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河南省驻马店市2014-2015学年高二第二学期期末数学试卷(文科)


2014-2015 学年河南省驻马店市高二 (下) 期末数学试卷 (文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,60 分驻马店市 2014-2015 学年度第二学期期 终考试高二数学(文科)试题 1.设集合 A={2,lnx},B={x,y},若 A∩B={0},则 y 的值为( ) A. 0 B. 1 C. e D.

2.在复平面内

,复数 z= A. B. ﹣ C.

的共轭复数的虚部为( i D. ﹣ i



3.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 4 次,至少击中 3 次的概率:先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 0、1 表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9 表 示击中目标,以 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随机模拟产生了 20 组随机数: 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为( ) A. 0.852 B. 0.8192 C. 0.75 D. 0.8 4.过点 P(0,﹣2)的双曲线 C 的一个焦点与抛物线 x =﹣16y 的焦点相同,则双曲线 C 的 标准方程是( ) A. B. C. D.
2

5.在等差数列{an}中,首项 a1=0,公差 d≠0,若 ak=a1+a2+a3+…+a7,则 k=( A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 6.下列结论正确的是( )



A. 若向量 ∥ ,则存在唯一实数λ使 =λ B. “若θ= ,则 cosθ= ”的否命题为“若θ≠ ,则 cosθ≠ ” <0”

C. 已知向量 、 为非零向量,则“ 、 的夹角为钝角”的充要条件是“ D. 若命题 p:? x∈R,x ﹣x+1<0,则¬p:? x∈R,x ﹣x+1>0 7.设函数 f(x)=sin(wx+ )+sin(wx﹣
2 2

) (w>0)的最小正周期为π,则(



A. f(x)在(0, C. f(x)在(0,

)上单调递增 B. f(x)在(0, )上单调递增 D. f(x)在(0,

)上单调递减 )上单调递减

8.执行如图所示的程序框图,输出的 T=(



A. 29 B. 44 C. 52 D. 62

9.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为( )

,且一个内角为 60°的菱形,

A.

B.

C. 4 D. 8

10.平行四边形 ABCD 中,

=(1,0) ,

=(2,2) ,则

等于(



A. 4 B. ﹣4 C. 2 D. ﹣2

11.已知不等式组

表示的平面区域为 D,点 O(0,0) ,A(1,0) .若点 M 是 D

上的动点,则

的最小值是(



A.

B.

C.

D.

12.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x﹣4)=﹣f(x) ,且 x∈[0,2]时,f(x)=log2 (x+1) ,甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论:甲:f(3)=1;乙:函数 f(x)在[﹣6, ﹣2]上是减函数;丙:函数 f(x)关于直线 x=4 对称;丁:若 m∈(0,1) ,则关于 x 的方 程 f(x)﹣m=0 在[0,6]上所有根之和为 4.其中正确的是( ) A. 甲、乙、丁 B. 乙、丙 C. 甲、乙、丙 D. 甲、丙

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3a9=2a5 ,a2=2,则 a1= 14.曲线 y= x +x 在点(1, )处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
3 2

. .

15.已知函数 f(x)=

,则 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于



16.设 F1、F2 分别是椭圆

(a>b>0)的左、右焦点,与直线 y=b 相切的⊙F2 交椭 .

圆于点 E,且 E 是直线 EF1 与⊙F2 的切点,则椭圆的离心率为

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分 17.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a=6,求 b+c 的取值范围. 18.一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示: 学生 A1 A2 A3 A4 A5 数学 89 91 93 95 97 物理 87 89 89 92 93 = ,

(1)要在这五名学生中选 2 名参加一项活动,求选中的同学中至少有一人的物理成绩高于 90 分的概率. (2)根据上表数据,用变量 y 与 x 的相关系数和散点图说明物理成绩 y 与数学成绩 x 之间 线性相关关系的强弱,如果具有较强的线性相关关系,求 y 与 x 的线性回归方程(系数精确 到 0.01) ;如果不具有线性相关关系,请说明理由. 参考公式:

相关系数 r=

回归直线的方程: =

,其中 =





是与

xi 对应的回归估计值. 参考数据: =93, =90, =40, =24,

=30,

≈6.32,

≈4.90.

