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三个正数的算术-几何平均不等式




题: 三个正数的算术-几何平均不等式
a?b?c 3 ? abc 。当且仅当 a ? b ? c 时,等号成 3

一、知识学习: 定理 3:如果 a, b, c ? R? ,那么 立。 推广:
a1 ? a 2 ? ? ? a n ≥ n a1a2 ?an 。当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 时,等号成

立。 n

语言表述:n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 思考:类比基本不等式,是否存在:如果 a, b, c ? R? ,那么 a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc(当 且仅当 a ? b ? c 时,等号成立)呢?试证明。 二、例题分析: 例 1:求函数 y ? 2 x 2 ? 解一: y ? 2 x 2 ?
3 ( x ? 0) 的最小值。 x

3 1 1 1 2 ? 2 x 2 ? ? ? 33 2 x 2 ? ? ? 33 4 ? ymin ? 33 4 x x x x x

解二: y ? 2 x 2 ?
3

3 3 3 3 12 时 ? 2 2x 2 ? ? 2 6x 当 2 x 2 ? 即 x ? x 2 x x

? y min ? 2 6 ?

12 ? 2 33 12 ? 26 324 2

上述两种做法哪种是错的?错误的原因是什么? 变式训练 1
若a, b ? R ? 且a ? b, 求a ? 1 的最小值。 (a ? b)b

由此题,你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例 2 :如下图,把一块边长是 a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形, 再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少 时,才能使盒子的容积最大?

1

变式训练 2

已知:长方体的全面积为定

值S,试问这个长方体的长、宽、高各是多 少时,它的体积最大,求出这个最大值.

三、巩固练习 1.函数 y ? 3 x ? A.6 2.函数 y ? 4 x 2 ?
12 ( x ? 0) 的最小值是 ( x2

) C.9 . ) D.
2

B. 6 6
16 的最小值是 ( x ? 1) 2
2

D.12

3.函数 y ? x 4 (2 ? x 2 )(0 ? x ? 2 ) 的最大值是( A.0 B.1 C.
16 27

32 27

4.(已知正数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1 ,求 4 x ? 4 y ? 4 z 的最小值。

5.设 a, b, c 为正实数,求证:

1 1 1 ? 3 ? 3 ? abc ? 2 3 3 a b c

2

不等式选讲 自我检测 1.若 x,y∈(0,+≦),且 x+y=s,xy=p,则下列命题中正确的序号是 . ①当且仅当 x=y 时,s 有最小值 2 p; ②当且仅当 x=y 时,p 有最大值 ; 4 ③当且仅当 p 为定值时,s 有最小值 2 p; ④若 s 为定值,则当且仅当 x=y 时,p 有最大值 . 4 x y 2. 若 x, y∈R, 且满足 x+3y=2, 则 3 +27 +1 的最小值是 1 1 3.设 x,y∈R,且 xy≠0,则(x2+ 2)( 2+4y2)的最小值为

s2

s2

.

y

x

1 4.函数 y=3+3x+ (x<0)的最大值为

x 5.若 a,b∈R,且 a2+b2=10,则 a-b 的取值范围为
探究点一 利用柯西不等式求最值



例 1 已知 x,y,a,b∈R+,且 + =1,求 x+y 的最小值.

a b x y

变式迁移 1 若 2x+3y=1,求 4x2+9y2 的最小值. 探究点三 不等式的证明 例 3 (1)已知 a、b、c 为正数,且满足 acos2θ+bsin2θ<c.求证: acos2 θ+ bsin2θ< c. (2)设 a、b、c∈R+, 1 1 1 求证:( 2+ 2+ 2)(a+b+c)2≥27.

a

b

c

变式迁移 3 设 a、b、c∈R+,求证: 1 1 1 9 (a+b+c)( + + )≥ . a+b b+c a+c 2

3

一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1 16x 1.若 x>1,则函数 y=x+ + 2 的最小值为________. x x +1 3x 2.函数 y= 2 (x<0)的值域是________. x +x+1 5 2 2 1 3 . 函 数 y = x( - 2x)(0 ≤ x ≤ ) 的 最 大 值 为 2 5 5 _____________________________________. 1 1 n 4. 设 a>b>c, n∈N*, 且 + ≥ 恒成立, 则 n 的最大值是________. a-b b-c a-c 5.若 3x+4y=2,则 x2+y2 的最小值为________. 6.函数 y= 12-2x+ x-1的最大值为________. 7.函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 1 2 mx+ny+1=0 上,其中 m,n>0,则 + 的最小值为________.

m n

8.设实数 x,y 满足 3x +2y ≤6,则 p=2x+y 的最大值是________. 二、解答题(共 42 分) 9.(12 分)设 a,b,c 为正数,求证:(a+b+c)(a2+b2+c2)≥9abc.

