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湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 1.1.2余弦定理导学案(含解析)新人教版必修5


第一章 第 1.1.2 节 :余弦定理
A.学习目标 继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、 掌握余弦定理的两种表现形式, 体会 向量方法推导余弦定理的思想;通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、 边”问题;深化与细化方程思想,理解余弦定理的本质。通过相关教学知识的联系性,理解 事物间的普遍联系性。 B.学习重点、难点 重点:余弦定理的发现过程及定

理的应用; 难点:用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思 路。 C.学法指导 探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、 掌握余弦定理的两种表现形式。 通过实践 演算运 用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题。 D.知识链接 本课之前,学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容,对于三角形 中的边角关系有了进一步的认识, 在此基础上利用向量方法探求余弦定理, 学生已有一定的 学习基础和学习兴趣。 E.自主学习 [提出问题] 在△ABC 中,若 AB=2,AC=3,A=60°. 问题 1:这个三角形确定吗? 提示:确定. 问题 2:你能利用正弦定理求出 BC 吗? 提示:不能 问题 3:能否利用平面向量求边 BC?如何求得? 提示:能. ∵ BC = BA + AC

??? ?

??? ?

??? ?

2 2 2 ∴ BC = BA + AC +2 BA · AC

???? ?

????

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??? ?

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= BA + AC -2 BA AC cos A =4+9-2×2×3cos 60° =7 ∴ BC = 7 问题 4:利用问题 3 的推导方法,能否推导出用 b,c,A 表示 a?

????

2

???? ?

2

???? ???? ?

???? ?

提示:能. [导入新知] 余弦定理 余弦 定理

a2=b2+c2-2bccos_A,
公式表达

b2=a2+c2-2accos_B, c2=a2+b2-2abcos_C

语言叙述

三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 cos A=

余弦 定理 推论

b2+c2-a2 , 2bc a2+c2-b2 , 2ac a2+b2-c2 2ab

cos B=

cos C=

[化解疑难] 对余弦定理的理解 (1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构特征:“平方”、“夹角”、“余弦”. (3)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式, 它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系. (4)主要功能:余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化. F.合作探究 已知三角形的三边解三角形 [例 1] 在△ABC 中,若 a∶b∶c=1∶ 3∶2,求 A,B,C. [解] 由于 a∶b∶c=1∶ 3∶2, 可设 a=x,b= 3x,c=2x. 由余弦定理的推论,得 cos A=

b2+c2-a2 3x2+4x2-x2 3 = = ,故 A=30°. 2bc 2× 3x×2x 2

1 同理可求得 cos B= ,cos C=0,所以 B=60°,C=90°. 2 [类题通法] 已知三角形的三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理或由求得

的第一个角,利用正弦定理求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. (2)利用余弦定理求三个角的余弦,进而求三个 角. [活学活用] 1.边长为 5,7,8 的三角形中,最大角与最小角的和是________. 解析:设中间角为 θ ,由于 8>7>5,故 θ 的对边的长为 7,由余弦定理,得 cos θ 5 +8 -7 1 = = .所以 θ =60°,故另外两角和为 1 80°-60°=120°. 2×5×8 2 答案:120° 已知三角形的两边及其夹角解三角形 [例 2] 在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,c=4( 3+1),解此三角形. [解] 由余弦定理得: b = a + c - 2accos B = 8 + [4( 3 + 1)] -2×8×4( 3 +
2 2 2 2 2 2 2 2

1)·cos 60° 1 =64+16(4+2 3)-64( 3+1)× =96, 2 ∴b=4 6. 法一:由 cos A=

b2+c2-a2 96+16? 3+1?2-64 2 = = , 2bc 2 2×4 6×4? 3+1?

∵0°<A<180°,∴A=45°. 故 C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.

a b 8 4 6 法二:由正弦定理 = ,∴ = , sin A sin B sin A sin 60°
∴sin A= 2 ,∵b>a,c>a, 2

∴a 最小,即 A 为锐角. 因此 A=45°. 故 C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°. [类题通法] 已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法 先利用余弦定理求出第三边, 其余角的求解有两种思路: 一是利用余弦定理的推论求出 其余角;二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解. 若用正弦定理求解,需对角的取值进行取舍,而用余弦定理就不存在这些问题(在(0, π )上,余弦值所对角的值是唯一的),故用余弦定理求解较好. [活学活用] 2.在△ABC,已知 a=2 2,b=2 3,C=15°,解此三角形. 解:c =a +b -2abcos C=(2 2) +(2 3) -2×2 2×2 3×cos(45°-30°)
2 2 2 2 2

=8-4 3 =( 6- 2)
2

∴c= 6- 2. 法一:由余弦定理的推论得 cos A= =

b2+c2-a2 2bc
2 2 2

?2 3? +? 6- 2? -?2 2? 2×2 3×? 6- 2?



