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9.三角函数与平面向量专题复习策略


三角函数与平面向量专题复习策略
九江市同文中学 陈 劲
《三角函数》是高中数学教学重点内容,是以角作为自变量的一类函数,包含了三角公式 的变换,三角函数的图像和性质,解三角形及其应用等内容,一直是数学高考的主体内容, 《平面向量》作为课程新增内容,具有代数和几何形式的“双重身份” ,这使它成为中学数 学知识的一个交汇点, 在数学高考高考试题中有着重要的地位。

这部分能否得高分对数学成 绩是否理想在一定程度上起着决定性的影响. 一、知识结构和考纲要求 1.三角函数
内容 任意 角弧 度制 了解任意角的概念和弧度制,能进行 角度与弧度的互化 理解弧度的意义,并能 正确的进行弧度和角度 的换算 1.借助单位圆理解任意角三角函数 (正 弦、余弦、正切)的定义. 2.借助单位圆中的三角函数线推导出 诱导公 1.使学生掌握任意角的 三角函数定义、三角函 同角三角函数间的关系 式与诱导公式,了解周 期函数与最小正周期的 意义 2.能运用上述三角函数 的公式化简简单的三角 函数式、求任意角的三 角函数值域证明三角恒 等式,会有已知三角函 数值求角。 3.理解正弦函数、余弦 函数、正切函数的图象 和性质,了解正弦、余 弦、正切函数的图象的 画法,会用“五点法” 画正弦、余弦函数和 课标明确提出任意角的概 念;由理解变为了解,要求 略有降低 课标特别重视数形结合 思想的应用和能力的形成, 函数概念、公式、图象和性 质等知识的产生和推导的 全过程,使学生体验数学发 现和创造的乐趣,学会观 察、探索、分析的方法 对任意角的三角函数的 定义.课标删去大纲中余切、 正割、余割的定义;对同角 三角函数的基本关系式,课 标把大纲中的三个减少为 两个,减少了内容;同时把 大纲中的三角函数的和、 差、倍、半角公式的等三角 恒等变换的公式从本章抽 出来,单独列为另一章。 课标删除了大纲中“已 知三角函数值求角” 、 “反三 角函数” 的内容, 降低了 “给 角求值” 、 “证明三角恒等 式” 的难度要求, 新增了 “三 角函数模型的简单应用” , 增强了数学应用功能的教 学要求. 课程标准 考试大纲 区别

数符号、 三角函数性质、 特别重视让学生参与三角

?
2

? ?,? ? ? 的正弦、余

弦、正切,能画出

y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x
的图象,了解三角函数的周期性 3.借助图象理解正弦函数、 余弦函数在

[0, 2? ] ,正切函数 ( ?
象和 x 轴的交点等).

? ?

, ) 上的 2 2

性质(如单调性、最大和最小值、图 4.理解同角三角函数的基本关系式: 三 角 函 数

sin 2 x ? cos 2 x ? 1
sin x ? tan x cos x
5.结合具体实例,了解

y ? A sin(? x ? ? )
的简图,并通过正弦曲 线的应用,培养学生解 决有关实际问题的能力

y ? A sin(? x ? ? ) 的实际意义; 能
借助计算器或者计算机画出

y ? A sin(? x ? ? ) 的图象, 观察参
数 A,

? 、 ? 对函数变化的影响

6.会用三角函数解决一些简单实际问 题,体会三角函数是描述周期变化现 象的重要函数模型. 1

两角和 与差的 正弦、 余弦正 切公式

1.经历用向量的数量积推导 出两角差的余弦公式的过 程,进一步体会向量方法的 作用 2.能从两角差的余弦公式, 导出两角和与差的正弦、余 弦、正切公式,二倍角的正 弦、余弦、正切公式,了解 它们的内在联系

1. 掌握两角和与两角差 的正弦、余弦、正切公式; 掌握二倍角的正弦、余弦、 正切公式 2. 通过公式的推导,了 解它们的内在联系,从而培 养逻辑推理能力

1.关于公式的推导,课标降低了 要求 2.关于公式的推导过程,课标强 调了用向量的方法

简单的 三角恒 等变换

能运用上述公式进行 简单的恒等变换。 (包括引 导出积化和差、和差化积、 半角公式、但不要求记忆)

能正确运用三角公式, 进行简单三角函数式的化 简、 求值和恒等式证明。 (包 括引出积化和差、和差化 积、半角公式,但不要求记 忆)