2

2

1 1 25 10.(14 分)设 x、y 均大于 0,且 x+y=1,求证:(x+ )2+(y+ )2≥ . x y 2

11.(16 分)某养殖厂需要定期购买饲料,已知该厂每天需要饲料 200 公斤, 每公斤饲料的价格为 1.8 元, 饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天 0.03 元, 购买饲料每次支付运费 300 元,求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支 付的费用最小.

4

不等式选讲 答案 自主梳理 1.(1)

a+b
2

≥ ab

2.(1)(ac+bd)2 自我检测 1.④ 解析 ≧x,y∈(0,+≦), ?x+y≥2 xy, 又 x+y=s,xy=p,

3 ad=bc (2)|α||β|

(2)

a+b+c

3 ≥ abc

(3)a1=a2=…=an

?当 s 一定,即 x=y= 时,p 有最大值 ; 2 4 当 p 一定,即 x=y= p时,s 有最小值 2 p. 2.7 解析 3x+27y+1≥2 3x〃27y+1=2 3x+3y+1=7, 当且仅当“3x=27y”即 x=3y 且 x+3y=2 时, 1 上式取“=” ,此时 x=1,y= . 3 3.9 1 1 1 1 2 2 解析 (x2+ 2)( 2+4y2)=5+ 2 2+4x2y2≥5+2 2 2〃4x y =9,

s

s2

y

x

xy

xy

1 当且仅当 x2y2= 时“=”成立. 2 4.3-2 3 解析 ≧x<0, 1 1 ?y=3+3x+ =3-[(-3x)+(- )]≤3-2 3.

x

x

1 当且仅当-3x=- ,

x

即 x=-

3 时取等号. 3 3 1 时,函数 y=3+3x+ 有最大值 3-2 3. 3 x

?当 x=-

5.[-2 5,2 5] 解析 由柯西不等式得,[12+(-1)2](a2+b2)≥(a-b)2, 2 ?(a-b) ≤20, ?-2 5≤a-b≤2 5,当且仅当“b=-a”时上式“=”成立. ?b=-a 由? 2 2 ?a +b =10 ? ?a= 5 得,? ?b=- 5 ? ? ?a=- 5 或? ?b= 5 ?
5

.

课堂活动区 例 1 ( y)2][( 解题导引 由 于 + = 1 , 则 可 以 构 造 x + y = [( x )2 +

a x

b y

a 2 ) +( x

b 2 ) ]≥( a+ b )2 的形式,从而利用柯西不等式求出最 y

值. 利用柯西不等式求最值,实际上就是利用柯西不等式进行放缩,但放缩时 要注意等号成立的条件是否符合题意. 解 ≧x,y,a,b∈R+, + =1,

a b x y

?x+y=[( x)2+( y)2][( ≥( a+ b)2. 当且仅当 x〃 即 =

a 2 ) +( x a , x

b 2 )] y

b = y〃 y

a 时取等号. b ?(x+y)min=( a+ b)2.
变式迁移 1 解 由柯西不等式得: 1 (4x2+9y2)(12+12)≥(2x+3y)2=1.?4x2+9y2≥ . 2 当且仅当 2x×1=3y×1,即 2x=3y 时取等号. ?2x=3y 由? ?2x+3y=1 1 ? x = ? 4 得? 1 y= ? ? 6

x y

.

1 ?4x2+9y2 的最小值为 . 2 例 2 解题导引 运用算术—几何平均不等式解决应用问题的步骤是: (1)弄清量与量之间的关系,将要求最大值(或最小值)的变量表示为其他变 量的函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为数学中的最值问题; (3)在 定义域内求函数的最值;(4)根据实际意义写出正确答案.

