kl800.com省心范文网

高中数学排列组合经典题型全面总结版


高中数学排列与组合 (一)典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 C3
1

然后排首位共有 C4

1 3 A4
1 1 3

>最后排其它位置共有

C4

1

A4

3

C3

1

由分步计数原理得 C4C3 A4

? 288

练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有
甲 乙 丙 丁
5 2 2 A5 A2 A2 ? 480 种不同的排法

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素 一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题:某人射击 8 枪,命中 4 枪,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略 例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 种 第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有 A5 5 种, 种
4 5 4 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 A 5 A 6 A6

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 练习题:某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两 个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例 4. 7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 ,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是:
3 A7 7 / A3 4 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 A7 4

(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有

1 种坐法,则共有 A 7 种

方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次插入共有 定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插空模型处理

方法

练习题:10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?

5 C10

五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原 理共有 7 种不同的排法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地 n 不 同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 m 种 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中, 那么不同插 法的种数为 42 1
n
6

2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 7 六.环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法? 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人 (8-1) !种排法即 7 !
C D E F G H B A A B C D E F G H A

8

A4 4 并从此位置把圆形展成直线其余

7 人共有

一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有 练习题:6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120

1 m An n

七.多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有
5 2 1 5 A1 4 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 A 5 种,则共有 A 4 A 4 A 5 种

A2 4 种,再排后 4 个位置上的特殊元素丙有

前 排

后 排

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究. 练习题:有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐,并且这 2 人不左右相 邻,那么不同排法的种数是 346 八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C5 种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有 方法,根据分步计数原理装球的方法共有 C5
2 4 A4

2

A4 4种

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 练习题:一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种 九.小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,5在两个奇数之间,这样的五位数有多少个? 解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有
2 2 A2 2 A 2 A 2 种排法
2 2 A2 2 种排法,再排小集团内部共有 A 2 A 2 种排法,由分步计数原理共有

.

1524

3
品种的必须连在一起, 并且水

练习题: 1.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一 彩画不在两端,那么共有陈列方式的种数为

A A A

2 2

5 5

4 4 5 5 A2 2 A5 A5 种

2. 5 男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有

十.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 解:因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额 分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有 C9 种分法。
6

2

一 班

二 班

三 班

四 班

五 班

六 班

七 班

将 n 个相同的元素分成 m 份(n,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板,插入 n 个元素排成一排的 n-1 个 空隙中,所有分法数为 Cn?1 练习题: 1. 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法? 2 .x?
m?1

C94
3 C103

y ? z ? w ? 100 求这个方程组的自然数解的组数

十一.正难则反总体淘汰策略 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数,使其和为不小于 10 的偶数,不同的 取法有多少种? 解:这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有 C5 ,只含有 1 个偶数的取法有 C5C5 ,和为偶数的取法共有 C5C5 种,符合条件的取法共有 C5C5
1 2 3 ? C5 ?9

3

1

2

1

2

3 。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 ? C5

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰. 练习题:我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种? 十二.平均分组问题除法策略 例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法? 解: 分三步取书得 C6 C4 C2 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF,若第一步取 AB,第二步取 CD,第三 步取 EF 该分法记为 (AB,CD,EF), 则 C6 C4 C2 中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共有
2 2 2 2 2 2

A3 3 种取法

,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有 C6 C4 C2

2

2

2

/ A3 3 种分法。
An n ( n 为均分的组数)避免重复计数。
4 4

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 练习题: 1

将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法?( C13C8 C4

5

/ A2 2)
2 2 2 2 A2 ? 90 )

2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 (1540) 3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名,则不同的安排方案种数 为______ ( C4 C2 A 6 /

十三. 合理分类与分步策略 例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法 解:10 演员中有 5 人只会唱歌,2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的 5 人中没有人选上唱 歌人员共有 C3 C3 种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员 C5C3C4 种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有
2 2 1 1 2 2 2 C52C52 种,由分类计数原理共有 C3 C3 ? C5 C3C4 ? C5 C5 种。
2 2

1

1

2

解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做到标准明确。分步层次 清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。 练习题: 1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座 谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有 34 2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘 一只船, 这 3 人共有多少乘船方法. (27) 本题还有如下分类标准: *以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 3

十四.构造模型策略 例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种? 解:把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有 C5 种 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决 练习题:某排共有 10 个座位,若 4 人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有多少种?(120) 十五.实际操作穷举策略 例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法 解:从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C5 种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应,利用实际操作法,如果剩下 3,4,5 号球, 3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时, 则 4,5 号球有只有 1 种装法, 同理 3 号球装 5 号盒时,4,5 号球有也只有 1 种装法,由分步计数原 理有 2C5 种
2 2 3

5
3 号盒

3
4 号盒

4
5 号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果 练习题: 1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种? 2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着色方法有 72 种
1 3 2 5 4

(9)

十六. 分解与合成策略 例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除 分析: 先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=2×3×5 × 7 ×11×13, 依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5 个因 数中任取若干个组成乘积,所有的偶因数为: C5 练习:正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线 解:我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共 C8 成 3 ? 58 ? 174 对异面直线 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后 的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略 十七.化归策略 例 17. 25 人排成 5×5 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种? 解: 将这个问题退化成 9 人排成 3×3 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有 1 人从其 中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去.从 3×3 方队中选 3 人的方法有 C3C2C1 种。再从 5×5 方阵选 出 3×3 方阵便可解决问题.从 5×5 方队中选取 3 行 3 列有 C5 C5 选法所以从 5×5 方阵选不在同一行也不在同一列的 3 人有
3 3 1 1 1 C5 C5 C3C2C1 选法。
3 3 1 1 1

1

2 3 4 5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 4

?12 ? 58 ,每个四面体有 3 对异面直线,正方体中的 8 个顶点可连

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题, 通过解决这个简要的问题的解 决找到解题方法,从而进下一步解决原来的问题 练习题:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路,从 A 走到 B 的最短路径有多少种?( C7
3

? 35 )
B

A

十八.数字排序问题查字典策略 例 18.由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数? 4

解: N

5 4 3 2 1 ? 2 A5 ? 2 A4 ? A3 ? A2 ? A1 ? 297

数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。 练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第 71 个数是 3140 十九.树图策略 例 19 . 3 人相互传球 , 由甲开始发球 , 并作为第一次传球 , 经过 5 次传求后 , 球仍回到甲的手中 , 则不同的传球方式有 ______

N ? 10

对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用 公式进行运算,树图会收到意想不到的结果 练习: 分别编有 1,2,3,4,5 号码的人与椅,其中 i 号人不坐 i 号椅( i

? 1,2,3,4,5 )的不同坐法有多少种? N ? 44

二十.复杂分类问题表格策略 例 20.有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种 不同的取法 解:

红 黄 兰

1 1 3

1 2 2

1 3 1

2 1 2

2 2 1

3 1 1

取法

1 1 C5 C4

1 2 C5 C4

1 3 C5 C4

1 C52 C3

C52 C32

3 1 C5 C2

一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须 满足的条件,能达到好的效果. 二十一:住店法策略 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复 的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解. 例 21.七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数有 . 分析: 因同一学生可以同时夺得 n 项冠军, 故学生可重复排列, 将七名学生看作 7 家“店”, 五项冠军看作 5 名“客”, 每个“客” 有 7 种住宿法,由乘法原理得 7 种. 排列组合易错题正误解析 1 没有理解两个基本原理出错 排列组合问题基于两个基本计数原理,即加法原理和乘法原理,故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提. 例 1 从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 误解:因为可以取 2 台原装与 3 台组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机,所以只有 2 种取法. 错因分析:误解的原因在于没有意识到“选取 2 台原装与 3 台组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机”是完成任务的两 “类”办法,每类办法中都还有不同的取法. 正解:由分析,完成第一类办法还可以分成两步:第一步在原装计算机中任意选取 2 台,有 C6 种方法;第二步是在组装计 算机任意选取 3 台,有 C 5 种方法,据乘法原理共有 C 6 ? C5 种方法.同理,完成第二类办法中有 C6 ? C5 种方法.据加法原理完成
2 3 3 2 全部的选取过程共有 C 6 ? C5 ? C6 ? C5 ? 350 种方法.
3
2
5

种.

2

3

3

2

例2

在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共有( (A)
3 A4

)种.

(B) 4

3

(C) 3

4

3 (D) C 4
4

误解:把四个冠军,排在甲、乙、丙三个位置上,选 A. 正解:四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取,每项冠军都有 3 种选取方法,由乘法原理共有 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 种. 说明:本题还有同学这样误解,甲乙丙夺冠均有四种情况,由乘法原理得 4 .这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得 后,其他人就不再有 4 种夺冠可能. 2 判断不出是排列还是组合出错 在判断一个问题是排列还是组合问题时,主要看元素的组成有没有顺序性,有顺序的是排列,无顺序的是组合. 例 3 有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球,排成一排,共有多少种不同的排列方法? 误解:因为是 8 个小球的全排列,所以共有 A8 种方法. 错因分析:误解中没有考虑 3 个红色小球是完全相同的,5 个白色小球也是完全相同的,同色球之间互换位置是同一种排法. 正解:8 个小球排好后对应着 8 个位置,题中的排法相当于在 8 个位置中选出 3 个位置给红球,剩下的位置给白球,由于这 5
8
3

3 个红球完全相同,所以没有顺序,是组合问题.这样共有: C8 3 重复计算出错

3

? 56 排法.

