kl800.com省心范文网

【解析版】天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题


天津一中 2012—2013 学年高三数学三月考试卷(理科)
一、选择题:

2?i ? 2?i 3 4 A. ? i 5 5
1.复数 【答案】A 【 解析】

B.

3 4 ? i 5 5

C. 1 ?

4 i 5

D. 1 ?<

br />
3 i 5

2 ? i (2 ? i)(2 ? i) 3 ? 4i 3 4 ? ? ? ? i ,选 A. 2 ? i (2 ? i)(2 ? i) 5 5 5

2.“ m ? ?1 ”是“直线 mx ? (2m ?1) y ?1 ? 0 和直线 3x ? my ? 3 ? 0 垂直”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A 【 解析】若 m ? 0 ,两直线方程为 y ? 1 和 x ? ?1 ,此时两直线垂直。若 m ? B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 ,两直线方程为 x ? ?2 和 2 1 1 m 1 3x ? y ? 3 ? 0 , 此 时 两 直 线 相 交 。 当 m ? 0 且 m ? 时 , 两 直 线 方 程 为 y ? x? 和 2 2 1 ? 2m 1 ? 2m 3 3 m 3 m 3 y ?? x? , ? (? ) ? ?1 , 两直线的斜率为 和? 。 若两直线垂直, 则有 解得 m ? ?1 , m m 1 ? 2m m 1 ? 2m m

所以直线 mx ? (2m ? 1) y ? 1 ? 0 和直线 3x ? my ? 3 ? 0 垂直时的条件为 m ? ?1 或 m ? 0 。所以 m ? ?1 是 直线 mx ? (2m ? 1) y ? 1 ? 0 和直线 3x ? my ? 3 ? 0 垂直的充分不必要条件,选 A.

3.执行右图所示的程序框图,则输出的 S 的值是 A. ? 1 【答案】D B.

2 3

C.

3 2

D.4

【 解析】第一次循环, S ?

2 2 2 ? ?1, i ? 2 ; 第 二 次 循 环 , S ? ? ,i ? 3 ; 第 三次 循环, 2?4 2 ? (?1) 3

3 2 ? , i ? 4 ;第四次循环, S ? ? 4, i ? 5 ;所以该循环是周期为 4 的周期循环,所以当 i ? 9 2 2 3 2? 2? 3 2 时,和第四次循环的结果相同,所以 S ? 4 .选 D. S?
4.函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? log2 x 的零点所在的一个区间是 A. ? , ? 【答案】C 【 解析】因为 f (1) ? 2 ?1 ? log2 1 ? 1 ? 0 , f ( ) ? 2 ?

2

?1 1? ?8 4?

B. ?

?1 1? ?1 ? , ? C. ? ,1? ?4 2? ?2 ?

D. (1,2)

0 2

1 1 ? 1 ? log 2 ? ?1 ? 0 ,所以根据根的存在性定 2 2
1 2

理可知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? log2 x 的零点所在的区间为 ( ,1) ,选 C.

1? ? 5. ? x ? ? 展开式中的常数项是 x? ?
A. ?36 B. 36 【答案】C 【 解析】展开式的通项公式为 Tk ?1 ? C9 ( x )
k 9?k 9 ?3 k 9 ? 3k 1 ? 0 得 k ? 3 。所以常 (? )k ? (?1)k C9k x 2 ,令 2 x

9

C. ?84 D. 84

3 数项为 T4 ? (?1)3 C9 ? ?84 ,选 C

3 1 , b ? log8 3, c ? ,则 a, b, c 的大小关系是 2 4 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. a ? c ? b D. b ? c ? a
6. a ? log 9 【答案】D 【 解析】因为
1 1 1 ? log9 9 ? log 9 9 4 ? log 4 4 4 9

9 ? log

9

3 , 所 以 log9 3 ? log9

3 ,所以 c ?a 。 2

log 8 3 ?

