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2012学年浙江省第一次五校联考 数学(文科)


2012 学年浙江省第一次五校联考

数学(文科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。

选择题部分(共 50 分)
参考公式: 如果事件 A, B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A, B 相互独立, 那么 P(A·B)=P(A) ·P(B)

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=C n pk (1-p)n-k (k = 0,1,2,…, n) 棱台的体积公式
V ? 1 3 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 )
k

棱柱的体积公式 V=Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式 V=
1 3

Sh

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 球的表面积公式 S = 4πR2 球的体积公式
4 3

其中 S1, S2 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高

V=

πR3

其中 R 表示球的半径

一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目要求的。 1.设全集 U ? ??2, ?1,0,1,2?, A ? ??2, ?1,0?, B ? ?0,1,2? ,则 (? A) ? B ? U A. ?0? B. ??2, ?1? C. ?1, 2? D. ?0,1, 2?

2.函数 f ( x) ? x x ? a ? b 是奇函数的充要条件是 A. ab ? 0 3.已知 ? ∈( A. -7 B. a ? b ? 0 C. a ? b D. a ? b ? 0
2 2

? 3 ? ,? ) ,sin ? = ,则 tan( ? ? )等于 5 2 4 1 B.- C.7 7

D.

1 7

? y?x ? 4.设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? y ? 3x ? 6 ?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9

数学(文科)试题卷·第 1 页(共 4 页)

5.定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x)在[0,??)上递减, 且f ( ) ? 0, 则满足f (log1 x) ? 0 的 x 的集合为
4

1 2

1 1 (? ?, ) ( 2? ? ) ? , B. ( ,1) ? (1, 2) 2 2 1 1 C. ( ,1) ? (2, ??) D. (0, ) ? (2, ??) 2 2 ? 6.一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3(单 位:牛顿)的作用而处 于平衡状态.已知 F1 , F2 成120 角, 且 F1 , F2 的大小分别为 1 和 2,则有 ? ? ? ? A. F1 , F3 成 90 角 B. F1 , F3 成 150 角 C. F2 , F3 成 90 角 D. F2 , F3 成 60 角
A. 7.已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x(? ? 0) 的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于

y ? f ( x) 的图象向左平移
A. ( ?

?
3

, 0)
x

B. ( ?

? 个单位得到函数 y ? g ( x) 的图象,则 y ? g ( x) 是减函数的区间为 6 ? ? ? ? ?
, ) 4 4
C. (0,

? ,若将函数 2

3

)

D. (

, ) 4 3

8.已知函数 f ( x) ? 2 的定义域为 ?a, b? (a ? b) ,值域为 ?1, 4? ,则在平面直角坐标系内,点 ( a, b) 的 运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

9.已知数列: , , , , , , , , , , ... , 依它的前 10 项的规律,这个数列的第 2012 项 a2012 满足 C. 1 ? a2012 ? 10 D. a2012 ? 10

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 1 ? a2012 ? 1 A. 0 ? a2012 ? B. 10 10
2

10.如果方程 ( x ?1)( x ? 2 x ? m) ? 0 的三个根可以作为一个三角形的三条边长,那么实数 m 的取值范围 是 A. 0 ? m ? 1 B.

3 ? m ?1 4

C.

3 ? m ?1 4

D. m ?

3 4

非选择题部分 (共 100 分)
二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分。 0.0005 11.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人,并根据所得数据画了样本的频率分 0.0004 布直方图(如右图) .为了分析居民的收入与年 0.0003 龄、学历、职业等方面的关系,要从这 10 000 人 0.0002 中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查, 0.0001 则在[2500,3000) (元)月收入段 应抽出 ▲ 人.
频率/组距

月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

12.已知 m ? R,复数

m?i 为纯虚数(i 为虚数单位) ,则 m ? 1? i





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13.如右图程序框图,输出 s ?



. (用数值作答)

?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 14.向量 e1 , e2 是单位向量,则 e1 ? e2 ? e1 ? e2
的取值范围是 ▲ .

开始

i ? 1, s ? 0

15.设关于 x 的不等式 | x2 ? 4 x ? m | ? x ? 4 的解集 为 A ,且 0 ? A , 2 ? A ,则实数 m 的取值范围 是 ▲ .

i ? i ?1

s ? s ? i2
i?7
是 否

16.已知直线 l1 : x ? 2 y ? 1 ? 0 ,直线 l2 : ax ? by ? 1 ? 0 , 其中 a , b??1,2,3,4,5,6? .则直线 l1 与 l2 的交点位于 第一象限的概率为 ▲ .

17.设 ?ABC 的 BC 边上的高 AD ? BC , a, b, c 分别 表示角 A, B, C 的对边,则 是 ▲ .

输出 s

b c ? 的取值范围 c b

结束 结束

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本小题满分 14 分)己知集合 A ? {x || x ? 1 |? 2} , B ? {x |

x ? x ? 4? ? 0} , ? x ?1?? x ? 2?

C ? {x | 2x 2 ? mx ? 1 ? 0} . (Ⅰ)求 A ? B, A ? B ; (Ⅱ)若 C ? A ? B ,求 m 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 在 △ ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a, b, c .已知 c ? 2, C ?