在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等,这些问题要注意避免重复计数,产生错误。 例4 5 本不同的书全部分给 4 个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( (B)240 种 (C)120 种
4 A5



(A)480 种

(D)96 种

误解:先从 5 本书中取 4 本分给 4 个人,有

4 种方法,剩下的 1 本书可以给任意一个人有 4 种分法,共有 4 ? A5 ? 480种不同

的分法,选 A. 错因分析:设 5 本书为 a 、 b 、 c 、 d 、 e ,四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表 1 和表 2:



a e

b



丙 丁

c



d

e a

b



丙 丁

c

d

表 表 表 1 是甲首先分得 a 、乙分得 b 、丙分得 c 、丁分得 d ,最后一本书 e 给甲的情况;表 2 是甲首先分得 e 、乙分得 b 、丙分得 c 、 1 2 丁分得 d ,最后一本书 a 给甲的情况.这两种情况是完全相同的,而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次.
2 正解:首先把 5 本书转化成 4 本书,然后分给 4 个人.第一步:从 5 本书中任意取出 2 本捆绑成一本书,有 C 5 种方法;第二
4 2 4 步:再把 4 本书分给 4 个学生,有 A4 种方法.由乘法原理,共有 C 5 ? A4 ? 240 种方法,故选 B.

例5 (A)5040

某交通岗共有 3 人,从周一到周日的七天中,每天安排一人值班,每人至少值 2 天,其不同的排法共有( (B)1260 (C)210 (D)630

)种.

2 2 3 误解:第一个人先挑选 2 天,第二个人再挑选 2 天,剩下的 3 天给第三个人,这三个人再进行全排列.共有: C 7 C5 A3 ? 1260,

选 B. 错因分析:这里是均匀分组问题.比如:第一人挑选的是周一、周二,第二人挑选的是周三、周四;也可能是第一个人挑选的是周 三、周四,第二人挑选的是周一、周二,所以在全排列的过程中就重复计算了.正解: 4 遗漏计算出错 在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面,因为遗漏某些情况,而出错。 例6 用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有( (B)48 个 (C)66 个 (D)72 个 ) (A)36 个
2 2 3 C7 C5 A3 ? 630种. 2

0

1, 3

误解:如右图,最后一位只能是 1 或 3 有两种取法,又因为第 1 位不能是 0,在最后一位取定后只有 3 种取
2 2 法,剩下 3 个数排中间两个位置有 A3 种排法,共有 2 ? 3 ? A3 ? 36 个.

错因分析:误解只考虑了四位数的情况,而比 1000 大的奇数还可能是五位数.
3 正解:任一个五位的奇数都符合要求,共有 2 ? 3 ? A3 ? 36 个,再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有 72 个,选 D.

5 忽视题设条件出错 在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号,不然就可能多解或者漏解. 例7 如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有 4 种.(以数字作答) 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有

2 3 1 4

误解:先着色第一区域,有 4 种方法,剩下 3 种颜色涂四个区域,即有一种颜色涂相对的
1 2 两块区域,有 C 3 ? 2 ? A2 ? 12 种,由乘法原理共有: 4 ?12 ? 48种.

5

错因分析:没有看清题设“有 4 种颜色可供选择 ” ,不一定需要 4 种颜色全部使用,用 3 种也可以完成任务. .. 正解:当使用四种颜色时,由前面的误解知有 48 种着色方法;当仅使用三种颜色时:从 4 种颜色中选取 3 种有 C 4 种方法,先着 色第一区域,有 3 种方法,剩下 2 种颜色涂四个区域,只能是一种颜色涂第 2、4 区域,另一种颜色涂第 3、5 区域,有 2 种着色 方法,由乘法原理有 C 4 ? 3 ? 2 ? 24 种.综上共有: 48? 24 ? 72 种. 例 8 已知 ax 个. 错因分析:误解中没有注意到题设中: “求解集不同 的??”所以在上述解法中要去掉同解情况,由于 ? ....
2

3

3

? b ? 0 是关于 x 的一元二次方程,其中 a 、 b ? {1,2,3,4} ,求解集不同的一元二次方程的个数.
2

误解:从集合 {1,2,3,4} 中任意取两个元素作为 a 、 b ,方程有 A4 个,当 a 、 b 取同一个数时方程有 1 个,共有 A4 ? 1 ? 13

2

?a ? 1 ?a ? 2 和? 同解、 ?b ? 2 ?b ? 4
6

?a ? 2 ?a ? 4 和? 同解,故要减去 2 个。 ? ?b ? 1 ?b ? 2
6 未考虑特殊情况出错

正解:由分析,共有 13? 2 ? 11个解集不同的一元二次方程.

在排列组合中要特别注意一些特殊情况,一有疏漏就会出错. 例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张,100元人民币2张,从中至少取一张,共可组成不同的币值 种数是( )
10

(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种 误:因为共有人民币10张,每张人民币都有取和不取2种情况,减去全不取的1种情况,共有 2

? 1 ? 1023种.

错因分析:这里100元面值比较特殊有两张,在误解中被计算成 4 种情况,实际上只有不取、取一张和取二张3种情况. 正解:除 100 元人民币以外每张均有取和不取 2 种情况,100 元人民币的取法有3 种情况,再减去全不取的 1 种情况,所以共有

2 9 ? 3 ? 1 ? 1535种.
7 题意的理解偏差出错 例 10 (A)
3 A6

现有 8 个人排成一排照相,其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有(
5 A5

)种.

?

(B)

8 A8

?

6 A6

?

3 A3

(C)

3 A5

?

3 A3

(D)
5 A5

8 A8

?

4 A6

误解:除了甲、乙、丙三人以外的 5 人先排,有 这样共有
3 5 种排法,选 A. A6 ? A5

3 种排法,5 人排好后产生 6 个空档,插入甲、乙、丙三人有 A6 种方法,

错因分析:误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义,得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻 ”的情况.“甲、 .... 乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻,但允许其中有两人相邻. 正解: 在 8 个人全排列的方法数中减去甲、 乙、 丙全相邻的方法数, 就得到甲、 乙、 丙三人不相邻的方法数, 即 A8 故选 B. 8 解题策略的选择不当出错 例 10 (A)16 种 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择, ). (C)37 种 (D)48 种 (B)18 种 则不同的分配方案有(
8 6 3 , ? A6 ? A3

误解:甲工厂先派一个班去,有 3 种选派方法,剩下的 2 个班均有 4 种选择,这样共有 3? 4 ? 4 ? 48种方案. 错因分析:显然这里有重复计算.如: a 班先派去了甲工厂, b 班选择时也去了甲工厂,这与 b 班先派去了甲工厂, a 班选 择时也去了甲工厂是同一种情况,而在上述解法中当作了不一样的情况,并且这种重复很难排除. 正解:用间接法.先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即: 4? 4? 4 ? 3?3?3 ? 37 种方案.

(二)典型例题讲解

例 1 用 0 到 9 这 10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数? 分析:这一问题的限制条件是:①没有重复数字;②数字“0”不能排在千位数上;③个位数字只能是 0、 2、4、6、8、 ,从限制条件入手,可划分如下: 如果从个位数入手,四位偶数可分为:个位数是“0”的四位偶做,个位数是 2、4、6、8 的四位偶数(这是因为零不能放在千位数上) .由此解法一与二. 如果从千位数入手.四位偶数可分为:千位数是 1、3、5、7、9 和千位数是 2、4、6、8 两类,由此得解法 三. 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类,先求出四位个数的个数,用排除法,得解法四.
3 解法 1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选 3 个来排列,故有 A9 个;

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一个,百位,十位上再 从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有 A4 ? A8 ? A8 (个) .
1 1 2

∴ 没有重复数字的四位偶数有
3 1 1 2 A9 ? A4 ? A8 ? A8 ? 504? 1 7 9 ? 2 2 2 9 个. 6

解法 2:当个位数上排“0”时,同解一有 A9 个;当个位数上排 2、4、6、8 中之一时,千位,百位,十位
1 3 上可从余下 9 个数字中任选 3 个的排列数中减去千位数是“0”排列数得: A4 ? ( A9 ? A82 ) 个

3

∴ 没有重复数字的四位偶数有
3 1 3 A9 ? A4 ? ( A9 ? A82 ) ? 5 0 4 ?1 7 9 ? 2 2 2 9个. 6

7

解法 3:千位数上从 1、3、5、7、9 中任选一个,个位数上从 0、2、4、6、8 中任选一个,百位,十位上 从余下的八个数字中任选两个作排列有
1 1 A5 ? A5 ? A82 个

干位上从 2、4、6、8 中任选一个,个位数上从余下的四个偶数中任意选一个(包括 0 在内) ,百位,十位 从余下的八个数字中任意选两个作排列,有
1 1 A4 ? A4 ? A82 个

∴ 没有重复数字的四位偶数有
1 1 1 1 2 A5 ? A5 ? A82 ? A4 ? A4 ? A8 ? 2 2 9 个. 6

解法 4:将没有重复数字的四位数字划分为两类:四位奇数和四位偶数.
4 3 没有重复数字的四位数有 A10 个. ? A9

1 3 其中四位奇数有 A5 ( A9 ? A82 ) 个

∴ 没有重复数字的四位偶数有
4 3 1 3 3 3 3 A10 ? A9 ? A5 ( A9 ? A82 ) ? 10? A9 ? A9 ? 5 A9 ? 5 A82

3 ? 4 A9 ? 5 A82

? 36A82 ? 5 A82 ? 41A82 ? 2296 个
说明:这是典型的简单具有限制条件的排列问题,上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解 法的实质,掌握其解答方法,以期灵活运用.

典型例题二
例 2 三个女生和五个男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法? 解: (1) (捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样同五个男生合一
6 3 起共有六个元素,然成一排有 A6 种不同排法.对于其中的每一种排法,三个女生之间又都有 A3 对种不同的排

6 3 法,因此共有 A6 ? A3 ? 4320种不同的排法.

