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高中数学立体几何知识点


第九章

立体几何

9.1 平面的基本性质

创设情境

兴趣导入
9.1
平 面 的 基 本 性 质

观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、 墙面等,发现它们都有一个共同的特征:平坦、光滑, 给我们以平面的形象,但是它们都是有限的.
<

br /> 动脑思考
并且可以无限延展的图形.

探索新知
9.1

平面的概念就是从这些场景中抽象出来的.数学中的平面是指光滑 平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等,都是平面 的一部分. 我们知道,直线是可以无限延伸的,通常画出直线的一部分来表示

平 直线.同样,我们也可以画出平面的一部分来表示平面. 面 ? 通常用平行四边形表示平面,并用小写的希腊字母 ?、?、? 、 的 来表示不同的平面.如图,记作平面 ?. 也可以用平行四边形的四个顶点 基 的字母或两个相对顶点的字母来 本 D C 命名,如右图中的平面? 也可以 性 ? 记作平面ABCD,平面AC或平面 A B BD. 质

动脑思考

探索新知
9.1
平 面 的 基 本 性 质

当平面水平放置的时候,通常把平行四边形的锐角画成45°, 横边画成邻边的2倍长.

当平面竖直放置的时候,通常把平面画成矩形.

D

C

??
A
B

巩固知识

典型例题
9.1

例1 表示出正方体 ABCD ? A1B1C1D1(如图)的6个面.



AC 这6个面可以分别表示为:平面 、平面 A1C1、

平面 AB1、平面 BC1、平面 CD1、平面 DA1.

平 面 的 基 本 性 质

运用知识

巩固练习
9.1
略.

1.举出生活中平面的实例.

2.画出一个平面,写出字母并表述出来.

略.

平 面 的 基 本 性 质

创设情境

兴趣导入
9.1
平 面 的 基 本 性 质

把一根拉紧的细绳的两端固定在桌面上,发现这根绳子

就紧贴在桌面上.也就是细绳上所有的点都在桌面上

动脑思考

探索新知
9.1
平 面 的 基 本 性 质

直线与平面都可以看做点的集合.点A、B在直线l上,记作
A ? l、B ? l; 点A、B在平面 ?内,记作 A ??、B ??.

平面的性质 1:如果直线l上的两个点都在平面 ? 内,那么直线l上的 所有点都在平面 ? 内. 此时称直线l在平面? 内或平面? 经过直线l.记作 l ? ?. 画直线l在平面? 内的图形表示时,要 将直线画在平行四边 形的内部 .

创设情境

兴趣导入
9.1

观察教室里墙角上的一个点,它是相邻两个墙面的公共点, 可以发现,除这个点外两个墙面还有其他的公共点,并且这些 公共点的集合就是这两个墙面的交线.

平 面 的 基 本 性 质

动脑思考
平面性质2:

探索新知
9.1
平 面 的 基 本 性 质

如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,并且 所有公共点的集合是过这个点的一条直线(如图). 此时称这两个平面相交,并把所有公共点组成的直线 l 叫做两个 平面的交线.平面? 与平面 ? 相交,交线为 l ,记作 ? ? ? ? l.

本章中的两个平面 是指不重合的两个平面, 两条直线是指不重合的 两条直线.

动脑思考

探索新知
9.1
平 面 的 基 本 性 质

画两个平面相交的图形时,一定要画出它们的交线.图形中被遮住

部分的线段,要画成虚线(如图(1)),或者不画(如图(2)).

创设情境

兴趣导入
9.1
平 面 的 基 本 性 质

在桌面上只放一颗或两颗尖朝上的图钉,是否能将一块

硬纸板架起?如果在桌面上放置三颗尖朝上的图钉,那么结

果会怎样?

动脑思考
平面的性质3:

探索新知
9.1

不在同一条直线上的三个点,可以确定一个平面(如图).

“确定一个平面” 指的是“存在着一个平 面,并且只存在着一个 平面”.

平 面 的 基 本 性 质

动脑思考
平面的性质3:

探索新知
9.1

不在同一条直线上的三个点,可以确定一个平面.

利用三角架可以将照相机放稳 (如图),就是性质3的应用.

平 面 的 基 本 性 质

动脑思考

探索新知
9.1
平 面 的 基 本 性 质

根据上述性质,可以得出下面的三个结论. 1.直线与这条直线外的一点可以确定一个平面(如图(1)). 2.两条相交直线可以确定一个平面(如图(2)). 3.两条平行直线可以确定一个平面(如图(3)).

A

(1)

(2)

(3)

巩固知识

典型例题
9.1
平 面 的 基 本 性 质

例2 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,画出由A、C、D1 三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线. 解 点 A、D1 为平面 ? 与平面 A1D 的公共点, 点 A、C 为平面 ? 与平面 BD 的公共点, 点 C、D1 为平面 ? 与平面 C1D 的公共点. 分别将这三个点两两连接,得到直线 AD1、AC、CD1 就是为由 交线. 三点所确定的平面γ与长方体的表面的

运用知识

强化练习
9.1
平 面 的 基 本 性 质

? 1.“平面与平面 ? 只有一个公共点”的说法正确吗?

2.梯形是平面图形吗?为什么?

3.已知A、B、C是直线l上的三个点,D不是直线l上的点.
判断直线AD、BD、CD是否在同一个平面内.

理论升华
平面的基本性质?