公式的应用要求大致一样, 课标对应用的含义更加广泛, 三 角恒等变换的目的不止限于化 简、求值和恒等式证明,其应用 的含义更在于实际生活中。

正弦定 理与余 弦定理

通过任意三角形边长和角度 余弦定理,并能解决一些简 单的三角形度量问题

掌握正弦定理、余弦定理, 能利用计算器解决解三角形 的计算问题

1. 课标强调通过三角形边角关 系的探求、 探索, 让学生了解知 识的产生过程, 提出的要求比大 纲的要求更高。 2. 重视正弦定理和余弦低领在 探索三角形边角关系中的作用

关系的探索, 掌握正弦定理、 并能运用它们解斜三角形,

应 用 举 例

通过运用正弦定理、余弦定 理等知识和方法解决一些与 测量和几何计算有关的实际 问题

通过解三角形的应用教学, 继续提高运用所学知识解决 实际问题的能力

1.课标明确了知识的应用, 要求 解决的实际问题与测量和几何 计算有关 2. 课标让学生认识到它们是解 决测量问题的一种方法, 提高了 知识应用的层次要求

2.平面向量 内容 课程标准 平面向量的实际背景及 基 本 概 念 基本概念通过力和力的分 析等实例, 了解向量的实际 背景, 理解平面向量和向量 相等的含义, 理解向量的几 何表示 线 性 运 算 1.通过实例,掌握向量加、 1.掌握向量加、减运算,并 减运算,并理解其几何意 义. 2.通过实例, 掌握向量数乘 理解其几何意义 2. 掌握向量实数与向量的 积的运算, 理解两个向量共 2 强调“通过实例” 由理解“充要条件”变为理解 “含义“,降低了要求. 考试大纲 平面向量的实际背景及 基本理解向量的概念, 掌握 向量的几何表示, 了解共线 向量的概念 区别 由理解“概念”变为理解“含 义” , 由 “掌握” 几何表示变为 “理 解”几何表示,降低了要求.

的运算,并理解其几何意 义, 以及两个向量共线的含 义. 3. 了解向量的线性运算性 质及其几何意义。 1.了解平面向量的基本 定理及其意义. 基本定 理及坐 标表示 2. 掌握平面向量的正交分 解以及坐标表示. 3. 会用坐标表示平面向量 的加、减与数乘运算. 4. 理解用坐标表示的平面 共线的条件. 1.通过物理中德“功”等实 例, 理解平面向量数量积的 含义及其物理意义. 2. 体会平面向量的数量积 与向量投影的关系. 数量积 3. 掌握数量积的坐标表达 式, 会进行平面向量数量积 的运算. 4. 能运用数量积表示两个 向量的家教, 会用数量积判 断两个平面向量的垂直关 系. 经历用向量方法解决 向量的 应用 力学问题与其他一些实际 问题的过程, 体会向量是一 种处理几何问题、 物理问题 等的工具, 发展运算能力和 解决实际问题的能力

线的充要条件。 3.会进行向量的线性运算。

由“会”进行线性运算变为 “了解”线性运算性质.

1.了解平面向量基本定理. 2. 理解平面向量的坐标的 概念. 3. 掌握平面向量的坐标运 算. 4. 理解两个向量共线的充 要条件. 1. 掌握平面向量的数量积 的定义、 数学表达式, 及其 几何意义。 2. 明确向量 b 在向量 a 的 方向上的投影. 3. 掌握数量积的公式及坐 标表达式, 能进行数量积的 运算。 4.明确两向量夹角的意义, 掌握两向量垂直的充要条 件, 能用两种形式表示向量 垂直的充要条件. 掌握平面两点间的距 中点坐标公式、平移公式, 并能熟练运用; 会用平面向 量的数量积处理长度、 角度 等有关问题 运算

要求相同 引入“正交分解”概念 由“掌握”运算变为“会用” 由“充要条件”变为“条件”

由“明确定义、表达式”变为 “理解含义”及物理意义 由“明确投影”变为“体会 投影的关系” 对计算的要求没变 由“明确意义”变为“能表 示” ,由“掌握垂直的充要条件” 变为“会判断垂直关系”

降低了理论要求, 提高了实际 应用的能力要求

某些简单的平面几何问题、 离公式、 线段的定比分点和

二、试题结构及重难点分析 《三角函数》是高中数学教学重点内容,是高考的必考内容,从近几年的高考情况来看, 选择题、 填空题、 解答题等类型都会出现三角函数的相关知识, 难度不大, 属 “较易” 到 “中 等” ,所以是兵家必争之地,大家都希望拿满分。看看江西省近三年高考解答题考点分布情 况就证明了这一点。 题号 16 17 18 19 11 年 (文) 11 年(理) 统计,概率 解三角形 立体几何 体积,垂直 解析几何 概率,分布列 解三角形 等比数列 函数,导数 12 年(文) 12 年(理) 解三角形 数列,求和 概率 古典概型 立体几何 数列,求和 解三角形 概率 分布列 立体几何 13 年(文) 13 年(理) 数列,求和 解三角形 概率 古典概型 立体几何 解三角形 数列, 求和 概率 分布列 立体几何
3

