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江苏省苏锡常镇四市2016届高三第二次模拟考试数学试题


2016 届高三年级第二次模拟考试(一)· 数学 第页(共 6 页) 数学本试卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟. 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. 已知集合 A={x|x<3,x∈R},B={x|x>1,x∈R},则 A∩B=________. z 2. 已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 +4=3i,则复数 z

的模为________. i 3. 一个容量为 n 的样本,分成若干组,已知某组的频数和频率分别为 40,0.125,则 n 的值为________. x2 y2 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知方程 - =1 表示双曲线,则实数 m 的取 4-m 2+m 值范围为________. 5. 为强化安全意识,某校拟在周一至周五的五天中随机选择 2 天进行紧急疏散演练, 则选择的 2 天恰好为连续 2 天的概率是________. 6. 执行如图所示的程序框图,输出的 x 值为________.

(第 6 题图)

(第 7 题图)

7. 如图, 正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1, P 是棱 BB1 的中点, 则四棱锥 PAA1C1C 的体积为________.

[Z-xk.Com]

8. 设数列{an}是首项为 1,公差不为零的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,Sn 成等比数列,则数列{an}的公差为________.

x2+4 9. 在平面直角坐标系 xOy 中, 设 M 是函数 f(x)= (x>0)的图象上任意一点, 过M x → → 点向直线 y=x 和 y 轴作垂线,垂足分别是 A,B,则MA·MB=________. 10. 若一个钝角三角形的三内角等差数列,且最大边与最小边之比为 m,则实数 m 的 取值范围是________. 11. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知过原点 O 的动直线 l 与圆 C:x2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点 A, B, 若点 A 恰为线段 OB 的中点, 则圆心 C 到直线 l 的距离为________.
2 ? 0≤x<4, ?-x +4x, 12. 已知函数 f(x)=? 若存在 x1,x2∈R,当 0≤x1<4≤x2 ?log2(x-2)+2, 4≤x≤6, ?

≤6 时,f(x1)=f(x2),则 x1f(x2)的取值范围是________. 13. 已知函数 f(x)=2x 1+a, g(x)=bf(1-x), 其中 a, b∈R, 若关于 x 的不等式 f(x)≥g(x)


的解的最小值为 2,则 a 的取值范围是________. x 14. 若实数 x,y 满足 x2-4xy+4y2+4x2y2=4,则当 x+2y 取得最大值时, 的值为 y ________. 二、 解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. (本小题满分 14 分) π π 已知函数 f(x)=sin?2x+ ?- 3sin?2x- ?. 3? 6? ? ? (1) 求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; π π (2) 当 x∈?- , ?时,试求 f(x)的最值,并写出取得最值时自变量 x 的值. ? 6 3?

16. (本小题满分 14 分) 如图,已知四棱柱 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,PA⊥平面 ABCD,M 是 AD 的中点,N 是 PC 的中点. (1) 求证:MN∥平面 PAB; (2) 若平面 PMC⊥平面 PAD,求证:CM⊥AD.

(第 16 题图)

17. (本小题满分 14 分)
[Z-xk.Com]

如图是某设计师设计的 Y 型饰品的平面图,其中支架 OA,OB,OC 两两成 120°, OC=1,AB=OB+OC,且 OA>OB.现设计师在支架 OB 上装点普通珠宝,普通珠宝的价 值为 M,且 M 与 OB 长成正比,比例系数为 k(k 为正常数);在△AOC 区域(阴影区域)内镶 嵌名贵珠宝, 名贵珠宝的价值为 N, 且 N 与△AOC 的面积成正比, 比例系数为 4 3k.设 OA =x,OB=y. (1) 求 y 关于 x 的函数解析式,并写出 x 的取值范围; (2) 求 N-M 的最大值及相应的 x 的值.