整体建构
9.1
平 面 的 基 本 性 质

性质1:如果直线l上的两个点都在平面α内,那么直线l
上的所有点都在平面α内.

性质2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还 . 有其他公共点,并且所有公共点的集合是过这个点的 一条直线. 性质3:不在同一条直线上的三个点,可以确定一 个平面.

自我反思

目标检测
学习效果 学习行为

9.1
平 面 的 基 本 性 质

学习方法

第九章

立体几何

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

创设情境

兴趣导入

观察右图所示的正方体,可以发

既不相 现:棱 A1 B1与 AD 所在的直线,
交又不平行,它们不同在任何一个平 面内.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

动脑思考

探索新知

在同一个平面内的直线,叫做共面直线,平行或相交的两条直线都是

共面直线.不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.如图所示的
正方体中,直线 A1 B1与直线 AD 就是两条异面直线. 这样,空间两条直线就有三种位置关系: 平行、相交、异面.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

动脑思考

探索新知

利用铅笔和书本,演示如图的异面直线位置关系.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

创设情境

兴趣导入

我们知道,平面内平行于同一条直线的两条直线一定平行. 那么空间中平行于同一条直线的两条直线是否一定平行呢? 观察教室内相邻两面墙的交线.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

动脑思考
平行线的性质:

探索新知

平行于同一条直线的两条直线平行.

我们经常利用这个性质来判断两条直线平行.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

创设情境

兴趣导入

将平面 ? 内的四边形ABCD的两条
边AD与DC,沿着对角线AC向上折起, 将点D折叠到 D1 的位置(如图所示).此 时A、B、C、D1 四个点不在同一个平面 内. 这时的四边形ABCD1叫做空间四边形.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

巩固知识
例1

典型例题

E 已知空间四边形 ABCD 中, 、F、G、H 分别为

AB、BC、CD、DA 的中点(如图).判断四边形 EFGH

是否为平行四边形?



联结BD.因为E、H分别为AB、DA的中点,
所以EH为 ?ABD的中位线. 于是 EH // BD 且EH ? BD. 同理可得 FG // BD且FG ? BD.
1 2

1 2

因此 EH // FG 且EH ? FG.
故四边形EFGH是平行四边形.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

运用知识

强化练习

1.结合教室及室内的物品,举出空间两条直线平行的例子.?

2.把一张矩形的纸对折两次,然后打开(如图),说明为什么

这些折痕是互相平行的?

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

创设情境

兴趣导入

将铅笔放在桌面上,此时铅笔与桌面有无数多个公共点; 抬起铅笔的一端,此时铅笔与桌面只有1个公共点;把铅笔放到 文具盒(文具盒在桌面上)上面,铅笔与桌面就没有公共点了.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

动脑思考

探索新知

直线 l 与平面 ? 有无穷多个公共点时,直线 l 在平面? 内,其图形如(1). 如果一条直线与一个平面只有一个公共点,那么就称这条直线与这个平面相交, 画直线与平面相交的图形,要把直线延伸到平行四边形外(如图(2)). 如果一条直线与一个平面没有公共点,那么就称这条直线与这个平面平行.直线 l与平面 ? 平行,记作 l ∥? .画直线与平面平行的图形,要把直线画在平行四边形 外,并与平行四边形的一边平行(如图9?19(3)).
l
l l

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

动脑思考

探索新知

直线与平面的位置关系有三种:直线在平面内、直线与平面相交、

直线与平面平行.直线与平面相交及直线与平面平行统称为直线在平 面外.

l

l

l

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

创设情境

兴趣导入

在桌面上放一张白纸,在白纸上画出两条平行直线,沿着其中的一条 直线将纸折起(如图).观察发现:在折起的各个位置上,另一条直线始 终与桌面保持平行.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

动脑思考

探索新知

判定直线与平面平行的方法:

如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么

这条直线与这个平面平行.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

巩固知识

典型例题

例2 如图长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,直线 DD1 平行于平面 BCC1B1吗?为什么?

解 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1中,因为四边形 DCC1 D1边是长方形, 所以DD1∥CC1. 又因为CC1在平面BCC1B1内,DD1在平面BCC1B1外, 因此直线 DD1平行于平面 BCC1B1.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

创设情境

兴趣导入

将铅笔放到与桌面平行的位置,用矩形 硬纸片的面紧贴铅笔,矩形硬纸片的一边 紧贴桌面(如图),观察铅笔及硬纸片与桌面 的交线,发现它们是平行的.
铅笔

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

创设情境

兴趣导入

直线与平面的三种位置关系

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

动脑思考

探索新知

直线与平面平行的性质: 如果一条直线与一个平面平行,并且经过这条直线的一个平面 和这个平面相交,那么这条直线与交线平行. 如图所示,设直线 l 为平面 ? 与平面 ? 的交线,直线m在平面
? 内且m ∥ ? 则 m ∥ l .

