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湖南省2012高考数学模拟试题(理)及答案


湖南省2012高考数学模拟测试题(理)
一.选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.已知 ? , ? 是两个不同平面, m,.n 是两条不同直线,则下列命题不正确的是 ... A. ? // ? , m ? ? , 则m ? ? C. n // ? , n ? ? , 则? ? ? 2.有下列四个命题,其

中真命题是 (
2 A. ?n ? R, n ? n





B. m / n, m ? ? , 则n ? ? D. m // ? , m ? n, 则n ? ? ) B. ?n ? R , ?m ? R , m?n ? m
2 D. ?n ? R, n ? n

2 C. ?n ? R, ?m ? R, m ? n

3. 已知三棱柱的三视图如下图所示, 其中俯视图为正三角形, 则该三棱柱的体积为 (



A. 12 3

B. 27 3

C. 36 3

D.6

?ln | x | ( x ? 0) ? ?1 ? ( x ? 0) 4.函数f(x)= ? x 的图象大致是





5.已知 Δ ABP的顶点A、B分别为双曲线

C:

x2 y 2 ? ?1 16 9 的左、右焦点,顶点P在双曲线C上,

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| sin A ? sin B | sin P 则 的值等于
7 4

A.

4 7 B. 7

4 C. 5

5 D. 4

6.设有算法如下: 如果输入 A=2010,B=99,则输出的结果是( A.0 B.3 C.6 D.9



7.已知0<a<1,0<b<1,则函数 轴上方的概率为
1 A. 4

f ( x) ? x 2 log a b ? 2 x logb a ? 8
1 C. 3

的图象恒在x




3 B. 4
x

2 D. 3

8.已知f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f (x)=

2 ? 2x

1 2

ln( x ? 1) ?
,又a是函数g (x) = )

2 x的

正零点,则f(–2) ,f(a) ,f(1.5)的大上关系是 A. C.

( B. D.

f (1.5) ? f (a) ? f (?2)
f (a) ? f (1.5) ? f (?2)

f (?2) ? f (1.5) ? f (a)

f (1.5) ? f (?2) ? f (a)

二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡对应题号后的横线上) 9 为了调制一种饮料, 在每 10kg 半成品饮料中加入柠檬汁进行试验, 加入量为 500g 到 1500g 之间,现用 0.618 法选取试点找到最优加入量,则第二个试点应选取在 g。

1 a7 ? a8 2 的值为 10.在等差数列{an}中,若 a2+a4+a6+a8+a10=80,则
11.已知复数 B,C,若



z1 ? ?1 ? 2i, z2 ? 1 ? i, z3 ? 3 ? 4i
,则

,它们在复平面上所对应的点分别为A, 的值是 .

???? ??? ? ??? ? OC ? λOA ? μOB( λ, μ ? R)

λ? μ

12.在极坐标系中,和极轴垂直相交的直线l与圆 ρ ? 4 相交于A、B两点,若|AB|=4,则直线l 的极坐标方程为 .
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13.在计算机的运行过程中,常常要进行二进制数与十进制数的转换与运算.如:十进制数 8转换成二进制是1000,记作8(10)=1000(2) ;二进制数111转换成十进制数是7,记作111(2) =7(10) .二进制的四则运算,如:11(2)+101(2)=1000(2) ,请计算:11(2)×111(2) +1111(2)=
(2)



1 | x ? |?| a ? 5 | ?1 x 14 . ?x ? R, 且x ? 0 . 不 等 式 恒成立,则实数a的取值范围
是 .

15.给出下列四个结论: ①命题“ ?x ? R,2 x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R,2 x ? 0 ” ; ②给出四个函数 y ? x ?1 , y ? x ? , y ? x ? , y ? x 3 ,则在 R 上是增函数的函数有 3 个; ③已知 a, b ? R ,则“不等式 | a ? b |?| a | ? | b | 成立”的充要条件是“ ab ? 0 ” ; ④若复数 z ? (m 2 ? 2m ? 3) ? (m ? 1)i 是纯虚数, 则实数 m 的值为-3 或 1。 其中正确的是 .

三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16. (本大题满分12分)上海世博会在游客入园参观的试运营 阶段, 为了解每个入口的通行速度, 在一号入口处随机抽 取甲、乙两名安检人员在一小时内完成游客入园人数的8 次记录,记录人数的茎叶图如下: (1)现在从甲、乙两人中选一人担任客流高峰阶段的安检员,从统计学的角度考虑, 你认为选派哪位安检员参加合适?请说明理由; (2)若将频率视为概率,甲安检员在正式开园的一个工作日的4小时内,每个单位小时 段安检人数高于80人的次数记为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望E ? .

