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2014届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件:2.9指数函数与对数函数(第2课时)


第二章

函数

第 9 讲
指数函数与对数函数 (第二课时)
1

题型四:对数函数综合问题 ? 1. 设a、b∈R,且a≠2,定义在区间(-b, b)内的函数 是奇函数. 1 ? ax f ( x) ? lg ? (1)求b的取值范围; 1 ? 2 x ? (2)讨论函数f(x)的单调性.

/>?

2

1 ? ax在区间 ? (1)函数 f ( x) ? lg 1 ? 2x (-b,b)内是奇函数等价于对任意x∈(-b,

b)都有 f(-x)=-f(x)
1 ? ax ? 0, ? 因为f(-x)=-f(x), 1 ? 2x
?

即 1 ? ax ? 由此可得 ? ?lg 1 ? ax , lg 1 ? 2x 1 ? 2x 2x2=4x2. ? 即a 1 ? ax 1 ? 2 x
1 ? 2x ? 1 ? ax



3

上式对任意x∈(-b,b)都成立相当于a2=4, ? 因为a≠2,所以a=-2. ? 将其代入 1 ? ax 中, ?0 ?得 1 ? 2x 1 ? 2x >0, ? 即 1 ? 2x 1 1 ? 上式对任意x∈(-b,b)都成立 ? <x< . 2 2 ? 相当于 ? 所以b的取值范围是 1 1
?

? ? ?b<b ? , 2 2

1 (0, ] . 2
4

(2)设任意的x1,x2∈(-b,b),且x1<x2, ?由 1 b ? (0,], ?得 1 2 1 ? ? ?b<x1<x2<b ? , ? 所以0<1-2x2<1-2x1,0<1+2x1<1+2x2, 2 2 ? 从而
?

1 ? 2 x2 1 ? 2 x1 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? lg ? lg 1 ? 2 x2 1 ? 2 x1

lg (1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ) ? <lg1 ? 0, ? 因此f(x)在(-b,b)内是减函数,具有单调性. (1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 )

5

?

点评:对数函数问题是重点知识,它综合 了对数的运算、函数的有关性质等知识, 所以在解题过程中计算量较大且易出错, 而函数的性质的讨论和证明又涉及到代数 推理方面的问题,故又是难点知识.

6

函数 是奇函数 (其中0<a<1), 则 ? (1)m= ; ? (2)若m≠1,则f(x)的值域为 .
?

1 ? mx f ( x) ? log a 1? x

7

(1)因为f(x)是奇函数, 1 ? mx 1 ? mx ? 所以f(-x)=-f(x)在其定义域内恒成立. log a ? ?log a , x ?1 1? x ?即 ? 所以1-m2x2=1-x2恒成立? ? 2=1? ? m ? ? m=±1.
?

答案:m=±1
8

1? x 1? x y y ? log a ?a ? ? (2)由(1)知,m=-1, 1? x 1? x

ay ?1 ? x ? y ? (?1, ? a y>0 1) a ?1

y∈R, 1 ? x y ? log a ? 所以 1 ? 的值域为R. x
?

?

答案:R
9

题型五:指数函数综合问题 a 1 x ? 2. f设a>0且a≠1,为常数,函数 ( x) ? (a ? ).
?

a ?2
2

a

x

(1)试确定函数f(x)的奇偶性; ? (2)若f(x)是增函数,求a的取值范围.
?

10

? ?

(1)f(x)的定义域为R.

a 因为 ?x x f (? x) ? 2 ( a ? a ) ? ? f ( x) , a ?2 ? 所以f(x)为奇函数. ? (2)设x1>x2,则
a 1 1 f ( x1 ) ? f ( x2) ? 2 ( ax1 ? ax2 ? x2 ? x1 ) a ?2 a a a 1 x1 x2 ? 2 (a ? a )( 1 ? x1 x2 ). a ?2 a · a
11

因为f(x)为增函数,则f(x1)-f(x2)>0. a ?则 (a x ? a x )>0, a2 ? 2, ? 又x1>x2 ? 所以 a>1 ? 或 0 <a<1 a a >0 <0, 2 或0<a<1. 2 ? 解得 a ?2 a ?2 ? 故a的取值范围是 a> 2
?
1 2

(0, ? ( 2, ?). 1) ?
12

?

