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2.2.2-1对数函数的概念和性质


2. 2.2 对数函数及其性质
【教学目标】 ①理解对数函数的概念,熟悉对数函数的图象与性质规律. ②掌握对数函数的性质. ③通过对数函数图象和性质的学习, 渗透数形结合, 分类讨论等思想, 培养学生的观察, 分析,归纳等逻辑思维能力. 【教学重难点】 重点:理解对数函数的定义,掌握对数函数的图象和性质. 难点:底数 a 对对数函数图象和性质的影响. 【教学过程】 (一

)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性. (二)情景导入、展示目标 1、让学生看材料: 材料 1(幻灯) :马王堆女尸千年不腐之谜:一九七二年,马王堆考古发现震惊世界, 专家发掘西汉辛追遗尸时,形体完整,全身润泽,皮肤仍有弹性,关节还可以活动,骨质比 现在六十岁的正常人还好,是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。大家知道,世界发现的不 腐之尸都是在干燥的环境风干而成,譬如沙漠环境,这类干尸虽然肌肤未腐,是因为干燥不 利细菌繁殖,但关节和一般人死后一样,是僵硬的,而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中 保存二千多年,而且关节可以活动。人们最关注有两个问题,第一:怎么鉴定尸体的年份? 第二:是什么环境使尸体未腐?其中第一个问题与数学有关。

图 4—1 (如图 4—1 在长沙马王堆“沉睡”近 2200 年的古长沙国丞相夫人辛追, 日前奇迹般地“复

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活”了) 那么,考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近 2200 年?上 面已经知道考古学家是通过提取尸体的残留物碳 14 的残留量 p,利用 t ? log
5730 1 2

P

估算尸体出土的年代,不难发现:对每一个碳 14 的含量的取值,通 过这个对应关系, 生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对应,从而 t 是 P 的函数; 如图 4—2 材料 2 (幻灯) : 某种细胞分裂时, 由 1 个分裂成 2 个, 2 个分裂成 4 个 ??, 如果要求这种细胞经过多少次分裂, 大约可以得到细胞 1 万个, 10 万个 ??, 不难发现: 分裂次数 y 就是要得到的细胞个数 x 的函数,即 y ? log2 x ;

图 4—2 2、引导学生观察这些函数的特征:含有对数符号,底数是常数,真数是变量,从而得 出对数函数的定义:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函 数的定义域是(0,+∞) . 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别.如: 注意:○

y ? 2 log2 x ,y ? log 5

x 2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 , 都不是对数函数. ○ 且 a ? 1) . 5
2

3、根据对数函数定义填空; 例 1 (1)函数 y=logax 的定义域是___________ (其中 a>0,a≠1) (2) 函数 y=loga(4-x) 的定义域是___________ (其中 a>0,a≠1) 说明:本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制,加深对概念的理解,所以把 教材中的解答题改为填空题,节省时间,点到为止,以避免挖深、拓展、引入复 合函数的概念。 [设计意图:新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点,为了有助于他们对函数概念 本质的理解,不妨从学生自己的生活经历和实际问题入手” 。因此,新课引入不是按旧教材 从反函数出发,而是选择从两个材料引出对数函数的概念,让学生熟悉它的知识背景,初步 感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。这样处理,对数函数显得不抽象,学生 容易接受,降低了新课教学的起点] (三)合作探究、精讲点拨

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〈1〉 、画图、 形成感知 1.确定探究问题 教师:当我们知道对数函数的定义之后,紧接着需要探讨什么问题? 学生 1:对数函数的图象和性质 教师:你能类比前面研究指数函数的思路,提出研究对数函数图象和性质的方法吗? 学生 2:先画图象,再根据图象得出性质 教师:画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类? 学生 3:按 a ? 1 和 0 ? a ? 1 分类讨论 教师:观察图象主要看哪几个特征? 学生 4:从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图 教师:在明确了探究方向后,下面,按以下步骤共同探究对数函数的图象: 步骤一: (1)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

y ? log2 x

y ? log 1 x
2

(2)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

y ? log3 x

y ? log1 x
3

步骤二:观察对数函数 y ? log2 x 、 y ? log3 x 与 y ? log 1 x 、 y ? log1 x 的图象特征 ,
2 3

看看它们有那些异同点。 步骤三:利用计算器或计算机,选取底数 a (a ? 0 ,且 a ? 1) 的若干个不同的值,在同一 平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象,它们有哪些共同特征? 步骤四:规纳出能体现对数函数的代表性图象 步骤五:作指数函数与对数函数图象的比较 2.学生探究成果 (1) 如图 4—3、 4—4 较为熟练地用描点法画出下列对数函数 y ? log2 x 、y ? log 1 x 、
2