解 =x.

如图,设正六棱柱的底面 B1B2B3B4B5B6 的边长为 x(0<x<1),则 OB1=B1B2

由 A1A2A3A4A5A6 的边长为 1,得 OA1=A1A2=1,所以 A1B1=OA1-OB1=1-x. 作 B1C1⊥A1A2 于 C1.
6

在 Rt△A1B1C1 中,∠B1A1C1=60°,则容器的高 B1C1=A1B1sin 60°=

3 (1- 2

x).
于是容器的容积为 V=f(x)=Sh=(6〃 3 2 3 x )〃 (1-x) 4 2

9 = x2(1-x)(0<x<1). 4 9 9 则 f(x)= x2(1-x)= 〃x〃x〃(2-2x) 4 8 9 x+x+?2-2x? 3 1 ≤ 〃[ ]= . 8 3 3 2 1 当且仅当 x=2-2x,即 x= 时,Vmax= . 3 3 2 1 故当正六棱柱容器的底面边长为 时,最大容积为 . 3 3 变式迁移 2 解 (1)设 h′是正四棱锥的斜高,由题设可得: 1 ? ?a +4〃2h′a=2 ? 1 ? ?h +4a =h′
2 2 2 2

,消去 h′.解得:a=

1 (h>0). h2+1

1 h (2)由 V= a2h= (h>0), 2 3 3?h +1? 得:V= 1 1 3?h+ ? 1 ,而 h+ ≥2

h

h〃 =2. h

1

h

1 1 所以 0<V≤ ,当且仅当 h= ,即 h=1 时取等号.故当 h=1 米时,V 有最 6 h 1 大值,V 的最大值为 立方米. 6 (1)由柯西不等式可得 acos2θ+ bsin2θ 1 1 ≤[( acos θ)2+(bsin θ)2] (cos2θ+sin2θ) 2 2 1 =(acos2θ+bsin2θ) < c. 2 例 3 证明 3 (2)≧a,b,c∈R+,?a+b+c≥3 abc>0, 3 2 2 2 2 从而(a+b+c) ≥9 a b c >0, 3 1 1 1 又 2+ 2+ 2≥3 1

a

b

c

a b2c2

2

>0,

7

3 1 1 1 ?( 2+ 2+ 2)(a+b+c)2≥3

1

a

b

c

abc

2

2

2

3 〃 9 a2b2c2=27.当且仅当 a=b=c 时,

等号成立. 变式迁移 3 证明

≧ a , b , c ∈ R + , ? (a + b) + (b + c) + (c + a) ≥

3 3 ?a+b??b+c??c+a?>0, 3 1 1 1 1 1 1 + + ≥3 〃 〃 >0, a+b b+c a+c a+b b+c a+c 1 1 1 9 ?(a+b+c)( + + )≥ . a+b b+c a+c 2 当且仅当 a=b=c 时,等号成立. 课后练习区 1.8 1 16x x2+1 16x 解析 y=x+ + 2 = + 2 ≥2 16=8. x x +1 x x +1 x2+1 16x 当且仅当 = 2 ,即 x=2+ 3时等号成立. x x +1 2.[-3,0) 3x 3 解析 y= 2 = . x +x+1 1 x+ +1

x

1 1 ≧x+ =-[(-x)+(- )]≤-2.

x x

x

1 ?x+ +1≤-1. ?0> 3 1 ≥-3,即-3≤y<0.

x+ +1 x
?原函数的值域为[-3,0). 4 3. 675 5 2 5 2 解析 y= x2( -2x)= x〃x( -2x), 2 5 2 5 1 2 ≧0≤x≤ ,? -2x≥0, 5 5 2 x+x+? -2x? 5 5 4 ?y≤ [ ]3= . 2 3 675 2 2 4 当且仅当 x=x= -2x,即 x= 时,ymax= . 5 15 675 4.4

8

a-c a-c + a-b b-c a-b+b-c a-b+b-c b-c a-b = + =2+ + ≥2+2=4, a-b b-c a-b b-c a-c a-c 1 1 4 ? + ≥4,? + ≥ . a-b b-c a-b b-c a-c 1 1 n 又≧ + ≥ 恒成立, a-b b-c a-c 4 n ? ≥ ,又≧a>c,?a-c>0,?4≥n,即 n≤4. a-c a-c
解析 ≧ 4 25 解析 5.