抛物线 20 21 函数,导数 等比数列 解析几何 双曲线 立体几何 体积,垂直

体积,垂直 解析几何 轨迹 函数,导数

垂直,二面角 解析几何 轨迹 函数,导数 数列,不等式

距离,垂直 解析几何 椭圆

二面角 解析几何 椭圆

分段函数, 分段函数, 导数 导数

通过上面这个表可以清楚地看到解答题考察的几个方面。近几年的高考对三角变换的考 察要求有所降低, 但对三角函数的图像与性质的考察却有所加强, 三角题一般两小 (或三小) 题一大题,占总分的 15﹪。从考察的内容看,主要涉及以下四类问题: (1) 应用同角变换,诱导公式和两角和与差的三角函数公式求值和等式的证明问题; (2) 与三角函数图像,性质有关的问题; (3) 三角形中的三角函数问题(解三角形及其应用) ; (4) 与平面向量,导数的综合问题。 高考试题蕴含着丰富的信息,特别是近三年的高考题融入了教育改革的理念,对教学具 有辐射,导向的作用,如果教师能够认真分析,整合资源,这将是一笔丰厚的财富,一定能 得到许多的启示。 《平面向量》作为课程新增内容,具有代数和几何形式的“双重身份” ,有着极其丰富的 实际背景,这使它成为中学数学知识的一个交汇点,也成为多项内容的媒介,在高考试题中 主要考察有关基础知识, 侧重平面向量的数量积以及平面向量的平行, 垂直关系的坐标运算。 高考考察重点主要体现在平面向量的数量积, 坐标运算以及平面向量在三角, 解析几何等方 面的应用,突出向量的工具作用。考题通常以中等难度为主。在复习中要重视教材的基础作 用,加强基本概念,基础知识的复习,做到概念清楚,运算准确,不必追求解难题。 近三年年江西省高考试卷三角函数和平面向量部分试题分布及考查的知识点如下:
选择题 填空题 理科 11 题 求向量的夹 2011 年 江西卷 角, 考察学生 计算能力, 转 化能力。 文科 11 题 求向量的数 量积, 考察学 转化能力。 解答题 理科 17 题 三角变换及解 三角形, 考察学 简求值的能力。 文科 17 题 解三角形,考察 学生公式变形化 简求值的能力。

生计算能力, 生 公 式 变 形 化

选择题 理科 4 题 理科 7 题 坐标法, 考 察学生公 2012 年 江西卷 式变形, 整 体代换化 简, 求值的 能力及数 形结合的 能力. 文科 4 题 文科 9 题

填空题 文科 12 题 向量的坐标 运算, 考察学 转化能力。

解答题 理科 17 题 三角函数的化 简和证明, 三角 文科 16 题 三角形中的三 角函数, 正弦定 理,余弦定理。 问题, 解决问题 及三角计算的 能力。

三角变换, 三角变换, 三角函数 的性质, 考 察学生公 式变形化 简求值的 能力.

生计算能力, 形 中 的 三 角 函 考察学生分析 问题, 解决问题 及三角计算的 能力。

数,正弦定理。 考 察 学 生 分 析

4

选择题 文科 3 题 余弦的二 倍角公式, 考察学生 2013 年 江西卷 的计算能 力。

填空题 理科 11 题 理科 12 题 三角变换,三 角函数的性 质, 向量的数 量积,射影, 模长, 考察学 生化归与转 化思想, 及计 算的能力。 两角和与 差公式,辅 助角公式, 三角函数 的性质,考 察学生化 归与转化 思想。 文科 13 题

解答题 理科 16 题 三角形中的 三角函数, 三 角变换, 解三 角形。 考察学 生公式变换 能力综合, 分 析, 解决问题 的能力。 文科 17 题 正弦定理, 余弦定 理, 倍角公式及等 差数列的概念。 考 察学生公式变换 能力综合,分析, 解决问题的能力。

三、高考试题的特点分析 近几年来,三角函数和平面向量试题具有以下几个特点: 1、突出基础知识,基本共识与基本技能的考查.即源于基础,又高于基础;稳中有变, 但变中又有“定”. (1)三角函数内容最大的特点就是公式多,变换的形式多,如何确定变形方法和方向 是解题的关键。要求学生对公式要能“正用,逆用,变用,巧用” 。应用同角变换,诱导公 式,两角和与差的三角函数公式求值,化简和等式的证明问题,是三角函数最常见的考点, 此类考题比较简单,源于课本的三角函数公式的习题,但是又高于课本,有些问题带有隐蔽 性,需要适当转化才能化归为课本习题. 例 1: (2012 年江西卷理科第 4 题)若 tan ? ? A.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

1 ? 4 ,则 sin 2? ? tan ? 1 D. 2

本题考查三角变换公式的应用及转化与化归, 整体代换的数学思想。 已知某个角的正 切值,求关于正弦,余弦的齐次分式时,常将正弦,余弦转化为正切,即弦化切,来达到简 解的目的。也可以利用切化弦的常规转化. 解一:

tan ? ?

