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江西省师大附中、临川一中2014届高三上联考数学试题(理)


江西师大附中、临川一中高三联考数学(理)试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每个小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? {x x ? 1 ? 1} , B ? {x | y ? ( ) x ? 2 , y ? R} ,则 A ? CR B ? ( A. (?2,?1) 2.复数 z ? B. (?2,

?1] C. (?1,0) ) D. ( ,? )
3 5 3 5
1 2

)

D. [?1,0)

1? i 在复平面上对应的点的坐标为( 2?i

A. (1,?3)

B. ( , ? )

1 5

3 5

C. (3,?3)

3.下列命题中正确的是( ) A.若 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 B.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 也为真命题 C.“函数 f ( x) 为奇函数”是“ f (0) ? 0 ”的充分不必要条件 D.命题“若 x2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的否命题为真命题 4.已知变量 x, y 满足约束条件 ? ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y ? 1 的最大值( )
? ? x ?1 ? 0 ? x ? y ?5 ? 0

A.9

B.8

C.7

D.6
1 x

5.若直线 l1 : x ? ay ? 1 ? 0 与 l2 : 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则二项式 (ax2 ? )5 展开式中 x 的系数为( ) A. ?40 6.已知函数 f ( x) ? cos B. ?10 C.10 D.40

?x
3

,根据下列框图,输出 S 的值为( )

A.670

B. 670

1 2

C.671

D.672

7.已知点 P(3,4)和圆 C:(x ? 2)2+y2=4,A,B 是圆 C 上两个动点,且|AB|= 2 3 ,则 OP ? (OA ? OB) (O 为坐标原点)的取值范围是( A.[3,9] B.[1,11] ) C.[6,18] D.[2,22]
? 后,得到 g ( x) 的图像,则 f ( x) 与 g ( x) 的图像 3

8.把函数 f ( x) ? sin x( x ?[0,2? ]) 的图像向左平移 所围成的图形的面积为( )
1

A.4

B. 2 2

C. 2 3

D.2

9.已知棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P,Q 是面对角线 A1C1 上的两个不同动点. ①存在 P,Q 两点,使 BP ? DQ; ②存在 P,Q 两点,使 BP,DQ 与直线 B1C 都成 450 的角; ③若|PQ|=1,则四面体 BDPQ 的体积一定是定值; ④若|PQ|=1,则四面体 BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值. 以上命题为真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10 .已知椭圆 C1 :
x2 a12 ? y2 b12 ? 1(a1 ? b1 ? 0) 与双曲线 C2 : x2 a2 2 ? y2 b2 2 ? 1(a2 ? 0, b2 ? 0) 有相同的焦

点 F1,F2, 点 P 是两曲线的一个公共点 , e1 , e2 又分别是两曲线的离心率 , 若 PF1 ? PF2, 则
4e12 ? e2 2 的最小值为(

) C.
9 2

A.

5 2

B.4

D.9

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题卡上) 11.在等差数列 {an} 中, a1 ? a2 ? a3 ? 3 , a18 ? a19 ? a20 ? 87 ,则该数列前 20 项的和为____. 12.把甲、乙、丙、丁、戊 5 人分配去参加三项不同的活动,其中活动一和活动二各要 2 人, 活动三要 1 人,且甲,乙两人不能参加同一活动,则一共有_____种不同分配方法. 13.已知正三棱锥 P ? ABC 中,E,F 分别是 AC,PC 的中点,若 EF ? BF,AB=2,则三棱锥 P ? ABC 的外 接球的表面积为_________. 14.已知下列等式:

12 ? 1 12 ? 32 ? 52 ? 17 12 ? 32 ? 52 ? 7 2 ? 92 ? 49 12 ? 32 ? 52 ? 7 2 ? 92 ? 112 ? 132 ? 97
观察上式的规律,写出第 n 个等式________________________________________. 15.对于函数 y ? f ( x) 的定义域为 D,如果存在区间 [m, n] ? D 同时满足下列条件: ① f ( x) 在[m,n]是单调的;②当定义域为[m,n]时, f ( x) 的值域也是[m,n],则称区间[m,n]是 该函数的“H 区间”.若函数 f ( x) ? ? ____________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12 分)已知 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若向量 m ? (cosB,2 cos2
n ? (2a ? b, c) 共线.
2

?a ln x ? x ( x ? 0) 存在“H 区间”,则正数 a 的取值范围是 ? ? x ? a ( x ? 0)

C ? 1) 与向量 2

(1)求角 C 的大小; (2)若 c ? 2 3 , S ?ABC ? 2 3 ,求 a,b 的值.