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17.已知向量 a ? (sin x,2 3 sin x),b ? (2 cos x, sin x) ,定义 f ( x) ? a ? b ? 3. (1)求函数 f (x) 的单调递减区间; (2)若函数 y ? f ( x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 为偶函数,求 ? 的值。

18. (本大题满分12分)如图1所示,圆O的直径AB = 6,C为圆周上一点,BC = 3.过C作圆 的切线l,过A作l的垂线AD,AD与直线l、圆O分别交于点D、E. (1)求∠DAC的大小及线段AE的长; (2)如图2所示,将△ACD沿AC折起,点D折至点 P处,且使得△ACP所在平面与圆O所在平面垂直,连结 BP,求二面角P—AB—C大小的余弦值.

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19. (本小题满分13分)2010年我国西南地区遭受特大旱灾,某地 政府决定兴修水利,某灌渠的横截面设计方案如图所示,横 截面边界AOB设计为抛物线型, 渠宽AB为2m, 渠深OC为1.5m, 正常灌溉时水面EF距AB为0.5m. (1)求水面EF的宽度; (2)为了使灌渠流量加大,将此水渠的横截面改造为等腰梯形,受地理条件限制要求 渠深不变,不准往回填土,只准挖土,试求截面等腰梯形的下底边长为多大时,才能使 所挖的土最少?

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20 . 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 , 点 (an ? an?1 ) 在 直 线 y ? 2 x ? 1 上 , 数 列 {bn } 满 足

b1 ? a1 ,

bn 1 1 1 ? ? ??? (n ? 2). an a1 a2 an?1

(1)求 bn?1an ? (bn ? 1)an?1 的值; (2)求证: (1 ? b1 )(1 ? b2 ) ? ? ? (1 ? bn ) ?

10 b1b2 ? ? ? bn (n ? Nh*). 3

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 21. (本大题满分13分)已知F1,F2分别是椭圆 a b 的左、右焦点,半焦距

为c,直线

x??

a2 ???? ? ???? ???? ? ? c 与x轴的交点为N,满足 F1F2 ? 2 NF1 ,| F1F2 |? 2 ,设A、B是上半椭圆上

1 1 ??? ? ??? ? λ ?[ , ] NA ? λNB 的两点,其中 5 3 . 满足

(1)求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围; (2)过A、B两点分别作椭圆的切线,两切线相交于一点P,试问:点P是否恒在某定直 线上运动,请说明理由.

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答案与解析

1. 【解析】D 2. 【解析】B 对于选项A,令 验证其不正确,故选B. 3. 【解析】C 如图将三棱柱还原为直观图,由三视图知,三棱柱的高为4,
3 3 2 a ? 3 3,? a ? 6 V? ? 6 ? 4 ? 36 3 4 设底面连长为a,则 2 .故体积 .
n? 1 2 即可验证不正确;对于选项C、选项D,可令n= –1加以

4. 【解析】B 函数y=ln|x|(x<0)的图象与函数y=lnx的图象关于y轴对称,
1 1 y ? ( x ? 0) y? x x 的图象在每一象限的部分 函数 的图象是反比例函数

5. 解析】C 【

由 题 意 得 : |PB–PA|=8 , |AB|=2 16 ? 9 ? 10 , 从 而 由 正 弦 定 理 , 得

| s i n ? s iB | P |B P A | 4 A n ? ? ? sin P AB 5 .

6. 【解析】D

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7 .【 解 析 】 D

2 因 为 函 数 图 象 恒 在 x 轴 上 方 , 则 4 logb a ? 32log a b ? 0 ,

? 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1,? logb a ? 0, log a b ? 0,

1 1 1 log3 b ? ,? log a b ? a 8 2 ,即 b ? a 2 .则建立关于a, 所以

b的直角坐标系,画出关于a和b的平面区域,如图.此时,可知此题求解的概率类型为关于 面积的几何概型, 由图可知基本事件空间所对应的几何度量 S (Ω) ? 1 , 满足图象在x轴上方的
S ( A) ? ? 1 a 2 da ? 0
1

事 件 A 所 对 应 的 几 何 度 量 S( A ) 2 P( A) ? ? S (Ω) 3 .