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

巩固知识
例3

典型例题

BC 在如图所示的一块木料中,已知 BC∥平面 A1C1 , ∥B1C1 ,

要经过平面 A1C1 内的一点P与棱BC将木料锯开,应当怎样画线? 解 画线的方法是: 在平面A1B1C1D1内,

过点P作直线B1C1的平行线EF,
分别交直线A1B1及直线D1C1与点E、F, 连接EB和FC.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

运用知识

强化练习

1.试举出一个直线和平面平行的例子

2.请在黑板上画一条直线与地面平行,并说出所画的直线与地面 平行的理由. 3.如果一条直线平行于一个平面,那么这条直线是不是和这个平 面内所有的直线都平行? 4.说明长方体的上底面各条边与下底面平行的理由.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

创设情境

兴趣导入

教室中的墙壁与地面相交于一条直线,而天花板与地面,没有公共点.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

动脑思考

探索新知

如果两个平面没有公共点,那么称这两个平面互相平行.平面

? 与平面 ? 平行,记做?∥ . ?
画两个互相平行平面的图形时,要使两个平行四边形的对应边 分别平行(如图). 空间两个平面就有两种位置关 系:平行与相交.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

创设情境

兴趣导入

进行乒乓球或台球比赛时,必需要保证台面与地面平行.技术 人员利用水准器来进行检测.水准器内的玻璃管装有水,管内的水 柱相当于一条直线,水准器内的水泡在中央,表示水准器所在的直 线与地平面平行.把水准器在平板上交叉放置两次(如图),如果 两次检测,水准器内的水泡都在中央,就表示台面与地面平行,可 以进行比赛,否则就需要进行调整.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

动脑思考

探索新知

判定平面与平面平行的方法: 如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行, 那么这两个平面平行. 如果一个平面 内的一条直线平行 于另一个平面内的 一条直线 , 那么这两 个平面是否一定平 行?

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

巩固知识
例4

典型例题

设平面 ? 内的两条相交直线m,n分别平行于另一个平面 ? 内的两条

? 直线k,l (如图),试判断平面 ? , 是否平行?
解 因为m在 ? 外、l在 ? 内,且m∥l, 所以,直线m∥平面 ?.
A
?

m

同理可得 直线n∥平面 ?.
由于m、n是平面 ? 内两条相交直线,
? 故可以判断? ∥ .

n k

?

l

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

创设情境

兴趣导入



将一本书放在与桌面平行的位置,

放到不同 位置的本

用作业本靠紧书一边,绕着这条边移
动作业本,观察作业本和书的交线与 作业本和桌面的交线之间的关系 .
桌子

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

动脑思考
两个平面平行的性质:

探索新知

如果一个平面与两个平行平面相交, 那么它们的交线平行. 如图所示,如果? // ? ,平面 ? 与

?、? 都相交,交线分别为m、n,那么

m∥n.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

运用知识
画出下列各图形:

强化练习

(1)两个水平放置的互相平行的平面. (2)两个竖直放置的互相平行的平面. (3)与两个平行的平面相交的平面.

略.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

理论升华
异面直线的定义?

整体建构

不同在任何一个平面内的两条直线叫做 异面直线.
.

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

自我反思

目标检测
学习效果 学习行为

学习方法

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

第九章

立体几何

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

创设情境

兴趣导入

在如图所示的长方体中,直线 BC1 和直线AD是异面直线,度量
?CBC1 和 ?DAD1 ,发现它们是相等的.

如果在直线AB上任选点P,那么过点P分别作直线 BC1 与直线AD

的平行线,它们所成的角是否与 ?CBC1相等?

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

动脑思考

探索新知

两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角. 经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线,这两条相交 直线的夹角叫做两条异面直线所成的角.

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

动脑思考

探索新知

m 如图所示, ?∥m、n ?∥n ,则 m?与 n ? 的夹角 ? 就是异面直线m与n所成的角.
n n

m

O

为了简便,经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点O.如下图 n m O

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

巩固知识
例1 (1) AB1 与DC;

典型例题

? 如图所示的长方体中, BAB 1 ? 30?,求下列异面直线所成的角:

(2) AB1 与 CC1.

解 (1)因为DC∥AB,所以 ?BAB 1 为异面直线 AB1与DC所成的角. 即所求角为 30?. (2)因为CC1 ∥ BB1 ,所以 ?ABB 1 为异面直线AB1与CC1 所成的角. D1 A ? 在直角△ ABB1 中, ABB 1 ? 90?,?BAB 1 ? 30?, 1
D

C1 B1
C B

所以

?AB 1 B ? 90? ? 30? ? 60?,

A

即所求的角为 60?.

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

运用知识

强化练习

在如图所示的正方体中,求下列各直线所成的角的度数:

?1?  DD1与BC ? 2  AA1与BC1 ? 

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

创设情境

兴趣导入

正方体 ABCD ? A1 B1C1D1 中,直线 BB1与直线 AB、BC、CD、 AD、AC所成的角各是多少?

可以发现,这些个角都是直角.

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

动脑思考

探索新知

如果直线l与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,那么就称直线l与 平面 ? 垂直,记作 l ? ? .直线l叫做平面 ? 的垂线,垂线l与平面 ? 的交点叫做垂足. 画表示直线l和平面 ? 垂直的图形时,要把直线l画成与平行四边 形的横边垂直(如图所示),其中点A垂足.

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

创设情境

兴趣导入

将一根木棍PA直立在地面 ? 上,用细绳依次度量 点P与地面上的点A、B、C、D的距离(如图),发现

PA最短.

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

动脑思考

探索新知

PA 如图所示, ? ?,线段PA叫做垂线段,垂足A叫做点P在平面 ? 内的射影.
直线PB与平面 ? 相交但不垂直,则称直线PB与平面 ? 斜交,直线PB叫做 平面 ? 的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.点P与斜足B之间的线段叫做点P 到这个平面的斜线段. 过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影. 如图所示,直线AB是斜线PB在平面?内的射影. 从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段, 垂线段最短.因此,将从平面外一点P到平面 ? 的 垂线段的长叫做点P到平面? 的距离.

