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2015届高三数学知识点汇总 专题 圆锥曲线部分


2015 高三数学知识点汇总 圆锥 曲线部分
一、椭圆: (1) 椭圆的定义: 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数 (大于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹。 第二定义:平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 e(0 ? e ? 1) 的 点的轨迹。 其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距;定直线叫做准线。 常数叫做离心率。

注意: 2a ?| F1 F2 | 表示椭圆; 2a ?| F1 F2 | 表示线段 F1 F2 ; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹; (2)椭圆的标准方程、图象及 几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴 上 标准方程 中心在原点,焦点在 y 轴上

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

参数方程

? x ? a cos? (? 为参数) ? ? y ? b sin ?

? x ? b cos? (? 为参数) ? ? y ? a sin ?
B2 y F2 O F1 B1 A2 x

P 图 形 A1 F1

y

B2 O F2 B1 A2

x

P A1





A1 ( ? a,0), A2 ( a,0) B1 (0,?b), B2 (0, b)

A1 ( ?b,0), A2 (b,0) B1 (0,? a ), B2 (0, a )

对称轴 焦 焦 点 距

x 轴, y 轴;短轴为 2b ,长轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0) F1 (0,?c), F2 (0, c)
c2 ? a2 ? b2

| F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

离心率

c (0 ? e ? 1) (离心率越大,椭圆越扁) a



线

a2 x?? c

a2 y?? c

1





2b 2 ? 2ep ( p 为焦准距) a
| PF1 |? a ? ex 0 | PF2 |? a ? ex 0 | PF1 |? a ? ey 0 | PF2 |? a ? ey 0

焦半径

焦点弦

| AB |? 2a ? e( x A ? x B )
仅与它的中点的横坐标有关

| AB |? 2a ? e( y A ? y B )
仅与它的中点的纵坐标有关

焦准距 二、双曲线:

a2 b2 p? ?c ? c c

(1)双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的 差的绝对值等于常数(小于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹。 第二定义: 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 e(e ? 1) 的点的 轨迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距;定直线叫做准线。 常数叫做离心率。 注意:| PF 表示双曲线的一支。 1 | ? | PF2 |? 2a 与 | PF2 | ? | PF 1 |? 2a( 2a ?| F 1 F2 | )

2a ?| F1 F2 | 表示两条射线; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;
(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方程 中心 在原点,焦点在 y 轴上

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
P y F2

P 图 形 F1 A1

y x O A2 F2

B2 O B1 F1 x





A1 (?a,0), A2 (a,0)

B1 (0,?a), B2 (0, a)

对称轴 焦 焦 点 距

x 轴, y 轴;虚轴为 2b ,实轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0) F1 (0,?c), F2 (0, c)
c2 ? a2 ? b2

| F1F2 |? 2c(c ? 0)

2

离心率

e?

c (e ? 1) (离心率越大,开口越大) a



线

x??
y??

a2 c
b x a

y??
y??

a2 c
a x b

渐近线





2b 2 ? 2ep ( p 为焦准距) a
P 在左支

焦半径

| PF1 |? ? a ? ex 0 | PF 2 |? a ? ex 0 | PF1 |? a ? ex 0 | PF2 |? ?a ? ex 0

P 在 下支 P 在上支

| PF1 |? ? a ? ey 0 | PF 2 |? a ? ey 0

P 在右支

| PF1 |? a ? ey 0 | PF2 |? ?a ? ey 0

焦准距 (3)双曲线的渐近线: ①求双曲线 解得到。 ②与双曲线

p ?c?

a2 b2 ? c c

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 0 ,因式分 的渐近线,可令其右边的 1 为 0 ,即得 a2 b2 a2 b2

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ??; 共渐近线的双曲线系方程是 a2 b2 a2 b2

(4)等轴双曲线为 x 2 ? y 2 ? t 2 ,其离心率为 2 三、抛物线: (1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质: p ? 0 焦点在 x 轴上, 开口向右 标准方 程 焦点在 x 轴上, 开口向左 焦点在 y 轴上, 开口向上 焦点在 y 轴上, 开口向下

y 2 ? 2 px
l
y P x O F

y 2 ? ?2 px
P F y

x 2 ? 2 py
l
x y P F O x

x 2 ? ?2 py
l
P y O F

图 形

x

O

l

顶 点

O(0,0)

3

对称轴 焦 点 离心率 准 线 通 径 焦半径 焦点弦 焦准距

x轴
p F ( ,0 ) 2 x?? p 2

y轴

F (?

p ,0) 2
e ?1

p F (0, ) 2 y?? p 2

p F (0,? ) 2
y? p 2

x?

p 2

2p
| PF |?| x0 | ? p 2 | PF |?| y 0 | ? p 2

x1 ? x 2 ? p ?

