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河南省豫东、豫北十所名校2013届高中毕业班阶段性测试(四) 数学文试题(word版)


绝密★启用前

河南省豫东、豫北十所名校 2013 届高中毕业班阶段性测试(四) 数学(文科)
本试题卷分第 I 卷(选择题)和第 II(选择题) 两部分.考生作答时, 将答案答在 答题卡上(答 题注意事项见答题卡) ,在本试题卷上答题无效.考试结束后,将本试题卷和 答题卡一并交 回. 第 I 卷 选择题 2013 一选题 、 择 :本大题共 12

小 , 小 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要 题 每题 求的. (1) 复数 z ?

5i (i 为虚数单位)的共辗复数所对应的点在 (i ? 2)
(B)第二象限
2

(A)第一象限

(C)第三象限

(D)第四象限

(2) 已知集合 M={x|x -3x≤0},N={x|y=ln(x-2)},则 Verm 图中阴影部分表示的集 合 是

(A)[2,3]

(B)(2,3]

(C)[0,2]

(D)(2, ? ?, )

(3) 设 x ? R ,向量 a= (2,x),b= (3,-2),且 a 丄 b,则 |a-b| = (A)5 (B)

26

(C)2 26

(D)6

(4) 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为

第1页

(A)

2 3 4 3 8 3 (B) 16 3 (C) (D) 3 3 3

(5) 将函数 t f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图象向右平移

? 则 ?个单位后得到函 y=g(x)的图象, 4

g(x)的单调递增区间为
(A) [ 2k? ? (C) [k? ?

?
6

,2k? ?

?
3

]( k ? z )

(B) [2k? ? (D) [k? ?

?
3

,2k? ?

?
6

, k? ?

?
3

]( k ? z )

?

3

, k? ?

5? ]( k ? z ) ) 6

5? ]( k ? z ) 6

(6) 曲线:y=lnx+x 在点 M(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是 (A)

1 1 3 4 (B) (C) (D) 2 4 5 4

(7) 如果执行下面的程序框图,输出的 S =240,则判断框中为

(A)k≥15?

(B) k≤16?

(C) k≤15?

(D) k≥16?

(8) 已知双曲线

1 2 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 3,有一个焦点与抛物线 y ? x 的焦点相 12 m n

同,那么 双曲线的渐近线方程为 (A) 2 2 x ? y ? 0 (B) x ? 2 2 y ? 0 (C) x ? 2 y ? 0 (D) 2 x ? y ? 0 (9) 如图,半径为 5

cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为 1 cm 的小圆,现将

半径为 1 cm 的一枚硬币拋到此纸板上,使整块硬币随机完全落在纸板内,则硬币与小圆无 公 共点的概率为

第2页

(A)

1 2

(B)

21 25

(C)

12 25

(D)

3 4

(10)已知四面体 ABCD 中,AB=AD=6,AC =4,CD = 2 13 ,AB 丄平面汲 ACD,则四面体

ABCD 外接球的表面积为
(A) 36? (B) 88? ( C) 92? (D) 128?

(11)设函数 f(x)=2a-x - 2kax ( a >0 且 a ? 1)在(- ? , + ? )上既是奇函数又是减 函 数,则 g(x)=log a (x -k)的图象是

(12)若直线 y= -NX +4N( n ? N * )与两坐标轴所围成封闭区域内 (不含坐标轴) 的整点 的 个数为 an(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点) ,则 (A)l 012 001 第 II 卷非选择题 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题?第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作 答.第 22 题?第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二填题 、 空 :本大题共 4 小 , 小 5 分. 题每题 (B)2 012

1 (a1+a3 +a5 十?+a 013 )= 2014
2

(C)3 021

(D)4

? x ? y ? 1 ? 0, ? (13)如果实数满足条件 ? y ? 1 ? 0 那么目标函数 z=2x - Y 的最小值 为______ ?x ? y ? 1 ? 0 ?
(14)已知递增的等比数列队{bn}( n ? N * )满足 b3 + b5 = 40,b3 ? b5 = 256,则数列{bn}

第3页

的前 10 项和 S10=_______. (15)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2 -8x +15 = 0,若直线 y=kx-2 上至 少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值 为______ (16)对于 m ,且 m, n ? N 且 m,n≥2)可以按如下的方式进行“分解”,例如 7 的“分
n 2

解”中 最小的数是 1,最大的数是 13.若 m 的“分解”中最小的数是 651,则 m =_____

3

三解题 、 答 :解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 在Δ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,点(a,b)在直线 4xcos B - ycos C = ccos B 上. (I )求 cosB 的值;

(II)若

,求 a 和 c

18 (本小题满分 12 分) 某园艺师用两种不同的方法培育了一批珍贵树苗,在树苗 3 个月大的时候,随机抽 取 甲、乙两种方式培育的树苗各 20 株,测量其髙度,得到的茎叶图如图(单位:cm):

第4页

(I )依茎叶图判断用哪种方法培育的树苗的平均高度大? (II)现从用甲种方式培育的高度不低于 80 cm 的树苗中随机抽取两株,求高度为 86 cm
的树苗至少有 1 株被抽中的概率;

(III)如果规定高度不低于 85 cm 的为生长优秀, 请填写下面的 2 x2 列联表, 并判断 “能
否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为树苗高度与培育方式 有关?”