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

创设情境

兴趣导入

如图所示,炮兵在发射炮弹时,为了击中目标,需要调整好 炮筒与地面的角度.

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

动脑思考

探索新知

斜线l与它在平面 ? 内的射影 l ? 的夹角,叫做直线l与平面? 所成的角.

? 如图所示, PBA 就是直线PB与平面 ? 所成的角.
规定:当直线与平面垂直时,所成 的角是直角;当直线与平面平行或直线在 平面内时,所成的角是零角.显然,直线 与平面所成角的取值范围是 [ 0? , ? ]. 90

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

动脑思考

探索新知

如果两条直线与一个平面所成的角相等,那么这两条直线一定平行吗?

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

巩固知识

典型例题

例2 如图所示,等腰 ? ABC的顶点A在平面? 外,底边BC在平面
? 内,已知底边长BC=16,腰长AB=17,又知点A到平面 ? 的垂线段

AD=10.求 (1)等腰

? ABC的高AE的长;

(2)斜线AE和平面 ? 所成的角的大小(精确到1?).
AE 解 (1) 在等腰 ?ABC中, ? BC ,故由BC=16可得BE=8.



AEB中,∠AEB=90°,因此

AE ? AB 2 ? BE 2 ? 172 ? 82 ? 15.

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

巩固知识

典型例题

例2 如图所示,等腰 ? ABC的顶点A在平面? 外,底边BC在平面
? 内,已知底边长BC=16,腰长AB=17,又知点A到平面 ? 的垂线段

AD=10.求 (1)等腰 ABC的高AE的长;

(2)斜线AE和平面 ? 所成的角的大小(精确到1?). (2)联结DE.因为AD是平面 ? 的垂线,AE是 ? 的斜线, 所以DE是AE在 ? 内的射影. 因此 是AE和平面? 所成的角.
AD 10 2 ? ? , AE 15 3 sin 在Rt?ADE中, ?AED ?

所以 ?AED ? 42?

即斜线AE和平面? 所成的角约为 42?.

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

运用知识

强化练习

长方体ABCD ? A1B1C1D1 中,高DD1=4cm,底面是边长为3cm的

正方形,求对角线D1B与底面ABCD所成角的大小(精确到1′).

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

创设情境

兴趣导入

在建筑房屋时,有时为了美观和排除雨水的方便,需要考虑屋顶面

与地面形成适当的角度(如图(1));在修筑河堤时,为使它经济且坚
固耐用,需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度(如图(2)).

(1) (2)

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

动脑思考

探索新知

平面内的一条直线把平面分成两部分,每一部分叫做一个半平面. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫 做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.以直线l(或CD)为棱,两

个半平面分别为?、? 的二面角,记作二面角 ? ? l ? ? (或? ? CD ? ? )(如图).
D N l C o M C 图9?41 图9?40 D

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

动脑思考

探索新知

过棱上的一点,分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线,以

这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角.如图所示,在二面角
? ? l ? ? 的棱l上任意选取一点O ,以点O为垂足,在面?与面? 内分别作

OM ? l、ON ? l ,则?MON 就是这个二面角的平面角.
D N l C o M C 图9?41 图9?40 D

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

动脑思考

探索新知

二面角的平面角的大小由?、? 的相对位置所决定,与顶点在棱上 的位置无关,当二面角给定后,它的平面角的大小也就随之确定.因 此,二面角的大小用它的平面角来度量. 当二面角的两个半平面重合时,规定二面角为零角;当二面角的

两个半平面合成一个平面时,规定二面角为平角.因此二面角取值范
? 180? 围是 [ 0 , ].

平面角是直角的二面角叫做直二面角.例如教室的墙壁与地面就 组成直二面角,此时称两个平面垂直.平面? 与平面 ? 垂直记作 ? ? ?

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

巩固知识

典型例题

例3 在正方体ABCD ? A1B1C1D1中(如图),求二面角 D1 ? AD ? B 的大小.



AA AD为二面角的棱, 1 与 AB 是分别在二面角

的两个面内并且与棱AD垂直的射线, 所以 ?A1 AB 为二面角 D1 ? AD ? B 的平面角. 因为在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,
?A1 AB 是直角.

所以二面角 D1 ? AD ? B 为90°.

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

运用知识

强化练习

在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,求二面角 A ? DD1 ? B 的大小.

45?.

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

理论升华

整体建构

二面角的平面角的概念 ?

过棱上的一点,分别在二面角的两个面 内作与棱垂直的射线,以这两条射线为边的 最小正角叫做二面角的平面角.
.

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

自我反思

目标检测
学习效果 学习行为

学习方法

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

自我反思

目标检测
ABCD 所成的二面角的大小.

在正方体 AC1 中,求平面 ABC1D1 与平面

45?.

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

第九章
9.4

立体几何

直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

创设情境

兴趣导入

演示并画出两条相交直线垂直与两条异面直线垂直的位置 关系,并回答:经过空间任意一点作与已知直线垂直的直线, 能作几条?

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

巩固知识

典型例题

例1 如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断直线AB和DD1是否垂直.