2 3 . 所 以

8. 【解析】A 当a>0时,易知g(x)为增函数,而且g(2)=ln3
4 – 1>0,g(1.5)=ln2.5– 3 <lne–1=0,于是由零点存在定理可知

在区间(1.5,2)内g(x)存在零点,再由单调性结合题意可知a就为这个零点,因此有1.5
f ?( x) ? 2x ln 2 ?

<a<2.又当x≥0时,直接求导即得
f ?( x) ? 2ln 2 ? 1 ? ln 22 ? 1 ? ln e ? 1 ? 0
f ( 1 . 5? f a ? ) f ) (

1 x ,于是当x>1时,我们有

?? , 由 此 可 见 f ( x ) 在 ( 1, )上 单 调 增 , 可 见 必 有

(2) ,而又由于f(x)为偶函数,所以 f (1.5) ? f (a) ? f (?2) ,故选A.

9. 【解析】882 10. 【解析】8 由已知得: (a2 ? a10 ) ? (a4 ? a8 ) ? a6 ? 5a6 ? 80 ? a6 ? 16 ,又分别设等差数列首
1 1 1 1 a7 ? a8 ? a1 ? 6d ? (a1 ? 7d ) ? (a1 ? 5d ) ? a6 ? 8 2 2 2 2 项为a1,公差为d,则 .

11. 【解析】因为点A(–1,2 ),B(1,–1 ),C(3,–4 ).
???? ??? ? ??? ? OC ? λOA ? μOB ? (3, ?4) ? λ(?1,2)
?? λ ? μ ? 3 ? λ ? ?1 ? ? 2 λ ? μ ? ?4 μ?2 + μ(1, ?1) , 因此 ? , ? 即 , 所以 λ ? μ ? 1 .

所以

12. 【解析】 ρ cos θ ? 2 3

由该圆的极坐标方程为 ρ ? 4 知该圆的半径为4,又直线l被该圆

截 得 的 弦 长 |AB| 为 4 , 设 该 圆 圆 心 为 O , 则 ∠ AOB=60 ° , 极 点 到 直 线 l 的 距 离 为
d ? 4cos30? ? 2 3 ,所以直线的极坐标方程为 ρ cos θ ? 2 3 .

13. 【解析】100100 由题可知,在二进制数中的运算规律是“逢二进一”,所以 11(2)×111(2=10101(2) ,10101(2)+1111(2)=100100(2) . 14. 【解析】 4<a<6
1 1 | x ? |?| a ? 5 | ?1 | x? | x x 不等式 对于一切非零实数x均成立, 可以先求出

的 最 小 值 , 然 后 利 用 | a ? 5 | ?1 小 于 这 个 最 小 值 即 可 求 解 a 的 取 值 范 围 . 当 x > 0 时 ,
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x?

1 1 1 1 1 ? 2 x? ? 2 ?[(? x) ? (? )] ? ?2 (? x)? ? ) ? ?2 ( | x ? |? 2 x x x x x ;当x<0时, .从而 恒成立,所

以不等式

| x?

1 ? a ? 5?| 1 | | x 对 于 一 切 非 零 实 数 x 均 成 立 , 可 转 化 主 | a ? 5 | ?1 ? 2 , 即
? .6

| a ? 5 ? 1? ? 1 ? ? 5 ? 1 ? 4a? | a

15. 【解析】○ 1

2 3 ○ ○

16. 【解析】 (1)派甲参赛比较合适.理由如下:
1 x 甲 = 8 (70×2 + 80×4 + 90×2 + 8 + 9 + 1 + 2 + 4 + 8 + 3 + 5) = 85, 1 x乙 ? 8 (70×1 + 80×4 + 90×3 + 5 + 0 + 0 + 3 + 5 + 0 + 2 + 5) = 85,
2 s甲 ?

1 8 [(78 – 85)2+ (79 – 85)2 + (81 – 85)2 + (82 – 85)2 + (84 – 85)2 + (88 – 85)2 + (90 – 85)2

+ (92 – 85)2 + (95 – 85)2 ] = 35.5
1 [(75 ? 85)2 ? (80 ? 85)2 ? (85 ? 85)2 ? (90 ? 85) 2 ? (92 ? 85) 2 ? (95 ? 85) 2 ] S乙 = 8 =41
2



2 2 x甲 ? x乙 , s甲 ? s乙

, (6分)

∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适.