柯西不等式(32+42)(x2+y2)≥(3x+4y)2, 4 得 25(x2+y2)≥4,所以 x2+y2≥ .① 25 不等式①中当且仅当 = 时等号成立,x2+y2 取得最小值, 3 4

x y

解方程组?x y ?3=4, 因此当 x=

?

3x+4y=2,

6 ? x = , ? 25 得? 8 y= . ? ? 25

6 8 4 ,y= 时,x2+y2 取得最小值,最小值为 . 25 25 25

6. 15 解析 函数的定义域为[1,6]. y2=( 12-2x+ x-1)2 =( 2× 6-x+1× x-1)2 2 2 2 2 ≤[( 2) +1 ]×[( 6-x) +( x-1) ]=3×5=15. ?y2≤15.?y≤ 15. 8 当且仅当 2× x-1=1× 6-x,即 x= 时等号成立. 3 ?原函数的最大值为 15. 7.8 解析 函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A(-2,-1). 则(-2)m+(-1)〃n+1=0,2m+n=1,m,n>0. 1 2 1 2 n 4m + =( + )〃(2m+n)=4+ +

m n

m n m n n 4m 1 1 ≥4+2 〃 =8,(m= ,n= 时取等号) m n 4 2
1 2 即 + 的最小值为 8.

m n

9

8. 11 解析 ≧(3x2+2y2)[( 2 2 1 ) +( )2]≥(2x+y)2, 3 2

?(2x+y)2≤

11 ×6=11.?- 11≤2x+y≤ 11, 6 时,上式取“=” .

? 3x=2 2y 3 当且仅当? 2 ?3x +2y =6
2 2

? ?x= 即? y= ? ?
?x=

4 11 3 11

? ?x=- 或? y=- ? ?

4 11 3 11

.

4 3 ,y= 时,Pmax= 11. 11 11 9.证明 由算术—几何平均不等式可得:

a+b+c≥3 abc,
3

3



a2+b2+c2≥3 a2b2c2, ② ①②相乘得(a+b+c)(a2+b2+c2)≥9abc 即为所证结论.(12 分)
1 1 25 要证(x+ )2+(y+ )2≥ , x y 2 1 1 25 只需证 x2+y2+ 2+ 2+4≥ . x y 2 ≧x+y=1, 1-2xy 17 即要证(1-2xy)+ 2 2 ≥ , xy 2 3 3 2 2 即要证 4x y +15x y +4xy-2≤0, 即要证(4xy-1)(x2y2+4xy+2)≤0, 即要证[4xy-(x+y)2](x2y2+4xy+2)≤0, 即要证(x-y)2(x2y2+4xy+2)≥0.(12 分) ≧x、y 均大于 0,x+y=1,故上式成立. 1 1 25 故所证不等式(x+ )2+(y+ )2≥ 成立. x y 2 方法二 ≧x+y=1, x+y 2 1 ?xy≤( )= , 2 4 1 ? ≥4. 10.证明 方法一

(3 分)

(5 分) (8 分) (10 分)

(14 分)

xy

(4 分)

1 1 又≧(12+12)[(x+ )2+(y+ )2]

x

y

10

1 1 ≥(x+ +y+ )2

y x+y 2 1 =(x+y+ ) =(1+ )2≥(1+4)2=25. xy xy
即 2[(x+ )2+(y+ )2]≥25. 1 1

x

(8 分)

(12 分)

x

y

1 1 25 ?(x+ )2+(y+ )2≥ . (14 分) x y 2 11.解 设该厂应隔 x(x∈N*)天购买一次饲料,平均每天支付的费用为 y. ≧饲料的保管与其他费用每天比前一天少 200×0.03=6(元), (2 分) ?x 天饲料的保管与其他费用共是: 6(x-1)+6(x-2)+…+6=3x2-3x(元). (8 分) 1 300 从而有 y= (3x2-3x+300)+200×1.8= +3x+357≥417. (14

x

x

分) 当且仅当 300

x

=3x, (16

即 x=10 时,y 有最小值 417. 即每隔 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的费用最小. 分)

11


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