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,AB=2, PD= ,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为棱 PB 上一点. (Ⅰ)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (Ⅱ)若 PD∥平面 EAC,求三棱锥 P﹣EAD 的体积.

20.如图所示,椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,其中 e= ,焦距为 2,过点 M(4,0)的直

线 l 与椭圆 C 交于点 A、B,点 B 在 AM 之间.又点 A,B 的中点横坐标为 ,且 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求实数λ的值.





21.已知函数 f(x)=lnx,g(x)=



(1)当 k=e 时,求函数 h(x)=f(x)﹣g(x)的单调区间和极值; (2)若 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 k 的值.

【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为 (Ⅰ)求证:DE∥AB; (Ⅱ)求证:AC? BC=2AD? CD. 的中点,E 为 BC 的中点.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在极坐标系中,设圆 C1:ρ=4cosθ 与直线 l:θ= (ρ∈R)交于 A,B 两点.

(Ⅰ)求以 AB 为直径的圆 C2 的极坐标方程; (Ⅱ)在圆 C1 任取一点 M,在圆 C2 上任取一点 N,求|MN|的最大值.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|﹣|x+3|,a∈R. (Ⅰ)当 a=﹣1 时,解不等式 f(x)≤1; (Ⅱ)若当 x∈[0,3]时,f(x)≤4,求 a 的取值范围.

2014-2015 学年河南省驻马店市高二 (下) 期末数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,60 分驻马店市 2014-2015 学年度第二学期期 终考试高二数学(文科)试题 1.设集合 A={2,lnx},B={x,y},若 A∩B={0},则 y 的值为( ) A. 0 B. 1 C. e D.

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据给出的集合 A 与集合 B,且 A∩B={0},说明 A 中的 lnx=0,由此求出 x=1,则集 合 B 中只有 y=0. 解答: 解:由 A={2,lnx},B={x,y}, 若 A∩B={0},说明元素 0 即在 A 当中,又在 B 当中, 显然 lnx=0,则 x=1,所以 y=0. 故选 A. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了集合中元素的特性,是基础的会考题型. 2.在复平面内,复数 z= A. B. ﹣ C. 的共轭复数的虚部为( i D. ﹣ i )

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由复数代数形式的除法运算化简复数 z,求出其共轭复数,则答案可求. 解答: 解:∵z= ∴ ∴复数 z= , 的共轭复数的虚部为 . = ,

故选:A. 点评: 本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 3.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 4 次,至少击中 3 次的概率:先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 0、1 表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9 表 示击中目标,以 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随机模拟产生了 20 组随机数: 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698

0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为( A. 0.852 B. 0.8192 C. 0.75 D. 0.8



考点: 模拟方法估计概率. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 由题意知模拟射击 4 次的结果,经随机模拟产生了如下 20 组随机数,在 20 组随机 数中表示种射击 4 次至少击中 3 次的有多少组, 可以通过列举得到共多少组随机数, 根据概 率公式,得到结果. 解答: 解:由题意知模拟射击 4 次的结果,经随机模拟产生了如下 20 组随机数, 在 20 组随机数中表示射击 4 次至少击中 3 次的有: 7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281,共 15 组随机数, ∴所求概率为 0.75. 故选:C. 点评: 本题考查模拟方法估计概率、随机数的含义与应用,是一个基础题,解这种题目的 主要依据是等可能事件的概率,注意列举法在本题的应用. 4.过点 P(0,﹣2)的双曲线 C 的一个焦点与抛物线 x =﹣16y 的焦点相同,则双曲线 C 的 标准方程是( ) A. B. C. D.
2

考点: 抛物线的标准方程;双曲线的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意可求双曲线 C 的一个焦点坐标,从而可求 c 及焦点位置,然后根据双曲线过 点 P(0,﹣2)代入可求 a,b 的关系,联立方程可求 a,b,即可 解答: 解:∵抛物线 x =﹣16y 的焦点为(0,﹣4) ∴双曲线 C 的一个焦点坐标为(0,﹣4) , 由题意可设双曲线 C 的标准方程为 ∵过点 P(0,﹣2) (a>0,b>0)
2



∴a=2,b=2 ∴双曲线 C 的标准方程是 故选 C 点评: 本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线方程,考查了基本运算

5.在等差数列{an}中,首项 a1=0,公差 d≠0,若 ak=a1+a2+a3+…+a7,则 k=( A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 考点: 等差数列的性质.



