e x ? e? x
y y 1 O 1

). w y 1 x O D 1 x

A

B

C

【标准解析】函数有意义,需使 e ? e
x

?x

? 0 ,其定义域为 ?x | x ? 0?,排除 C,D,又因为

y?

e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? 2x ? 1? 2x ,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A. w x ?x e ?e e ?1 e ?1

要点十五函数的对称性 【例 15】对函数 y=f(x)定义域中任一个 x 的值均有 f(x+a)=f(a-x), (1)求证 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称; (2)若函数 f(x)对一切实数 x 都有 f(x+2)=f(2-x),且方程 f(x)=0 恰好有四个不同实根,求这些实根 之和
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【答案】(1)证明 ∵

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设(x0,y0)是函数 y=f(x)图象上任一点,则 y0=f(x0),

(2a ? x0 ) ? x0 =a,∴点(x0,y0)与(2a-x0,y0)关于直线 x=a 对称, 又 f(a+x)=f(a-x),∴f(2a-x0)=f [a+(a 2
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-x0)]=f[a-(a-x0)]=f(x0)=y0,∴(2a-x0,y0)也在函数的图象上,故 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称 (2)解 由 f(2+x)=f(2-x)得 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,若 x0 是 f(x)=0 的根,则 4-x0 也是 f(x)=0
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的根,若 x1 是 f(x)=0 的根,则 4-x1 也是 f(x)=0 的根,∴x0+(4-x0)+ x1+(4-x1)=8 即 f(x)=0 的四根之和 为8
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【原创题探讨】 【原创精典 1】已知函数 f ( x) ? ? 围是 (A) (1,10) (B) (5, 6) (C) (10,12) (D) (20, 24)
? 1 1

?| lg x |, 0 ? x ? 10, 若 a, b, c 互不相等,且 ? 1 ? x ? 6, x ? 10. ? ? 2

f (a) ? f (b) ? f (c), 则 abc 的取值范

【解析】不妨设 a ? b ? c ,取特例,如取 f (a) ? f (b) ? f (c) ? 1 ,则易得 a ? 10 2 , b ? 10 2 , c ? 11 ,从而
2

abc ? 11 ,选 C.另解:不妨设 a ? b ? c ,则由 f (a) ? f (b) ? ab ? 1 ,再根据图像易得 10 ? c ? 12 ,故选 C.
【原创精典 2】 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) , 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则( ). A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] 【原创精典 3】重庆理 10.已知以 T ? 4 为周期的函数 f ( x) ? ? ,其中 m ? 0 。若方程 ? ? ? 1 ? x ? 2 , x ? (1,3]

3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为(
A. ( 15 , 8 )
3 3

) D. ( 4 , 7)
3

B. ( 15 , 7) 3

C. ( , )

4 8 3 3

【解析】 y ? m 1 ? x 2 , x ? ? ?1,1? 的图象为椭圆上半部分, y ? 1 ? x ? 2 , x ? ?1,3? 的图象为两条线 段根据 f ( x ) 的周期 T=4 可知其图象,由方程 3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解,则 3m 1 ? ( x ? 4) 2 ? x 有 两解 即 (9m2 ? 1) x2 ? 72m2 x ? 135m2 ? 0 有两解,所以 ? ? (?72m2 )2 ?4 ? (9m2 ? 1) ?135m2 ? 0 解得 m ? 15 ;
3

3m 1 ? ( x ? 8) 2 ? x 无解即 (9m2 ? 1) x2 ?144m2 x ? 63? 9m2 ? 0 无解,所以

? ? (?144m2 )2 ? 4 ? (9m2 ? 1) ? 63? 9m2 ? 0 解得 m ? 7 。故 15 ? m ? 7
3

log2 (1 ? x), x ? 0 【样题 1】定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = ? ?

? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

,则 f (2009) 的值为

A.-1

B. 0

C.1

D. 2

【解析】:由已知得
f (?1) ? log 2 2 ? 1, f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? ?1 , f (2) ? f (1) ? f (0) ? ?1 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ?1 ? (?1) ? 0 ,

f (4) ? f (3) ? f (2) ? 0 ? (?1) ? 1 , f (5) ? f (4) ? f (3) ? 1 , f (6) ? f (5) ? f (4) ? 0 ,

所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f (2009) ? f (5) ?1 ,故选 C
? x 2 +2x-3,x ? 0 的零点个数为 ( 【样题 4】(2010 福建文数)7.函数 ( f x)= ? ?-2+ ln x,x>0

)

A.3 【答案】

B.2

C.1

D.0

f (3x ) ? 4x log2 3 ? 233 ? 4log2 3x ? 233,
? f (28 ) ?

? f ( x) ? 4log2 x ? 233, ? f (2) ? f (4) ? f (8) ? 8 ? 233 ? 4(log2 2 ? 2log2 2 ? 3log2 2 ?

? 8log2 2) ? 1864 ? 144 ? 2008.


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