下面临界值表仅供参考:

(参考公式:

19.(本小题满分 12 分)
如图,在平面四边形 ABCD 中,AB=BC = CD=DA=BD=6,0 AC,BD 的交点。将四边形 ABCD 沿对角线 AC 折起,得到三棱锥 B -ACD,M 为 BC 的中点,且 BD=3 2

第5页

(I )求证:OM//平面 ABD (II)求证:平面 ABC 丄平面 MDO

.

20.(本小题满分 12 分)
已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的中心在原点,右顶点为 A(2,0),其离心率与双曲线 a2 b2

y2 ? x 2 ? 1 的离心率互为倒数. 3
(I )求椭圆的方程; (II)设过椭圆顶点 B(0,b),斜率为 K 的直线交椭圆于另一点 D,交 X 轴于点 E,且 |BD|,|BE|,|BE|成等比数列,求 K2 的值.

21.(本小题满分 12 分)
已知函数 g(X)=b2ln x - bx -3(b∈ R)的极值点为 X=1,f(x)=

1 2 ax ? ax ? 3 2

(I )求函数 g(x)的单调区间,并比较 g(x)与 g(1)的大小关系;
(II)记函数 y=F(x)的图象为曲线 C,设点 A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线 C 上的不同两点,如果

第6页

在曲线 C 上存在点 M( X 0 ,Y 0),使得 x 0

?

x1 ? x 2 2

且曲线 C 在点 M 处的切线平行于直线 AB,则称函

数 F(x)均存在“中值相依切线”. 试问:函数 F(x)=g(x)-f(x)是否存在“中值相依切线”?请说明理由.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作 答 时请写清题号. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,四边形 ACED 是圆内接四边形,延长 AD 与的延长线 CE 交于点 B,且 AD=DE, AB

=2AC.
(I)求证:BE=2AD; (II)当 AC=2,BC=4 时,求 AD 的长.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
2 2 在平面直角坐标系中,曲线 C1:x +y = 1,以平面直角坐标系 xOy 的原点 0 为 极点,x

轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线 l:3cosθ -2sinθ =

?8 ?

第7页

(I )将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2 倍、3 倍后得到曲 线 C2,试写出直线 L 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程;

(II)求 C2 上一点 P 到 L 的距离的最大值.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4- 5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-m| +|x+6|(m∈R).

(I)当

m=5 时 , 求 不 等 式

f(x)<≤12 的解集;

(II)若不等式 f(x)≥7 对任意实数 x 恒成立,求 M 的取值范围.

2013 年豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四) 数学(文科)·答案 (1)D (7)C (13)-3 12. (2)B (8)B (3)B (9)D (4)D (10)B (14)2 046 (16)26 (5)C (11)A (6)A (12)C

(17)解: (Ⅰ)由题意得 4a cos B ? b cos C ? c cos B ,???????????(1 分) 由正弦定理得 a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C , 所以 4sin A ? cos B ? sin B ? cos C ? sin C ? cos B , ??????????????? 分) (3

4 3

第8页

即 4sin A ? cos B ? sin C ? cos B ? sin B ? cos C , 所以,???????????????????(5 分) 又 sin A ? 0 , 所以 cos B ? 分) (Ⅱ)由 BA ? BC ? 3 得 ac cos B ? 3 ,又 cos B ?

1 .??????????????????????????????(6 4

??? ??? ? ?

1 ,所以 ac ? 12 .??????(9 分) 4

2 2 2 由 b ? a ? c ? 2ac cos B , b ? 3 2 可得 a2 ? c2 ? 24 ,

所以 ? a ? c ? ? 0 , a ? c ,???????????????????????? 即 (11 分)
2

所以 a ? c ? 2 3 .???????????????????????????? (12 分) (18)解: (Ⅰ)用甲种方式培育的树苗的高度集中于 60~90 cm 之间,而用乙种方式培育 的树苗的高度集中于 80~100 cm 之间,所以用乙种方式培养的树苗的平均高度大.??(3 分) (Ⅱ)记高度为 86 cm 的树苗为 A, B ,其他不低于 80 cm 的树苗为 C , D, E , F , “从用甲种 方式培育的高度不低于 80 cm 的树苗中随机抽取两株” ,基本事件有:

