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2016-2017学年新人教A版必修3高中数学 3.2.2(整数值)随机数(randomnumbers)的产生素材2(精品)


3.2.2(整数值)随机数(randomnumbers)的产生 1.蒙特卡罗方法(Monte Carlo method) 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法,或称计算机随机模拟方法,是一种基于“随机数”的计算方 法 . 这一方法源于美国在第一次世界大战研制原子弹的“曼哈顿计划”.该计划的主持人之 一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城——摩纳哥的 Monte Carlo——来命名这种方法,为 它蒙上了一层神秘色彩. Monte Carlo 方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用.早在 17 世纪,人们就知道 用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”.19 世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率 π.本世纪 40 年代电子计算机的出现,特别是近年来高速电子计算机的出现,使得用数学方法 在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能. 考虑平面上的一个边长为 1 的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”,如何求出这 个“图形”的面积呢?Monte Carlo 方法是这样一种“随机化”的方法:向该正方形“随机 地”投掷 N 个点落于“图形”内,则该“图形”的面积近似为 M/N. 可用民意测验来作一个不严格的比喻.民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见,而 是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者.其基本思想是一样的. 科技计算中的问题比这要复杂得多.比如金融衍生产品(期权、期货、掉期等)的定价及 交易风险估算,问题的维数(即变量的个数)可能高达数百甚至数千.对这类问题,难度随维数 的增加呈指数增长,这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality),传统的数值方法 难以对付(即使使用速度最快的计算机) .Monte Carlo 方法能很好地用来对付维数的灾难, 因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数 .以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算 了.为提高方法的效率,科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧. 另一类形式与 Monte Carlo 方法相似 , 但理论基础不同的方法——“拟蒙特卡罗方 法”(Quasi-Monte Carlo 方法)——近年来也获得迅速发展.我国数学家华罗庚、王元提出的 “华—王”方法即是其中的一例.这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学 上称为 Low Discrepancy Sequences)代替 Monte Carlo 方法中的随机数序列.对某些问题该方 法的实际速度一般可比 Monte Carlo?方法提出高数百倍,并可计算精确度. 蒙特卡罗方法在金融工程学、宏观经济学、计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计 算、空气动力学计算)等领域应用广泛. 2.蒙特卡罗方法的基本原理 由概率定义知,某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算 ,当样本容量足 够大时,可以认为该事件的发生频率即为其概率 .因此,可以先对影响其可靠度的随机变量进 行大量的随机抽样,然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式 ,确定结构是否失效 ,最后 从中求得结构的失效概率.蒙特卡罗法正是基于此思路进行分析的. 设 有 统 计 独 立 的 随 机 变 量 Xi(i=1,2,3,?,k), 其 对 应 的 概 率 密 度 函 数 分 别 为 fx1,fx2,?,fxk,功能函数式为 Z=g(x1,x2,?,xk). 各 随 机 变 量 的 相 应 分 布 , 产 生 N 组 随 机 数 x1,x2,?,xk 值 , 计 算 功 能 函 数 值 Zi=g(x1,x2,?,xk)(i=

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