(2) (插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空档.这样共 有 4 个空档,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证
5 每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有 A5 种不同排法,对
3 于 其 中 任 意 一 种 排 法 , 从 上 述 六 个 位 置 中 选 出 三 个 来 让 三 个 女 生 插 入 都 有 A6 种方法,因此共有 5 3 A5 ? A6 ? 14400种不同的排法.

2 (3)解法 1: (位置分析法)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选 5 个男生中的 2 个,有 A5 种不同的
6 2 6 排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有 A6 种排法,所以共有 A5 ? A6 ? 14400种不同的排法.

解法 2: (间接法) 3 个女生和 5 个男生排成一排共有 A8 种不同的排法, 从中扣除女生排在首位的 A3 ? A7 种
8 1 7 1 7 排法和女生排在末位的 A3 种排法,但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次, ? A7

在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次,所以还需加一次回来,由于两端都是女生有 A3 ? A6 种不同的排
2 6

法,所以共有 A8 ? 2 A3 A7 ? A3 A6 ? 14400种不同的排法.
8 1 7 2 6 3 解法 3: (元素分析法)从中间 6 个位置中挑选出 3 个来让 3 个女生排入,有 A6 种不同的排法,对于其中

的任意一种排活,其余 5 个位置又都有 A5 种不同的排法,所以共有 A6 ? A5 ? 14400 种不同的排法,
5 3 5

(4)解法 1:因为只要求两端不都排女生,所以如果首位排了男生,则未位就不再受条件限制了,这样可
7 1 1 有 A ? A7 种不同的排法;如果首位排女生,有 A3 种排法,这时末位就只能排男生,有 A5 种排法,首末两端任 1 5

8

6 1 1 6 意 排 定 一 种 情 况 后 , 其 余 6 位 都 有 A6 种 不 同 的 排 法 , 这 样 可 有 A3 种不同排法.因此共有 ? A5 ? A6
1 7 1 1 6 A5 ? A7 ? A3 ? A5 ? A6 ? 36000种不同的排法. 8 2 6 解法 2:3 个女生和 5 个男生排成一排有 A8 种排法,从中扣去两端都是女生排法 A3 种,就能得到两 ? A6

端不都是女生的排法种数.
8 2 6 因此共有 A8 ? A3 ? A6 ? 36000种不同的排法.

说明:解决排列、组合(下面将学到,由于规律相同,顺便提及,以下遇到也同样处理)应用问题最常用 也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法. 若以位置为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置,有两个以上约束条件,往往是考虑一个约束 条件的同时要兼顾其它条件. 若以元素为主,需先满足特殊元素要求再处理其它的元素. 间接法有的也称做排除法或排异法,有时用这种方法解决问题来得简单、明快. 捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法,要认真搞清在什么条件下使用.

典型例题三
例 3 排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单。 (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种? (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种?
5 4 解: (1) 先排歌唱节目有 A5 种, 歌唱节目之间以及两端共有 6 个位子, 从中选 4 个放入舞蹈节目, 共有 A6
5 中方法,所以任两个舞蹈节目不相邻排法有: A5 A64 =43200.
4 (2)先排舞蹈节目有 A4 中方法,在舞蹈节目之间以及两端共有 5 个空位,恰好供 5 个歌唱节目放入。所 4 5 以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有: A4 =2880 种方法。 A5

说明:对于“间隔”排列问题,我们往往先排个数较少的元素,再让其余元素插空排列。否则,若先排个 数较多的元素,再让其余元素插空排时,往往个数较多的元素有相邻情况。如本题(2)中,若先排歌唱节目有
5 4 ,再排舞蹈节目有 A6 ,这样排完之后,其中含有歌唱节目相邻的情况,不符合间隔排列的要求。 A5

典型例题四
例 4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后 一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法.
6 分析与解法 1:6 六门课总的排法是 A6 ,其中不符合要求的可分
5 5 为: 体育排在第一书有 A5 种排法, 如图中Ⅰ; 数学排在最后一节有 A5

种排法,如图中Ⅱ;但这两种排法,都包括体育排在第一书数学排在 最后一节,如图中Ⅲ,这种情况有 A4 种排法,因此符合条件的排法 应是:
6 5 4 . A6 ? 2 A5 ? A4 ? 504(种)
4

分析与解法 2:根据要求,课程表安排可分为 4 种情况: (1)体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节,这种排法有 A4 ? A4 种;
2 4

(2)数学排在第一节但体育不排在最后一节,有排法 A4 ? A4 种;
1 1 4 4

(3)体育排在最后一节但数学不排在第一节,有排法 A4 ? A4 种; (4)数学排在第一节,体育排在最后一节,有排法 A4 这四类排法并列,不重复也不遗漏,故总的排法有:
2 4 1 4 1 4 . A4 ? A4 ? A4 ? A4 ? A4 ? A4 ? 504(种) 4

分析与解法 3:根据要求,课表安排还可分下述 4 种情况: (1)体育,数学既不在最后也不在开头一节,有 A4 ? 12 种排法; (2)数学排在第一节,体育不排在最后一节,有 4 种排法; (3)体育在最后一书,数学木在第一节有 4 种排法;
2

9

(4)数学在第一节,体育在最后一节有 1 种排法.
4 4 上述 21 种排法确定以后,仅剩余下四门课程排法是种 A4 ,故总排法数为 21A4 . ? 504(种) 下面再提出一个问题,请予解答. 问题:有 6 个人排队,甲不在排头,乙不在排尾,问并肩多少种不同的排法. 请读者完成此题. 说明:解答排列、组合问题要注意一题多解的练习,不仅能提高解题能力,而且是检验所解答问题正确与 否的行之有效的方法.

典型例题五
例 5 现有 3 辆公交车、 3 位司机和 3 位售票员,每辆车上需配 1 位司机和 1 位售票员.问车辆、司机、售 票员搭配方案一共有多少种? 分析:可以把 3 辆车看成排了顺序的三个空: ,然后把 3 名司机和 3 名售票员分别填入.因此可认为 事件分两步完成,每一步都是一个排列问题.
3 解:分两步完成.第一步,把 3 名司机安排到 3 辆车中,有 A3 ? 6 种安排方法;第二步把 3 名售票员安排 3 到 3 辆车中,有 A3 ? 6 种安排方法.故搭配方案共有 3 3 A3 ? A3 ? 36 种.

说明:许多复杂的排列问题,不可能一步就能完成.而应分解开来考虑:即经适当地分类成分或分步之后, 应用分类计数原理、分步计数原理原理去解决.在分类或分步时,要尽量把整个事件的安排过程考虑清楚,防 止分类或分步的混乱.

典型例题六
例 6 下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有 4 所重点院校,每所院校有 3 个专业是你较为满意 的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法? 学 校 专 业
1 2 3 1 1 1 2 2 2

分析:填写学校时是有顺序的,因为这涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的问题;同一学校的两个专 业也有顺序,要区分出第一专业和第二专业.因此这是一个排列问题. 解:填表过程可分两步.第一步,确定填报学校及其顺序,则在 4 所学校中选出 3 所并加排列,共有 A4 种 不同的排法;第二步,从每所院校的 3 个专业中选出 2 个专业并确定其顺序,其中又包含三小步,因此总的排
2 2 2 3 2 2 2 列数有 A3 种.综合以上两步,由分步计数原理得不同的填表方法有: A4 ? A3 ? A3 ? A3 ? A3 ? A3 ? 5184种.
3

说明:要完成的事件与元素的排列顺序是否有关,有时题中并未直接点明,需要根据实际情景自己判断, 特别是学习了后面的“组合”之后这一点尤其重要. “选而且排” (元素之间有顺序要求)的是排列, “选而不排” (元素之间无顺序要求)的是组合.另外,较复杂的事件应分解开考虑.

典型例题七
例 5 7 名同学排队照相. (1)若分成两排照,前排 3 人,后排 4 人,有多少种不同的排法? (2)若排成两排照,前排 3 人,后排 4 人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法? (3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法? (4)若排成一排照, 7 人中有 4 名男生, 3 名女生,女生不能相邻,有多少种不面的排法?
3 分析:(1)可分两步完成:第一步,从 7 人中选出 3 人排在前排,有 A7 种排法;第二步,剩下的 4 人排在后
4 3 4 7 排,有 A4 种排法,故一共有 A7 种排法.事实上排两排与排成一排一样,只不过把第 4 ~ 7 个位子看 ? A4 ? A7

成第二排而已,排法总数都是 A7 ,相当于 7 个人的全排列.(2)优先安排甲、乙.(3)用“捆绑法” .(4)用“插空 法” .
10

7

3 4 7 解:(1) A7 ? A4 ? A7 ? 5040种.
1 1 (2)第一步安排甲,有 A3 种排法;第二步安排乙,有 A4 种排法;第三步余下的 5 人排在剩下的 5 个位置上,

5 1 1 5 有 A5 种排法,由分步计数原理得,符合要求的排法共有 A3 ? A4 ? A5 ? 1440种.

5 (3)第一步,将甲、乙、丙视为一个元素,有其余 4 个元素排成一排,即看成 5 个元素的全排列问题,有 A5
3 5 3 种排法;第二步,甲、乙、丙三人内部全排列,有 A3 种排法.由分步计数原理得,共有 A5 ? A3 ? 720种排法.
4 (4)第一步, 4 名男生全排列,有 A4 种排法;第二步,女生插空,即将 3 名女生插入 4 名男生之间的 5 个空

3 4 3 位, 这样可保证女生不相邻, 易知有 A5 种插入方法. 由分步计数原理得, 符合条件的排法共有:A4 ? A5 ? 1440

种. 说明:(1)相邻问题用“捆绑法” ,即把若干个相邻的特殊元素“捆绑”为一个“大元素” ,与其他普通元素 全排列;最后再“松绑” ,将这些特殊元素进行全排列.(2)不相邻问题用“插空法” ,即先安排好没有限制条件 的元素,然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间.