注:本小题的结论及理由均不唯一,如果考生能从统计学的角度分析,给出其他合理回 答,同样给分.如派乙参赛比较合适,理由如下:
3 8, 从统计的角度看,甲检测85人以上(含85人)的概率P1 = 4 1 P2 ? ? . 8 2 乙检测85人以上(含85人)的概率

∵P2>P1,∴派乙参赛比较合适. (2)记“甲安检员在一小时内完成安检人数高于80人”为事件A, 3 ? ? 随机变量 的可能取值为0、1、2、3,且 ~B (4, 4 ).
?3? ?1? C4k ? ? ? ? ? ?4? ?4? ∴P ( = k) =
k 4?k

P( A) ?

6 3 ? . 8 4

,

k = 01,2,3,4

????8分

? 所以变量 的分布列为: ?

0
1 256

1
12 256

2
54 256

3
108 256

4
81 256

P

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(10分)
?
3 = 4× 4 = 3

E

(12分)

17. 【解析】 解: (1) f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 3 sin 2 x ? 3

? sin 2 x ? 2 3 ?

1 ? cos 2 x ? 3 2

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?
令 2k? ?

?
3

)

????4 分

?
2

? 2x ?

?
2

? 2k? ?

得单调递减区间是 [k? ?

5? 11? , k? ? ], k ? Z . 12 12

3? 2

??6 分

(2) f ( x ? ? ) ? 2 sin( 2 x ? 2? ? 由 f ( x ? ? ) 为偶函数,

?

3

),

则 f ( x ? ? ) 在 x ? 0 处取最大值或最小值。

k? 5? ? , k ? Z. 3 2 2 12 5? 11? 或? ? . ????12 分 又 0 ? ? ? ? ,得 ? ? 12 12 ? 2? ? ? k? ? ,? ?
注:少写一解扣 1 分

? sin( 2? ? ) ? ?1 3

?

?

?

18. 【解析】 (1)连结OC,则OC∥AD,CB = OB = OC,∴∠COB =∠EAO = 60°,∠CAO = 30°,∴Rt△AEB≌Rt△BCA, ∴CB = AE = 3. (5分)

(2)①过P作PH⊥AC于H,由于平面PAC⊥平面⊙O,则PH⊥平面⊙O. 过H作HF⊥AB于F,连结PF,则PF⊥AB,故∠PFH为二面角P—AB—C的平面角. (8分)
3 3? 3 1 9 ? ? 2 2 4,

在Rt△APC中,PH = AP·sin30°= AC·cos30°·sin30°=
AP 2 9 3 ? 4 , AP2 = AH·AC得AH = AC

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9 3 在Rt△AFH中,FH = AH sin30°= 8 ,

9 PH 2 3 21 ? 4 ? .故 cos ?PFH ? . PF 9 3 3 7 8 故tan∠PFH =

????12分 ②另解:过P作PH⊥AC于H,则PH⊥平面⊙O,过H作HF∥CB交AB于F, 以H为原点,HF、HA、HP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标.
9 3 3 3 则H (0,0,0),A ( 4 ,0,0),B (– 4 ,3,0), ??? ? ? 9 9 3 9 ??? AP ? (? ,0, ), AB ? (?3 3,3,0) 4 4 P (0,0, 4 ).从而 ,
? 设平面PAB的法向量 n ? ( x, y, z ),
? ? ??? ? 9 3 9 x ? z ? 0 ? y ? 3x ? AP ?n ? ? ? 即? . 4 4 ? ??? ? ? ? ? AB ?n ? (?3 3 x ? 3 y ) ? 0 ? z ? 3 x ? n ? (1, 3, 3) ,而平面ABC的法向量 ? 则 令x=1,从而



??? ? HP ? (0,0,1).

? ??? ? 3 21 cos(n,HP) ? ? 7 .?12分 7 故

19. 【解析】 (1)建立如图所示的直角坐标系,则A(–1,1.5), B (1,1.5),C (0,1.5). 设抛物线方程为x2 = 2py (p>0),由点A (–1,1.5)代入方程, 得到1 = 2p×1.5,即
p? 1 2 y 2 3 ,所以抛物线方程为x = 3 ,由
?
2 6 6 3 ,所以截面图中水面宽度为 3 m. (6分)

点E的纵坐标为1,得到点E横坐标为

? 3 2? ? t , t ? (t ? 0), (2)设抛物线上一点M ? 2 ? 因为改造水渠时只准挖土,而且要求挖出的土最

少,所以只能沿过点M与抛物线相切的切线挖土.
2 3 y y ? x2 3 ,即 2 ,求导得 y ? ? 3x ,所以过点M的切线斜率为3t,切线方程为 由 t 3 t 1 3 x1 ? , 令y ? , 则x2 ? ? y ? t 2 ? 3t ( x ? t ) 2 2 2 2t , 2 ,令y = 0,则 x2 ?
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1 3 3? 1? 3 2 (2 x1 ? 2 x2 ) ? ? ? t ? ? ? 2 2 ? 2t ? 2 ,当且仅当t = 所以截面面积为S = 2

2 2 时等号成立.