(第 17 题图)

18. (本小题满分 16 分) 3? x2 y2 1 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点 P? ?1,2?,离心率为2. a b (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点. ①若直线 l 过椭圆 C 的右焦点,记△ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为 t,求 t 的最 大值; ②若直线 l 的斜率为 不是定值,请说明理由. 3 ,试探究 OA2+OB2 是否为定值?若是定值,则求出此定值;若 2

19. (本小题满分 16 分)
[Z-xk.Com]

设函数 f(x)=x 2ex-k(x-2lnx)(k 为实常数,e=2.718 28?是自然对数的底数).


(1) 当 k=1 时,求函数 f(x)的最小值; (2) 若函数 f(x)在区间(0,4)内至在三个极值点,求 k 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分)
2 2 5 * 已知首项为 1 的正项数列{an}满足 an +1 +an< an+1an,n∈N . 2

3 (1) 若 a2= ,a3=x,a4=4,求 x 的取值范围; 2 1 (2) 设数列{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和.若 Sn<Sn+1<2Sn,n 2 ∈N*,求 q 的取值范围; (3) 若 a1,a2,?,ak(k≥3)成等差数列,且 a1+a2+?+ak=120,求正整数 k 的最小 值,以及 k 取最小值时相应数列 a1,a2,?,ak 的公差.

数学附加题

21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.解 ...... 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修 41:几何证明选讲 如图,直线 AB 与⊙O 相切于点 B,直线 AO 交⊙O 于 D,E 两点,BC⊥DE,垂足为 C, 且 AD=3DC,BC= 2,求⊙O 的直径.

(第 21A 题图)

B. 选修 42:矩阵与变换

? 1 0 ? 1 0 ? ? ?,试求曲线 y=sinx 在矩阵 MN 变换下得到的曲线方程. 2 设 M=? ?,N=? ? ? ? 0 2? ? 0 1 ?

C. 选修 44:坐标系与参数方程

?x=3+2t, 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为? (t 为参数), 以原点 O 为极 3 y = t ? 2
点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为 ρ=2 3sinθ .设 P 为直线 l 上 一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求点 P 的直角坐标.

1

D. 选修 45:不等式选讲 已知函数 f(x)= 3x+6,g(x)= 14-x,若存在实数 x 使 f(x)+g(x)>a 成立,求实数 a 的取值范围.

【必做题】第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AA1=AB=2AD=2,E 为 AB 的中点,F 为 D1E 上的一点,D1F=2FE. (1) 证明:平面 DFC⊥平面 D1EC; (2) 求二面角 ADFC 的大小.

(第 22 题图)

23. (本小题满分 10 分) 在杨辉三角形中, 从第 3 行开始, 除 1 以外, 其它每一个数值是它上面的二个数值之和, 这三角形数阵开头几行如右图所示.

(1) 在杨辉三角形中是否存在某一行, 且该行中三个相邻的数之比为 3∶4∶5?若存在, 试求出是第几行;若不存在,请说明理由;
r 1 r 2 (2) 已知 n,r 为正整数,且 n≥r+3.求证:任何四个相邻的组合数 Cr n,Cn ,Cn ,
+ +

3 Cr n 不能构成等差数列.


(第 22 题图)

2016 届高三年级第二次模拟考试(一)(苏锡常镇四市) 数学参考答案 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. (1,3) 2. 5 3. 320 4. (-2,4) 5. 7. 1 3 8. 2 9. - 2 14. 2 10. (2 , + ∞) 2 5 6. 6 11. 3 6 4 256 3, ? 12. ? 27 ? ? 13. ( - ∞ , -

1 ? 2]∪? ?-4,+∞?

二、 解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. π π 2π 15. 解:(1) 由题意知,f(x)= 3sin?2x+ ?+cos(2x+ )=2sin?2x+ ?,(4 分) 3 3? 3 ? ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 T= 2π =π .(6 分) 2

π 2π π 当- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ (k∈Z)时,f(x)单调递增, 2 3 2 7π π 解得 x∈?- +kπ ,- +kπ ?(k∈Z), 12 ? 12 ? 所以 f(x)的单调递增区间为[- 7π π +kπ ,- +kπ ](k∈Z).(8 分) 12 12