典型例题八
例 8 从 2、 3、 4、 5、 6 五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数,求所有三位数的和. 分析:可以从每个数字出现的次数来分析,例如“ 2 ” ,当它位于个位时,即形如 的数共有 A4 个(从
2 2 3、 4、 5、 6 四个数中选两个填入前面的两个空) ,当这些数相加时,由“ 2 ”所产生的和是 A4 ? 2 .当 2 位于十位 2 2 时,即形如 的数也有 A4 ,那么当这些数相加时,由“ 2 ”产生的和应是 A4 ? 2 ?10.当 2 位于面位时,可 4、 5、 6 的情况. 同理分析.然后再依次分析 3、 2 2 2 解:形如 的数共有 A4 个,当这些数相加时,由“ 2 ”产生的和是 A4 的数也有 A4 个, ? 2 ;形如 2 当这些数相加时,由“ 2 ”产生的和是 A4 ? 2 ?10;形如 2 的数也有 A4 个,当这些数相加时,由“ 2 ”产生

2 2 4、 5、 6 产生的和 的和应是 A4 ? 2 ?100.这样在所有三位数的和中,由“ 2 ”产生的和是 A4 ? 2 ?111.同理由 3、 2 2 2 2 分 别 是 A4 ? 3 ?111 , A4 ? 4 ? 111 , A4 ? 5 ?111 , A4 ? 6 ?111 , 因 此 所 有 三 位 数 的 和 是 2 A4 ?111? (2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6) ? 26640.

说明:类似于这种求“数字之和”的问题都可以用分析数字出现次数的办法来解决.如“由 1, 4, 5, x 四个 数字组成没有重复数字的四位数,若所有这些四位数的各数位上的数字之和为 288 ,求数 x ” .本题的特殊性
4 在于,由于是全排列,每个数字都要选用,故每个数字均出现了 A4 ? 24 次,故有 24? (1 ? 4 ? 5 ? x) ? 288 , 得 x ? 2.

典型例题九
例 9 计算下列各题:
m ?1 n?m An ?1 ? An ? m (1) A ; (2) A ; (3) ; n ?1 An ?1 1 2 3 n ?1 (4) 1!?2 ? 2 !?3 ? 3 !? ? ? n ? n ! (5) ? ? ??? 2 ! 3! 4 ! n!

2 15

6 6

2 解:(1) A 15 ? 15?14 ? 210;

(2) A6 ? 6 !? 6 ? 5 ? 4 ? 3? 2 ?1 ? 720;
6

(n ? 1) ! 1 ? (n ? m) ! ? [n ? 1 ? (m ? 1) !] (n ? 1) ! (n ? 1) ! 1 ? ? (n ? m) ! ? ?1; (n ? m) ! (n ? 1) ! (4)原式 ? (2 ! ? 1) ? (3 ! ? 2 ! ) ? (4 ! ? 3 ! ) ? ? ? [(n ? 1) ! ? n ! ] ? (n ? 1) ! ? 1; n ?1 1 1 (5)∵ , ? ? n! (n ? 1) ! n !
(3)原式 ?
11



1 2 3 n ?1 ? ? ??? 2 ! 3! 4 ! n! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? 1? . 1! 2 ! 2 ! 3 ! 3 ! 4 ! (n ? 1 ) ! n ! n!
n ?1 1 1 ;使问题解得简单、快捷. ? ? n! (n ? 1) ! n !

说明:准确掌握好排列公式是顺利进行计算的关键. 本题计算中灵活地用到下列各式:

n ! ? n(n ? 1) ! ; nn ! ? (n ? 1) ! ? n ! ;

典型例题十
,求 a , b , c , d , e , f 六人排一列纵队,限定 a 要排在 b 的前面( a 与 b 可以相邻,也可以不相邻) 1 6 共有几种排法.对这个题目, A 、 B 、 C 、 D 四位同学各自给出了一种算式: A 的算式是 A6 ; B 的算式是 2 1 1 1 1 1 4 4 C ( A1 ? A2 ? A3 ? A4 ? A5 ) ? A4 ; 的算式是 A6 ; 例 10
2 4 D 的算式是 C6 .上面四个算式是否正确,正确的加以解释,不正确的说明理由. ? A4 解: A 中很显然, “ a 在 b 前的六人纵队”的排队数目与“ b 在 a 前的六人纵队”排队数目相等,而“六人 纵队”的排法数目应是这二者数目之和.这表明: A 的算式正确. B 中把六人排队这件事划分为 a 占位, b 占位,其他四人占位这样三个阶段,然后用乘法求出总数,注意 1 到 a 占位的状况决定了 b 占位的方法数,第一阶段,当 a 占据第一个位置时, b 占位方法数是 A5 ;当 a 占据第
1 1 2 个位置时, b 占位的方法数是 A4 ;??;当 a 占据第 5 个位置时, b 占位的方法数是 A1 ,当 a , b 占位后, 4 再排其他四人,他们有 A4 种排法,可见 B 的算式是正确的.

4 C 中 A6 可理解为从 6 个位置中选 4 个位置让 c , d , e , f 占据, 这时, 剩下的两个位置依前后顺序应是 a , b 的.因此 C 的算式也正确. 2 D 中把 6 个位置先圈定两个位置的方法数 C6 ,这两个位置让 a , b 占据,显然, a , b 占据这两个圈定的位

置的方法只有一种( a 要在 b 的前面) ,这时,再排其余四人,又有 A4 种排法,可见 D 的算式是对的. 说明:下一节组合学完后,可回过头来学习 D 的解法.

4

典型例题十一
例 11 八个人分两排坐, 每排四人, 限定甲必须坐在前排, 乙、 丙必须坐在同一排, 共有多少种安排办法? 解法 1:可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人坐法” 两类情况.应当使用加法原理,在每类情况下,划分“乙丙坐下” 、 “甲坐下” ; “其他五人坐下”三个步骤,又 要用到分步计数原理,这样可有如下算法:
2 1 5 2 1 5 A4 ? A2 ? A5 ? A4 ? A4 ? A5 ? 8 640(种).

解法 2:采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法.把“甲坐在第一排的八人坐法数”看成“总
1 7 方法数” ,这个数目是 A4 .在这种前提下,不合题意的方法是“甲坐第一排,且乙、丙坐两排的八人坐法. ” ? A7
1 1 1 1 5 这个数目是 A4 .其中第一个因数 A4 表示甲坐在第一排的方法数, C2 表示从乙、丙中任选出一 ? C2 ? A3 ? A4 ? A5
1 1

人的办法数, A3 表示把选出的这个人安排在第一排的方法数,下一个 A4 则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐 在第二排的方法数, A5 就是其他五人的坐法数,于是总的方法数为
1 7 1 1 1 1 5 A4 ? A7 ? A4 ? C2 ? A3 ? A4 ? A5 ? 8 640(种).

1

1

5

说明:解法 2 可在学完组合后回过头来学习.

典型例题十二
例 12 计划在某画廊展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画,排成一行陈列,要求同 一品种的画必须连在一起,并且不彩画不放在两端,那么不同陈列方式有( ) . A. A4 ? A5
4 5

B. A3 ? A4 ? A5
3 4

5

C. C3 ? A4 ? A5
1 4

5

D. A2 ? A4 ? A5
2 4

5

12

2 解:将同一品种的画“捆”在一起,注意到水彩画不放在两端,共有 A2 种排列.但 4 幅油画、5 幅国画本

2 4 5 身还有排列顺序要求.所以共有 A2 种陈列方式. ? A4 ? A5

∴应选 D. 说明:关于“若干个元素相邻”的排列问题,一般使用“捆绑”法,也就是将相邻的若干个元素“捆绑” 在一起,看作一个大元素,与其他的元素进行全排列;然后,再“松绑” ,将被“捆绑”的若干元素,内部进行 全排列.本例题就是一个典型的用“捆绑”法来解答的问题.

典型例题十三
例 13 由数字 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数的个数共有( A.210 B.300 C.464 D.600 ) .

5 解法 1: (直接法) :分别用 1 , 2 , 3 , 4 , 5 作十万位的排列数,共有 5 ? A5 种,所以其中个位数字小于十位数

1 5 ? 5 ? A5 ? 300 个. 2 6 5 解法 2: (间接法) :取 0 , 1 ,?, 5 个数字排列有 A6 ,而 0 作为十万位的排列有 A5 ,所以其中个位数字小 1 6 5 于十位数字的这样的六位数有 ( A6 ? A5 ) ? 300 (个). 2
字的这样的六位数有 ∴应选 B. 说明: (1)直接法、 间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法, 何时使用直接法或间接法要视问题而定, 有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦,这时应考虑能否用间接法来解. (2)“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称性,这两类的六位数个数一样多,即 各占全部六位数的一半,同类问题还有 6 个人排队照像时,甲必须站在乙的左侧,共有多少种排法.