分析: 根据等差数列的性质,我们可将 ak=a1+a2+a3+…+a7,转化为 ak=7a4,又由首项 a1=0, 公差 d≠0,我们易得 ak=7a4=21d,进而求出 k 值. 解答: 解:∵数列{an}为等差数列 且首项 a1=0,公差 d≠0, 又∵ak=(k﹣1)d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d 故 k=22 故选 A 点评: 本题考查的知识点是等差数列的性质, 其中根据 a4 是数列前 7 项的平均项 (中间项) 将 ak=a1+a2+a3+…+a7,化为 ak=7a4,是解答本题的关键. 6.下列结论正确的是( )

A. 若向量 ∥ ,则存在唯一实数λ使 =λ B. “若θ= ,则 cosθ= ”的否命题为“若θ≠ ,则 cosθ≠ ” <0”

C. 已知向量 、 为非零向量,则“ 、 的夹角为钝角”的充要条件是“ D. 若命题 p:? x∈R,x ﹣x+1<0,则¬p:? x∈R,x ﹣x+1>0 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑.
2 2

分析: 根据向量共线定理判断 A,条件否定,结论否定,可判断 B,向量 , 为非零向量, 则“ , 的夹角为钝角”的充要条件是“ ?
2 2

<0,且向量 , 不共线”可判断 C;命题

p:? x∈R,x ﹣x+1<0,则¬p:? x∈R,x ﹣x+1≤0,可判断 D. 解答: 解:若向量 ∥ , ≠ ,则存在唯一的实数λ使 =λ ,故 A 不正确; 条件否定,结论否定,可知 B 正确; 已知向量 , 为非零向量,则“ , 的夹角为钝角”的充要条件是“ ? 不共线” ,故不 C 正确; 若命题 p:? x∈R,x ﹣x+1<0,则¬p:? x∈R,x ﹣x+1≤0,故 D 不正确. 故选:B. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,考查学生分析解决问题的能力,知识综合性强.
2 2

<0,且向量 ,

7.设函数 f(x)=sin(wx+

)+sin(wx﹣

) (w>0)的最小正周期为π,则(



A. f(x)在(0, C. f(x)在(0,

)上单调递增 B. f(x)在(0, )上单调递增 D. f(x)在(0,

)上单调递减 )上单调递减

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和与两角差的正弦可化简得 f(x)=﹣sinwx,依题意知 w=2,利用正弦函 数的单调性可得答案. 解答: 解:∵f(x)=sin(wx+ =﹣ sinwx+ coswx﹣ sinwx﹣ )+sin(wx﹣ coswx=﹣sinwx, )

又 f(x)的最小正周期为π,w>0, ∴w=2. ∴f(x)=﹣sin2x, ∵y=sin2x 在[﹣ , ]上单调递增, , ]上单调递减,

∴f(x)=﹣sin2x 在[﹣ ∴f(x)在(0,

)上单调递减,

故选:B. 点评: 本题考查三角函数中的恒等变换应用,着重考查两角和与两角差的正弦及正弦函数 的单调性与周期性,属于中档题. 8.执行如图所示的程序框图,输出的 T=( )

A. 29 B. 44 C. 52 D. 62 考点: 循环结构.

专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,T,n 的值,当 S=12,n=4,T=29 时, 满足条件 T>2S,退出循环,输出 T 的值为 29. 解答: 解:执行程序框图,有 S=3,n=1,T=2, 不满足条件 T>2S,S=6,n=2,T=8 不满足条件 T>2S,S=9,n=3,T=17 不满足条件 T>2S,S=12,n=4,T=29 满足条件 T>2S,退出循环,输出 T 的值为 29. 故选:A. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,属于基本知识的考查.

