三个正数的算术-几何平均不等式

专

题： 三个正数的算术-几何平均不等式
a?b?c 3 ? abc 。当且仅当 a ? b ? c 时，等号成 3

一、知识学习： 定理 3：如果 a, b, c ? R? ，那么 立。 推广：
a1 ? a 2 ? ? ? a n ≥ n a1a2 ?an 。当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 时，等号成

立。 n

语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 思考：类比基本不等式，是否存在：如果 a, b, c ? R? ，那么 a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc（当 且仅当 a ? b ? c 时，等号成立）呢？试证明。 二、例题分析： 例 1：求函数 y ? 2 x 2 ? 解一： y ? 2 x 2 ?
3 ( x ? 0) 的最小值。 x

3 1 1 1 2 ? 2 x 2 ? ? ? 33 2 x 2 ? ? ? 33 4 ? ymin ? 33 4 x x x x x

解二： y ? 2 x 2 ?
3

3 3 3 3 12 时 ? 2 2x 2 ? ? 2 6x 当 2 x 2 ? 即 x ? x 2 x x

? y min ? 2 6 ?

12 ? 2 33 12 ? 26 324 2

上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？ 变式训练 1
若a, b ? R ? 且a ? b, 求a ? 1 的最小值。 (a ? b)b

由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例 2 ：如下图，把一块边长是 a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形， 再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少 时，才能使盒子的容积最大？

1

变式训练 2

已知：长方体的全面积为定

值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多 少时，它的体积最大，求出这个最大值．

三、巩固练习 1.函数 y ? 3 x ? A.6 2.函数 y ? 4 x 2 ?
12 ( x ? 0) 的最小值是 ( x2

) C.9 . ） D.
2

B. 6 6
16 的最小值是 ( x ? 1) 2
2

D.12

3．函数 y ? x 4 (2 ? x 2 )(0 ? x ? 2 ) 的最大值是（ A.0 B.1 C.
16 27

32 27

4.(已知正数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1 ，求 4 x ? 4 y ? 4 z 的最小值。

5.设 a, b, c 为正实数，求证：

1 1 1 ? 3 ? 3 ? abc ? 2 3 3 a b c

2

不等式选讲 自我检测 1．若 x，y∈(0，＋≦)，且 x＋y＝s，xy＝p，则下列命题中正确的序号是 . ①当且仅当 x＝y 时，s 有最小值 2 p； ②当且仅当 x＝y 时，p 有最大值 ； 4 ③当且仅当 p 为定值时，s 有最小值 2 p； ④若 s 为定值，则当且仅当 x＝y 时，p 有最大值 . 4 x y 2． 若 x， y∈R， 且满足 x＋3y＝2， 则 3 ＋27 ＋1 的最小值是 1 1 3．设 x，y∈R，且 xy≠0，则(x2＋ 2)( 2＋4y2)的最小值为

s2

s2

.

y

x

1 4．函数 y＝3＋3x＋ (x<0)的最大值为

x 5．若 a，b∈R，且 a2＋b2＝10，则 a－b 的取值范围为
探究点一 利用柯西不等式求最值

．

例 1 已知 x，y，a，b∈R＋，且 ＋ ＝1，求 x＋y 的最小值．

a b x y

变式迁移 1 若 2x＋3y＝1，求 4x2＋9y2 的最小值． 探究点三 不等式的证明 例 3 (1)已知 a、b、c 为正数，且满足 acos2θ＋bsin2θ<c.求证： acos2 θ＋ bsin2θ< c. (2)设 a、b、c∈R＋， 1 1 1 求证：( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2≥27.

a

b

c

变式迁移 3 设 a、b、c∈R＋，求证： 1 1 1 9 (a＋b＋c)( ＋ ＋ )≥ . a＋b b＋c a＋c 2

3

一、填空题(每小题 6 分，共 48 分) 1 16x 1．若 x>1，则函数 y＝x＋ ＋ 2 的最小值为________． x x ＋1 3x 2．函数 y＝ 2 (x<0)的值域是________． x ＋x＋1 5 2 2 1 3 ． 函 数 y ＝ x( － 2x)(0 ≤ x ≤ ) 的 最 大 值 为 2 5 5 _____________________________________． 1 1 n 4． 设 a>b>c， n∈N*， 且 ＋ ≥ 恒成立， 则 n 的最大值是________． a－b b－c a－c 5．若 3x＋4y＝2，则 x2＋y2 的最小值为________． 6．函数 y＝ 12－2x＋ x－1的最大值为________． 7．函数 y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 1 2 mx＋ny＋1＝0 上，其中 m，n>0，则 ＋ 的最小值为________．

m n

8．设实数 x，y 满足 3x ＋2y ≤6，则 p＝2x＋y 的最大值是________． 二、解答题(共 42 分) 9．(12 分)设 a，b，c 为正数，求证：(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.