1 1 1 1 1 1 1 log 8 3 , ? ? log8 8 ? log8 8 ,因为 3 ? 8 ,所以 log8 3 ? log8 8 ,即 b ? c 。 2 4 2 2 2 2 2

所以 a, b, c 的大小关系是 b ? c ? a ,选 D. 7.△ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , a sin A sin B ? b cos A ?
2

2a ,



b ? a
B. 2 2 C. 3 D. 2

A. 2 3

【答案】D 【 解析】由正弦定理得

a b 2 ? ,即 a sin B ? b sin A 。所以由 a sin A sin B ? b cos A ? 2a 得 sin A sin B b b sin 2 A ? b cos2 A ? 2a ,即 b ? 2a ,所以 ? 2 ,选 D. a
?

?AOC ? 30 , 8. 在平面内, 已知 OA ? 1, OB ? 3 , 设 OC ? mOA ? nOB , ( m, n ? R ) , OA ? OB ? 0 ,


m 等于 n
B. ? 3 C. ?

A. ? 3 【答案】B

1 3

D. ?

3 3

【 解析】因为 ?AOC ? 30 ,所以 ? OA, OC ?? 30 。因为 OC ? mOA ? nOB , OA ? OB ? 0 ,所以
?

OC ? (mOA ? nOB)2 ? m2 OA ? n2 OB ? m2 ? 3n2

2

2





OC ? m2 ? 3n2
C c



OA OC ? OA (mOA ? nOB) ? mOA ? m
m2 ? 3n2 ? 3 ?

2





O

A ? O

oO ? s A 3,O0 即C

m2 3 m ? m ,平方得 m2 ? 9n 2 ,即 2 ? 9 ,所以 ? ?3 ,选 B. n n 2

二、填空题: 9.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中 抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 【答案】15 名学生。

3 3 3 ? ,所以应从高二年级抽取 50 ? ? 15 人。 3 ? 3 ? 4 10 10 10.如图,已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , AC 是圆 O 的直径, PC 与圆 O 交于点 B , PA ? 4 ,圆 O
【 解析】高二所占的人数比为 的半径是 2 3 ,那么 PB ? __________ 。

【答案】2 【 解 析 】 由 题 意 知 PC 2 ? PA2 ? AC 2 ? 42 ? (4 3)2 ? 64 , 所 以 PC ? 8 , 根 据 切 线 长 定 理 可 得

PA2 ? PB PC ,即 PB ?

PA2 42 ? ? 2。 PC 8


11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

【答案】 3?

【 解析】 是一个

由三视图我们可知原几何体是一个圆柱体的一部分,并且有正视图知

1 的圆柱体,底面圆的半径为 1,圆柱体的高为 6,则知所求几何体体积为原体积的一半为 3? 。 2

12.已知抛物线的参数方程为 ?

? x ? 8t 2 ? y ? 8t

( t 为参数) ,焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l ,

A 为垂足,如果直线 AF 的斜率为 ? 3 ,那么 PF ?
【答案】8



【 解析】 消去参数得抛物线的方程为 y 2 ? 8x 。 焦点 F (2, 0) , 准线方程为 x ? ?2 。 由题意可设 A(?2, m) , 则 k AF ?

m?0 m ? ? ? ? 3 ,所以 m ? 4 3 。因为 PA ? l ,所以 yP ? 4 3 ,代入抛物线 y 2 ? 8x ,得 ?2 ? 2 4

xP ? 6 .,所以 PF ? PA ? 6 ? (?2) ? 8 .
13 .设集 合 A ? x x ? a ? 1, x ? R , B ? x 1 ? x ? 5, x ? R ,若 A ? B ? ? , 则实 数 a 取值 范围 是 。

?

?

?

?

【答案】 a ? 0 或 a ? 6 【 解析】 A ? x x ? a ? 1, x ? R ? { x a ? 1 ? x ? a ? 1} ,因为 A ? B ? ? ,所以 a ? 1 ? 5 或 a ? 1 ? 1 , 解得 a ? 0 或 a ? 6 。

?