2 . 2

∵0°<A<180°, ∴A=45°, 从而 B=120°. 法二:由正弦定理得

sin A=

asin C = c

2 2×

6- 2 4

6- 2



2 . 2

∵a<b, ∴A<B, 又 0°<A<180°, ∴A 必为锐角, ∴A=45°,从而得 B=120°. 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形 [例 3] 在△ABC 中,已知 b=3,c=3 3,B=30°,求角 A、角 C 和边 a. [解] 法一:由余弦定理 b =a +c -2accos B, 得 3 =a +(3 3) -2a×3 3×cos 30°, ∴a -9a+18=0,得 a=3 或 6. 当 a=3 时,A=30°, ∴C=120°. 当 a=6 时,由正弦定理得 2 asin B sin A= = =1. b 3 ∴A=90°, ∴C=60°. 1 3 3 法二:由 b<c,B=30°,b>csin 30°=3 3× = 知本题有两解. 2 2 1 6×
2 2 2 2 2 2 2

1 3 3× 2 csin B 3 由正弦定理得 sin C= = = , b 3 2 ∴C=60°或 120°, 当 C=60°时,A=90°,△ABC 为直角三角形. 由勾股定理得 a= b +c = 3 +?3 3? =6, 当 C=120°时,A=30°,△ABC 为等腰三角形, ∴a=3. [类题通法] 已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法 可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍),再利用正弦定 理求其他 的两个角; 也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍), 再利用三角形内角和定理求出 第三个 角,最后再利用正弦定理求出第三边. [活学活用] 3 3.已知:在△ABC 中,cos A= ,a=4,b=3,则 c=________. 5 解析:A 为 b,c 的夹角,由余弦定理得 a =b +c -2bccos A, 3 2 ∴16=9+c -6× c, 5 整理得 5c -18c-35=0. 7 解得 c=5 或 c=- (舍). 5 答案:5 判断三角形的形状 [例 4] 在△ABC 中,若 acos A+bcos B=ccos C,试判断△ABC 的形状.
2 2 2 2 2 2 2 2

b2+c2-a2 a2+c2-b2 [解] 由余弦定理可得 a· +b· 2bc 2ac
=c·

a2+b2-c2 2ab

等式两边同乘以 2abc 得

a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-c2),
整理化简得 a +b -2a b =c , ∴(a -b ) =c . 因此有 a -b =c 或 b -a =c . 即 a =b +c 或 b =a +c 故△ABC 为直角三角形.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 4

[类题通法] 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考, 可用正、 余弦定理将已知条件转 化为边边关系,通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系,从而判断三角形的形状,也 可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换,得出三角形各内 角之间的关系,从而判断三角形形状. [活学活用] 4.在△ABC 中,若 cos A= sin B ,试判断其形状. sin C
2 2 2

sin B b b +c -a b 解:由 cos A= 得 cos A= ,即 = , sin C c 2bc c ∴b +c -a =2b ,即 a +b =c , 因此△ABC 是以 C 为直角的直角三角形.
2 2 2 2 2 2 2

1.利用正、余弦定理求解平面图形中线段长 [典例]如图所示,在四边形 ABCD 中,AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA =60°,∠BCD=135°,求出 BC 的长. [解题流程]

[规范解答] 设 BD=x.在△ABD 中,根据余弦定理,AB =AD +BD -2AD·BDcos∠BDA,∴14 =10 +x -2×10×xcos 60°, 即 x -10x-96=0, 解得 x1=16,x2=-6(舍去),∴BD=16. ∵AD⊥CD,∠BDA=60°,∴∠CDB=30°. 在△BCD 中,由正弦定理, = , sin∠CDB sin∠BCD
2 2 2 2 2 2 2

BC

BD

16sin 30° ∴BC= =8 2. sin 135° [名师批注]

将四边形 ABCD 分解为两个△ABD 和△BCD,利用余弦定理列出关于 x 的一元二次方程, 化简方程时易出错,应注意步骤及计算的准确性。由 AD⊥CD,∠BDA=60°得∠CDB=30°, 学生有时不易想到. [活学活用] 如图所示,在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,求

AB. AC2+DC2-AD2 72+32-52 11 解:在△ADC 中,cos C= = = . 2·AC·DC 2×7×3 14
5 3 AC AB 又∵0°<C<180°,∴sin C= .在△ABC 中, = , 14 sin B sin C sin C 5 3 5 6 ∴AB= ·AC= · 2·7= . sin B 14 2