AB和DD1是异面直线,而BB1∥DD1,AB⊥BB1, 根据异面直线所成的角的定义, 可知AB与DD1成直角. 因此 AB ? DD1.

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

运用知识

强化练习

1.垂直于同一条直线的两条直线是否平行? 2.在正方体中,找出与直线AB 垂直的棱,并指出它们与直线

AA1 的位置关系.

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

创设情境

兴趣导入

如图所示,检验一根圆木柱和板面是否垂直.工人师傅的做法是, 把直角尺的一条直角边放在板面上,看曲尺的另一条直角边是否和圆

木柱吻合,然后把直角尺换个位置,照样再检查一次(应当注意,直角 尺与板面的交线,在两次检查中不能为同一条
直线).如果两次检查,圆木柱都能和直角尺 的直角边完全吻合,就判定圆木柱和板面垂直.

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

动脑思考

探索新知

直线与平面垂直的判定方法: 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那 么这条直线与这个平面垂直.

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

巩固知识
面ABCD垂直吗?为什么? 解

典型例题

例2 长方体ABCD-A1B1C1D1中(如图),直线AA1与平

因为长方体ABCD-A1B1C1D1中, 侧面ABB1A1、AA1D1D都是长方形, 所以AA1⊥AB,AA1⊥AD. 且AB和AD是平面ABCD内的两条相交直线. 由直线与平面垂直的判定定理知, 直线AA1⊥平面ABCD.

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

动脑思考

探索新知

在实际生活中,我们采用如图所示的

“合页型折纸”检验直线与平面垂直,就是

直线与平面垂直方法的应用.

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

创设情境

兴趣导入

观察道路边的电线杆可以发现它们都垂直于地面,并且

这些电线杆是平行的.这一事实启发我们得出直线与平面垂
直的性质.

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

动脑思考

探索新知

直线和平面垂直的性质:

垂直于同一个平面的两条直线互相平行.

n m

如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面,那么另一条也垂直于这个平面吗?为 什么?

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

巩固知识

典型例题

例3 如图,AB和CD都是平面 ? 的垂线,垂足分别为B、D,A、C分 别在平面 ? 的两侧,AB=4 cm,CD=8 cm,BD=5 cm,求AC的长. 解 因为AB⊥ ? ,CD⊥ ? , 所以 AB∥CD.因为BD在平面 ? 内,AB⊥BD,CD⊥BD. 设AB与CD确定平面? ,在平面 ? 内,过点A作AE∥BD, 直线AE与CD交于点E. 在直角三角形ACE中,因为AE=BD=5 cm, CE=CD+DE=CD+AB=8 + 4 =12(cm), 所以 AC= AE 2 ? CE 2 ? 52 ? 12 2 ? 13 ? cm ?.

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

运用知识

强化练习

1.一根旗杆AB高8 m,它的顶端A挂两条10 m的绳子,拉紧绳子 并把它们的两个下端固定在地面上的C、D两点,并使点C、D与旗杆 脚B不共线,如果C、D与B的距离都是6 m,那么是否可以判定旗杆 AB与地面垂直,为什么? 2.如图所示, ABC 在平面 ? 内, BAC ? 90? ,且 PA ? ? 于A, ? ? 那么AC与PB是否垂直?为什么?

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

创设情境

兴趣导入

两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么称这两个平面 互相垂直.平面 ? 与平面? 垂直,记作 ? ? ? . 画表示两个互相垂直平面的图形时,一般将两个平行四边形的一组 对边画成垂直的位置,可以把直立的平面画成矩形(图(1)),也可以 把直立的平面画成平行四边形(图(2)).

(2)

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

创设情境

兴趣导入

建筑工人在砌墙时,把线的一端系一个铅锤,另一端用砖压在墙壁 面上(如图),观察系有铅锤的线与墙面是否紧贴(在铅锤处应有一空 隙),即判断所砌墙面是否经过地面的垂线,以此保证所砌的墙面与地 面垂直.

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

动脑思考

探索新知

平面与平面垂直的判定方法:

一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直. 如图所示,如果 AB ? ?,AB 在 ? 内,那么 ? ? ?.

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

巩固知识
例4

典型例题

在正方体ABCD-A1B1C1D1(如图)中,判断平面B1AC与

平面B1BDD1是否垂直. 解 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, B1B⊥平面ABCD,所以BB1⊥AC, 在底面正方形ABCD中,BD⊥AC, 因此AC⊥平面BB1D1D, 因为AC在平面 B1 AC 内,
B1AC

所以平面 B1 AC 与平面 B1 BDD1 垂直.

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

创设情境

兴趣导入

如图所示,在正方体 A1C 的侧面 A1 ABB1 中,作 EE1 ? AB ,观察
EE1与底面ABCD的关系.

D1 A1 D A E B E1 B1

C1

C

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

动脑思考

探索新知

平面与平面垂直的性质:

如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

巩固知识

典型例题

例5 如图所示,平面α⊥平面β, AC在平面α内, 且AC⊥AB,BD在平面β内,且BD⊥AB,AC=12 cm, AB=3 cm,BD=4 cm.求CD的长. 解 在平面 内,连结AD. 又由于BD⊥AB,所以在直角三角形ABD中,

AD2 ? AB2 ? BD2 ? 32 ? 42 ? 25
故 因为 AB为平面 AD=5(cm). ,AC在平面 ? 内,且AC⊥AB, 与 的交线,所以AC⊥

因此CA⊥AD. 在直角三角形ACD中,



CD=13(cm).