9.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为( )

,且一个内角为 60°的菱形,

A.

B.

C. 4 D. 8

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由题意求出菱形的边长,由三视图可得,几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组 合而成,求出正四棱锥侧面积,即可求解. 解答: 解:一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 ,且一个内角为 60°的菱形,

所以菱形的边长为:1, 由三视图可得,几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成, 底面边长为 1,侧棱长为: 所以几何体的表面积为: , =4.

故选 C. 点评: 本题是基础题,考查三视图推出几何体的判断,几何体的表面积的求法,注意视图 的应用.

10.平行四边形 ABCD 中,

=(1,0) ,

=(2,2) ,则

等于(



A. 4 B. ﹣4 C. 2 D. ﹣2

考点: 专题: 分析: 解答:

平面向量数量积的运算. 平面向量及应用. 利用向量的运算法则和数量积的运算即可得出. 解:如图所示: =(1,2) ; = = = =

由向量的加减可得: (0,2) , ∴ 故选 A. =

=(1,2) ?(0,2)=0+4=4.

点评: 熟练掌握向量的运算法则和数量积的运算是解题的关键.

11.已知不等式组

表示的平面区域为 D,点 O(0,0) ,A(1,0) .若点 M 是 D

上的动点,则

的最小值是(



A.

B.

C.

D.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用向量的数量积将条件进行转化,利用数形结合进行求解即可得到结论. 解答: 解:设 z= ∵O(0,0) ,A(1,0) . ∴| ∴z=| |=1, |? cos∠A0M=cos∠A0M, ,则 z= =| |? =| |? cos∠A0M,

作出不等式组对应的平面区域如图: 要使 cos∠A0M, 则∠A0M 最大, 即当 M 在 C 处时,∠A0M 最大,

由 则|AC|=

得 , =

,即 C(1,3) ,

则 cos∠A0M= 故选:C.



点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用向量的数量积将条件进行转化是解决本题的关 键. 12.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x﹣4)=﹣f(x) ,且 x∈[0,2]时,f(x)=log2 (x+1) ,甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论:甲:f(3)=1;乙:函数 f(x)在[﹣6, ﹣2]上是减函数;丙:函数 f(x)关于直线 x=4 对称;丁:若 m∈(0,1) ,则关于 x 的方 程 f(x)﹣m=0 在[0,6]上所有根之和为 4.其中正确的是( ) A. 甲、乙、丁 B. 乙、丙 C. 甲、乙、丙 D. 甲、丙 考点: 命题的真假判断与应用;进行简单的合情推理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对于甲:取 x=1,得 f(3)=﹣f(1)=1; 乙:由 f(x﹣4)=f(﹣x)得 f(x﹣2)=f(﹣x﹣2) ,即 f(x)关于直线 x=﹣2 对称,结 合奇函数在对称区间上单调性相同,可得 f(x)在[﹣2,2]上为增函数,利用函数 f(x) 关于直线 x=﹣2 对称,可得函数 f(x)在[﹣6,﹣2]上是减函数; 丙:根据已知可得(4,0)点是函数图象的一个对称中心; 丁:若 m∈(0,1) ,则关于 x 的方程 f(x)﹣m=0 在[0,6]上有 2 个根,利用对称性得两 根的和为 2×2=4,故可得结论. 解答: 解:取 x=1,得 f(1﹣4)=﹣f(1)=﹣log2(1+1)=﹣1,所以 f(3)=﹣f(1)=1, 故甲的结论正确; 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x﹣4)=﹣f(x) ,则 f(x﹣4)=f(﹣x) , ∴f(x﹣2)=f(﹣x﹣2) , ∴函数 f(x)关于直线 x=﹣2 对称, 又∵奇函数 f(x) ,x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1)为增函数, ∴x∈[﹣2,2]时,函数为单调增函数, ∵函数 f(x)关于直线 x=﹣2 对称, ∴函数 f(x)在[﹣6,﹣2]上是减函数,故乙正确;