1 1 ? tan 2 ? ? ? 4 ,?1 ? tan 2 ? ? 4 tan ? tan ? tan ?
2sin ? cos ? 2 tan ? 2 tan ? 1 ? ? ? 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 4 tan ? 2

? sin 2? ? 2sin ? cos ? ?
解二:

tan ? ?
1 2

1 sin ? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ? 1 2 ? ? ? ? ? ?4 tan ? cos ? sin ? sin ? cos ? sin ? cos ? sin 2?

? sin 2? ?

对于三角函数求值的考查主要集中在同角三角函数的基本关系, 两角和与差的三角函数 公式, 二倍角公式上。 重点和难点是记忆及熟练运用两角和与差的三角函数公式及二倍角公 式。一道选择题启示着我们的教学方向,学习三角函数公式不要只做表面文章,而应深入研 究公式,定理的来龙去脉,变化形式,通过训练克服逆向运用这一难点。在教学上让学生熟 悉一些常见的恒等变形代换,如“1”的代换, 1 ? sin ? ? cos ? ? tan ? cot ? ? tan
2 2

?
4



弦切互化,引入辅助角进行“合一变换”等,十分有利于培养学生的计算能力及逆向思维能
5

力. 例 2: (2013 年重庆卷理科第 9 题) 4cos50 ? tan 40 ? (
0 0

) D. 2 2 ?1

A. 2

B.

2? 3 2

C. 3

这道三角函数无条件求值问题, 意在考查学生对公式的运用能力。 对于三角函数求值问 题,关键有“三看” :即(1)看角,关注角和角之间的关系,把角尽量向特殊角或可计算的 角转化,注意拆角,拼角等技巧;例如:已知 cos(? ? 学生一般会把 cos(? ?

?
6

)?

?
6

4 ,且 ? 为锐角,求 sin ? 的值。 5

) 展开,教师应引导学生作角度变换的技巧( ? ? (? ?

?

小结常见的角度变换方法( ? ? (? ? ? ) ? ? ,

? ??
2

? (? ?

?
2

)?(

?
2

6

)?

?

6

)并

? ? ) 等) 。 (2)看名称,

把一道等式尽量化为同一名称或相近名称,例如把所有的“切”都转化为相应的“弦”或把 所有的“弦”都转化为相应的“切” ; (3)看式子结构,要能“正用,逆用,变用,巧用” 三角公式,如何将条件角化为目标角,将目标角用条件角表示。 解: 4cos 50 ? tan 40 ? 4cos 50 ?
0 0 0

sin 400 4sin 400 cos 400 ? sin 400 ? cos 400 cos 400

3 3 cos100 ? sin 300 2sin 800 ? sin 400 2 cos100 ? sin(300 ? 100 ) 2 2 ? ? ? cos 400 cos 400 cos 400

?

3(cos300 cos100 ? sin 300 sin100 ) 3 cos 400 ? ? 3 cos 400 cos 400

(2)三角函数图像,性质是三角函数的主体内容,是高考的重点和热点。内容上,主要 考查三角函数的周期性,单调性,奇偶性,对称性,有界性,五点作图法及图形变换等;形 式上,一般为选择题,填空题,也可能是解答题,大多为中低档题. 例 3: (2013 年安徽卷理科第 16 题)已知函数 f ( x) ? cos ? x ? sin(? x ? 小正周期为 ? . (1)求 ? 的值; (2)讨论 f ( x ) 在区间 [0,

?
4

)(? ? 0) 的最

?
2

] 上的单调性.

解: (1) f ( x) ? cos ? x ? sin(? x ?

?
4

) ? 2 2 sin ? x ? cos ? x ? 2 2 cos 2 ? x

? 2(sin 2? x ? cos 2? x) ? 2 ? 2sin(2? x ? ) ? 2 4 2? ? ? ,? ? ? 1 函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? ,且 ? ? 0 ,? 2?
(2)由(1)知: f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

?

? ? ? 5? ) ? 2 ,若 x ? [0, ] ,则 ? 2 x ? ? ; 4 2 4 4 4
6

] 时, f ( x) 单调递增; 2 8 ? ? 5? ? ? 当 ? 2x ? ? ,即 x ? [ , ] 时, f ( x ) 单调递减. 2 4 4 8 2


?

4

? 2x ?

?

4

?

?

,即 x ? [0,

?