?

? 1 1 ? 1? ?? 3 x ? 6 , x ? ?0, 2 ? ? ? ? 14 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? 3 ? 2 x , x ? ? 1 ,1? ? ? ? ?2 ? ? x ?1

, 函 数 g ( x ) ? a s i n ( x ?)

π 6

a 2 ?

2a ,? ( ,0 )存 在 若

x1 , x2 ??0,1? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是
【答案】 [ , ]



1 4 2 3

1 1 1 1 1 1 2 x3 【 解 析 】 当 0 ? x ? 时 , 0 ? ? x ? ? , 即 0 ? f (x )? 。 当 ? x ? 1 时 , f ( x) ? , 2 3 6 6 6 2 x ?1

f '( x) ?

1 2 x3 4 x3 ? 6 x 2 4 x3 ? 6 x 2 ? x ? 1 f ( x ) ? , 所 以 当 , , 函 数 单调递增,此时 f '( x ) ? ? 0 2 x ?1 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2

1 ? ? ? 1 ? f ( x ) ? 1。 综 上 函 数 0 ? f ( x) ? 1 。 当 0 ? x2 ? 1 时 , 0 ? x2 ? , 0 ? sin x2 ? , 所 以 6 6 6 6 2 ? 1 0 ? a sin x2 ? a , 6 2 π 1 3 2 ? 2a ? a sin( x) ? 2a ? 2 ? a ? 2a ? 2 , 即 2 ? 2a ? g ( x a。 若 存 在 x1 , x2 ??0,1? , 使 得 2 ) ? 2? 6 2 2

? 3 ?2 ? a ? 0 ,解得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则有 g ( x2 ) 的最大值大于等于 0, g ( x2 ) 的最小值小于等于 1,即 ? 2 ? ? 2 ? 2a ? 1

? a? ? ? ? ?a ? ? ?

4 1 4 1 4 3 ,即 ? a ? ,所以实数 a 的取值范围 [ , ] 。 2 3 2 3 1 2

三、解答题: 15.已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 sin x ? sin( x ?
2

?
2

) , x?R

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期;

(2)若 x ? ??

? ? ?? , ,求函数 f ( x) 的值域 ? 12 2 ? ?

16.有甲,乙两个盒子,甲盒中装有 2 个小球,乙盒中装有 3 个小球,每次随机选取一个盒子并从中取出 一个小球 (1)当甲盒中的球被取完时,求乙盒中恰剩下 1 个球的概率; (2)当第一次取完一个盒子中的球时,另一个盒子恰剩下 ? 个球,求 ? 的分布列及期望 E? 。 17. 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形,AB ∥ CD ,

P



ABC=90 , AB = PB = PC = BC = 2CD ,平面 PBC ⊥平面
ABCD .
(1)求证: AB ⊥平面 PBC ;
C B D A

(2)求平面 PAD 和平面 BCP 所成二面角(小于 90° )的大小; (3)在棱 PB 上是否存在点 M 使得 CM ∥平面 PAD ?若存在,求

PM 的值;若不存在,请说明理由. PB

4 x ,右焦点 F (5,0) ,双曲线的 3 9 实轴为 A1 A2 , P 为双曲线上一点(不同于 A1 , A2 ) ,直线 A1 P , A2 P 分别与直线 l : x ? 交于 M , N 两点 5
18.已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,一条渐近线方程为 y ? (1)求双曲线的方程; (2) FM ? FN 是否为定值,若为定值,求出该值;若不为定值,说明理由。 19.已知 a1 ? 2 ,点 (an , an ?1 ) 在函数 f ( x) ? x2 ? 2x 的图象上,其中 n ? 1, 2,3 (1)证明数列 ?lg(1 ? an )? 是等比数列; (2)设 Tn ? (1 ? a1 ) ? (1 ? a2 ) ? (3)记 bn ?