∵f(x﹣4)=﹣f(x) ,则 f(x+4)=﹣f(x) ,即 f(x﹣4)=f(x+4) 又由 f(x)为奇函数 f(x﹣4)=﹣f(4﹣x) ,即 f(x+4)=﹣f(4﹣x) ,即函数的图象关 于(4,0)点对称, 故丙的结论错误; 若 m∈(0,1) ,则关于 x 的方程 f(x)﹣m=0 在[0,6]上有 2 个根,两根的和为:2×2=4, 所以所有根之和为 4.故丁正确. 其中正确的是:甲,乙,丁. 故选 A. 点评: 本题考查函数的性质,考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、对称性等基础 知识,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3a9=2a5 ,a2=2,则 a1= 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由 a3a9=2a5 ,结合等比数列的性质可求 q,然后由 解答: 解:∵a3a9=2a5 , 由等比数列的性质可知, ∴ ∵an>0 ∴q= ∵a2=2 ∴ = ? a5
2 2 2



可求

故答案为: 点评: 本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用,属于基础试题
3

14.曲线 y= x +x 在点(1, )处的切线与坐标轴围成的三角形面积为



考点: 导数的几何意义;直线的点斜式方程. 专题: 计算题. 分析: 先对函数进行求导,求出在 x=1 处的导数值即为切线的斜率值,从而写出切线方程, 然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积. 解答: 解:∵y= x +x,∴y'=x +1∴f'(1)=2 在点(1, )处的切线为:y=2x﹣ 与坐标轴的交点为: (0, ) , ( ,0)
3 2

S= 故答案为: .



点评: 本题主要考查导数的几何意义, 即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率. 属 基础题.

15.已知函数 f(x)=

,则 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于 ﹣3 或 1



考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分段函数的意义即可得出. 解答: 解:∵f(1)=lg1=0,f(a)+f(1)=0, ∴f(a)=0. 当 a>0 时,由上面可知 a=1; 当 a≤0 时,f(a)=a+3=0,解得 a=﹣3,符号条件. 综上可知:a=﹣3 或 1. 故答案为﹣3 或 1. 点评: 本题考查了分段函数的求值和分类讨论的思想方法,属于基础题.

16.设 F1、F2 分别是椭圆

(a>b>0)的左、右焦点,与直线 y=b 相切的⊙F2 交椭

圆于点 E,且 E 是直线 EF1 与⊙F2 的切点,则椭圆的离心率为



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 作出图形,根据椭圆的定义,可得到 EF1+EF2=2a,依题意 再由⊙F2 与直线 y=b 相切,可得 EF2=b, 2 2 2 从而有(2a﹣b) +b =4c ,整理即可求得椭圆的离心率. 解答: 解:依题意,作图如右: ∵EF1⊥EF2,⊙F2 交椭圆于点 E, ∴EF1+EF2=2a, + = =(2c) =4c .①
2 2

+

=

=4c ,

2

又⊙F2 与直线 y=b 相切, ∴EF2=b,② ∴EF1=2a﹣b,③ 2 2 2 将②③代入①得: (2a﹣b) +b =4c , 2 2 2 ∴4a +2b ﹣4ab=4c ,

∴2(a ﹣c )=b(2a﹣b) ,即 2b =b(2a﹣b) , ∵b≠0, ∴3b=2a, ∴4a =9b =9(a ﹣c ) , ∴5a =9c ,即 e =
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

= ,

∴e= =



点评: 本题考查椭圆的简单性质,考查椭圆的定义,考查直线与圆相切,考查方程思想与 数形结合思想的运用,属于难题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分 17.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a=6,求 b+c 的取值范围. 考点: 余弦定理的应用;正弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用正弦定理把原等式转化为关于 A 的等式,求得 tanA 的值,进而求得 A. (Ⅱ) 先根据三角形三边的关系求得 b+c 的一个范围, 进而利用余弦定理求得 b+c 的关系式, 利用基本不等式求得 b+c 的范围,最后取交集即可. 解答: 解: (Ⅰ)由正弦定理知 ∴sinA= cosA,即 tanA= ∵0<A<π, ∴A= . , = = , = ,