典型例题十四
例 14 用 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ) . A.24 个 B.30 个 C.40 个 D.60 个 分析:本题是带有附加条件的排列问题,可以有多种思考方法,可分类,可分步,可利用概率,也可利用 本题所提供的选择项分析判断. 解法 1:分类计算. 将符合条件的偶数分为两类.一类是 2 作个位数,共有 A4 个,另一类是 4 作个位数,也有 A4 个.因此符 合条件的偶数共有 A4 ? A4 ? 24 个. 解法 2:分步计算.
2 2 2 2

先排个位数字,有 A2 种排法,再排十位和百位数字,有 A4 种排法,根据分步计数原理,三位偶数应有
1 2 A2 ? A4 ? 24 个.

1

2

解法 3:按概率算.
3 用 1 ? 5 这 5 个数字可以组成没有重复数字的三位数共有 A5 ? 60 个,其中偶点其中的

2 .因此三位偶数共 5

有 60 ?

2 ? 24 个. 5
3

解法 4:利用选择项判断. 用 1 ? 5 这 5 个数字可以组成没有重复数字的三位数共有 A5 ? 60 个.其中偶数少于奇数,因此偶数的个数 应少于 30 个,四个选择项所提供的答案中,只有 A 符合条件. ∴应选 A .

典型例题十五
例 15 (1)计算 A 1 ? 2 A2 ? 3 A 3 ? ?? 8 A 8 .
1 2 3 8

(2)求 Sn ? 1! ? 2 ! ? 3 ! ? ?? n ! ( n ? 10 )的个位数字. 分析:本题如果直接用排列数公式计算,在运算上比较困难,现在我们可以从和式中项的特点以及排列数
13

n n n n n?1 n 公式的特点两方面考虑.在(1)中,项可抽象为 nA ) An ? (n ? 1) An ? nAn ? An n ? (n ? 1 ?1 ?1 ? An ,(2)中,项为

n ! ? n(n ? 1)(n ? 2)?3 ? 2 ?1 ,当 n ? 5 时,乘积中出现 5 和 2,积的个位数为 0,在加法运算中可不考虑.
n 解:(1)由 nA n ? (n ? 1) ! ? n !

∴原式 ? 2 ! ? 1! ? 3 ! ? 2 ! ? ? ? 9 ! ? 8 ! ? 9 ! ? 1! ? 362879 . (2)当 n ? 5 时, n ! ? n(n ? 1)(n ? 2)?3 ? 2 ?1 的个位数为 0, ∴ Sn ? 1! ? 2 ! ? 3 ! ? ? ? n !( n ? 10 )的个位数字与 1! ? 2 ! ? 3 ! ? 4 ! 的个位数字相同. 而 1! ? 2 ! ? 3 ! ? 4 ! ? 33 ,∴ Sn 的个位数字为 3. 说明:对排列数公式特点的分析是我们解决此类问题的关键,比如:求证:

1 2 3 n 1 ,我们首先可抓等式右边的 ? ? ??? ? 1? 2 ! 3! 4 ! (n ? 1) ! (n ? 1) ! n n ? 1 ?1 n ?1 1 1 1 , ? ? ? ? ? (n ? 1) ! (n ? 1) ! (n ? 1) ! (n ? 1) ! n ! (n ? 1) ! 1 1 1 1 1 1 ∴左边 ? 1 ? ? ? ??? ? ? 1? ? 右边. 2 ! 2 ! 3! n ! (n ? 1) ! (n ? 1) !

典型例题十六
1、 2、 3、 4、 5 共六个数字,组成无重复数字的自然数,(1)可以组成多少个无重复数字的 3 位 例 16 用 0 、
偶数?(2)可以组成多少个无重复数字且被 3 整除的三位数? 分析: 3 位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是 0 ,由于个位用或者不用数字 0 ,对确定首位数字有影 4 进行分类. 响, 所以需要就个位数字用 0 或者用 2 、 一个自然数能被 3 整除的条件是所有数字之和是 3 的倍数, 本题可以先确定用哪三个数字,然后进行排列,但要注意就用与不用数字 0 进行分类. 4 分成两类,个位用 0 ,其它两位从 1 、 2、 3、 4 中任取两数排列,共有 解: (1) 就个位用 0 还是用 2 、
2 A4 ? 12 (个),个位用 2 或 4 ,再确定首位,最后确定十位,共有 2 ? 4 ? 4 ? 32 (个),所有 3 位偶数的总数为: 12 ? 32 ? 44 (个). 1、 2、 3、 4、 5 中取出和为 3 的倍数的三个数,分别有下列取法: (0 1 2) 、 (0 1 5) 、 (0 2 4) 、 (2)从 0 、 (0 4 5) 、 (1 2 3) 、 (1 3 5) 、 (2 3 4) 、 (3 4 5) ,前四组中有 0 ,后四组中没有 0 ,用它们排成三位数, 2 3 如果用前 4 组,共有 4 ? 2 ? A2 ? 16 (个),如果用后四组,共有 4 ? A3 ? 24 (个),所有被 3 整除的三位数的总数 为 16 ? 24 ? 40 (个).

典型例题十七
例 17 一条长椅上有 7 个座位, 4 人坐,要求 3 个空位中,有 2 个空位相邻,另一个空位与 2 个相邻空位 不相邻,共有几种坐法? 2、 3、 4、 5、 6、 7 .先选定两个 分析:对于空位,我们可以当成特殊元素对待,设空座梯形依次编号为 1 、

2 号位,也可以在 2 、 3 号位?共有六种可能,再安排另一空位,此时需看到,如果空位在1、 2 空位,可以在 1、
5、 6、 7 号位,有 4 种可能,相邻空位在 6 、 7 号位,亦如此.如果相邻空位在 2 、 3号 号,则另一空位可以在 4 、 6、 7 号位,只有 3 种可能,相邻空位在 3 、 4 号, 4 、 5 号, 5 、 6 号亦如此,所以必须就 位,另一空位可以在 5 、 两相邻空位的位置进行分类.本题的另一考虑是,对于两相邻空位可以用合并法看成一个元素与另一空位插入 已坐人的 4 个座位之间,用插空法处理它们的不相邻. 解答一:就两相邻空位的位置分类: 2或6、 7 ,共有 2 ? 4 ? A4 ? 192 (种)坐法. 若两相邻空位在 1、
4

192 ? 288 ? 480 (种). 4 2 解答二:先排好 4 个人,然后把两空位与另一空位插入坐好的 4 人之间,共有 A4 ? A5 ? 480(种)不同坐法. 解答三:本题还可采用间接法,逆向考虑在所有坐法中去掉 3 个空位全不相邻或全部相邻的情况, 4 个人 4 任意坐到 7 个座位上,共有 A7 种坐法,三个空位全相邻可以用合并法,直接将三个空位看成一个元素与其它座
位一起排列,共有 A5 种不同方法.三个空位全不相邻仍用插空法,但三个空位不须排列,直接插入 4 个人的 5
14
5

3 , 3、 4 , 4、 5 或 5、 6 ,共有 4 ? 3 ? A4 ? 288(种)不同坐法,所以所有坐法总数为 若两相邻空位在 2 、
4

4 4 5 4 个间隔中,有 A4 ?10 种不同方法,所以,所有满足条件的不同坐法种数为 A7 ? A5 ?10A4 ? 480(种).

排列与组合习题 1.6 个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐 4 人,则不同的乘车方法数为( A.40 [解析] B.50 C.60 D.70 C3 6 =10 种不同的分法,所以乘车方法数为 A2 2 )

先分组再排列,一组 2 人一组 4 人有 C2 6=15 种不同的分法;两组各 3 人共有

25×2=50,故选 B. 2.有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( A.36 种 [解析] C. 3.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有( A.6 个 [解析] B.9 个 C.18 个 D.36 个 ) B.48 种 C.72 种 D.96 种 )

2 恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共 A3 3A4=72 种排法,故选

注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有 C1 3 = 3(种 )选法,即

2 1231,1232,1233,而每种选择有 A2 2×C3=6(种)排法,所以共有 3×6=18(种)情况,即这样的四位数有 18 个.

4.男女学生共有 8 人,从男生中选取 2 人,从女生中选取 1 人,共有 30 种不同的选法,其中女生有( A.2 人或 3 人 [解析] B.3 人或 4 人 C.3 人 D.4 人

)

1 设男生有 n 人,则女生有(8-n)人,由题意可得 C2 nC8-n=30,解得 n=5 或 n=6,代入验证,可知女生为 2 人或 3 人.

5. 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级, 上楼可以一步上一级, 也可以一步上两级, 若规定从二楼到三楼用 8 步走完, 则方法有( A.45 种 [解析] B.36 种 C.28 种 D.25 种

)

因为 10÷ 8 的余数为 2,故可以肯定一步一个台阶的有 6 步,一步两个台阶的有 2 步,那么共有 C2 8=28 种走法.

6.某公司招聘来 8 名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程 人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有( A.24 种 [解析] B.36 种 C.38 种 )

D.108 种

本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有 2 种方法,第二步将 3 名电脑编程人员

1 2 分成两组,一组 1 人另一组 2 人,共有 C1 3种分法,然后再分到两部门去共有 C3A2种方法,第三步只需将其他 3 人分成两组,一

组 1 人另一组 2 人即可,由于是每个部门各 4 人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有 C1 3种方法,由分步乘法计数
2 1 原理共有 2C1 3A2C3=36(种).