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

运用知识
平面有

强化练习
条.

1.如图所示,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1中,与平面 AB1 垂直的 个,与平面 AB1 垂直的棱有 D1 A1 D A B1 C B C1

2.如图所示,检查工件相邻的两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边 卡在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动一下,观察尺边是 否和这个面密合就可以了,为什么?

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

理论升华

整体建构

直线与平面垂直的判定与性质?

直线与平面垂直的判定方法:如果一条直线与一个平面内 的两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直.

直线和平面垂直的性质:垂直于同一个平面的两条直线互
相平行.
.

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

自我反思

目标检测
学习效果 学习行为

学习方法

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

自我反思

目标检测

一根旗杆AB高8 m,它的顶端A挂两条10 m的绳子,拉紧绳子并把 它们的两个下端固定在地面上的C、D两点,并使点C、D与旗杆脚B不 共线,如果C、D与B的距离都是6 m,那么是否可以判定旗杆AB与地 面垂直,为什么?

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

第九章

立体几何

9.5 柱、锥、球及简单组合体(一)

创设情境

兴趣导入

观察上图所示的多面体,可以发现它们具如下特征: (1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形; (2)每相邻两个四边形的公共边互相平行.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

有两个面互相平行,其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体 叫做棱柱,互相平行的两个面,叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的 侧面.相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.两个底面间的距离, 叫做棱柱的高.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

上图所示的四个多面体都是棱柱. 表示棱柱时,通常分别顺次写出两个底面各个顶点的字母,中间用一条短 横线隔开,如图 (2)所示的棱柱,可以记作棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 或简记作 棱柱 AC1

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

经常以棱柱底面多边形的边数来命名棱柱,如图9?57所示的棱柱依次为三 棱柱、四棱柱、五棱柱.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

侧棱与底面斜交的棱柱叫做斜棱柱,如图(2);侧棱与底面垂直的棱 柱叫做直棱柱,如图9?56(1);底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱, 如图(3)和(4),分别为正四棱柱和正五棱柱.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

正棱柱有下列性质: (1)侧棱垂直于底面,各侧棱长都相等,并且等于正棱柱的高; (2)两个底面中心的连线是正棱柱的高.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

正棱柱所有侧面的面积之和,叫做正棱柱的侧面积.正棱柱的侧面积 与两个底面面积之和,叫做正棱柱的全面积. 观察正棱柱的表面展开图,可以得到正棱柱的侧面积、全面积计算公 式分别为 S正棱柱侧 ? ch

S正棱柱全 ? ch ? 2S底
其中,c 表示正棱柱底面 的周长, h 表示正棱柱的高,
S底 表示正棱柱底面的面积.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

正棱柱的体积计算公式为

V正棱柱 ? S底h
其中, S 底 表示正棱锥的底面的面积, h 是正棱锥的高.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

巩固知识
例1

典型例题

已知一个正三棱柱的底面边长为4 cm,高为5 cm,求这个正三

棱柱的侧面积和体积. 解 正三棱锥的侧面积为 S侧=ch=3×4×5 = 60( cm2 ). 由于边长为4 cm的正三角形面积为
3 2 ? 4 ? 4 3 cm2 4

?

?
?

3 所以正三棱柱的体积为 V ? S底 h ? 4 3 ? 5 ? 20 3 cm

?

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

利用几何画板可以方便地作出棱柱的直观图形.方法是:首先选中所以绘制 棱柱的名称(左图),然后选择合适的位置,点击并拖动,即可得到棱柱的直观 图形(右图),最后再标注字母.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

创设情境

兴趣导入

观察如图所示的多面体,可以发现它们具如下特征:有一个面是多边形, 其余各面都是三角形,并且这些三角形有一个公共顶点.

(3)

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

具备上述特征的多面体叫做棱锥.多边形叫做棱锥的底面(简称底), 有公共顶点的三角形面叫做棱锥的侧面,各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶 点,顶点到底面的距离叫做棱锥的高.底面是三角形、四边形、……的棱 锥分别叫做三棱锥、四棱锥、…….通常用表示底面各顶点的字母来表示 棱锥.例如,图(2)中的棱锥记作:棱锥 S ? ABCD .

(3)

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

底面是正多边形,其余各面是全等的等腰三角形矩形的棱锥叫做 正棱锥.图中(1)、(2)分别表示正三棱锥、正四棱锥.

(3)

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考
正棱锥有下列性质: (1)各侧棱的长相等;

探索新知

(2)各侧面都是全等的等腰三角形.各等腰三角形底边上的高都叫做正 棱锥的斜高; (3)顶点到底面中心的连线垂直与底面,是正棱锥的高; (4)正棱锥的高、斜高与斜高在底面的射影组成一个直角三角形; (5)正棱锥的高、侧棱与侧棱在底面的射影也组成一个直角三角形.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考
积)计算公式分别为

探索新知

观察正棱锥的表面展开图,可以得到正棱锥的侧面积、全面积(表面

S 正棱锥侧

1 ? ch? 2

S 正棱锥全 ?
其中,

1 ch? ? S 底 2

c 表示正棱锥底面的
S底

周长, h ? 是正棱锥的斜高,

表示正棱锥的底面的面积,h 是正棱锥的高.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

创设情境

兴趣导入

准备好同底等高的正三棱锥与正三棱柱形容器,将正三棱锥容器中装满沙 子,然后倒入正三棱柱形状的容器中,发现:连续倒三次正好将正三棱柱容 器装满.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

实验表明,对于同底等高的棱锥与棱柱,棱锥的体积是棱柱体积 的三分之一.即

V正棱锥 ?