y ? log3 x 、 y ? log1 x 的图象
3

第 3 页

图 4—3

图 4—4
(2)如图 4—5 学生选取底数 a =1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10,并推荐几位代 表上台演示‘几何画板’ ,得到相应对数函数的图象。由于学生自己动手,加上‘几何画板’ 的强大作图功能,学生非常清楚地看到了底数 a 是如何影响函数 y ? loga x(a ? 0 ,且

a ? 1) 图象的变化。

图 4—5

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( 3 )有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验,学生很明确 y = loga x (a>1) 、y = loga x (0<a<1) 的图象代表对数函数的两种情形。 (图 4—6)

y = loga x (a>1)

y = loga x (0<a<1)

图 4—6
(4)学生相互补充,自主发现了图象的下列特征:①图象都在 y 轴右侧,向 y 轴正负 方向无限延伸;②都过(1、0)点;③当 a>1 时,图象沿 x 轴正向逐步上升;当 0<a<1 时, 图象沿 x 轴正向逐步下降;④图象关于原点和 y 轴不对称,并且能从图象的形状、位置、升 降、定点等角度指出指数函数与对数函数的图象区别;如图 4—7

图 4—7

3.拓展探究: (1)对数函数 y ? log2 x 与

y ? log 1 x 、 y ? log3 x 与
2

y ? log1 x 的图象有怎
3

样的对称关系? (2)对数函数 y = loga x (a>1) ,当 a 值增大,图象的上升“程度”怎样?说明: 这是学生探究中容易忽略的地方,通过补充学生对对数函数图象感性认识就比较全面。 [设计意图:旧教材是通过对称变换直接从指数函数的图象得到对数函数图象,这样处 理学生虽然会接受了这个事实, 但对图象的感觉是肤浅的; 这样处理也存在着函数教学忽视 图象、性质的认知过程而注重应用的“功利”思想。因此,本节课的设计注重引导学生用特 殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程,加深感性认识。同时,帮助学生确定探究问 题、探究方向和探究步骤,确保探究的有效性。这个环节,还要借助计算机辅助教学作用,

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增强学生的直观感受] 〈2〉 、理性认识、发现性质 1.确定探究问题 教师:当我们对对数函数的图象有了直观认识后,就可以进一步研究对数函数的性质, 提高我们对对数函数的理性认识。同学们,通常研究函数的性质有哪些途径? 学生:主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。 教师:现在,请同学们依照研究函数性质的途径,再次联手合作,根据图象特征探究出 对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质 2.学生探究成果 在学生自主探究、合作交流的的基础上填写如下表格: y = loga x (a>1) y = loga x (0<a<1) 函 数





定义域 值 域

R+ R 在(0,+ ? )上是增函数 (1,0)即 x=1,y=0 0<x<1 时,y<0 x>1 时,y>0

R+ R 在(0,+ ? )上是减函数 (1,0)即 x=1,y=0 0<x<1 时,y>0 x>1 时,y<0

单调性 过定点 取值范围

[设计意图:发现性质、弄清性质的来龙去脉,是为了更好揭示对数函数的本质属性,传统 教学往往让学生在解题中领悟。为了扭转这种方式,我先引导学生回顾指数函数的性质,再 利用类比的思想,小组合作的形式通过图象主动探索出对数函数的性质。教学实践表明:当 学生对对数函数的图象已有感性认识后,得到这些性质必然水到渠成] (四)反思总结、当堂检测 问题一: (幻灯) (教材 p79 例 8) 比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 23.4 , log 28.5 (2)log
0.3

1.8 , log

0.3

2.7

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(3)log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , 且 a≠1 ) 独立思考:1。构造怎样的对数函数模型?2。运用怎样的函数性质? 小组交流: (1) y ? log2 x 是增函数 (2) 变式训练:1. 比较下列各题中两个值的大小: ⑴ log106 log108 ⑶ log0.10.5 ⑵ log0.56 log0.10.6 l og0.54 ⑷ log1.50.6 log1.50.4
X y ? log0 。 3 是减函数

(3)y = loga x,分 a ? 1 和 0 ? a ? 1 分类讨论

2.已知下列不等式,比较正数 m,n 的大小: (1) log
3

m < log

3

n

(2) log

0.3

m > log 0.3 n

(3) log a m < loga n (0<a<1) (4) log a m > log a n (a>1) 问题二: (幻灯) ( 教材 p79 例 9)溶液酸碱度的测量。 溶液酸碱度是通过 pH 刻画的。pH 的计算公式为 pH= —lg[
? ?