17.(12 分)某商家推出一款简单电子游戏,弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正 六边形的顶点与中心共七个点中的三个位置上(如图),用 S 表示这三个球为顶点的三角形的面 积.规定:当三球共线时,S=0;当 S 最大时,中一等奖,当 S 最小时,中二等奖,其余 情况不中奖,一次游戏只能弹射一次. (1)求甲一次游戏中能中奖的概率; (2)设这个正六边形的面积是 6,求一次游戏中随机变量 S 的分布列及期望值.

18.(12 分)已知平行四边形 ABCD (图 1)中, AB=4,BC=5,对角线 AC=3,将三角形 ? ACD 沿 AC 折起 至 ? PAC 位置(图 2),使二面角 P ? AC ? B 为 600,G,H 分别是 PA,PC 的中点. (1)求证:PC ? 平面 BGH; (2)求平面 PAB 与平面 BGH 夹角的余弦值.

19.(12 分)已知正项数列{an}中,a1=1,且 log3an,log3an+1 是方程 x2 ? (2n ? 1)x+bn=0 的两个实根. (1)求 a2,b1; (2)求数列{an}的通项公式; (3)若 c n ? bn , An 是 {cn} 前 n 项和, Bn ?
n2 ? 1 ,当 n ? N ? 时,试比较 An 与 Bn 的大小. 2
3

20.(13 分)已知抛物线 C: x 2 ? 2 py( p ? 0) ,定点 M(0,5),直线 l : y ?

p 与 y 轴交于点 F,O 为原点, 2

若以 OM 为直径的圆恰好过 l 与抛物线 C 的交点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 M 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点,连 AF,BF 延长交抛物线分别于 A?, B? ,求证: 抛物线 C 分别过 A?, B? 两点的切线的交点 Q 在一条定直线上运动.

21.(14 分)已知函数 f ( x) ? 4 ln x ? x 2 ? ax(a ? R) . (1)当 a ? 6 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) 有两个极值点 x1, x2 ,且 x1 ? (0,1] ,求证: f ( x1) ? f ( x2 ) ? 3 ? 4 ln 2 ; (3)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 ln 的取值范围.
ax ? 2 6x
2

3 ,对于任意 a ? (2,4) 时,总存在 x ? [ ,2] ,使 g ( x) ? k (4 ? a 2 ) 成立,求实数 k 2

江西师大附中、临川一中 2014 届高三联考数学(理)答案
1~5.C B D B A 6~10 .C D D C C 11.300 12.24 13. 6?
3 14. 12 ? 32 ? 52 ? 72 ? ? ? (4n ? 5)2 ? (4n ? 3)2 ? 8n2 ? 8n ? 1 15. ( ,1] ? (2e, e2 ] 4

16.解:(1)? m ? (cosB, cosC ), m // n ? c cos B ? (2a ? b) cosC
4

?sin C cosB ? (2 sin A ? sin B) cosC ,

sin A ? 2sin AcosC , ? cosC ?

1 ? ? C ? (0, ? ) ? C ? 2 3

1 (2)? c2 ? a2 ? b2 ? 2abcosC ? a2 ? b2 ? ab ? 12 ①? S?ABC ? absin C ? 2 3 2

?ab ? 8 ②,

由①②得 {

a?2
3? 2 C3 7

b?4

或{
? 1 7

a?4 b?2

17.解:(1)甲中奖的概率为 P ?

(2)S 的可能值为:0,1,2,3,其分布列为 S P 0
3 35

1
18 35

2
12 35

3
2 35

? ES ? 0 ?