2 所以截面梯形的下底边长为 2 m时,才能使所挖的土最少.

(13分)

20. 【解析】解: (1)? 点 (an , an?1 ) 在直线 y ? 2 x ? 1 上,

? an?1 ? 2an ? 1 ? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,即 (an ? 1) 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列

? an ? 2n ? 1????2 分


bn 1 1 1 ? ? ??? (n ? 2) an a1 a2 an?1 bn?1 1 1 1 1 ? ? ??? ? a n?1 a1 a2 an?1 an bn?1 bn 1 ? ? a n ?1 a n a n

?

?

?bn?1an ? (bn ? 1)an?1 ? 0(n ? 2) ????5 分
当 n ? 1 时, b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 ? 3 则 b2 a1 ? (b1 ? 1)a2 ? ?3. ????6 分 (2)由(1)知

bn ? 1 an ? (n ? 2), b2 ? a2 bn?1 an?1

? (1 ?

b ?1 1 b ? 1 b2 ? 1 1 1 1 )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? 1 ? ?? ? n ? b1 b2 bn b1 b2 bn b1

?

b b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 1 b ? 1 a 2 a3 ? ? ? ? n?1 ? n ? bn?1 ? ? 1 ? ? ? b2 b3 bn bn?1 b1 b2 a3 a4 an?1 an b 1 1 1 ? ? bn?1 ? 2 ? n?1 ? 2( ? ? ? ? ).???9 分 an an?1 an?1 a1 a2 an

??

? k ? 2 时,

1 1 2 k ?1 ? 1 2 k ?1 ? k ? k ? k ak 2 ? 1 (2 ? 1)(2 k ?1 ? 1) (2 ? 1)(2 k ?1 ? 1)
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? 2(

1 1 ? k ?1 ) 2 ?1 2 ?1
k

?

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1? ??? n ? 1 ? 2[( 2 ? 3 )? a1 a2 an 3 2 ?1 2 ?1 2 ?1
1 1 1 1 5 ? n ?1 )] ? 1 ? 2( ? n ?1 ) ? ??612 分 3 2 ?1 3 2 ?1 2 ?1
n

?? (

? (1 ?

1 1 10 )(1 ? ) ? ? ? (1 ? bn ) ? b1b2 ? ? ? bn . ????13 分 b1 b2 3

n?2 ? 1 (仅当 n ? 2 取等号) 另证:当 n ? 2 时 2

? 2 n ? 1 ? 3 ? 2 n?2 ,即

1 1 1 1 ? n ? ? n?2 (n ? 2) an 2 ? 1 3 2

? 当 n ? 2 时,
1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? (1 ? ? ? ? n?2 ) ? 1 ? ? a1 a 2 an 3 2 3 2
而 n ? 1 显然成立????12 分

1?

1

2 n?1 ? 5 ? 1 ? 5 1 3 2 n?2 3 1? 2

? (1 ?

1 1 1 10 )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? b1 b2 bn 3
10 b1b2 ? ? ? bn . ????13 分 3

即 (1 ? b1 )(1 ? b2 ) ? ? ? (1 ? bn ) ?

????? ?2c ?| F1 F2 |? 2, ? 2 ???? ? ?a ? ? ? 1 ?| NF1 |? 1, ?c ???? ? ???? ???? ? ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 . 21. 【解析】(1)由于 F1F2 ? 2NF1 ,| F1F2 |? 2 , ? 解得a2=2,b2=1,从而所求椭

x2 ? y2 ? 1 圆的方程为 2 . (2分) ??? ? ??? ? ? NA ? λNB,? A, B, N 三点共线,而点N的坐标为(–2,0) .