? (1 ? an ) ,求 Tn 及数列 ?an ? 的通项;

1 1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 。 ? an an ? 2

20.已知函数 f ( x) ?

ln x ? 1. x

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)设 m ? 0 ,求函数 f ( x ) 在 [m, 2m] 上的最大值; (3)证明:对 ?n ? N ,不等式 ln(
*

2?n e 2?n ) ? 恒成立。 n n

参考答案 一、选择题: 1-4 AADC 5-8 CDDB 二、填空题: 9. 15 10. 2 11. 3? 12. 8 13. a ? 0或 ? 6 14. ? , ? ?2 3? 三、解答题:

?1 4?

15. (1) f ( x) ? sin( 2 x ? (2) ?

?
6

)?

1 ,T ? ? 2

?1 ? 3 3 ? , ? 2? ? 2
2

16.解: (1) P ? C3 ( ) ?
2

1 2

1 1 3 ? ? 2 2 16

(2) ? ? 1, 2,3

1 3 1 1 4 P(? ? 1) ? C32 ( ) 4 ? C3 ( ) ? 2 2 8 1 3 1 3 1 P(? ? 2) ? ( ) ? C2 ( )3 ? 2 2 8 1 2 1 15 P(? ? 3) ? ( ) ? E? ? 2 4 8 17. (Ⅰ)证明:因为 ? ABC 90 , 所以 AB ? BC . ???????????????1 分 因为 平面 PBC ^ 平面 ABCD ,平面 PBC 平面 ABCD = BC , AB ? 平面 ABCD , 所以 AB ^ 平面 PBC . ???????????????3 分 (Ⅱ)解:取 BC 的中点 O ,连接 PO . 因为 PB = PC , 所以 PO ? BC . 因为 平面 PBC ^ 平面 ABCD ,平面 PBC 平面 ABCD = BC , PO ? 平面 PBC , 所以 PO ^ 平面 ABCD . ???????????????4 分 如图,以 O 为原点, OB 所在的直线为 x 轴,在平面 ABCD 内过 O 垂直于 BC 的直
线为 y 轴, OP 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz .不妨设 BC = 2 .由 直角梯形 ABCD 中 AB = PB = PC = BC = 2CD 可得 P(0,0, 3) , D(- 1,1, 0) ,

A(1, 2, 0) . 所 以

DP = (1, - 1, 3)


P

z

DA = (2,1,0) .

设平面 PAD 的法向量 m = ( x, y, z ) .

? m ?DP 因为 ? í ? ? ? m ?DA

ì

0, 0.
B x

C O

D y A

ì ? ( x, y, z ) ?(1, 1, 3) = 0, 所以 ? í ? ? ? ( x, y, z ) ?(2,1, 0) 0,
即? í

ì ? x - y + 3 z = 0, ? ? ? 2 x + y = 0.

令 x = 1 ,则 y = - 2, z = 所以 m = (1, - 2, -

3.
???????????????7 分

3) .

取平面 BCP 的一个法向量 n ? ? 0,1,0 ? . 所以 cos m, n ?

m?n 2 . ?? m n 2
? . 4

所以 平面 ADP 和平面 BCP 所成的二面角(小于 90° )的大小为

???????????????9 分 (Ⅲ)解:在棱 PB 上存在点 M 使得 CM ∥平面 PAD ,此时

PM 1 = . 理由如下: PB 2

???????????????10 分 取 AB 的中点 N ,连接 CM , CN , MN . 1 则 MN ∥ PA , AN = AB . 2 因为 AB = 2CD , 所以 AN = CD . 因为 AB ∥ CD , 所以 四边形 ANCD 是平行四边形. 所以 CN ∥ AD . 因为 MN

P

M

C

D A

B

N

CN = N , PA

AD = A ,
???????????????13 分 ???????????????14 分

所以 平面 MNC ∥平面 PAD . 因为 CM ? 平面 MNC , 所以 CM ∥平面 PAD . 18. (1)

x2 y 2 ? ?1 9 16
9 5

(2) A1 (?3, 0), A2 (3, 0), F (5, 0)设P( x, y ), M ( , y0 )

? A1 P ? ( x ? 3, y ), A1M (

24 , y0 ) 5 24 24 y y ? 0 ? y0 ? 5 5 x ? 15

因为 A1 , P, M 三点共线? ( x ? 3) y0 ?