3 18 12 2 48 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 35 35 35 35 35

18(1)证明:过 C 作 CE // AB 且 CE ? AB ,连 BE,PE
? AC2 ? AB2 ? BC2 ? AC ? AB ,

?四边形 ABEC 是矩形, AC ? CE ? PC ? AC
? AC ? 平面 PEC,??PCE ? 600 ? PC ? CE ? 4 ? ?PCE 是正三角形 ? BE // AC ?BE ? 平面 PEC

?BE ? PE ? PB ? PE2 ? BE2 =5=BC,

而 H 是 PC 的中点,?BH ? PC , ?GH 是 ?PAC 的中位线,?GH // AC ,?GH ? PC ?GH ? BH ? H , ? PC ? 平面 BGH. (2)以 CE 的中点 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(3,?2,0) , B(3,2,0)
P(0,0,2 3 ) , C(0,?2,0) ,

先求平面 PAB 的法向量为 n ? (2 3 ,0,3) ,而平面 BGH 的法向量为 PC ? (0,?2,?2 3 ) , 设平面 PAB 与平面 BGH 的夹角为 ? ,则 cos? ? cos ? n, PC ? ? 19 解:(1)? log3 an ? log3 an ?1 ? 2n ?1 ,? an an ?1 ? 32n ?1 当 n ? 1 时, a1a2 ? 3 , ? a1 ? 1,? a2 ? 3 , ? bn ? log3 an ? log3 an ?1 ,? b1 ? log3 a1 ? log3 a2 ? 0 (2)?
a an ?1an ? 2 32n ?1 ? 2n ?1 ? 9 ,? n ? 2 ? 9 , an an an ?1 3
3 7 . 14

?{an } 的奇数项和偶数项分别是公比为 9 的等比数列.
5

? a2k ?1 ? a1 ? 9k ?1 ? 32k ? 2 , a2k ? a2 ? 9k ?1 ? 32k ?1 (k ? N ? ) ,
n ?1 ? ?3 ? an ? ? n ?1 ? ?3

(n为奇数) (n为偶数)

? 3n ?1 (n ? N ? )

(3) ? bn ? log3 an ? log3 an ?1 ? (n ?1)n(n ? N? ) ? cn ? (n ? 1)n 当 n ? 1 时, A1 ? c1 =0, B1 =0,? A1 ? B1 . 当 n ? 2 时, cn ? (n ? 1)n ?
An ? 0+

2n ? 1 2

3 5 2n ? 1 n2 ? 1 = Bn ? ? ?? ? 2 2 2 2 综上,当 n ? 1 时, An ? Bn ,当 n ? 2 时, An ? Bn .

3 或? A1 ? 0, B1 ? 0,? A1 ? B1 ? A2 ? 2 , B2 ? ? A2 ? B2 ? A3 ? 2 ? 6 , B3 ? 4 ? A3 ? B3 2 猜测 n ? 2 时, An ? Bn 用数学归纳法证明

①当 n ? 2 时,已证 A2 ? B2 ②假设 n ? k (k ? 2) 时, Ak ? Bk 成立 当 n ? k ?1 时, Ak ?1 ? Ak ? k (k ? 1) ?
k 2 ?1 k 2 ? 1 2k ? 1 (k ? 1) 2 ? 1 ? k (k ? 1) ? ? ? ? Bk ?1 2 2 2 2

即 n ? k ?1 时命题成立 根据①②得当 n ? 2 时, An ? Bn 综上,当 n ? 1 时, An ? Bn ,当 n ? 2 时, An ? Bn . 20 解:(1)?直线 l 与 y 轴的交点 F 为抛物线 C 的焦点,又以 OM 为直径的圆恰好过直线 l 抛物线 的交点,? p 2 ?
p p (5 ? ) ,? p ? 2 2 2

所以抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y (2)由题意知直线 AB 的斜率一定存在,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 5 , 又设 A( x1, y1), B( x2 , y2 ) , A?( x0 , y0 ) ? A, F , A? 共线,? x1( y0 ? 1) ? x0 (1 ? y1) ? 0 , ( x0 ? x1)(x0 x1 ? 4) ? 0
? x0 ? x1 ? x0 ? ?
4 4 4 4 4 , A?(? , 2 ) ,同理可求 B?(? , 2 ) x1 x1 x1 x2 x2

? y? ?