π 2π 4π π π (2) 因为 x∈?- , ?,所以 ≤2x+ ≤ ,(10 分) 3 3 3 ? 6 3? 2π π π 当 2x+ = ,即 x=- 时,f(x)取得最大值 2,(12 分) 3 2 12 2π 4π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值- 3.(14 分) 3 2 3 1 16. 证明:(1) 取 PB 中点 E,连 EA,EN,△PBC 中,EN∥BC 且 EN= BC,又 AM 2 1 = AD,AD∥BC,AD=BC,(3 分) 2 得 EN∥AM,EN=AM,四边形 ENMA 是平行四边形,(5 分) 得 MN∥AE,MN?平面 PAB,AE?平面 PAB, ∴ MN∥平面 PAB(7 分) (2) 过点 A 作 PM 的垂线,垂足为 H, ∵ 平面 PMC⊥平面 PAD,平面 PMC∩平面 PAD=PM,AH⊥PM,AH?平面 PAD, ∴ AH⊥平面 PMC, ∴ AH⊥CM.(10 分)

∵ PA⊥平面 ABCD,CM?平面 ABCD,∴ PA⊥CM.(12 分) ∵ PA∩AH=A,PA,AH?平面 PAD,CM⊥平面 PAD, ∵ AD?平面 PAD,∴ CM⊥AD.(14 分) 17. 解:(1) 因为 OA=x,OB=x,AB=y+1, 由余弦定理,x2+y2-2xycos120°=(y+1)2, x2-1 解得 y= ,(3 分) 2-x x2-1 1+ 3 由 x>0,y>0 得 1<x<2,又 x>y,得 x> ,解得 1<x< ,(6 分) 2 2-x

? 1+ 3?.(7 分) 所以 OA 的取值范围是?1, ? 2 ? ?
(2) M=kOB=ky,N=4 3.S△AOC=3kx, x -1? ? 则 N-M=k(3x-y)=k?3x- ,(8 分) 2-x ? ? ? 设 2-x=t∈?
2

?3- 3 ?, ? ? 2 ,1?

(2-t)2-1? 则 N-M=k?3(2-t)- t ? ? 3?? ? =k? ?10-?4t+ t ?? ≤k?10-2

?

3? 4t· =(10-4 3)k.(11 分) t?

3 3 ? 3- 3 ? 3 当且仅当 4t= 即 t= ∈? 取等号,此时 x=2- ,(13 分) t 2 ? 2 ,1? 2 ? 所以当 x=2- 18. 解:(1) 3 时,N-M 的最大值是(10-4 3)k.(14 分) 2

a2-b2 1 1 9 = ,得 a2=4,b2=3.(2 分) 2+ 2=1, a 4b a 2

x2 y2 所以椭圆 C: + =1.(3 分) 4 3 (2) ①设直线 l 的方程为 x=my+1,直线 l 与椭圆 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),

?x=my+1, ? 由?x2 y2 化简得(3m2+4)y2+6my-9=0,易知 Δ>0,(5 分) + = 1 , ?4 3 ?
所以 y1+y2=- 6m 9 ,y1y2=- 2 , 2 3m +4 3m +4 y1-

3 3 y2- 2 2 所以 kAP·kBP= · x1-1 x2-1

3 3 y- 2 2 2 = · my1 my2 y1- 3 9 y1y2- (y1+y2)+ 2 4 1 = 2· m y1y2 1 3 =- - ,(7 分) m 4 所以 t=kAB·kAP·kBP=- 1 3?2 9 1 3 ? - =- ?m+8? +64,(9 分) m2 4m

8 9 所以当 m=- 时,t 有最大值 .(10 分) 3 64 ②设直线 l 的方程为 y= 3 x+n,直线 l 与椭圆 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 2

?y= 23x+n, 得 3x +2 ?x y ? 4 + 3 =1,
2 2 2

3nx+2n2-6=0,

Δ =(2 3n)2-4×3(2n2-6)>0, 即- 6<n< 6. 2n2-6 2 3n x1+x2=- ,x1x2= ,(12 分) 3 3
2 2 2 2 2 2 2 OA2+OB2=x2 1+y1+x2+y2=(x1+x2)+(y1+y2)