(Ⅱ)由已知:b>0,c>0,b+c>a=6, 由余弦定理得 36=b +c ﹣2bccos 且仅当 b=c 时取等号) ,
2 2

=(b+c) ﹣3bc≥(b+c) ﹣ (b+c) = (b+c) , (当

2

2

2

2

∴(b+c) ≤4×36,又 b+c>6, ∴6<b+c≤12, 即 b+c 的取值范围是(6,12]. 点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.结合了基本不等式知识的考查,综合 性较强. 18.一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示: 学生 A1 A2 A3 A4 A5 数学 89 91 93 95 97 物理 87 89 89 92 93 (1)要在这五名学生中选 2 名参加一项活动,求选中的同学中至少有一人的物理成绩高于 90 分的概率. (2)根据上表数据,用变量 y 与 x 的相关系数和散点图说明物理成绩 y 与数学成绩 x 之间 线性相关关系的强弱,如果具有较强的线性相关关系,求 y 与 x 的线性回归方程(系数精确 到 0.01) ;如果不具有线性相关关系,请说明理由. 参考公式:

2

相关系数 r=

回归直线的方程: =

,其中 =





是与

xi 对应的回归估计值. 参考数据: =93, =90, =40, =24,

=30,

≈6.32,

≈4.90.

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计.

分析: (1)用列举法可得从 5 名学生中任取 2 名学生的所有情况和其中至少有一人物理成 绩高于 90(分)的情况包含的事件数目,由古典概型公式,计算可得答案. (2)把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中,得到散点图;根据所给的数 据先做出数据的平均数,即样本中心点,根据最小二乘法做出线性回归方程的系数,写出线 性回归方程. 解答: 解: (1)从 5 名学生中任取 2 名学生的所有情况为: (A4,A5) 、 (A4,A1) 、 (A4,A2) 、 (A4,A3) 、 (A5,A1) 、 (A5,A2) 、 (A5,A3) 、 (A1,A2) 、 (A1,A3) 、 (A2,A3)共种情 10 况. 其中至少有一人物理成绩高于 90(分)的情况有: (A4,A5) 、 (A4,A1) 、 (A4,A2) 、 (A4,A3) 、 (A5,A1) 、 (A5,A2) 、 (A5,A3)共 7 种情况, 故上述抽取的 5 人中选 2 人,选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于 9(0 分)的概 率 P= (2)可求得: = (89+91+93+95+97)=93, = (87+89+89+92+93)=90,

=40,

=24,

=30,

r=

=



≈0.97,

可以看出,物理成绩与数学成绩高度正相关, 散点图如图所示.

设回归直线的方程: =



则 =

=0.75,

=20.25,

故 y 关于 x 的线性回归方程是: =0.75x+20.25 点评: 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识,考查了学生的数据处理能力和应 用意识. 19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,AB=2, PD= ,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为棱 PB 上一点. (Ⅰ)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (Ⅱ)若 PD∥平面 EAC,求三棱锥 P﹣EAD 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由已知得 AC⊥PD,AC⊥BD,由此能证明平面 EAC⊥平面 PBD. (Ⅱ)由已知得 PD∥OE,取 AD 中点 H,连结 BH,由此利用 能求出三棱锥 P﹣EAD 的体积. 解答: (Ⅰ)证明:∵PD⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD, ∴AC⊥PD.∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD, 又∵PD∩BD=D,AC⊥平面 PBD. 而 AC? 平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBD. (Ⅱ)解:∵PD∥平面 EAC,平面 EAC∩平面 PBD=OE, ∴PD∥OE, ∵O 是 BD 中点,∴E 是 PB 中点. 取 AD 中点 H,连结 BH,∵四边形 ABCD 是菱形,∠BAD=60°, ∴BH⊥AD,又 BH⊥PD,AD∩PD=D,∴BD⊥平面 PAD, ∴ = = . . ,

点评: 本题考查平面与平面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养.