7.已知集合 A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的 个数为( A.33 [解析] ) B.34 C.35 D.36

①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含 1 的有 C1 A3 2· 3=12 个;

3 ②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 1 个 1 的有 C1 A3 2· 3+A3=18 个;

③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 2 个 1 的有 C1 3=3 个. 故共有符合条件的点的个数为 12+18+3=33 个,故选 A. 8.由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( A.72 [解析] B.96 C.108 D.144 1 与 3 不相邻有 A3 A3 3· 3=36(个) 15 )

分两类:若 1 与 3 相邻,有

2 2 A2 C1 2· 3A2A3=72(个),若

故共有 72+36=108 个. 9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学 校均只参观一天,那么不同的安排方法有( A.50 种 [解析] B.60 种 C.120 种 ) D.210 种

先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有 6 种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为

2 C1 6,然后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有 A5种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排

方法 C1 A2 6· 5=120 种,故选 C. 10.安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的安排 方法共有________种.(用数字作答) [解析]
5 先安排甲、乙两人在后 5 天值班,有 A2 5=20(种)排法,其余 5 人再进行排列,有 A5=120(种)排法,所以共有 20×120

=2400(种)安排方法. 11.今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分,将这 9 个球排成一列有________种不同的排法.(用数字作答) [解析] 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有 C4 C2 C3 9· 5· 3=1260(种)排法.

12.将 6 位志愿者分成 4 组, 其中两个组各 2 人, 另两个组各 1 人, 分赴世博会的四个不同场馆服务, 不同的分配方案有________ 种(用数字作答). [解析] 先将 6 名志愿者分为 4 组,共有
2 C2 6C4 2 种分法,再将 4 组人员分到 4 个不同场馆去,共 A2

有 A4 4种

分法,故所有分配方案有:

C2 C2 6· 4 · A4 4=1 080 种. A2 2

13.要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有 ________种不同的种法(用数字作答).

[解析]

5 有 4 种种法, 1 有 3 种种法, 4 有 2 种种法. 若 1、 3 同色, 2 有 2 种种法, 若 1、 3 不同色, 2 有 1 种种法, ∴有 4×3×2×(1×2

+1×1)=72 种. 14. 将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封, 则不同的方法共有 (A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种

【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有

种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有

种方法,共有

种,故选 B. 15. 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有 A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种 解析:分两类:甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有 2 ? A2 A4 A4 种方法
2 1 4

甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号,共有 4 A2 ( A4

2

4

1 1 3 ? A3 A3 A3 ) 种方法

故共有 1008 种不同的排法 16. 由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 (A)72 (B)96 (C) 108 (D)144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m 解析:先选一个偶数字排个位,有 3 种选法 w_w_w.k*s 5*u.c o*m ①若 5 在十位或十万位,则 1、3 有三个位置可排,3
2 =24 个 A32 A2 2 2 A2 A2 =12 个

②若 5 排在百位、千位或万位,则 1、3 只有两个位置可排,共 3

算上个位偶数字的排法,共计 3(24+12)=108 个 答案:C 17. 在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 16

A.10

B.11

C.12

D.15

18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每 项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是 A.152 B.126 C.90 D.54 【解析】分类讨论:若有 2 人从事司机工作,则方案有 C3 ? A3 ? 18 ;若有 1 人从事司机工作,则方案有 C3 ? C4 ? A3 ? 108 种,
2 3 1 2 3

所以共有 18+108=126 种,故 B 正确 19. 甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( D ) (D)345 种
1 2

(A)150 种 (B)180 种 (C)300 种
1

解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 C5 ? C3 ? C6 (2) 乙组中选出一名女生有 C5
2

? 225 种选法;

1 1 ? C6 ? C2 ? 120 种选法.故共有 345 种选法.选 D

20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分 法的种数为

A.18
2 3

B.24
3

C .30

D.36
2 3 3

【解析】用间接法解答:四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 C4 ,顺序有 A3 种,而甲乙被分在同一个班的有 A3 种,所 以种数是 C4 A3 ? A3 ? 30 21. 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【解析】解法一、从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A, (A 共有 C3
2 2 ,剩下一名女生记作 B,两名男 A2 ? 6 种不同排法)

生分别记作甲、乙;则男生甲必须在 A、B 之间(若甲在 A、B 两端。则为使 A、B 不相邻,只有把男生乙排在 A、B 之间,此 时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有 6×2=12 种排法(A 左 B 右和 A 右 B 左)最后再在排好的三个元素中选出四个 位置插入乙,所以,共有 12×4=48 种不同排法。 解法二;同解法一,从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A, (A 共有 C3 男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三类情况: 第一类:女生 A、B 在两端,男生甲、乙在中间,共有 6 A2
2 2 =24 种排法; A2 2

2

2 ,剩下一名女生记作 B,两名 A2 ? 6 种不同排法)

第二类: “捆绑”A 和男生乙在两端,则中间女生 B 和男生甲只有一种排法,此时共有 6 A2 =12 种排法 第三类:女生 B 和男生乙在两端,同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。 此时共有 6 A2 =12 种排法 三类之和为 24+12+12=48 种。 22. 从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有入选的不同选法的种数位 [ C] A 85 B 56 C 49 D 28 【解析】解析由条件可分为两类:一类是甲乙两人只去一个的选法有: C2 ? C7
1 2
1 ? 42 ,另一类是甲乙都去的选法有 C2 2 ? C7 =7,

2

所以共有 42+7=49,即选 C 项。 23. 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
3 2 2 2 A3 C 3 A4 A2 ? 332 种,其中男生甲站两端的有

解析: 6 位同学站成一排, 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有

17

1 2 2 2 2 A2 A2 C 3 A3 A2 ? 144,符合条件的排法故共有 188

解析 2:由题意有 2 A2

2

2 2 1 1 2 2 2 2 ? (C3 ? A2 ) ? C2 ? C3 ? A2 ? (C3 ? A2 ) ? A4 ? 188 ,选 B。

24. 12 个篮球队中有 3 个强队,将这 12 个队任意分成 3 个组(每组 4 个队) ,则 3 个强队恰好被分在同一组的概率为( A.



1 1 D. 3 4 4 4 4 C C8 C 4 C3C1 C4C4 解析因为将 12 个组分成 4 个组的分法有 12 3 种,而 3 个强队恰好被分在同一组分法有 3 9 2 8 4 ,故个强队恰好被分 A3 A2 3 3 1 4 4 2 4 4 4 3 在同一组的概率为 C9 C9 C8 C4 A 2 C12 C8 C 4 A 3 = 。 55 25. 甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是

1 55

B.

3 55

C.

(用数字作答) . 【解析】对于 7 个台阶上每一个只站一人,则有 的站法种数是 336 种. 26. 锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆, 则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为( )
3 1 2 种;若有一个台阶有 2 人,另一个是 1 人,则共有 C3 A7 种,因此共有不同 A7

25 48 60 C. D. 91 91 91 4 【解析】因为总的滔法 C15 , 而所求事件的取法分为三类,即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按 1.1.2;1,2,
A. B. 1;2,1,1 三类,故所求概率为
1 1 2 1 1 2 1 1 C6 ? C5 ? C4 ? C6 ? C52 ? C4 ? C6 ? C5 ? C4 48 ? 4 C15 91

8 91

27. 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 【解析】分两步完成:第一步将 4 名大学生按,2,1,1 分成三组,其分法有
2 1 1 C4 ? C2 ? C1 3 ? A3 ? 36 2 A2

种(用数字作答) .
1 1

C ?C ?C A
2 4 1 2 2 2

;第二步将分好的三组分配到 3 个乡镇,

其分法有

3 所以满足条件得分配的方案有 A3

28. 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不 同的放球方法有( ) A.10 种 B.20 种 C.36 种 D.52 种 解析:将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,分 情况讨论:①1 号盒子中放 1 个球,其余 3 个放入 2 号盒子,有 C4 有 C4
2

1

? 4 种方法;②1 号盒子中放 2 个球,其余 2 个放入 2 号盒子,

? 6 种方法;则不同的放球方法有 10 种,选 A.

29. 将 5 名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有 (A)30种 (B)90种 (C)180种 (D)270种 解析:将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则将 5 名教师分成三组,一组 1 人,另两组都
1 2 C5 ? C4 3 是 2 人,有 ? 15 种方法,再将 3 组分到 3 个班,共有 15 ? A3 ? 90 种不同的分配方案,选 B. 2 A2

30. 某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的 选派方案共有 种 解析:某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,可 以分情况讨论,① 甲、丙同去,则乙不去,有 C5 乙、丙都不去,有
2 4 3 4 =240 种选法;②甲、丙同不去,乙去,有 C5 ? A4 =240 种选法;③甲、 ? A4

A54 ? 120 种选法,共有 600 种不同的选派方案.
个(用数字作答) .
3

31. 用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的五位数,则其中数字 1,2 相邻的偶数有

解析:可以分情况讨论:① 若末位数字为 0,则 1,2,为一组,且可以交换位置,3,4,各为 1 个数字,共可以组成 2 ? A3 个五位数;② 若末位数字为 2,则 1 与它相邻,其余 3 个数字排列,且 0 不是首位数字,则有 2 ? A2
2

? 12

? 4 个五位数;③

若末位

18

数字为 4,则 1,2,为一组,且可以交换位置,3,0,各为 1 个数字,且 0 不是首位数字,则有 2 ? (2 ? A2 ) =8 个五位数,所以
2

全部合理的五位数共有 24 个。 32.有一排 8 个发光二极管,每个二极管点亮时可发出红光或绿光,若每次恰有 3 个二极管点亮,但相邻的两个二极管不能同时 点亮,根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息,求这排二极管能表示的信息种数共有多少种? [解析] 因为相邻的两个二极管不能同时点亮,所以需要把 3 个点亮的二极管插放在未点亮的 5 个二极管之间及两端的 6 个空上,

3 共有 C3 6 种亮灯办法.然后分步确定每个二极管发光颜色有 2×2×2 = 8( 种 ) 方法,所以这排二极管能表示的信息种数共有 C6

×2×2×2=160(种). 33.按下列要求把 12 个人分成 3 个小组,各有多少种不同的分法? (1)各组人数分别为 2,4,6 个;(2)平均分成 3 个小组;(3)平均分成 3 个小组,进入 3 个不同车间. [解析]
4 4 C4 12C8C4 4 6 (1)C2 =5 775(种); 12C10C6=13 860(种);(2) A3 3 4 4 C4 12C8C4 4 · A3 C4 C4 3=C12· 8· 4=34 650(种)不同的分法. A3 3

(3)分两步:第一步平均分三组;第二步让三个小组分别进入三个不同车间,故有 34.6 男 4 女站成一排,求满足下列条件的排法共有多少种?