2

2

1 1 25 10．(14 分)设 x、y 均大于 0，且 x＋y＝1，求证：(x＋ )2＋(y＋ )2≥ . x y 2

11．(16 分)某养殖厂需要定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料 200 公斤， 每公斤饲料的价格为 1.8 元， 饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天 0.03 元， 购买饲料每次支付运费 300 元，求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支 付的费用最小．

4

不等式选讲 答案 自主梳理 1．(1)

a＋b
2

≥ ab

2．(1)(ac＋bd)2 自我检测 1．④ 解析 ≧x，y∈(0，＋≦)， ?x＋y≥2 xy， 又 x＋y＝s，xy＝p，

3 ad＝bc (2)|α||β|

(2)

a＋b＋c

3 ≥ abc

(3)a1＝a2＝…＝an

?当 s 一定，即 x＝y＝ 时，p 有最大值 ； 2 4 当 p 一定，即 x＝y＝ p时，s 有最小值 2 p. 2．7 解析 3x＋27y＋1≥2 3x〃27y＋1＝2 3x＋3y＋1＝7， 当且仅当“3x＝27y”即 x＝3y 且 x＋3y＝2 时， 1 上式取“＝” ，此时 x＝1，y＝ . 3 3．9 1 1 1 1 2 2 解析 (x2＋ 2)( 2＋4y2)＝5＋ 2 2＋4x2y2≥5＋2 2 2〃4x y ＝9，

s

s2

y

x

xy

xy

1 当且仅当 x2y2＝ 时“＝”成立． 2 4．3－2 3 解析 ≧x<0， 1 1 ?y＝3＋3x＋ ＝3－[(－3x)＋(－ )]≤3－2 3.

x

x

1 当且仅当－3x＝－ ，

x

即 x＝－

3 时取等号． 3 3 1 时，函数 y＝3＋3x＋ 有最大值 3－2 3. 3 x

?当 x＝－

5．[－2 5，2 5] 解析 由柯西不等式得，[12＋(－1)2](a2＋b2)≥(a－b)2， 2 ?(a－b) ≤20， ?－2 5≤a－b≤2 5，当且仅当“b＝－a”时上式“＝”成立． ?b＝－a 由? 2 2 ?a ＋b ＝10 ? ?a＝ 5 得，? ?b＝－ 5 ? ? ?a＝－ 5 或? ?b＝ 5 ?
5

.

课堂活动区 例 1 ( y)2][( 解题导引 由 于 ＋ ＝ 1 ， 则 可 以 构 造 x ＋ y ＝ [( x )2 ＋

a x

b y

a 2 ) ＋( x

b 2 ) ]≥( a＋ b )2 的形式，从而利用柯西不等式求出最 y

值． 利用柯西不等式求最值，实际上就是利用柯西不等式进行放缩，但放缩时 要注意等号成立的条件是否符合题意． 解 ≧x，y，a，b∈R＋， ＋ ＝1，

a b x y

?x＋y＝[( x)2＋( y)2][( ≥( a＋ b)2. 当且仅当 x〃 即 ＝

a 2 ) ＋( x a ， x

b 2 )] y

b ＝ y〃 y

a 时取等号． b ?(x＋y)min＝( a＋ b)2.
变式迁移 1 解 由柯西不等式得： 1 (4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1.?4x2＋9y2≥ . 2 当且仅当 2x×1＝3y×1，即 2x＝3y 时取等号． ?2x＝3y 由? ?2x＋3y＝1 1 ? x ＝ ? 4 得? 1 y＝ ? ? 6

x y

.

1 ?4x2＋9y2 的最小值为 . 2 例 2 解题导引 运用算术—几何平均不等式解决应用问题的步骤是： (1)弄清量与量之间的关系，将要求最大值(或最小值)的变量表示为其他变 量的函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为数学中的最值问题； (3)在 定义域内求函数的最值；(4)根据实际意义写出正确答案．

解 ＝x.