1 S底h 3

h 其中, S 底 表示正棱锥的底面的面积, 是正棱锥的高.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

巩固知识

典型例题

例 2 如图,正三棱锥P-ABC中,点O是底面中心, PO=12 cm,斜高PD=13 cm.求它的侧面积、体积

(面积精确到0.1 cm ,体积精确到1 cm ).
解 在正三棱锥P-ABC中,高PO=12 cm,斜高PD=13 cm. 在直角三角形PBD中,
CD ? PD 2 ? PO 2 ? 132 ? 122 ? 5 ? cm ?.

2

3

在底面正三角形ABC中, CD=3 所以底面边长为 AC ? 3 ? cm ?.

OD=15(cm).

V正棱锥 ? S底h ? ? ? (10 3) ? sin 60 ? 12 ? 520 cm . 3 3 2

1 1 S侧 ? ch? ? ? 3 ? 10 3 ? 13 ? 337.7 cm2 . 所以侧面积与体积分别约为 2 ? 2 1 1 1 2 3

?

?

?

?

9.5 柱、锥、球及简单组合体

运用知识

强化练习

1. 设正三棱柱的高为6,底面边长为4,求它的侧面积、全面积及体积.

2. 正四棱锥的高是a,底面的边长是2a,求它的全面积与体积.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

理论升华

整体建构

正棱柱的全面积、体积公式,正棱锥的全面积、体积公式?

S正棱柱全 ? ch ? 2S底 V正棱柱 ? S底h

1 S正棱锥全 ? ch? ? S底 2 1 V正棱锥 ? S底 h 3
9.5 柱、锥、球及简单组合体

自我反思

目标检测
学习效果 学习行为

学习方法

9.5 柱、锥、球及简单组合体

自我反思

目标检测

设正三棱柱的高为6,底面边长为4,求它的侧面积、全面积及体积.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

第九章

立体几何

9.5 柱、锥、球及简单组合体(二)

创设情境

兴趣导入

以矩形的一边所在直线为旋转轴旋转,观察其余各边旋转一周所 形成的几何体

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其 余各边旋转形成的曲面(或平面)所围成 的几何体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的 轴.垂直于轴的边旋转形成的圆面叫做圆 柱的底面.平行于轴的边旋转成的曲面叫 做圆柱的侧面,无论旋转到什么位置,这 条边都叫做侧面的母线.两个底面间的距 离叫做圆柱的高.圆柱用表示轴的字母表 示.如图的圆柱表示为圆柱 OO?.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

观察圆柱(图9?64),可以得到圆柱的下列性质(证明略):

(1) 圆柱的两个底面是半径相等的圆,且互相平行;

(2) 圆柱的母线平行且相等,并且等于圆柱的高;

(3) 平行于底面的截面是与底面半径相等的圆;

(4) 轴截面是宽为底面的直径、长为圆柱的高的矩形

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

圆柱的侧面积、全面积(表面积)、及体积的计算公式如下:

S圆柱侧 ? 2p rh S圆柱全 ? 2p r (h ? r )
V圆柱 ? p r 2 h
其中r为底面半径,h为圆柱的高.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

巩固知识
例3

典型例题

已知圆柱的底面半径为1cm,体积为 5π cm3 ,求圆柱的高与全面积.

解 由于底面半径为1cm,所以

πh ? 5π
解得圆柱的高为

h?5 (cm).
所以圆锥的全面积为

S圆柱全 ? 2p r (h ? r ) ? 12p cm 2

?

?

9.5 柱、锥、球及简单组合体

创设情境

兴趣导入

以直角三角形的一条直角边为旋转轴进行旋转,观察旋转一周所形成的几何体

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

以直角三角形的一条直角边为旋转轴旋 转一周,其余各边旋转而形成的曲面(或平 面)所围成的几何体叫做圆锥(如图).旋转 轴叫做圆锥的轴.另一条直角边旋转而成的 圆面叫做底面.斜边旋转而成的曲面叫做侧 面,无论旋转到什么位置,斜边都叫做侧面 的母线.母线与轴的交点叫做顶点.顶点到 底面的距离叫做圆锥的高.

圆锥用表示轴的字母表示.如图所示的 圆锥表示为圆锥SO.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

观察圆锥,可以得到圆锥的下列性质(证明略): (1) 平行于底面的截面是圆;

(2) 顶点与底面圆周上任意一点的距离都相等,且等于母线的长度;
(3) 轴截面为等腰三角形,其底边上的高等于圆锥的高. 圆锥的侧面积、全面积(表面积)及体积的计算公式如下:

S圆锥侧 ? p rl

S圆锥全 ? p r (l ? r )

1 V圆锥 ? p r 2 h 3

其中r为底面半径,l为母线长,h圆锥的高.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

巩固知识

典型例题

例4 已知圆锥的母线的长为 2 cm,圆锥的高为 1 cm,求该圆锥的体积.

解 由图知

r ? l 2 ? h 2 ? 3 ? cm ?
故圆锥的体积为

1 V圆锥 ? ? ? ? ( 3)2 ? 1 ? ? cm3 3

?