( A, B),( A, C),( A, D),( A, E),( A, F ),( B, C),( B, D),( B, E),( B, F ), (C, D),(C, E),(C, F ),( D, E),( D, F ),( E, F ), 共 15 个.????????????? 分) (5
“高度为 86 cm 的树苗至少有一株被抽中”所组成的基本事件有:

( A, B),( A, C),( A, D),( A, E),( A, F ),( B, C),( B, D),( B, E),( B, F ), 共 9 个,?????(7
分) 故所求概率 P ? 分) (Ⅲ) 优秀 不优秀 合计 分) 甲方式 3 17 20 乙方式 10 10 20 合计 13 27 40 ??????????(9

9 3 ? . ??????????????????????????(8 15 5

第9页

K 2 的观测值 k ?
分)

40 ? (3 ?10 ? 10 ?17) 2 ? 5.584>5.024 ,???????????(11 13 ? 27 ? 20 ? 20

因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下可以认为树苗的高度与培育方式有关.? (12 分) (19)证明: (Ⅰ)因为 AB ? BC ? CD ? DA ,所以四边形 ABCD 是菱形,????(2 分) 因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点,所以 O 是 AC 的中点. 又点 M 是 BC 的中点, 所以 OM 是 △ ABC 的中位线,所以 OM ∥ AB .????????????????(5 分) 因为 OM ? 平面 ABD , AB ? 平面 ABD ,所以 OM ∥ 平面 ABD .????????(6 分) (Ⅱ)由题意知, OB ? OD ? 3 , 因为 BD ? 3 2 ,所以 ?BOD ? 90? , OD ? OB .??????????????(8 分) 又因为菱形 ABCD 中, OD ? AC , 而 OB ? AC ? O ,所以 OD ? 平面 ABC ,??????????????????(10 分) 因为 OD ? 平面 MDO ,所以平面 ABC ? 平面 MDO .????????????(12 分) (20)解:(Ⅰ) 双曲线

y2 2 3 ? x 2 ? 1 的离心率 e ? ,所以椭圆的离心率为 , 3 2 3

由已知得椭圆的长半轴 a ? 2 ,又 分)

c 3 ? ,所以 c ? 3 ,????????????(3 a 2

所以 b ? a ? c ? 1 , ??????????????????????????? 分) (4
2 2 2

所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1.??????????????????????? 分) (5 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)得过点 B 的直线为 y ? kx ? 1 ,

第 10 页

? x2 ? ? y2 ? 1 由? 4 ,得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kx ? 0 , ? y ? kx ? 1 ?
所以 xD ? ? 分) 依题意知 k ? 0 ,且 k ? ?

8k 1 ? 4k 2 , yD ? ,?????????????????????(7 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

1 . 2

因为 BD , BE , DE 成等比数列,所以 | BE |2 ?| BD | ? | DE | ,又 | BD |,| BE |,| DE | 在 y 轴 上的投影分别为 1 ? yD , b,| yD | , 它们满足 b ? (1 ? yD ) yD ,即 (1? yD ) yD ? 1 ,??(9
2

分) 显然 yD<0 ,
2 ? yD ? yD ? 1 ? 0 ,解得 yD ?

1? 5 1? 5 或 yD ? (舍去) ,?????????(10 2 2

分)

1 ? 4k 2 1 ? 5 2? 5 2 ? 所以 ,解得 k ? , 2 1 ? 4k 2 4
所以当 BD , BE , DE 成等比数列时,k ?
2

2? 5 .????????????? (12 分) 4
b2 ? b ,?????(1 分) x

(21)解: (Ⅰ)易知函数 g ( x) 的定义域是 (0, ??) ,且 g ?( x) ?

2 因 为 函 数 g ( x) ? b2 ln x ? bx ? 3(b ?R) 的 极 值 点 为 x ? 1 , 所 以 g?(1)? b ? b ? 0, 且

b?0,
所以 b ? 1 或 b ? 0 (舍去),????????????????????????(3 分) 所以 g ( x) ? ln x ? x ? 3 , g ?( x) ?