? 2p (当 ? ? 时,为 2 p ——通径) 2 2 sin ? p

如: AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 的弦, M 是 AB 的

中点,l 是抛物线的准线,

MN ? l , N 为垂足, BD ? l , AH ? l , D , H 为垂足,求证:
(1) HF ? DF ; (2) AN ? BN ; (3) FN ? AB ;

l
H Q O D

y

A M x F B E

(4)设 MN 交抛物线于 Q ,则 Q 平分 MN ;

1 2 (5)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 y1 y2 ? ? p , x1 x 2 ? p ; 4
2

N

(6)

1 1 2 ? ? ; | FA | | FB | p

(7) A, O, D 三点在一条直线上

| EF |? (8) 过 M 作 ME ? AB ,ME 交 x 轴于 E , 求证:
四、圆锥曲线的统一定义:

1 | AB | , | ME |2 ?| FA | ? | FB | ; 2

若平面内一个动点 M 到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离之比等于一个常数 e(e ? 0) , 则动点的轨迹为圆锥曲线。其中定点 F 为焦点,定直线 l 为准线, e 为离心率。 当 0 ? e ? 1 时,轨迹为椭圆;当 e ? 1 时,轨迹为抛物线;当 e ? 1 时,轨迹为双曲线。 五、轨迹方程的求法: (1)直接法:如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何条件简 单明了且易于表达,我们只需把这种关系“翻译”成含 x , y 的 等式就得到曲线 的轨迹方程。 如:已知 ?ABC 底边 BC 的长为 8,两底角之和为 135 ,求顶点且的轨迹方程。
o

(2) 定义法: 其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义, 则根据定义直接求出动点的轨迹方程。

AP 的垂直平分线交 OP 如: 已知圆 x ? y ? 16 , 定点 A(2,0) , 若 P 是圆上的动点,
2 2

于 R ,求 R 的轨迹方程。 (3)几何法:若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线,角平分线的性质等) ,

4

可以用几何法,列出几何式,再代人点的坐标较简单。 如: AB 是 O 的直径,且 | AB |? 2a ,M 为圆上一动点,作 MN ? AB ,垂足为 N , 在 OM 上取点 P ,使 | OP |?| MN | ,求点 P 的轨迹。 (4)相关点法(代人法) :有些问题 中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着 另一动点(称之为相关点)而运动的;如果相关点所满足的条件是明显的,或 是可分析的,这时可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程 即可求得动点的轨迹方程。

x2 y2 如 : 在 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 两 条 渐 近 线 上 分 别 取 点 A 和 B , 使 a b
,求 AB 中点的 | OA | ? | OB |? c 2 (其中 O 为坐标原点, C 为双曲线的半焦距) 轨迹。 (5)交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题常常通 过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数得出所求轨迹的方程。常与 参数法并用。 如:己知两点 P(?2,2) , Q(0,2) 以及一直线 l : y ? x ,设长为 2 的线段 AB 在直线

l 上运动,求直线 PA 和 QB 的交点 M 的轨迹方程。
(6)整体法(设而不求法) :当探求的轨迹较复杂时,可扩大考察视角,将问题中的条件、 结论的各种关系看成一个整体,从整体出发运用整体思想,注重整体结构的挖 掘和分析。
2 2 如: 以 P(2,2) 为圆心的圆与椭圆 x ? 2 y ? m 交于 A, B 两点, 求 AB 中点 M 的轨迹

方程。 (7) 参数法: 有时求动点应满足的几何条件不易得出, 也无明显的相关点, 但却较易发现 (或 经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截 距或时间等) 的制约, 即动点坐标 ( x, y ) 中的 x , y 分别随另一变量的变化而变化, 称这个变量为参数,建立轨迹的参数方程,这种方法叫参数法, 如果需要得到轨迹的普通方程,只要消去参数即可; 在选择参数时,选 用的参变量要以具有某种物理或几何的性质,如时间、速度、距离、 角度,有向线段的数量、直线的斜率,点的横、纵坐标等,也可以没有具体的意义, 选定参变量还要特别注意它的取值范围的对动点坐标取值范围的影响。 注意:所有的求轨迹的问题都要根据题意,求其中 x , y 的取值范围。 六、直线与圆锥曲线的位置关系: (1)会利用方程组解的状况确定直线与圆锥曲线的位置关系;解此类问题一般从直线与圆锥 曲线联立的方程组的解的个数来入手。 (要注意考虑二次项系数为零,思考此时几何意 义) ,也通过图形进行讨论。 (要注意的是:与对称轴、渐近线平行的情况)
2 2 如:试确定实数 A 的不同取值,讨论直线 y ? k ( x ? 1) 与双曲线 x ? 4 y ? 4 的公共点

5

的个数。 (2)会求直线被圆锥曲线所截的弦长,弦的中点坐标:解决此类问题时,由于直线和圆锥曲 线相交,故其方程组的 ? ? 0 (尤其含有待定的系数是否则会增解) ;涉及到中点坐标, 要注意韦达定理的应用,而韦达定理的前提条件是 ? ? 0 。 如: 设抛物线经过两点 (?1,6) 和 (?1,?2) , 对称轴与 x 轴平行, 开口向右, 直线 y ? 2 x ? 7 被抛物 线截得的线段长是 4 10 ,求抛物线方程。 (3)当直线与圆锥曲线相交时,求在某些给定条件下地直线线方程;解此类问题,一般是根 据条件求解,但要注意 ? ? 0 条件的应用。 如:已知抛物线方程为 y 2 ? 2 x 在 y 轴上截距为 2 的直线 l 与抛物线交于 M , N 两点, 且以 M , N 为径的圆过原点 ,求直线 l 的方程。 (4)圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题,解此类题的方法:圆锥曲线上的两点所在直 线与已知直线垂直,则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上,得到关系式而求解。 如:抛物线 y ? ax2 ? 1(a ? 0) 上有关于 x ? y ? 0 对称的相异两点,求 a 的取值范围。

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