例 4: (2013 年江西卷理科第 11 题) 函数 y ? sin 2x ? 2 3sin 2 x 的最小正周期为 解: y ? sin 2 x ? 2 3 sin x ? 2sin(2 x ?
2

.

?
3

) ? 3,? 最小正周期 T ? ? .

这些高考题主要考查了两角和与差公式, 三角函数的性质, 意在考查转化与化归思想的 运用。高考对于三角函数图像性质的考查通常遵循“先变形,后研究”的模式,变形的目标 即为 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的形式,变形时涉及升(降) 次公式,二倍角公式,辅助角公式, 图像变换,在此过程中,等价转化思想,数行结合思想,整体代换思想都得到不同程度的考 查。在教学中,教师应注意数学思维的训练,克服单向性,定向性。通过训练让学生亲自体 会如何利用角之间的倍,半,和,差等关系进行变角,如何进行升(降)次代换。把这些训 练落实到平时的教学之中, 并注意引导学生及时总结归纳, 提高对问题的分析及对知识的灵 活运用能力。 (3)高考对解三角形的考查通常分两个层面:知识层面要求“掌握正弦定理,余弦定 理,并能解决一些简单的三角形度量问题“,运用层面要求“能够正弦定理,余弦定理等知 识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题” 。新课标对解三角形要求明显高于以往, 总体思路时客观题直接考查正弦定理,余弦定理;解答题则与三角函数,向量等结合,通过 边角互化和三角运算化简变形, 最后获得问题的解。 值得注意的是江西省连续三年都是考查 了解三角形问题,很多考生由于处理不当导致三角题成为重要的区分点。 例 5: (2013 年江西卷理科第 12 题)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 已知 cos C ? (cos A ? 3sin A)cos B ? 0 . (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 1 ,求 b 的取值范围. 本题主要考查了三角变换与解三角形中知识,意在考查学生转化与化归能力及三角计算 的能力。第(1)问先将 cos C 转化为 ? cos( A ? B) ,再展开原式求出角 B ;第(2)问利用 余弦定理构造 b 与 a , c 的关系,由 a ? c ? 1 及(1)中求得的 cos B ,将 c 化去,于是构造出

b 关于 a 的函数式,在利用函数知识即可求得 b 的取值范围.
解: (1)由已知得 ? cos( A ? B) ? cos A cos B ? 3sin A cos B ? 0 ,即

sin A sin B ? 3 sin A cos B ? 0 ,因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 3 cos B ? 0 得 B ?
, a ? c ? 1 ,得: 3 1 1 1 1 b 2 ? 3(a ? ) 2 ? ,又 0 ? a ? 1 ,所以 ? b 2 ? 1 ,即 ? b ? 1 . 2 4 4 2
2 2 2

?
3



(2)由余弦定理, b ? a ? c ? 2ac cos B, B ?

?

高考题中经常将三角变换与解三角形中知识综合起来命题, 其中关键是三角变换, 而三
7

角变换中主要是“变角,变函数名和变运算形式” ,其中核心是“变角” ,即注意角之间的结 构差异,弥补这种结构差异的依据是三角函数公式. 求三角形中的一些基本量,主要是指求三角形的三边,三角及面积等,它的实质是将几 何问题转化为代数问题,解题的关键是正确分析边角关系,依据条件合理设计解题程序,利 用三角形的内角和定理,正弦定理及余弦定理等进行三角形中边角的互化. (4)平面向量的概念及线性运算中的加法,减法运算的法则与几何意义以及向量共线 问题是考查热点,且容易出现情境新颖,设计巧妙的新题。平面向量的数量级是高考命题的 热点, 其考查内容主要有以下三个方面: 一是数量级的运算, 化简, 证明等; 二是向量平行, 垂直,夹角等问题;三是数量级的综合运用. 例 6: (2013 年江西卷理科第 12 题)设 e1 , e2 为单位向量,且 e1 , e2 的夹角为
? ? ? ? ?

? ,若 3

a ? e1 ? 3 e2 , b ? 2 e1 ,则向量 a 在 b 方向上的射影为

?

? ?

?

?

?

.

本题考查向量的数量级,向量的射影及模长公式,意在考查学生的运算能力.
? ? ? ? 1 ? a? b 5 解: e1 ? e2 ? 1 ,且 e1 ? e2 ? , a ? 13, b ? 2, 所以 a cos ? a , b ?? ? ? , 2 2 b ? ? ? ?

? ?

要注意“向量 a 在 b 方向上的射影”与“向量 b 在 a 方向上的射影”的区别,前者 为 a cos ? a , b ? ,后者为 b cos ? a , b ? . 例 7: (2012 年北京卷理科第 13 题)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上 的动点,则 DE ? CB 的值为
? ?

?

?

?