9 24 y 9 6y ?M ( , ) ,同理 N ( , ? ) 5 5 x ? 15 5 5 x ? 15 16 24 y 16 6y ? FM ? (? , ), FN ? (? , ? ) 5 5 x ? 15 5 5 x ? 15

FM ? FN ?

256 144 y 2 ? ? 25 25 x 2 ? 9

y2 16 ? 2 x ?9 9

? FM ? FN ? 0

19. (Ⅰ)由已知 an?1 ? an ? 2an , ? an?1 ? 1 ? (an ? 1)
2

2

a1 ? 2 ? an ? 1 ? 1,两边取对数得

lg(1 ? an?1 ) ? 2lg(1 ? an ) ,即

lg(1 ? an?1 ) ?2 lg(1 ? an )

?{lg(1 ? an )} 是公比为 2 的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 lg(1 ? an ) ? 2n?1 ? lg(1 ? a1 ) ? 2n?1 ? lg3 ? lg32
0 1 2 n-1

n?1

?1 ? an ? 32 (*)
2

n?1

?Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )…(1+an ) ? 32 ? 32 ? 32 ?…? 32 ? 31?2?2
由(*)式得 an ? 32 (Ⅲ)
n?1

?…+2n-1

=3

2n -1

?1
? 1 1 1 1 ? ( ? ) an?1 2 an an ? 2 ? 1 1 2 ? ? an ? 2 an an ?1

2 an?1 ? an ? 2an ?an?1 ? an (an ? 2)

又 bn ?

1 1 1 1 ? ? bn ? 2( ? ) an an ? 2 an an ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? …+ ? ) ? 2( ? ) a1 a2 a2 a3 an an ?1 a1 an ?1
n

? Sn ? b1 ? b2 ? …+bn ? 2(
n?1

an ? 32 ? 1, a1 ? 2, an?1 ? 32 ? 1 ? Sn ? 1 ?
20. (本小题满分 14 分)

2 32 ? 1
n

.


最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编5:数列

n n ·6· 30 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题...【答案】A 【解析】因为 a7 =a6 ? 2a5 ,所以 a5q2 =a5q ? 2a5 ,即 ...

最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编5:数列

n n ·6· 30. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题)...【答案】A 【解析】因为 a7 =a6 ? 2a5 ,所以 a5q2 =a5q ? 2a5 ,即 ...

最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编5:数列

n n ·6· 30. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题)...【答案】A 【解析】因为 a7 =a6 ? 2a5 ,所以 a5q2 =a5q ? 2a5 ,即 ...

最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编8:解析几何

10. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题) 已知抛物线的...【答案】A 【解析】直线 l1 的方程为 y ? ? 两直线平行,则有 a x ? 4...

天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考语文试题

天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考语文试题天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考语文试题隐藏>> 天津一中 2012-2013-1 高三年级三月考语文试卷本试卷...

最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编10:概率、统计

5 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题)某学校高一、...4. 5. 【答案】 【答案】15 72 由题意可知 n ? ( 2 2n )? ? 16 ,...

最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编3:三角函数

(天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题) △ABC 的三个内角...2. B 【答案】B 【解析】边 7 对角为 ? ,则由余弦定理可知 与最小角的...

最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编3:三角函数

未指定书签。(天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题)△ABC 的三 . 个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , a sin A sin B ...

最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编3:三角函数

以上都不对 19. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题)△ABC 的三个内角 A, B, C 所 对的边分别为 a, b, c , a sin A sin B...

天津市 | 天津市地图 | 天津市公安局 | 天津市蓟县告状侯家营 | 天津市男性专科医院 | 天津市招聘会51tjhr | 天津市住房保障网 | 天津市人民医院 |