H [ ],其中

]表示溶 H

液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升。 (1)根据对数函数性质及上述 pH 的计算公式,说明溶 液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系; (2) 已知纯静水中氢离子的浓度为[ ]=
?

10 H 摩尔/升,计算纯静水的 pH
?

?7

独立思考:解决这个问题是选择怎样的对数函数模型?运用什么函数性质? 小组交流:pH=-lg[ H]=lg[
? H ]=lg1/[

H 随着[ ],

?

H ]的增大, pH 减小,即溶液

?

中氢离子浓度越大,溶液的酸碱度就越大 [设计意图:1。这个环节不做为 本节课的重头戏,设置探究问题只是从另一层面上提 升学生对性质的理解和应用。问题一是比较大小,始终要紧扣对数函数模型,渗透函数的观 点(数形结合)解决问题的思想方法;2。旧教材在图象与性质之后,通常操练类似比较大 小等技巧性过大的问题,而新教材引出问题二,还是强调“数学建模”的思想,并且关注学 科间的联系,这种精神应予领会。当然要预计到,实际教学中学生理解这道应用题题意会遇 到一些困难,教师要注意引导] 【板书设计】 一、对数函数及其性质 1. 定义 2. 性质 二、例题 例1 变式 1 例2

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变式 2 【作业布置】 导学案课后练习与提高

2.2.2 对数函数及其性质学案 课前预习学案
一、预习目标 记住对数 函数的定义;初步把握对数函数的图象与性质. 二、预习内容 1、对数函数的定义_______________________________________. 2、对数函数 y = logax (a>0,且 a≠ 1)的图像和性质 研究函数 和 的图象; 请同学们完成 x , y 对应值表,并用描点法分别画出函数 y? 的图象: X

y ? log2 x

y ? log 1 x
2

log2 x
? ? ?

y ?和 log 1 x
2

? ? ?

1 0 0

y ? log2 x
y ? log1 x
2

y

O

x

观察发现:认真观察函数 y=log2x 的图象填写下表:

(表一)

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图象特征

代数表述

图象位于 y 轴的________.

定义域为:

图象向上、向下呈_________趋势.

值域为:

图象自左向右呈___ ________趋势. 观察发现:认真观察函数 图象特征

函数在(0,+∞)上是:

y ? log1 x 的图象填写下表: (表二)
2

代数表述

对数函数 y = logax (a>0,且 a≠ 1)的图像和性质: 0<a<1 a>1

(表三)

y
图 象

x =1 (1,0)

y

x =1
y ? loga x (a ? 1)

O
定 义 域 值

x
y ? loga x (0 ? a ? 1)

O

(1,0)

x

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性 质

三、提出疑惑 课内探究学案 一、学习目标 1 理解对数函数的概念,熟悉对数函数的图象与性质规律. 2 掌握对数函数的性质. 学习重难点 对数函数的图象与性质 二、学习过程 探究点一 例 1:求下列函数的定义域: y (2) ? loga (4 ? x ) (1) y ? loga;x 2

.

练习:求下列函数的定义域: (1) y ? log (1 ? ; x)
5

(2)

. y?

1 log2 x

解析 : 直接利用对数函数的定义域求解,而不能先化简. 解:略 点评:本题主要考查了对数函数的定义域极其求法. 探究点二 例 2:比较下列各组数中两个值的大小: (1) (2) log

log2 3.4, log2 8.5

0.3

1.8, log0.3 2.7

(3)loga5.1,loga5.9 (a>0,且 a≠ 1).

第 10 页

(1)

log0.5 6


____ ____ <

log0.5 4 ;
log1.5 1.4 ;

(2)log1.5 1.6 (3)

(4)若

log3 n , 则 m____n; log m > log0.3 n ,则 m____n.
0.3

log3 m

三、反思总结

四、当堂检测 1、求下列函数的定义域 (1)

y ? loga x2

(2)

y ? loga (4 ? x)

2、比较下列各组数中两个值的大小 (1)

log2 3.4, log2 8.5

(2)

log0.3 1.8, log0.3 2.7

第 11 页

课后练习与提高 1.函数 f(x)=lg( x ? 1 ? x )是
2

(奇、偶)函数。 。

2.已知函数 f(x)=log0.5 (-x2+4x+5),则 f(3)与 f(4)的大小关系为 3.已知函数 y ? loga (2 ? ax ) 在[0,1]上是减函数,求实数 a 的取值范围.

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2.2.2对数函数及其性质(一)

2.2.2 对数函数及其性质(一) 太原二十中指导思想: 通过观察、思考、交流、...3.情感、态度与价值观 (1)通过学习对数函数的概念、图象和性质,使学生体会知识...

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高一数学《2.2.2对数函数及其性质(第一课时)》教案

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