?

?

? ?

?

? ?

; DE ? DC 的最大值为

?

?

.

本题考查向量的线性运算,向量的数量级运算等基础知识,考查学生的坐标思想,数 形结合思想, 等价转换思想及运算能力。 通过建立直角坐标系很容易得到 DE ? CB 的值为 1,
? ?

DE ? DC 的最大值 1.
由于向量具有代数和几何形式的“双重身份” ,使它成为中学数学知识的一个交汇点,也 成为多项内容的媒介,解析几何等方面的应用,突出向量的工具作用。 例如 2012 年江西卷理科第 20 题已知三点 O(0,0), A(?2,1), B(2,1) ,曲线 C 上任意一 点 M ( x, y ) 满足 MA? MB ? OM ? (OA? OB) ? 2 .(1)求曲线 C 的方程; (2)略. 这些问题充分体现了向量的工具作用,在平面位置关系中的平行,垂直,夹角及比例 关系中都可以利用向量为载体。教学中,在复习“向量”单元时,应注重向量的工具作用, 体现向量在平面位置关系中的规范表达,强调向量的几何意义.有时候用几何意义解题, 会比用代数方法来的巧妙,可以避免大量繁琐的计算.
? ? ? ? ?

?

?

8

2、体现出高考命题灵活的原则。 改变基础知识的编排顺序与配合方式, 打破学生“记 忆式”的解题思路,使题目以全新的面孔出现. 例 8: (2012 年江西卷理科第 17 题)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 已知 A ?

?
4

, b sin(

?

? C ) ? c sin( ? B) ? a . 4 4

?

(1)求证: B ? C ? (2)若 a ?

?

2



2 ,求 ?ABC 的面积.

本题主要考查了三角函数的化简和证明,三角形中的三角函数(正弦定理的应用) , 学生分析问题,解决问题及三角计算的能力。第( 1)问先由正弦定理化边为角,再化简 已知三角式即证;第(2)问直接把 B, C 算出来,再利用面积公式求值. 解:由 b sin(

?

sin B sin( ? C ) ? sin C sin( ? B) ? sin A 4 4

?

? C ) ? c sin( ? B) ? a ,应用正弦定理,得 4 4

?

?

sin B(

2 2 2 2 2 sin C ? cos C ) ? sin C ( sin B ? cos B) ? 2 2 2 2 2

整理得: sin B cos C ? cos B sin C ? 1 ,即 sin( B ? C ) ? 1 由于 0 ? B, C ?

3? 5? ? ,C ? , ,所以 B ? 2 4 4 8 8 ? a sin B 5? a sin C ? ? 2sin ? 2sin , 由 a ? 2 , A ? ,得 b ? ,c ? 4 sin A 8 sin A 8 1 5? ? ? ? 1 sin ? 2 cos sin ? . 所以 ?ABC 的面积 S ? bc sin A ? 2 sin 2 8 8 8 8 2
(2)由 B ? C ?

3? ? ,所以 B ? C ? ; 4 2

?

,A?

?

,所以 B ? C ?

我们的学生往往是怕“生”不怕难,第(2)问在遇到非特殊角的情况下思维受阻, 导致丢分,在教学上要让学生学会分析问题,培养克服困难的精神,通过转化使得解题能进 行下去. 例 9: (2011 年江西卷理科第 17 题)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 已知 sin C ? cos C ? 1 ? sin

C . 2

(1)求证: sin C 的值; (2)若 a ? b ? 4(a ? b) ? 8 ,求边 c 的值.
2 2

本题主要考查了两角和与差的三角函数公式, 倍角公式, 同角三角函数基本关系式及解 三角形(余弦定理)等基础知识,考查学生推理论证能力,抽象概括能力,运算能力.转化

9

C ? 1 ? cos C ,在 2 C C 3 2 C 利用倍角公式得 sin (2 cos ? 1) ? 2sin ,化简再利用平方关系得 sin C ? ;第(2) 2 2 2 4
与化归思想。第(1)问先对已知等式的结构进行整理,化为 sin C ? sin 问利用 a2 ? b2 ? 4(a ? b) ? 8 得 (a ? 2)2 ? (b ? 2)2 ? 0 ,但很多考生却没有看出这一变化, 2011 年我参加了高考阅卷工作,正好改这一题,考生得分很不理想,究其原因,学生总是 在三角函数的有关公式中思考, 特别是用余弦定理的方向去思考 (可能他们认为结构上有点 像) ,其结果不了了之。这正体现了高考命题灵活的原则,打破那种只凭熟练就能考好的备 考模式,让真正有思维的考生能够脱颖而出. 3、反映“在知识交汇处命题”的理念.在知识交汇处命题也是新课标考纲明确提出的, 主要考查学生如何将新的问题化归为自己熟悉的问题,渗透了化归思想。这种“交汇”现 已突破模块的范围,备受命题者的青睐,这种考题形式更加灵活,内容更加新颖,解法更 加灵活, 要引起重视。 所以我们应该以整个中学数学知识为背景, 全方位地复习、 巩固 “双 基”,不能有丝毫的侥幸心理. 例 10: (2013 年辽宁卷文科第 17 题)已知向量 a ? ( 3 sin x,sin x) ,
?