G.课堂小结 由学生整理学习了哪些内容?有什么收获? H.达标检测 一、选择题 1. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 A= A.1 C. 3-1
2 2 2

π , a= 3, b=1, 则 c=( 3

)

B.2 D. 3
2

解析:选 B 由余弦定理 a =b +c -2bccos A,得 c -c-2=0,解得 c=2 或 c =- 1(舍去). 13 2.在△ABC 中,若 a=8,b=7,cos C= ,则最大角的余弦值是( 14 1 A.- 5 1 C.- 7 1 B.- 6 1 D.- 8 )

13 2 2 2 2 2 解析:选 C 由余弦定理,得 c =a +b -2abcos C=8 +7 -2×8×7× =9, 14

所以 c=3,故 a 最大,所以最大角的余弦值为 cos A=
2

b2+c2-a2 72+32-82 1 = =- . 2bc 2×7×3 7
)

3.在△ABC 中,B=60°,b =ac,则此三角形一定是( A.直角三角形 C.等腰直角三角形
2 2

B.等边三角形 D.钝角三角形
2

解析:选 B 由余弦定理,得 b =a +c -ac, 又∵b =ac, ∴a +c -2ac=0,即(a-c) =0, ∴a=c. ∵B=60°, ∴A=C=60°. 故△ABC 是等边三角形. 4.(2013·宁阳高二检测)在△ABC 中,bcos A=acos B,则△ABC 是( A.等边三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形 D.锐角三角形 )
2 2 2 2

解析:选 B 因为 bcos A=acos B, 所以 b·
2

b2+c2-a2 a2+c2-b2 =a· . 2bc 2ac
2 2 2 2 2

所以 b +c -a =a +c -b . 所以 a =b . 所以 a=b.故此三角形是等腰三角形. 5.在△ABC 中,B=60°,最大边与 最小边之比为( 3+1)∶2,则最大角为( A.45° C.75° B.60° D.90° )
2 2

解析:选 C 由题意可知 c<b<a,或 a<b<c, 不妨设 c=2x,则 a=( 3+1)x, ∴cos B=

a2+c2-b2 . 2ac
2 2 2 2

1 ? 3+1? x +4x -b 即 = 2 2·? 3+1?x·2x ∴b =6x . ∴cos C= =
2 2

a2+b2-c2 2ab
2 2 2 2

? 3+1? x +6x -4x 2? 3+1?x· 6x



2 , 2

∴C=45°, ∴A=180°-60°-45°=75°. 二、填空题 6.(2012·湖北高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若(a+b-c)(a +b+c)=ab,则角 C=________ 解析:∵(a+b) -c =ab,
2 2

a2+b2-c2 1 2π ∴cos C= =- ,C= . 2ab 2 3
2π 答案: 3 sin B 7.在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则 的值为________. sin C 解析:由余弦定理可得 49=AC +25-2×5×AC×cos 120 °,整理得:
2

AC2+5·AC-24=0,
解得 AC=3 或 AC=-8(舍去), sin B AC 3 再由正弦定理可得 = = . sin C AB 5 3 答案: 5 8.在△ABC 中,若 sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则 C 的大小是________. 解析:因为 sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,由正弦定理可得 a∶b∶c=3∶5∶7,设

a2+b2-c2 1 a=3k(k>0),则 b=5k,c=7k,由余弦定理的推论得 cos C= =- ,又 0°<C 2ab 2
<180°,所以 C=120°. 答案:120° 三、解答题 9.在△ABC 中,若已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,并且 sin C=2sin Bcos A,试判断 △ABC 的形状. 解:由正弦定理,可得 sin B= ,sin C= . 2R 2R 由余弦定理,得 cos A=

b

c

b2+c2-a2 . 2bc b2+c2-a2 . 2bc

代入 sin C=2sin Bcos A,得 c=2b· 整理得 a=b. 又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 所以 a +b -c =ab,
2 2 2

即 cos C= π 故 C= . 3 又 a=b,

a2+b2-c2 1 = . 2ab 2

所以△ABC 为等边三角形. 10.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2b·cos A=c·cos A+a·cos

C
(1)求角 A 的大小; (2)若 a= 7,b+c=4,求 bc 的值. 解:(1)根 据正弦定理 2b·cos A=c·cos A+a·cos C? 2cos Asin B=sin Acos C+cos Asin C =sin (A+C)=sin B, ∵sin B≠0, 1 ∴cos A= , 2 ∵0°<A<180°, ∴A=60°. (2)由余弦定理得: 7=a =b +c -2bc·cos 60° =b +c -bc=(b+c) -3bc, 把 b+c=4 代入得 bc=3,故 bc=3.
2 2 2 2 2 2


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