如图，设正六棱柱的底面 B1B2B3B4B5B6 的边长为 x(0<x<1)，则 OB1＝B1B2

由 A1A2A3A4A5A6 的边长为 1，得 OA1＝A1A2＝1，所以 A1B1＝OA1－OB1＝1－x. 作 B1C1⊥A1A2 于 C1.
6

在 Rt△A1B1C1 中，∠B1A1C1＝60°，则容器的高 B1C1＝A1B1sin 60°＝

3 (1－ 2

x)．
于是容器的容积为 V＝f(x)＝Sh＝(6〃 3 2 3 x )〃 (1－x) 4 2

9 ＝ x2(1－x)(0<x<1)． 4 9 9 则 f(x)＝ x2(1－x)＝ 〃x〃x〃(2－2x) 4 8 9 x＋x＋?2－2x? 3 1 ≤ 〃[ ]＝ . 8 3 3 2 1 当且仅当 x＝2－2x，即 x＝ 时，Vmax＝ . 3 3 2 1 故当正六棱柱容器的底面边长为 时，最大容积为 . 3 3 变式迁移 2 解 (1)设 h′是正四棱锥的斜高，由题设可得： 1 ? ?a ＋4〃2h′a＝2 ? 1 ? ?h ＋4a ＝h′
2 2 2 2

，消去 h′.解得：a＝

1 (h>0)． h2＋1

1 h (2)由 V＝ a2h＝ (h>0)， 2 3 3?h ＋1? 得：V＝ 1 1 3?h＋ ? 1 ，而 h＋ ≥2

h

h〃 ＝2. h

1

h

1 1 所以 0<V≤ ，当且仅当 h＝ ，即 h＝1 时取等号．故当 h＝1 米时，V 有最 6 h 1 大值，V 的最大值为 立方米． 6 (1)由柯西不等式可得 acos2θ＋ bsin2θ 1 1 ≤[( acos θ)2＋(bsin θ)2] (cos2θ＋sin2θ) 2 2 1 ＝(acos2θ＋bsin2θ) < c. 2 例 3 证明 3 (2)≧a，b，c∈R＋，?a＋b＋c≥3 abc>0， 3 2 2 2 2 从而(a＋b＋c) ≥9 a b c >0， 3 1 1 1 又 2＋ 2＋ 2≥3 1

a

b

c

a b2c2

2

>0，

7

3 1 1 1 ?( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2≥3

1

a

b

c

abc

2

2

2

3 〃 9 a2b2c2＝27.当且仅当 a＝b＝c 时，

等号成立． 变式迁移 3 证明

≧ a ， b ， c ∈ R ＋ ， ? (a ＋ b) ＋ (b ＋ c) ＋ (c ＋ a) ≥

3 3 ?a＋b??b＋c??c＋a?>0， 3 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ≥3 〃 〃 >0， a＋b b＋c a＋c a＋b b＋c a＋c 1 1 1 9 ?(a＋b＋c)( ＋ ＋ )≥ . a＋b b＋c a＋c 2 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立． 课后练习区 1．8 1 16x x2＋1 16x 解析 y＝x＋ ＋ 2 ＝ ＋ 2 ≥2 16＝8. x x ＋1 x x ＋1 x2＋1 16x 当且仅当 ＝ 2 ，即 x＝2＋ 3时等号成立． x x ＋1 2．[－3,0) 3x 3 解析 y＝ 2 ＝ . x ＋x＋1 1 x＋ ＋1

x

1 1 ≧x＋ ＝－[(－x)＋(－ )]≤－2.

x x

x

1 ?x＋ ＋1≤－1. ?0> 3 1 ≥－3，即－3≤y<0.

x＋ ＋1 x
?原函数的值域为[－3,0)． 4 3. 675 5 2 5 2 解析 y＝ x2( －2x)＝ x〃x( －2x)， 2 5 2 5 1 2 ≧0≤x≤ ，? －2x≥0， 5 5 2 x＋x＋? －2x? 5 5 4 ?y≤ [ ]3＝ . 2 3 675 2 2 4 当且仅当 x＝x＝ －2x，即 x＝ 时，ymax＝ . 5 15 675 4．4

8

a－c a－c ＋ a－b b－c a－b＋b－c a－b＋b－c b－c a－b ＝ ＋ ＝2＋ ＋ ≥2＋2＝4， a－b b－c a－b b－c a－c a－c 1 1 4 ? ＋ ≥4，? ＋ ≥ . a－b b－c a－b b－c a－c 1 1 n 又≧ ＋ ≥ 恒成立， a－b b－c a－c 4 n ? ≥ ，又≧a>c，?a－c>0，?4≥n，即 n≤4. a－c a－c
解析 ≧ 4 25 解析 5.