?

b ? (cos x,sin x), x ? [0, ] . 2
(1)若 a ? b ,求 x 的值;
? ?

?

?

?

(2)设函数 f ( x) ? a? b ,求函数 y ? f ( x) 的最大值. 本题主要考查向量的坐标运算,模的定义,向量的数量积运算,三角函数式的化简, 以及闭区间上的函数最值问题,意在考查学生三角函数的综合运用能力. 第(1)问:由模长相等可以把向量问题转化为三角函数问题,得到 4sin x ? 1 ,又
2

? 1 ? x ? [0, ] ,所以 sin x ? ,则 x ? ;第(2)问:通过降幂公式和二倍角公式可化 2 2 6 ? 1 3 简为 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? ,然后结合正弦函数的值域求得最大值为 . 6 2 2
这道题最大的亮点就是跨章节命题,用平面向量坐标形式呈现,从向量模长相等及向 数量积运算的知识入手,考查三角函数中最常见的求值问题,函数最值问题。体现了以平面 向量为载体,三角函数为核心的有机结合. 纵观近三年的高考数学三角函数题可以发现考查的形式多变 .三角函数和平面向量结 合,和导数不等式结合,和数列结合等.例如: (2013 年北京卷文科第 18 题)设函数 f ( x) ? x ? x sin x ? cos x ,
2

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a )) 处与直线 y ? b 相切,求 a , b 的值; (2)若曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围. (2013 年安徽卷理科科第 20 题)等.
10

4、重视数学思想的考查。数学思想,特别是函数方程、等价转化、分类讨论、数形 结合等, 是数学的灵魂, 是解答数学题的最高准则, 是我们解题行为的总的指导方针。 “数 形结合”是非常重要的数学思想方法,该方法运用得当,可以非常巧妙地解出用常规方法 很难解的题,在高考试卷中不管大题还是小题都不乏该思想方法的应用。 例 11: (2013 年湖南卷文科第 8 题)已知 a , b 是单位向量, a ? b ? 0 .若向量 c 满足
?
? ?
? ? ?

c ? a ? b ? 1 ,则 c 的最大值为(
A. 2 ? 1 B. 2

?

?

?



C. 2 ? 1

D. 2 ? 2

本题主要考查向量的坐标运算,向量模的几何含义与向量模的最值求解,意在考查学 生的转化能力,数形结合思想的运用能力。向量运算,如果能建立坐标系,则优先建系,运 用向量坐标运算求解,建立平面直角坐标系,令向量 a , b 的坐标为 a ? (1, 0), b ? (0,1) ,令
2 2 2 2 向量 c ? ( x, y ) ,则有 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 , c 的最大值为圆 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 上的

? ?

?

?

?

?

动点到原点距离的最大值,可转化为圆心 (1,1) 到原点距离加圆的半径 2 ,即 2 ? 1 。 例 12: (2013 年福建卷理科第 21 题)如图:在等要直角三角形 ?OPQ 中,

?POQ ? 900 , OP ? 2 2 ,点 M 在线段 PQ 上.
(1)若 OM ? 5 ,求 PM 的长; (2)若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 30 ,问:当 ?POM 取何值时, ?OMN
0

的面积最小,并求出最小值. 本题要求比较高,主要考查了解三角形,同角三角函数基本关系式,两角和与差的三角 函数等基础知识, 考查学生推理论证能力, 抽象概括能力, 运算能力, 考查函数与方程思想, 数形结合思想,转化与化归思想。第(1)问先由余弦定理可求解,第(2)问利用正弦定理 及三角形面积公式,得到 S?OMN 与 ?POM 的关系,再利用三角函数的有界性求最大值和最 小值. 解: (1)在 ?OMP 中, ?OPM ? 450 , OM ? 5, OP ? 2 2 ,由余弦定理得:

OM 2 ? OP2 ? MP2 ? 2 ? OP ? MP cos 45 ,得 MP2 ? 4MP ? 3 ? 0 ,得 MP ? 1 或 3 .
(2)设 ?POM ? x,0 ? x ? 60 ,在在 ?OMP 中,由正弦定理:OM ?
0 0

OP sin 450 , sin(450 ? x)

同理: ON ?

1 OP sin 450 , 所以 S ?OMN ? ? OM ? ON sin ?MON 0 2 sin(75 ? x)
11

?