设直线AB的方程为 y ? k ( x ? 2) ,其中k为直线AB的斜率,依条件知k≠0.
? y ? k ( x ? 2), ? 2 ?x 2k 2 ? 1 2 4 1 ? y 2 ? 1, y ? y ?2?0 ( y ? 2)2 ? 2 y 2 ? 2, ? 2 k 由? 2 消去x得 k 即 k .根据条件可知

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? 4 2 2k 2 ? 1 ?Δ ? ( ) ? 8? 2 ? 0, k k ? 2 2 0?k ? 0 ?| k |? ?k ? 0. ? 2 . 2 ,依题意取 解得

(5分)

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则根据韦达定理,得
??? ? ??? ?

y1 ? y2 ?

4k 2k 2 , y1 y2 ? 2 , 2k 2 ? 1 2k ? 1

又由 NA ? λNB ,得 ( x1 ? 2, y1 ) ? λ( x2 ? 2, y2 ) ,
4k ? ?(1 ? λ) y2 ? 2k 2 ? 1 , ? ? 2 ? x ? 2 ? λ( x2 ? 2), ? x1 ? 2 ? λ( x2 ? 2), ? λy 2 ? 2k . ?? 1 ? 2 2 y ? λy2 . ? 2k ? 1 ? y1 ? λy2 . 从而 ? 1 从而 ? 消去 y 2 得

(1 ? λ)2 8 ? 2 λ 2k ? 1 .



φ( λ) ?

(1 ? λ)2 1 1 1 1 λ2 ?1 , λ ?[ , ], φ?( λ) ? ( λ ? ? 2)? ? 1 ? 2 ? 2 λ 5 3 则 λ λ λ .

1 1 1 1 1 1 ?λ? [ , ] φ( ) ? φ( λ) ? φ( ) 5 3 ,所以 φ?( λ) ? 0 .? φ( λ ) 是区间 5 3 上的减函数,从而 3 5 , 由于

16 36 16 8 36 2 1 2 2 1 ? φ( λ) ? , ? ? 2 ? , ?| k |? 0?k ? ,? ?k? 3 5 3 2k ? 1 5 解得 6 2 ,而 2 6 2 .故直 即
2 1 , ] 线AB的斜率的取值范围是 6 2 . [

(9分)
y? ? ?x 1 2 1 ? x2 2 ,

y ? 1?

(2)上半椭圆的方程为
y 1? 1 ?

1 2 x 2 ,求导可得



x x 1 2 1 2 k PA ? ? 1 , k PB ? ? 2 x1 , y2 ? 1 ? x2 2 y1 2 y2 2 2 ,所以两条切线的斜率分别为 . y ? y1 ? ? x1 ( x ? x1 ), 2 y1

y??

解法一

切线PA的方程是
y?? x1 x 1 ? 2 y1 y1



x1 x x12 ? 2 y12 ? 2 y1 2 y1

2 2 ,又 x1 ? 2 y1 ? 2 ,

y??

从而切线PA的方程为

,同理可得切线PB的方程为

x2 x 1 ? 2 y2 y2



x1 x 1 2( y2 ? y1 ) ? ? ?y ? ? 2y ? y , ? x0 ? ? x y ? x y , ? ? 1 1 2 1 1 2 ? ? x2 x 1 x2 ? x1 ?y ? ? ?y ? ? , , ? ? 0 x2 y1 ? x1 y2 2 y2 y2 ? 由 可解得点P的坐标(x0,y0)满足 ?
? x1 ? 2 ? λ( x2 ? 2), x1 ? 2 x2 ? 2 ? ? x2 y1 ? x1 y2 ? 2( y2 ? y1 ), ? y1 ? λy2 y y2 再由 ? 得 1
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? x0 ? ?

2( y2 ? y1 ) ? ?1, 2( y2 ? y1 )

因此点P恒在定直线x= – 1上运动.

(13分)
y ? y0 ? ? x1 ( x ? x0 ), 2 y1

解法二

设点P的坐标为(x0,y0) ,则可得切线PA的方程是
y1 ? y0 ? ? x1 ( x1 ? x0 ) 2 y1

而点A(x1,y1)在此切线上,有 椭圆上,? 有x0 x1 ? 2 y0 y ? 2 ,①

2 2 即 x0 x1 ? 2 y0 y1 ? x1 ? 2 y1 , 又? A 在

同理可得 x0 x2 ? 2 y0 y2 ? 2 .②

根据①和②可知直线AB的方程为, x0 x ? 2 y0 y ? 2, 而直线AB过定点N(–2,0) ,
? ?2 x0 ? 2 ? x0 ? ?1 ,因此,点P恒在直线x= –1上运动.

(13分)

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