点评:讨论函数的奇偶性,一定要按定义 域优先的原则,然后在定义域范围内,再 判断f(x)与f(-x)是相等还是相反.底数是含参 式子的指数函数的单调性问题,要注意运 用分类讨论思想,根据底数的不同情况时 的单调性质得到相应的不等式(组),最后 综合各种情况得出所求问题的答案.

13

设函数 (a∈R)是R上的奇函数. ? (1)求a的值; ? (2)求f(x)的反函数; 1? x 1? x log 2 ? log 2 . ? (3)若k∈R,解不等式 1? x k
?

a·x ? 1 2 f ( x) ? 1 ? 2x

14

(1)因为f(x)是R上的奇函数, x x a· ? 1 2 ? 1 2 ? 所以f(0)=0,得a=1. ? y? , x 1? 2 1 ? 2x ? (2)因为 ? 所以y+y·=2x-1, 2x ? 所以2x(y-1)=-1-y, 1? y x 2 ? . ? 所以 1? y 1? x ?1 (?1 ? x ? 1). ? 即 f ( x) ? log 2
?

1? x

15

1? x 1? x log 2 ? log 2 1? x k

(3) ? ? ? -1<x<1 ? log2(1+x)-log2(1-x)>log2(1+x)-log2k ??? -1<x<1 ? log2(1-x)<log2k? ? -1<x<1 ? ? 0<1-x<k,
?
16

(ⅰ)当-1<1-k<1,即0<k<2时, ? 不等式的解集为{x|1-k<x<1}; ? (ⅱ)当1-k≤-1,即k≥2时, ? 不等式的解集为{x|-1<x<1}.
?

17

题型六:复合型指数函数、对数函数问题 ? 3. 已知函数f(x)=loga(a-ax) (a>1且为常数). ? (1)求f(x)的定义域和值域; ? (2)判断f(x)的单调性; ? (3)证明: ? 函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
?

18

?
(1)由a-ax>0? ax<a, ? 因为a>1,所以x<1. ? 所以f(x)的定义域是(-∞,1). ? 因为x<1,a>1, x<a?? x<a, ? 所以0<a a-a ? 所以loga(a-ax)<logaa=1. ? 所以f(x)的值域为(-∞,1).
?
19

a <x <a, (2)设x1<a2<1, ? 则 a ? a x1>a ? a x2 ?
?
x1 x2

? ?

? log a (a ? a )>log a (a ? a ),
x1 x2

即f(x1)>f(x2), ? 所以f(x)是减函数.
?

20

(3)证明:由y=loga(a-ax)? ? a-ax=ay? ax=a-ay, ? ? ? 所以x=loga(a-ay), ? 所以f-1(x)=loga(a-ax) (x<1). ? 于是f-1(x)=f(x), ? 故函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
?

21

?

点评:复合函数的单调性既可利用定义直 接判断,也可转化为简单函数来处理其单 调性.若函数的图象关于直线y=x对称,则 此函数的反函数的解析式与原函数的解析 式相同.

22

已知f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0). ? (1)求f(x)的定义域; ? (2)判断f(x)在其定义域内的单调性; ? (3)若f(x)在(1,+∞)内恒为正, ? 试比较a-b与1的大小.
?

23

(1)由ax-bx>0, ? 所以 a x 又 a ( ) >1, >1, b b ? 所以x>0.所以定义域为(0,+∞). ? (2)设x2>x1>0,a>1>b>0, ? 所以 x2 x1 x1 x2 x2 x ? 所以 a >a ,b >b , b > ? b 1, ?
?

a ? b >a ? b >0,
x2 x2 x1 x1

24

所以 ? 所以f(x2)-f(x1)>0. ? 所以f(x)在(0,+∞)是增函数. ? (3)当x∈(1,+∞)时, ? f(x)>f(1), ? 要使f(x)>0,须f(1)≥0, ? 所以a-b≥1.
?

a x2 ? b x2 >1. x1 x1 a ?b

25

?

1. 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数 y=logax (a>0,且a≠1)互为反函数,要能从 概念、图象和性质三个方面理解它们之间 的联系与区别.

26

2. 要把对一般函数的研究方法用到指数函 数和对数函数的研究上来,如定义域、值 域、单调性,特别要注意借助于指数函数 或对数函数构造的复合函数的性质特点. ? 3. 对于含参数的指数、对数问题,在应用 单调性时,要注意对底数进行讨论,解决 对数问题时,首先要考虑其定义域.
?

27


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