1? x ( x ? 0) , x

当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为增函数, 当 x ? (1, ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为减函数, 所以 x ? 1 是函数 g ( x) 的极大值点,并且是最大值点,??????????????(5

第 11 页

分) 所以 g ( x) 的递增区间为 (0,1), 递减区间为 (1, ??) , g ( x)≤g (1) .????????? 分) (6 (Ⅱ)不存在.???????????????????????????????(7 分) 理由如下: F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? ln x ? 假设函数 F ( x ) 存在“中值相依切线” . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是曲线 y ? F ( x) 上的不同两点,且 0 ? x1 ? x2 ,

1 2 1 ax ? (a ? 1) x, F ?( x ) ? ? ax ? (a ? 1). 2 x

则 k AB

y ?y ? 2 1? x2 ? x1

1 2 (ln x2 ? ln x1 ) ? a( x2 ? x12 ) ? (a ? 1)( x2 ? x1 ) 2 x2 ? x1

?

ln x2 ? ln x1 1 ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1). ???????????????????(8 分) x2 ? x1 2

曲线在点 M ( x0 , y0 ) 处的切线斜率

x ?x 2 ?x ?x ? k ? F ?( x0 ) ? F ? ? 1 2 ? ? ? a ? 1 2 ? a ? 1. ???????????(9 分) 2 ? 2 ? x1 ? x2
依题意得

ln x2 ? ln x1 1 x ?x 2 ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) ? ? a ? 1 2 ? (a ? 1). x2 ? x1 2 x1 ? x2 2

?x ? 2 ? 2 ? 1? ln x2 ? ln x1 2 x x 2( x2 ? x1 ) ? 化简可得: ,即 ln 2 ? ? ? 1 ?. x2 ? x1 x1 ? x2 x2 x1 x2 ? x1 ?1 x1


2(t ? 1) 4 4 x2 ? 2? ? 2. ? t (t ? 1) ,上式可化为 ln t ? ,即 ln t ? t ?1 t ?1 t ?1 x1 4 (t ? 1)2 1 4 (t ? 1) ,则 h?(t ) ? ? . ? t ?1 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2

令 h(t ) ? ln t ?

因为 t ? 1 ,显然 h?(t ) ? 0 ,所以 h (t ) 在 (1, ??) 上单调递增,显然有 h(t ) ? h(1) ? 2 恒成立.

第 12 页

所以在 (1, ??) 内不存在 t ,使得 ln t ? 分)

4 ? 2 成立.??????????????(11 t ?1

综上所述,假设不成立.所以函数 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) 不存在“中值相依切线” .?(12 分) (22)解:(Ⅰ) 因为四边形 ACED 为圆的内接四边形,所以 ?BDE ? ?BCA, ???(1 分) 又 ?DBE ? ?CBA, 所以 △BDE ∽ △BCA ,则 分) 而 AB ? 2 AC , 所以 BE ? 2 DE .?????????????????????? 分) (4 又 AD ? DE ,从而 BE ? 2 AD. ???????????????????????(5 分) (Ⅱ)由条件得 AB ? 2 AC ? 4 .???????????????????????(6 分) 设 AD ? t ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC ,即 ( AB ? AD) ? BA ? 2 AD ? 4, 所以 (4 ? t ) ? 4 ? 2t ? 4 ,解得 t ? 分) (23)解:(Ⅰ) 由题意知,直线 l 的直角坐标方程为 3x ? 2 y ? 8 ? 0 .??????(2 分)

BE DE .???????????(3 ? BA CA

4 4 ,即 AD ? .??????????????(10 3 3

? x? ? y? 由题意得曲线 C 2 的直角坐标方程为 ? ? ? ? ? ? 1 , ?2? ? 3?
所以曲线 C 2 的参数方程为 ?

2

2

? x ? 2cos ? .?????????????? 分) (5 (? 为参数) ? y ? 3sin ?

( (Ⅱ) 设点 P 的坐标为 2cos ? ,3sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为

π? ? 6 2 cos ? ? ? ? ? 8 4? | 6cos ? ? 6sin ? ? 8 | ? , d? ? 13 13
所以当 cos ? ? ?

? ?

6 26+8 13 π? .?????????????? (10 分) ? ? 1 时,d max ? 13 4?

第 13 页

(24)解: (Ⅰ)当 m ? 5 时, f ( x)≤12 即 x ? 5 ? x ? 6 ≤ , 12 当 x ? ?6 时,得 ?2 x≤13 ,即 x≥ ?

13 13 ,所以 ? ≤x ? ?6 ; 2 2

当 ?6≤x≤5 时,得 11≤12 成立,所以 ?6≤x≤5 ;

11 11 ,所以 5 ? x≤ . 2 2 13 11 ? ? 故不等式 f ? x ?≤ 的解集为 ? x | ? ≤x≤ ? .???????????????(5 12 2 2? ?
当 x ? 5 时,得 2 x≤11 ,即 x≤ 分) (Ⅱ)因为 f ? x ? ? x ? m ? x ? 6 ≥ ? x ? m ? ? ? x ? 6 ? ? m ? 6 , 由题意得 m ? 6 ≥7 ,则 m ? 6≥7 或 m ? 6≤ ? 7 , 解得 m≥1 或 m≤ ? 13 , 故 m 的取值范围是 ? ??, ?13? ? ?1, ??? .???????????????????(10 分)

第 14 页


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