20.如图所示,椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,其中 e= ,焦距为 2,过点 M(4,0)的直

线 l 与椭圆 C 交于点 A、B,点 B 在 AM 之间.又点 A,B 的中点横坐标为 ,且 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求实数λ的值.





考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)运用离心率公式和椭圆的 a,b,c 的关系,解得 a,b,即可得到椭圆方程; (II)运用向量共线的知识,设出直线 l 的方程,联立椭圆方程,消去 y,运用判别式大于 0,以及韦达定理和中点坐标公式,计算得到 A,B 的横坐标,即可得到所求值. 解答: 解: (I)由条件可知,c=1,a=2, 故 b =a ﹣c =3, 椭圆的标准方程是 .
2 2 2

(II)由

,可知 A,B,M 三点共线,

设点 A(x1,y1) ,点 B(x2,y2) . 若直线 AB⊥x 轴,则 x1=x2=4,不合题意. 当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣4) .



消去 y 得, (3+4k )x ﹣32k x+64k ﹣12=0.①

2

2

2

2

由①的判别式△=32 k ﹣4(4k +3) (64k ﹣12)=144(1﹣4k )>0, 解得 ,

2 4

2

2

2





,可得
2

,即有



将 则 x1= 又因为

代入方程①,得 7x ﹣8x﹣8=0, ,x2= . , , ,

所以



所以λ=



点评: 本题考查椭圆的方程和性质,考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理和中点 坐标公式,考查运算能力,属于中档题.

21.已知函数 f(x)=lnx,g(x)=



(1)当 k=e 时,求函数 h(x)=f(x)﹣g(x)的单调区间和极值; (2)若 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 k 的值. 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)把 k=e 代入函数解析式,求出函数的导函数,由导函数的符号得到函数的单调 区间,进一步求得函数的极值; (2)求出函数 h(x)的导函数,当 k≤0 时,由函数的单调性结合 h(1)=0,可知 h(x) ≥0 不恒成立,当 k>0 时,由函数的单调性求出函数 h(x)的最小值,由最小值大于等于 0 求得 k 的值. 解答: 解: (1)注意到函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , ∴h(x)=lnx﹣ ,

当 k=e 时, ∴h(x)=lnx﹣ ,

∴h′(x)= ﹣

=



若 0<x<e,则 h′(x)<0;若 x>e,则 h′(x)>0. ∴h(x)是(0,e)上的减函数,是(e,+∞)上的增函数, 故 h(x)min=h(e)=2﹣e, 故函数 h(x)的减区间为(0,e) ,增区间为(e,+∞) ,极小值为 2﹣e,无极大值. (2)由(1)知,h′(x)= ﹣ = ,

当 k≤0 时,h′(x)>0 对 x>0 恒成立, ∴h(x)是(0,+∞)上的增函数, 注意到 h(1)=0,∴0<x<1 时,h(x)<0 不合题意. 当 k>0 时,若 0<x<k,h′(x)<0; 若 x>k,h′(x)>0. ∴h(x)是(0,k)上的减函数,是(k,+∞)上的增函数, 故只需 h(x)min=h(k)=lnk﹣k+1≥0. 令 u(x)=lnx﹣x+1(x>0) , ∴u′(x)= ﹣1= 当 0<x<1 时,u′(x)>0; 当 x>1 时,u′(x)<0. ∴u(x)是(0,1)上的增函数,是(1,+∞)上的减函数. 故 u(x)≤u(1)=0 当且仅当 x=1 时等号成立. ∴当且仅当 k=1 时,h(x)≥0 成立, 即 k=1 为所求. 点评: 本题考查了函数恒成立问题,考查了数学转化思想方法和函数构造法,训练了利用 函数的导函数判断函数的单调性,训练了利用导数求函数的最值,是有一定难度题目 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为 (Ⅰ)求证:DE∥AB; (Ⅱ)求证:AC? BC=2AD? CD. 的中点,E 为 BC 的中点.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 证明题.