?

9.5 柱、锥、球及简单组合体

创设情境

兴趣导入

半圆以其直径所在的直线为旋转轴进行旋转,观察旋转一周所 形成的几何体

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知
A

以半圆的直径所在的直线为旋转 轴旋转一周,所形成的曲面叫做球面 (如图).球面围成的几何体叫做球 体,简称球. 半圆的圆心叫做球心, 半圆的半径叫做球的半径.经常用表 示球心的字母来表示球,如图中所示 的球记作球O.

R
C

O

B

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

如图所示,用平面去截球,观察截面的图形. 由实验可以得到球的如下性质(证明略):

球的截面是圆面,并且球心与截面圆心的连线垂直于截面.
设球心到截面的距离为d,球的半径为R,截面上圆的半径为r(如图),则

r ? R2 ? d 2
经过球心的平面截球面所得的圆叫做球的大圆.此时d=0,r=R,截得的圆 半径最大.不经过球心的平面截球面所得的圆叫做球的小圆.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

把地球近似地看作一个球时,经线就是球面上从北极到南极的半个大圆; 赤道是一个大圆,其余的纬线都是小圆.如左图所示. 经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧(指不超过半个大圆的弧) 的长度叫做两点的球 面距离.它是球面上 这两点之间最短连线 的长度,右图的劣弧
? 的长度就是A、B AB

两点的球面距离.飞 机、轮船都是尽可能以大圆弧为两点间的航线航行的.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考

探索新知

球的表面积与体积的计算公式如下:

S球 ? 4p R 2

4 V球 ? p R3 3
其中,R为球的半径.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

巩固知识

典型例题

例5 球的大圆周长是80 cm,求这个球的表面积与体积各为多 少?(保留4个有效数字) 解 设球的半径为R,则大圆周长为 2πR 因为 所以

2πR ? 80
R? 40 π

40 2 6400 ) ? ? 2.037 ? 103 cm2 p p 4 4 40 256000 V球 ? p R3 ? p ( )3 ? ? 8.646 ? 103 cm3 3 3 p 3p 2 S球 ? 4p R2 ? 4p (

?

?

?

?
? ?

3 2 3 3 即这个球的表面积约为 2.037 ? 10 cm ,体积约为 8.646 ? 10 cm

?

?

9.5 柱、锥、球及简单组合体

运用知识
1.用长为

强化练习

6p m,宽为 2 m的薄铁片卷成圆柱形水桶的侧面,铁片

的宽度作为水桶的高.求这个水桶的容积(保留4个有效数字).

2.已知圆锥的底面半径为 2 cm,高为 2 cm,求这个圆锥的体积(保 留4个有效数字).

9.5 柱、锥、球及简单组合体

巩固知识

典型例题

例6 一个金属屋分为上、下两部分,如图所示,下部分是一个柱体,高 为2 m,底面为正方形,边长为5 m,上部分是一个锥体,它的底面与柱体的底 面相同,高为3 m,金属屋的体积、屋顶的侧面积各为多少(精确到0.01m2) ? 解 金属顶的体积为

V ? V正四棱柱 ? V正四棱锥
1 ? 52 ? 2 ? ? 52 ? 3 3 ? 50 ? 25
=75(m3). 金属屋顶的侧面积为
S? 1 ? 5 ? 4 ? 2.52 ? 32 2

≈39.05 (m2).

9.5 柱、锥、球及简单组合体

巩固知识

典型例题

例 7 如图所示,学生小王设计的邮筒是由直径为0.6 m的半球与底面直 径为0.6 m,高为1 m的圆柱组合成的几何体.求邮筒的表面积(不含其底部, 且投信口略计,精确到0.01m2) 解 邮筒顶部半球面的面积为

S半球面

1 ? ? 4? ? ?????? ? 0.565 m2 2

? ?

邮筒下部圆柱的侧面积为

S侧面 ? 2? ? ??? ? 1.855 m 2
所以邮筒的表面积约为 0.565+1.885=2.45(m2).

? ?

9.5 柱、锥、球及简单组合体

运用知识

强化练习

1.如图所示,混凝土桥桩是由正四棱柱与正四棱锥组合而成的几何体, 已知正四棱柱的底面边长为5 m,高为10 m,正四棱锥的高为4 m.求这根桥 桩约需多少混凝土(精确到0.01 t)?(混凝土的密度为2.25 t/m3)

2.如图所示,一个铸铁零件,是由半个圆柱与一个正四棱柱组合成的 几何体,圆柱的底面直径与高均为2 cm,正四棱柱底面边长为2 cm、侧棱为 3 cm.求该零件的重量(铁的比重约7.4 g/cm3).(精确到0.1 g)

9.5 柱、锥、球及简单组合体

理论升华

整体建构

圆柱、圆锥的全面积、体积公式?

S圆柱全 ? 2p r (h ? r )

V圆柱 ? p r 2 h
S圆锥全 ? p r (l ? r )

V圆锥

1 2 ? pr h 3
9.5 柱、锥、球及简单组合体

自我反思

目标检测
学习效果 学习行为

学习方法

9.5 柱、锥、球及简单组合体

自我反思

目标检测

已知圆锥的底面半径为 2 cm,高为 2 cm,求这个圆锥的体积(保留4个有效数字).

9.5 柱、锥、球及简单组合体

再 见


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