(1)任何 2 名女生都不相邻有多少种排法?(2)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法? (3)男生甲、乙、丙排序一定,有多少种排法?(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法? [解析] (1)任何 2 名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有 A6 A4 6· 7种不同排法.

1 1 (2)方法一:甲不在首位,按甲的排法分类,若甲在末位,则有 A9 9种排法,若甲不在末位,则甲有 A8种排法,乙有 A8种排法,

其余有 A8 8种排法,
1 1 综上共有(A9 A8 9+A8A8· 8)种排法.

方法二:无条件排列总数 甲在首,乙在末A8 ? ? 9 8 A10 10-?甲在首,乙不在末A9-A8 8 ?甲不在首,乙在末A9 ? 9-A8
9 8 甲不在首乙不在末,共有(A10 10-2A9+A8)种排法. 3 (3)10 人的所有排列方法有 A10 10种,其中甲、乙、丙的排序有 A3种,又对应甲、乙、丙只有一种排序,所以甲、乙、丙排序一 8

定的排法有

A10 10 种. A3 3

(4)男甲在男乙的左边的 10 人排列与男甲在男乙的右边的 10 人排列数相等,而 10 人排列数恰好是这二者之和,因此满足条 1 件的有 A10 种排法. 2 10

f ( x) ? (1 ? x) m ? (1 ? x) n 的展开式中 x 的系数为 7, 2 (1) 试求 f ( x ) 中的 x 的系数的最小值 2 3 (2) 对于使 f ( x ) 的 x 的系数为最小的 m, n ,求出此时 x 的系数 ) 的近似值(精确到 0.01) (3) 利用上述结果,求 f (0.003 1 1 解:根据题意得: Cm ? Cn ? 7 ,即 m ? n ? 7 (1)
35. 已知 m, n 是正整数,
2 2 x 2 的系数为 C m ? Cn ?

m(m ? 1) n(n ? 1) m 2 ? n 2 ? m ? n ? ? 2 2 2

7 35 ? 7 ? m 代入上式得: x 2 的系数为 m 2 ? 7 m ? 21 ? (m ? ) 2 ? 2 4 2 x 的系数的最小值为 9 故当 m ? 3或4时, 3 3 x 3 的系数为为 C3 (1) 当 m ? 3, n ? 4或m ? 4, n ? 3时, ? C4 ?5 f (0.003) ? 2.02 (2)
将(1)变形为 n 19

排列与组合习题 1.6 个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐 4 人,则不同的乘车方法数为( A.40 [解析] B.50 C.60 D.70 C3 6 =10 种不同的分法,所以乘车方法数为 A2 2 )

先分组再排列,一组 2 人一组 4 人有 C2 6=15 种不同的分法;两组各 3 人共有

25×2=50,故选 B. 2.有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( A.36 种 B.48 种 C.72 种 D.96 种 )

2 [解]恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共 A3 3A4=72 种排法,故选 C.

3.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有( A.6 个 [解析] B.9 个 C.18 个 D.36 个

)

注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有 C1 3 = 3(种 )选法,即

2 1231,1232,1233,而每种选择有 A2 2×C3=6(种)排法,所以共有 3×6=18(种)情况,即这样的四位数有 18 个.

4.男女学生共有 8 人,从男生中选取 2 人,从女生中选取 1 人,共有 30 种不同的选法,其中女生有( A.2 人或 3 人 [解析] B.3 人或 4 人 C.3 人 D.4 人

)

1 设男生有 n 人,则女生有(8-n)人,由题意可得 C2 nC8-n=30,解得 n=5 或 n=6,代入验证,可知女生为 2 人或 3 人.

5. 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级, 上楼可以一步上一级, 也可以一步上两级, 若规定从二楼到三楼用 8 步走完, 则方法有( A.45 种 [解析] B.36 种 C.28 种 D.25 种

)

因为 10÷ 8 的余数为 2,故可以肯定一步一个台阶的有 6 步,一步两个台阶的有 2 步,那么共有 C2 8=28 种走法.

6.某公司招聘来 8 名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程 人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有( A.24 种 [解析] B.36 种 C.38 种 )

D.108 种

本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有 2 种方法,第二步将 3 名电脑编程人员

1 2 分成两组,一组 1 人另一组 2 人,共有 C1 3种分法,然后再分到两部门去共有 C3A2种方法,第三步只需将其他 3 人分成两组,一

组 1 人另一组 2 人即可,由于是每个部门各 4 人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有 C1 3种方法,由分步乘法计数
2 1 原理共有 2C1 3A2C3=36(种).

7.已知集合 A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的 个数为( A.33 [解析] 有 ) B.34 C.35 D.36 C1 A3 2· 3=12 个;②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 1 个 1 的

①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含 1 的有

3 C1 A3 2· 3+A3=18

个;③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 2 个 1 的有 C1 3=3 个.故共有符合条件的点的个数为 12+18+

3=33 个,故选 A. 8.由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( A.72 [解析] B.96 C.108 D.144 1 与 3 不相邻有 A3 A3 3· 3=36(个),故共有 72+36=108 个. )

分两类:若 1 与 3 相邻,有

2 2 A2 C1 2· 3A2A3=72(个),若

9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学 校均只参观一天,那么不同的安排方法有( A.50 种 [解析] B.60 种 C.120 种 ) D.210 种

先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有 6 种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为 5 天中任选 2 天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有 A2 5种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排

C1 6,然后在剩下的

方法 C1 A2 6· 5=120 种,故选 C. 10.安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的安排 方法共有________种.(用数字作答) 20

[解析]

5 先安排甲、乙两人在后 5 天值班,有 A2 5=20(种)排法,其余 5 人再进行排列,有 A5=120(种)排法,所以共有 20×120

=2400(种)安排方法. 11.今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分,将这 9 个球排成一列有________种不同的排法.(用数字作答) [解析] 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有 C4 C2 C3 9· 5· 3=1260(种)排法.
2 C2 6C4 先将 6 名志愿者分为 4 组,共有 2 种分法,再将 4 组人员分到 4 个不同场馆去, A2

12.将 6 位志愿者分成 4 组, 其中两个组各 2 人, 另两个组各 1 人, 分赴世博会的四个不同场馆服务, 不同的分配方案有________ 种(用数字作答). [解析]

共有 A4 4种分法,故所有分配方案有:

C2 C2 6· 4 · A4 4=1 080 种. A2 2

13.要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有________种不同的 种法(用数字作答).

[解析]

5 有 4 种种法, 1 有 3 种种法, 4 有 2 种种法. 若 1、 3 同色, 2 有 2 种种法, 若 1、 3 不同色, 2 有 1 种种法, ∴有 4×3×2×(1×2

+1×1)=72 种. 14. 将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封, 则不同的方法共有 (A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种

【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有

种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有

种方法,共有

种,故选 B. 15. 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有 A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种 解析: 分两类: 甲乙排 1、 2 号或 6、 7 号 共有 2 ? A2 A4 A4 种方法。 甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号, 共有 4 A2 ( A4
2 1 4

2

4

1 1 3 ? A3 A3 A3 )

种方法,故共有 1008 种不同的排法 16. 由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 (A)72 (B)96 (C) 108 (D)144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m 解析:先选一个偶数字排个位,有 3 种选法 w_w_w.k*s 5*u.c o*m ①若 5 在十位或十万位,则 1、3 有三个位置可排,3 A3 24 个,②若 5 排在百位、千位或万位,则 1、3 只有两个位置可排,共 3
2 2 = A2 2 2 A2 A2 =12 个算上个位偶数字的排法,共计 3(24+12)

=108 个,答案:C 17. 在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.15

18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每 项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是 A.152 B.126 C.90 D.54 【解析】分类讨论:若有 2 人从事司机工作,则方案有 C3 ? A3 ? 18 ;若有 1 人从事司机工作,则方案有 C3 ? C4 ? A3 ? 108 种,
2 3 1 2 3

所以共有 18+108=126 种,故 B 正确 19. 甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( D ) 21

(A)150 种 (B)180 种 (C)300 种
1

(D)345 种
1 2

解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 C5 ? C3 ? C6 共有 345 种选法.选 D

? 225 种选法;

(2) 乙组中选出一名女生有 C5

2

1 1 ? C6 ? C2 ? 120 种选法.故

20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分 法的种数为

A.18
2 3

B.24
3

C .30

D.36
2 3 3

【解析】用间接法解答:四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 C4 ,顺序有 A3 种,而甲乙被分在同一个班的有 A3 种,所 以种数是 C4 A3 ? A3 ? 30 21. 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【解析】解法一、从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A, (A 共有 C3
2 2 ,剩下一名女生记作 B,两名男 A2 ? 6 种不同排法)

生分别记作甲、乙;则男生甲必须在 A、B 之间(若甲在 A、B 两端。则为使 A、B 不相邻,只有把男生乙排在 A、B 之间,此 时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有 6×2=12 种排法(A 左 B 右和 A 右 B 左)最后再在排好的三个元素中选出四个 位置插入乙,所以,共有 12×4=48 种不同排法。 法二;同解法一,从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A, (A 共有 C3
2 2 ,剩下一名女生记作 B,两名男 A2 ? 6 种不同排法)
2 2 =24 种 A2