分析: (I)欲证 DE∥AB,连接 BD,因为 D 为

的中点及 E 为 BC 的中点,可得 DE⊥BC,

因为 AC 为圆的直径,所以∠ABC=90°,最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得 结论; (II)欲证 AC? BC=2AD? CD,转化为 AD? CD=AC? CE,再转化成比例式 证明△DAC∽△ECD 即可. 解答: 证明: (Ⅰ)连接 BD,因为 D 为 因为 E 为 BC 的中点,所以 DE⊥BC. 因为 AC 为圆的直径,所以∠ABC=90°, 所以 AB∥DE.…(5 分) (Ⅱ)因为 D 为 的中点,所以∠BAD=∠DAC, 的中点,所以 BD=DC. = .最后只须

又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB. 又因为 AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD. 所以 = ,AD? CD=AC? CE,2AD? CD=AC? 2CE,

因此 2AD? CD=AC? BC.…(10 分)

点评: 本题考查了直径所对的圆周角为直角及与圆有关的比例线段的知识.解题时,乘积 的形式通常可以转化为比例的形式,通过相似三角形的性质得出. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在极坐标系中,设圆 C1:ρ=4cosθ 与直线 l:θ= (ρ∈R)交于 A,B 两点.

(Ⅰ)求以 AB 为直径的圆 C2 的极坐标方程; (Ⅱ)在圆 C1 任取一点 M,在圆 C2 上任取一点 N,求|MN|的最大值. 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ) 圆 C1:ρ=4cosθ 化为ρ =4ρcosθ,利用
2

即可得出圆 C1 的

直角坐标方程.由直线 l:θ=

(ρ∈R)可得直线 l 的倾斜角为

,又经过原点,即可

得出直角坐标方程.联立解得 A,B 坐标,即可得出圆的方程.再将其化为极坐标方程即可. (II)利用|MN|max=|C1C2|+r1+r2 即可得出. 解答: 解: (Ⅰ) 以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系,则由题意 得

圆 C1:ρ=4cosθ 化为ρ =4ρcosθ,∴圆 C1 的直角坐标方程 x +y ﹣4x=0. 直线 l 的直角坐标方程 y=x. 由 ,解得 或 .

2

2

2

∴A(0,0) ,B(2,2) . 从而圆 C2 的直角坐标方程为(x﹣1) +(y﹣1) =2,即 x +y =2x+2y. 2 将其化为极坐标方程为:ρ =2ρcosθ+2ρsinθ. (Ⅱ)∵ ,
2 2 2 2

∴|MN|max=|C1C2|+r1+r2= +2+ =2 +2. 点评: 本题考查了参数方程化为直角坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程互化、两圆的 位置关系、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|﹣|x+3|,a∈R. (Ⅰ)当 a=﹣1 时,解不等式 f(x)≤1; (Ⅱ)若当 x∈[0,3]时,f(x)≤4,求 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当 a=﹣1 时,不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1,对 x 的取值范围分类讨论,去掉上 式中的绝对值符号,解相应的不等式,最后取其并集即可; (Ⅱ)依题意知,|x﹣a|≤x+7,由此得 a≥﹣7 且 a≤2x+7,当 x∈[0,3]时,易求 2x+7 的最小值,从而可得 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=﹣1 时,不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1. 当 x≤﹣3 时,不等式化为﹣(x+1)+(x+3)≤1,不等式不成立; 当﹣3<x<﹣1 时,不等式化为﹣(x+1)﹣(x+3)≤1,解得﹣ ≤x<﹣1; 当 x≥﹣1 时,不等式化为(x+1)﹣(x+3)≤1,不等式必成立. 综上,不等式的解集为[﹣ ,+∞) .…(5 分) (Ⅱ)当 x∈[0,3]时,f(x)≤4 即|x﹣a|≤x+7, 由此得 a≥﹣7 且 a≤2x+7. 当 x∈[0,3]时,2x+7 的最小值为 7, 所以 a 的取值范围是[﹣7,7].…(10 分) 点评: 本题考查绝对值不等式的解法, 着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用, 考查运算求解能力,属于中档题.


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