? 2 =x2 1+x2+

2 2 3 ? ? 3x +n? =7(x2+x2)+ 3n(x +x )+2n2 x1+n + 1 2 ?2 ? ?2 2 ? 4 1 2

7 7 = (x1+x2)2- x1x2+ 3n(x1+x2)+2n2(14 分) 4 2
2 7 2 3 ?2 7?2n -6? 2 3 = ?- - + 3n(- n)+2n2=7.(16 分) n 4? 3 3 ? 2? 3 ?

ex 19. 解:(1) 由函数 f(x)= 2-(x-2lnx)(x>0), x 可得 f′(x)= (x-2)(ex-x2) (2 分) x3

因为当 x>0 时,ex>x2.理由如下: 要使 x>0 时,ex>x2,只要 x>2lnx, 2 x-2 设 φ(x)=x-2lnx,φ ′(x)=1- = , x x 于是当 0<x<2 时,φ ′(x)<0; 当 x>2 时,φ ′(x)>0. 即 φ(x)=x-2lnx 在 x=2 处取得最小值 φ(2)=2-2ln2>0,即 x>0 时,x>2lnx, 所以 ex-x2>0,(5 分)

于是当 0<x<2 时,f′(x)<0; 当 x>2 时,f′(x)>0. 所以函数 f(x)在(0,2)上为减函数,(2,+∞)上为增函数.(6 分) e2 所以 f(x)在 x=2 处取得最小值 f(2)= -2+2ln2.(7 分) 4 ex ? (x-2)? ?x2-k? (x-2)(e -kx ) (2) 因为 f′(x)= = , x3 x
x 2

ex 当 k≤0 时, 2-k>0,所以 f(x)在(0,2)上单调递减,(2,4)上单调递增,不存在三个极 x 值点,所以 k>0.(8 分)
x ?e2-k? ( x - 2 ) ?x ? (x-2)(e -kx ) 又 f′(x)= = , x3 x x 2

e2·(x-2) ex 令 g(x)= 2,得 g′(x)= , x x3 易知 g(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,在 x=2 处取得极小值, e2 e4 得 g(2)= ,且 g(4)= ,(10 分) 4 16 e2 e4 ? ex 于是可得 y=k 与 g(x)= 2在(0,4)内有两个不同的交点的条件是 k∈? ? 4 ,16?.(12 分) x ex 设 y=k 与 g(x)= 2在(0, 4)内有两个不同交点的横坐标分别为 x1, x2, 则有 0<x1<2<x2<4, x 下面列表分析导函数 f′(x)及原函数 f(x):

x x-2 e -k x2 f′(x) f(x)
[Z-XK]

(0,x1) - + - 递减

x1 - 0 0 极小值

(x1,2) -
2

2 0 e -k 4 0 极大值

(2,x2) + - - 递减

x2 + 0 0 极小值

(x2,4) +
4

4 2 e -k 16 +

x

- + 递增

+ + 递增

可知 f(x)在(0,x1)上单调递减,在(x1,2)上单调递增. 在(2,x2)上单调递减,在(x2,4)上单调递增, 所以 f(x)在区间(0,4)上存在三个极值点.(15 分) e2 e4 ? 即函数 f(x)在(0,4)内存在三个极值点的 k 的取值范围是? ? 4 ,16?.(16 分) 1 20. 解:(1) 由题意得, an<an+1<2an,(2 分) 2 3 x 所以 <x<3, <4<2x,解得 x∈(2,3).(4 分) 4 2 1 (2) 由题意得,∵ an<an+1<2an,且数列{an}是等比数列,a1=1, 2 1 ? ?qn-1? q- ?>0, 1 n-1 n n-1 2? ? ∴ q <q <2q ,∴ ? 2 - ? ?qn 1(q-2)<0, 1 ? ∴ q∈? ?2,2?.(6 分) 1 又∵ Sn<Sn+1<2Sn,∴ 而当 q=1 时,S2=2S1 不满足题意.(7 分) 2
n n 1 1-qn 1 1-q 1-q 当 q≠1 时, · < <2· , 2 1-q 1-q 1-q


1 ? ∴ ①当 q∈? ?2,1?时,
n 1 ? ?q (q-2)>-1,? ?q (q-2)>-1, ? n ? 1 ?q (2q-1)<1, ? ?q (2q-1)<1 ?