柯西不等式(32＋42)(x2＋y2)≥(3x＋4y)2， 4 得 25(x2＋y2)≥4，所以 x2＋y2≥ .① 25 不等式①中当且仅当 ＝ 时等号成立，x2＋y2 取得最小值， 3 4

x y

解方程组?x y ?3＝4， 因此当 x＝

?

3x＋4y＝2，

6 ? x ＝ ， ? 25 得? 8 y＝ . ? ? 25

6 8 4 ，y＝ 时，x2＋y2 取得最小值，最小值为 . 25 25 25

6. 15 解析 函数的定义域为[1,6]． y2＝( 12－2x＋ x－1)2 ＝( 2× 6－x＋1× x－1)2 2 2 2 2 ≤[( 2) ＋1 ]×[( 6－x) ＋( x－1) ]＝3×5＝15. ?y2≤15.?y≤ 15. 8 当且仅当 2× x－1＝1× 6－x，即 x＝ 时等号成立． 3 ?原函数的最大值为 15. 7．8 解析 函数 y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点 A(－2，－1)． 则(－2)m＋(－1)〃n＋1＝0,2m＋n＝1，m，n>0. 1 2 1 2 n 4m ＋ ＝( ＋ )〃(2m＋n)＝4＋ ＋

m n

m n m n n 4m 1 1 ≥4＋2 〃 ＝8，(m＝ ，n＝ 时取等号) m n 4 2
1 2 即 ＋ 的最小值为 8.

m n

9

8. 11 解析 ≧(3x2＋2y2)[( 2 2 1 ) ＋( )2]≥(2x＋y)2， 3 2

?(2x＋y)2≤

11 ×6＝11.?－ 11≤2x＋y≤ 11， 6 时，上式取“＝” ．

? 3x＝2 2y 3 当且仅当? 2 ?3x ＋2y ＝6
2 2

? ?x＝ 即? y＝ ? ?
?x＝

4 11 3 11

? ?x＝－ 或? y＝－ ? ?

4 11 3 11

.

4 3 ，y＝ 时，Pmax＝ 11. 11 11 9．证明 由算术—几何平均不等式可得：

a＋b＋c≥3 abc，
3

3

①

a2＋b2＋c2≥3 a2b2c2， ② ①②相乘得(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc 即为所证结论．(12 分)
1 1 25 要证(x＋ )2＋(y＋ )2≥ ， x y 2 1 1 25 只需证 x2＋y2＋ 2＋ 2＋4≥ . x y 2 ≧x＋y＝1， 1－2xy 17 即要证(1－2xy)＋ 2 2 ≥ ， xy 2 3 3 2 2 即要证 4x y ＋15x y ＋4xy－2≤0， 即要证(4xy－1)(x2y2＋4xy＋2)≤0， 即要证[4xy－(x＋y)2](x2y2＋4xy＋2)≤0， 即要证(x－y)2(x2y2＋4xy＋2)≥0.(12 分) ≧x、y 均大于 0，x＋y＝1，故上式成立． 1 1 25 故所证不等式(x＋ )2＋(y＋ )2≥ 成立． x y 2 方法二 ≧x＋y＝1， x＋y 2 1 ?xy≤( )＝ ， 2 4 1 ? ≥4. 10．证明 方法一

(3 分)

(5 分) (8 分) (10 分)

(14 分)

xy

(4 分)

1 1 又≧(12＋12)[(x＋ )2＋(y＋ )2]

x

y

10

1 1 ≥(x＋ ＋y＋ )2

y x＋y 2 1 ＝(x＋y＋ ) ＝(1＋ )2≥(1＋4)2＝25. xy xy
即 2[(x＋ )2＋(y＋ )2]≥25. 1 1

x

(8 分)

(12 分)

x

y

1 1 25 ?(x＋ )2＋(y＋ )2≥ . (14 分) x y 2 11．解 设该厂应隔 x(x∈N*)天购买一次饲料，平均每天支付的费用为 y. ≧饲料的保管与其他费用每天比前一天少 200×0.03＝6(元)， (2 分) ?x 天饲料的保管与其他费用共是： 6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)． (8 分) 1 300 从而有 y＝ (3x2－3x＋300)＋200×1.8＝ ＋3x＋357≥417. (14

x

x

分) 当且仅当 300

x

＝3x， (16

即 x＝10 时，y 有最小值 417. 即每隔 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的费用最小． 分)

11