2 2 4 1 x ,?过点 A? 的切线的斜率为 ? ,切线方程为: y ? ? x ? 2 , x1 x1 2 x1
4 2 4 x ? 2 ,联立得: yQ ? x1x2 x2 x2

同理得过点 B? 的切线方程为: y ? ? 由?

? y ? kx ? 5 ? x 2 ? 4kx ? 20 ? 0 ? x1x2 ? ?20 2 ? x ? 4y

6

? yQ ?

4 1 1 ? ? ,即点 Q 在定直线 y ? ? 上运动. x1x2 5 5
4 x 2 x 2 ? ax ? 4 ( x ? 0) x

21 解: f ?( x) ? ? 2 x ? a ? (1)当 a ? 6 时, f ?( x) ?

2( x 2 ? 3x ? 2) , x

令 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 2 , f ?( x) ? 0 ? 1 ? x ? 2 ,
? f ( x) 的递增区间为 (0,1) 和 (2,??) ,递减区间为 (1,2) .

(2)由于 f ( x) 有两个极值点 x1, x2 ,则 2x2 ? ax ? 4 ? 0 有两个不等的实根,
? ??0 ? a ? ? x1 ? x2 ? (0 ? x1 ? 1) ? 2 ? ? x1 x2 ? 2 ? ? a?6 ? ?a ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? x2 ? x 1 ?

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 8 ln x1 ? x12 ?

4 x12

? 4 ln 2(0 ? x1 ? 1)

设 F ( x) ? 8 ln x ? x 2 ?
F ?( x) ?

4 x2

? 4 ln 2(0 ? x ? 1)

8 8 2( x 2 ? 2) 2 ? 2x ? 3 ? ? ? 0 , ? F ( x) 在 (0,1] 上递减, x x x3

? F ( x) ? F (1) ? 3 ? 4 ln 2 ,即 f ( x1) ? f ( x2 ) ? 3 ? 4 ln 2 .

(3)? g ( x) ? 2 ln(ax ? 2) ? x2 ? ax ? 2 ln 6 ,
2ax( x ? 4 ? a2 ) 2a ax ? 2

2a ? g ?( x) ? ? 2x ? a ? ax ? 2

?

3 4 ? a2 2 a 3 3 4 ? a2 ? ? ? ? , x ? ,? x ? ? 0 , ? g?( x) ? 0 , g ( x) 在 x ? [ ,2] 递增, 2 2a a 2 2 2 2a

g ( x)max ? g (2) ? 2 ln(2a ? 2) ? 2a ? 4 ? 2 ln 6 ,

? 2 ln(2a ? 2) ? 2a ? 4 ? 2 ln 6 ? k (4 ? a 2 ) 在 a ? (2,4) 上恒成立

令 h(a) ? 2 ln(2a ? 2) ? 2a ? 4 ? 2 ln 6 ? k (4 ? a2 ) , 则 h(a) ? 0 在 a ? (2,4) 上恒成立
? h?(a) ? 2 2a(ka ? k ? 1) ? 2 ? 2ka ? a ?1 a ?1

,又 h(2) ? 0

当 k ? 0 时, h?(a) ? 0 , h(a) 在(2,4)递减, h(a) ? h(2) ? 0 ,不合; 当 k ? 0 时, h?(a) ? 0 ? a ?
1? k , k
7

① 1 ? k ? 2 ? 0 ? k ? 1 时, h(a) 在(2, 1 ? k )递减,存在 h(a) ? h(2) ? 0 ,不合;
k 3
k



1? k 1 ? 2 ? k ? 时, h(a) 在(2,4)递增, h(a) ? h(2) ? 0 ,满足. k 3
3

综上, 实数 k 的取值范围为 [ 1 ,??) .

8


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