1 ? 解得 q∈? ?2,1?;(9 分) ②当 q∈(1,2)时,
n 1 ? ?q (q-2)<-1,? ?q (q-2)<-1, ? n ? 1 无解. ?q (2q-1)>1, ? ?q (2q-1)>1, ?

1 ? ∴ q∈? ?2,1?.(11 分) 1 (3) ∵ an<an+1<2an,且数列 a1,a2,?,ak 成等差数列,a1=1, 2 1 ∴ [1+(n-1)d]<1+nd<2[1+(n-1)d],n=1,2,?,k-1. 2
?d(n+1)>-1, ? 1 - ,1?,(13 分) ∴ ? ∴ d∈? k ? ? ?d(2-n)<1, ?

d? d 2 ? d? d 又∵ a1+a2+?+ak=120,∴ Sk= k2+? ?a1-2?k=2k +?1-2?k=120, 2 240-2k 240-2k ? 1 ? ∴ d= 2 ,∴ ∈?-k,1?,解得 k∈(15,239),k∈N*, k -k k2-k

13 所以 k 的最小值为 16,此时公差为 d= .(16 分) 15 附加题 21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分. ...... A. 选修 41:几何证明选讲 解:因为 DE 是⊙O 的直径,则∠BED+∠EDB=90°, 又 BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°,(3 分) 又 AB 切⊙O 于点 B,得∠ABD=∠BED,所以∠CBD=∠DBA.(5 分) BA AD 即 BD 平分∠CBA,则 = =3, BC CD 又 BC= 2,从而 AB=3 2, 所以 AC= AB2-BC2=4,所以 AD=3,(8 分) AB2 由切割线定理得 AB2=AD· AE,即 AE= =6,故 DE=AE-AD=3,即⊙O 的直径 AD 为 3.(10 分) B. 选修 42:矩阵与变换 1 ? 1 0 ? 1 0 ?? 0 ? ? ? ? ? 2 ?,(4 分) 解:MN=? ? 2 ?=? ? ? 0 2 ?? ? 0 1 ? ? 0 2 ? 设(x,y)是曲线 y=sinx 上的任意一点,在矩阵 MN 变换下对应的点为(x′,y′).

? 1 0 ?x ?=?x′?,(6 分) ?? 则? 2 ? ? ? ? ?? ? ? ?y′? ? 0 2?y
1 1 所以 x′= x,y′=2y,且 x=2x′,y= y′,(8 分) 2 2 1 代入 y=sinx,得 y′=sin2x′, 2 即 y′=2sin2x′. 即曲线 y=sinx 在矩阵 MN 变换下的曲线方程为 y=2sin2x.(10 分) C. 选修 44:坐标系与参数方程 解:由 ρ=2 3sinθ ,得 ρ2=2 3sinθ ,从而有 x2+y2=2 3y,(3 分) 所以 x2+(y- 3)2=3.(5 分) 1 3 设 P?3+ t, t?,C(0, 3), 2 2 ? ? PC=
2 2 ?3+1t? +? 3t- 3? = t2+12,(8 分) ? 2? ?2 ?

故当 t=0 时,PC 取得最小值,此时 P 点的坐标为(3,0).(10 分) D. 选修 45:不等式选讲

解:存在实数 x 使 f(x)+g(x)>a 成立, 等价于 f(x)+g(x)的最大值大于 a,(2 分) 因为 f(x)+g(x)= 3x+6+ 14-x= 3× x+2+1× 14-x,(4 分) 由柯西不等式:( 3× x+2+1× 14-x)2≤(3+1)(x+2+14-x)=64,(7 分) 所以 f(x)+g(x)= 3x+6+ 14-x≤8,当且仅当 x=10 时取“=”,(9 分) 故常数 a 的取值范围是(-∞,8).(10 分) 【必做题】第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. 解:(1) 以 D 为原点,分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如 图所示空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2).