1 1 1 ? ? ??? ? 0 0 0 0 sin(45 ? x) sin(75 ? x) sin(45 ? x) sin(45 ? x ? 30 ) 1 3 sin(2 x ? 300 ) ? 2 4
0

00 ? x ? 600 ,300 ? 2x ? 300 ? 1500 ,? x ? 300 ,sin(2 x ? 300 ) ? 1,此时,?OMN 的面积
最小,即当 ?POM ? 30 时, ?OMN 的面积最小为 8 ? 4 3 .
0

四、2014 高考命题趋势分析及备考建议 数学高考专题复习课没有固定的模式, 也没有固定的选题, 但是有一点是可以肯定的, 那就是专题复习绝不是也不应当是第一轮复习的简单重复. 1.回归教材,注重三角函数的概念教学。三角函数大题考查主要在前三题中,难度不 大,但单一型的题目将被更多的综合型题目所取代。特别是选择或填空题,每道题考查的知 识点也可能是两个、三个或更多个;容易出现情境新颖,设计巧妙的新题.学生往往容易失 分,在单元复习时注重各个单元知识 “交汇点” 的梳理,形成知识网络,便于在大脑中迅速、 准确的提取。在第一轮复习过程中,可设计一些灵活多变的概念题,以选择或填空题的形式 让学生反复练习,同时关注学生易错点,同步收集学生错题进行补偿练习. 2.建构知识网络,对章节知识进行全面梳理,明确各知识的之间的联系.例如:从三角 函数的定义到诱导公式,从两角和与差的三角函数公式到二倍角公式,利用向量证明正,余 弦定理等,同时关注高考热点,分析近三年高考真题,提出命题趋势的把握,对有关题型进 行归类整理。以提高学生的训练效率. 3.控制难度,注重教学的层次性.高考命题是以《考试说明》为依据的,高三数学复习 要以《考试说明》为指导,注意各知识点的难度控制,要弄清《考试说明》中各项要求的具 体落脚点,把握试题改革的新趋势.不要随便扩充和加深。例如三角函数的图像和性质复 习,可以通过由简单到复杂变式教学: “正弦函数,余弦函数和正切函数的图像和性质”到 “ y ? Af (? x ? ? ) 型的函数的图像和性质”到“一般三角函数式的图像和性质” ,总结解决 三角函数图像和性质一般思路和做法, 由易到难、 循序渐进, 并在此基础上提炼转化与化归, 数形结合等思想方法。同时,习题课应特别注意例题选择的综合性,习题教学的层次性,注 重变式教学,让学生逐步掌握三角函数的基本知识技能,体会基本数学思想方法. 4.规范解题,突出关键步骤。高考阅卷中,学生经常因解题不规范导致“该得分而没 有得分” 。对数学解答而言,解答过程的叙述要符合逻辑要求,不仅因果顺序不能颠倒,而 且要步步有据,跨步要合理,主要步骤(评卷中的得分点)都要明确无误的表达出来.这就 要求教师规范地做好示范作用。时间再紧张,也要对学生把得分步骤交代清楚. 5.注意三角函数与其他知识的综合.三角函数和平面向量结合,和导数不等式结合等依 然是高考命题的热点, 教学上要重视三角函数的工具性作用, 让一些有能力的学生进行知识 应用的拓展,有意识的注重知识板块的交叉运用,达到板块间的融会贯通. 6.关注教学主体学生对基本知识及基本技能的落实,注重学生自主学习.要求学生对自 己的错误进行归纳小结,找出错误的类型和原因,对易错问题要经常练习,对易混淆问题要 对比练习, 对重点问题要反复练习, 对练习后仍没有达到要求的学生要组织相关的训练进行 补救,直至完全过关。为了提高辅导的针对性,要坚持采取个别辅导的方式,对一些成绩较 差的学生的作业和练习要坚持面批.同时建立“学生练习情况记录表” ,将练习、作业、演板、 考试中显露出来的问题记录下来, 及时掌握学生知识的缺陷和薄弱环节, 做好解题后的反思 工作,使学生练一次、考一次就能提高一次.
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认真研究高考题能给我们许多启示:坚持“最基础的知识才是最有用的知识”的原则, 狠抓基础知识和基本思想方法的教学;重视过程教学,注意知识的发生发展过程,充分挖掘 课本中每一个概念的内涵及与他相关联的知识之间的联系, 形成知识网络; 从学科的整体高 度和思维价值的高度考虑问题, 拓宽题材, 多样化, 宽角度, 多视点地培养学生的数学素养; 让学生体验生活背景,丰富数学视野,不断培养学生用数学知识解决现实问题的能力,体现 数学的科学价值和人文价值. 二〇一三年十二月六日

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