生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三类情况:第一类:女生 A、B 在两端,男生甲、乙在中间,共有 6 A2
2 2

排法;第二类: “捆绑”A 和男生乙在两端,则中间女生 B 和男生甲只有一种排法,此时共有 6 A2 =12 种排法,第三类:女生 B 和男生乙在两端,同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。此时共有 6 A2 =12 种排法 三类之和为 24+12+12=48 种。 22. 从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有入选的不同选法的种数位 A 85 B 56 C 49 D 28 【解析】解析由条件可分为两类:一类是甲乙两人只去一个的选法有: C2 ? C7
1 2
1 ? 42 ,另一类是甲乙都去的选法有 C2 2 ? C7 =7,

所以共有 42+7=49,即选 C 项。 23. 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
3 2 2 2 A3 C 3 A4 A2 ? 332 种,其中男生甲站两端的有

解析: 6 位同学站成一排, 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有
1 2 2 2 2 A2 A2 C 3 A3 A2 ? 144,符合条件的排法故共有 188

解析 2:由题意有 2 A2

2

2 2 1 1 2 2 2 2 ? (C3 ? A2 ) ? C2 ? C3 ? A2 ? (C3 ? A2 ) ? A4 ? 188 ,选 B。

24. 12 个篮球队中有 3 个强队,将这 12 个队任意分成 3 个组(每组 4 个队) ,则 3 个强队恰好被分在同一组的概率为(



1 A. 55

3 B. 55

1 C. 4

1 D. 3

4 4 4 1 4 4 C12 C8 C4 C3 3 C 9 C8 C 4 种,而 3 个强队恰好被分在同一组分法有 ,故个强队恰好被 2 A3 A 3 2 3 3 1 4 4 2 4 4 4 3 分在同一组的概率为 C9 C9 C8 C4 A 2 C12 C8 C 4 A 3 = 。 55 25. 甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是

解析:因为将 12 个组分成 4 个组的分法有

【解析】对于 7 个台阶上每一个只站一人,则有 的站法种数是 336 种.

3 1 2 种;若有一个台阶有 2 人,另一个是 1 人,则共有 C3 A7 种,因此共有不同 A7

26. 锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆, 则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为( )

25 48 60 C. D. 91 91 91 4 【解析】因为总的滔法 C15 , 而所求事件的取法分为三类,即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按 1.1.2;1,2,
A. B. 1;2,1,1 三类,故所求概率为
1 1 2 1 1 2 1 1 C6 ? C5 ? C4 ? C6 ? C52 ? C4 ? C6 ? C5 ? C4 48 ? 4 C15 91

8 91

22

27. 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 【解析】分两步完成:第一步将 4 名大学生按,2,1,1 分成三组,其分法有
2 1 1 C4 ? C2 ? C1 3 ? A3 ? 36 2 A2

种(用数字作答) .
1 1

C ?C ?C A
2 4 1 2 2 2

;第二步将分好的三组分配到 3 个乡镇,

其分法有

3 所以满足条件得分配的方案有 A3

28. 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不 同的放球方法有( ) A.10 种 B.20 种 C.36 种 D.52 种 解析:将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,分 情况讨论:①1 号盒子中放 1 个球,其余 3 个放入 2 号盒子,有 C4 有 C4
2

1

? 4 种方法;②1 号盒子中放 2 个球,其余 2 个放入 2 号盒子,

? 6 种方法;则不同的放球方法有 10 种,选 A.

29. 将 5 名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有 (A)30种 (B)90种 (C)180种 (D)270种 解析:将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则将 5 名教师分成三组,一组 1 人,另两组都
1 2 C5 ? C4 3 是 2 人,有 ? 15 种方法,再将 3 组分到 3 个班,共有 15 ? A3 ? 90 种不同的分配方案,选 B. 2 A2

30. 某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的 选派方案共有 种 解析:某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,可 以分情况讨论,① 甲、丙同去,则乙不去,有 C5 乙、丙都不去,有
2 4 3 4 =240 种选法;②甲、丙同不去,乙去,有 C5 ? A4 =240 种选法;③甲、 ? A4

A54 ? 120 种选法,共有 600 种不同的选派方案.
个(用数字作答) .
3

31. 用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的五位数,则其中数字 1,2 相邻的偶数有

解析:可以分情况讨论:① 若末位数字为 0,则 1,2,为一组,且可以交换位置,3,4,各为 1 个数字,共可以组成 2 ? A3 个五位数;② 若末位数字为 2,则 1 与它相邻,其余 3 个数字排列,且 0 不是首位数字,则有 2 ? A2
2

? 12

? 4 个五位数;③
2

若末位

数字为 4,则 1,2,为一组,且可以交换位置,3,0,各为 1 个数字,且 0 不是首位数字,则有 2 ? (2 ? A2 ) =8 个五位数,所以 全部合理的五位数共有 24 个。 32.有一排 8 个发光二极管,每个二极管点亮时可发出红光或绿光,若每次恰有 3 个二极管点亮,但相邻的两个二极管不能同时 点亮,根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息,求这排二极管能表示的信息种数共有多少种? [解析] 因为相邻的两个二极管不能同时点亮,所以需要把 3 个点亮的二极管插放在未点亮的 5 个二极管之间及两端的 6 个空上,

3 共有 C3 6 种亮灯办法.然后分步确定每个二极管发光颜色有 2×2×2 = 8( 种 ) 方法,所以这排二极管能表示的信息种数共有 C6

×2×2×2=160(种). 33.按下列要求把 12 个人分成 3 个小组,各有多少种不同的分法? (1)各组人数分别为 2,4,6 个;(2)平均分成 3 个小组;(3)平均分成 3 个小组,进入 3 个不同车间. [解析]
4 4 C4 12C8C4 4 6 (1)C2 =5 775(种);(3)分两步:第一步平均分三组;第二步让三个小组分别进入三个不同车 3 12C10C6=13 860(种);(2) A3 4 4 C4 12C8C4 4 · A3 C4 C4 3=C12· 8· 4=34 650(种)不同的分法. A3 3

间,故有

34.6 男 4 女站成一排,求满足下列条件的排法共有多少种? (1)任何 2 名女生都不相邻有多少种排法?(2)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法? (3)男生甲、乙、丙排序一定,有多少种排法?(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法? [解析] (1)任何 2 名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有 A6 A4 6· 7种不同排法.

1 1 (2)方法一:甲不在首位,按甲的排法分类,若甲在末位,则有 A9 9种排法,若甲不在末位,则甲有 A8种排法,乙有 A8种排法,其

甲在首,乙在末A8 ? ? 9 8 9 1 1 10 余有 A8 A8 8种排法,综上共有(A9+A8A8· 8)种排法.方法二:无条件排列总数,A10-?甲在首,乙不在末A9-A8 8 ?甲不在首,乙在末A9 ? 9-A8
9 8 甲不在首乙不在末,共有(A10 10-2A9+A8)种排法.

8

23

3 (3)10 人的所有排列方法有 A10 10种,其中甲、乙、丙的排序有 A3种,又对应甲、乙、丙只有一种排序,所以甲、乙、丙排序一定的

排法有

A10 10 种.(4)男甲在男乙的左边的 10 人排列与男甲在男乙的右边的 10 人排列数相等,而 10 人排列数恰好是这二者之和,因 A3 3

1 此满足条件的有 A10 种排法. 2 10

24


高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列组合经典题型全面总结版_数学_高中教育_教育专区。高中数学 排列组合 典型例题分类讲解 高中数学排列与组合 (一)典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先...

高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(生)

高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(生)_数学_高中教育_教育专区。答案详解版请搜索“高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(师)”...

高中数学排列组合题型归纳总结

高中数学排列组合题型归纳总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。排列组合 ...人教版高中数学《排列组... 28页 1下载券 高中数学第十章-排列组合... 6...

排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)

排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)_高二数学_数学_高中教育_教育专区...或较抽象的排列组合问题,可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问 题来...

高中数学选修2-3基础知识归纳(排列组合、概率问题)

4.组合应用题: (1)“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: 1.从 4 ...排列组合经典练习答案 8页 1下载券 高中数学知识点总结之排... 5页 免费 高中...

高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)

高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)_数学_高中教育_教育专区。一.基本原理 ...C? C m n ?1 m n 排列组合题型总结 一. 直接法 1 .特殊元素法 例 1...

高中数学 排列组合的二十种解法总结教案 新人教A版选修3-5

高中数学排列组合题型总结... 16页 2财富值 高中数学轻松搞定排列组合... 10页 免费 排列组合经典练习答案 8页 免费 人教版高中数学《排列组合... 28页 2财富...

高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(师)

高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型...在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面,因为...科目三实际道路驾驶考试注意事项 驾考新题抢先版文档...

高中数学排列组合题型总结与易错点提示

高中数学排列组合题型总结与易错点提示_高二数学_数学_高中教育_教育专区。排列...正解: 4 遗漏计算出错 在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面,因为遗漏...

排列组合知识总结+经典题型

排列组合知识总结+经典题型_高三数学_数学_高中教育_教育专区。(1)知识梳理 1....详, 注意分清是乘还是加, 要防止重复和遗漏, 辩证思维,多角度分析,全面考虑...

排列组合题型 | 排列组合题型总结 | 高中数学排列组合题型 | 排列组合常见题型 | 排列组合题型方法总结 | 排列组合经典例题 | 排列组合经典例题透析 | 排列组合经典问题 |