∵ E 为 AB 的中点, ∴ E 点坐标为 E(1,1,0), ∵ D1F=2FE, 2 2 4 → 2→ 2 ∴ D1F= D1E= (1,1,-2)=( , ,- ), 3 3 3 3 3 2 2 4? → → → DF=DD1+D1F=(0,0,2)+? ?3,3,-3? 2 2 2? =? ?3,3,3?.(2 分) → ? DF=0, ?n· 设 n=(x,y,z)是平面 DFC 的法向量,则? ∴ → ? DC=0, ? n· 2 2 2 ? ?3x+3y+3z=0, ? ? ?2y=0,

取 x=1 得平面 FDC 的一个法向量 n=(1,0,-1),(3 分) → ? D1F=0, ?p· 设 p=(x,y,z)是平面 ED1C 的法向量,则? → ? p· D1C=0, ? 2 2 4 ? ?3x+3y-3z=0, ∴ ? ? ?2y-2z=0, 取 y=1 得平面 D1EC 的一个法向量 p=(1,1,1),(4 分) ∵ n· p=(1,0,-1)· (1,1,1)=0, ∴ 平面 DFC⊥平面 D1EC.(5 分) (2) 设 q=(x,y,z)是平面 ADF 的法向量,则

→ → q· DF=0,q· DA=0, 2 2 2 ? ?3x+3y+3z=0, ∴ ? 取 y=1 得平面 ADF 的一个法向量 q=(0,1,-1),(7 分) ? ?x=0, π 设二面角 ADFC 的平面角为 θ,由题中条件可知 θ∈? ,π ?, ?2 ? 0+0+1 n· q ? 1 则 cosθ =-? |q|?=- 2× 2 =-2,(9 分) ?|n|· ∴ 二面角 ADFC 的大小为 120°.(10 分) 23. 解:(1) 杨辉三角形的第 n 行由二项式系数 Ck n,k=0,1,2,?,n 组成.
1 Ck k+ 1 4 k 3 Ck n n 如果第 n 行中有 k = = , k+1= = , Cn n-k+1 4 Cn n- k 5


即么 3n-7k=-3,4n-9k=5,(2 分) 解这个联立方程组,得 k=27,n=62.(3 分)
26 28 即第 62 行有三个相邻的数 C62 ,C27 62,C62的比为 3∶4∶5.(4 分) r 1 r 2 r 3 (2) 若有 n,r(n≥r+3),使得 Cr n,Cn ,Cn ,Cn 成等差数列,
+ + +

r 1 r 2 r 2 r 1 r 3 则 2Cn =Cr n+Cn ,2Cn =Cn +Cn ,
+ + + + +



2·n! n! = + (r+1)!(n-r-1)! r!(n-r)!

n! , (r+2)!(n-r-2)! 2·n! n! n! = + .(6 (r+2)!(n-r-2)! (r+1)!(n-r-1)! (r+3)!(n-r-3)! 分)

所以有 2 1 = + (r+1)(n-r-1) (n-r-1)(n-r) 1 , (r+1)(r+2) 2 1 = + (r+2)(n-r-2) (n-r-2)(n-r-1) 1 , (r+2)(r+3) 经整理得到 n2-(4r+5)n+4r(r+2)+2=0,n2-(4r+9)n+4(r+1)(r+3)+2=0. 两式相减可得 n=2r+3,
r r 1 r 2 r 3 于是 C2r +3 ,C2r+3,C2r+3 ,C2r+3成等差数列,(8 分)
+ + +

r 3 r 1 r 2 而由二项式系的性质可知 Cr 2r+3=C2r+3 <C2r+3 =C2r+3,
+ + +

这与等差数列性质矛盾,从而要证明的结论成立.(10 分)


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