?
3



(Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,试判断 △ ABC 的形状,并说明理由; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,且 A ?

?
2

,求 △ ABC 的面积.

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20. (本小题满分 14 分)
2 若 {a n } 是各项均不为零的等差数列,公差为 d , Sn 为其前 n 项和,且满足 an ? S2n?1 , n ? N .
?

数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(Ⅰ)求 an 和 Tn ;

?1? (Ⅱ)若对一切正整数 n , Tn ? ? ? ? ? 恒成立,求 ? 的取值范围. ?2?

n

21. (本小题满分 15 分) 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a ? (?1, 2) ,又点 A(8, 0), B(n, t ), C (k sin ? , t ) , 其中 k ? 0, 0 ? ? ?

?

?

2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? (Ⅰ)若 AB ? a, 且 | AB |? 5 | OA | ,求向量 OB ;
(Ⅱ)若向量 AC 与向量 a 共线,且 t sin ? 取最大值为 4,求 OA ? OC .



??? ?

?

??? ??? ? ?

22. (本小题满分 15 分)

1 m ?1 ? ln x , f ( x) ? mx ? ? ln x(m ? R) . x x (Ⅰ)若 y ? f ( x) ? g ( x) 在 ?1, ?? ? 上为单调函数,求 m 的取值范围;
已知函数 g ( x) ? (Ⅱ)设 h( x ) ?

2e ,若在 ?1,e? 上至少存在一个 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) 成立, x

求 m 的取值范围.

数学(文科)试题卷·第 4 页(共 4 页)

2012 学年浙江省第一次五校联考

数学(文科)答案
一.选择题 1.C. 2.D.3.A.4.B. 5.D.6.A.7.D. 8.C. 9.A. 10.B. 二.填空题 11.25;12. m ? 1 ;13.91; 14. [2, 2 2] ;15. [?4,? 2) ;16. 三.解答题: 18.解: (Ⅰ) A ? (?1,3) ,B= ? 0,1) ? (2, 4 ?

1 ;17. ? 2, 5 ? 。 ? ? 6

? ,…………4 分

令 f ? x ? ? 2x2 ? mx ?1 ,则

(Ⅱ) C ? (?1,4 ??方程2x 2 ? mx ? 1 ? 0 小根大于或等于-1,大根小于或等于 4,

A ? B ? ?0,1) ? (2,3) , A ? B ? (?1,4 ?;……………………6 分

? ? f (?1) ? 1 ? m ? 0 ? 31 ? ? f (4) ? 4m ? 31 ? 0, 解之得 ? ? m ? 1 。…………14 分 4 ? m ? ?? 1 ? ? 4 ? 4 ?
19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 联立方程组 ?

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?ab ? 4,

解得 a ? 2 , b ? 2 .

故 △ ABC 为等边三角形。……………………..7 分 (Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A ,因为 A ?

?
2

,所以 cos A ? 0 ,

得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a , 联立方程组 ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?b ? 2a,

解得 a ?

2 3 4 3 ,b ? .…………12 分 3 3

所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 ab sin C ? .………………………….14 分 2 3
数学(文科)试题卷·第 5 页(共 4 页)

2 20.解: (Ⅰ)在 an ? S2n?1 中,令 n ? 1, 2 ,解得 a1 ? 1, d ? 2 ,

从而 an ? 2n ? 1,…………4 分

1? 1 1 ? bn ? ? ? ? ,于是 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? n ? 1 。…………8 分 Tn ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2n ? 1
(Ⅱ) ? ?

n n ? 2n ,令 cn ? ? 2n ,则 2n ? 1 2n ? 1 n ? 1 n ?1 n 2n2 ? 3n ? 2 ?2 ? ? 2n ? ? 2n ? 0 ,…………12 分 2n ? 3 2n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 2 ,故 ? ? 。………………14 分 3 3

cn ?1 ? cn ?

于是 ?cn ? 是单调递增数列, ? cn ? min ? c1 ?

21.解: (Ⅰ) AB ? (n ? 8, t ),? AB ? a ?8 ? n ? 2t ? 0 , 又? 5 | OB | ?| AB |,?5 ? 64 ? (n ? 3)2 ? t 2 ? 5t 2 ,得 t ? ?8 ,

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

??? ? ??? ? ?OB ? (24,8) 或 OB ? (?8, ?8) 。…………6 分
(Ⅱ) AC ? (k sin ? ? 8, t ) ,

??? ?

??? ? ? AC 与 a 向量共线, ? t ? ?2k sin ? ? 16 ,
k 32 ? t sin ? ? (?2k sin ? ? 16) sin ? ? ?2k (sin ? ? ) 2 ? ,…………10 分 4 k k 若 0 ? k ? 4 ,则 ? 1 ,? 当 sin ? ? 1 时, t sin ? 取最大值为 ?2k ? 16 , 4 由 ?2k ? 16 ? 4 ,得 k ? 6 ,矛盾。………………12 分 k k 32 若 k ? 4 ,则 1 ? ? 0 ,? 当 sin ? ? 时, t sin ? 取最大值为 , 4 4 k 32 ? ???? ? 4 ,得 k ? 8 ,此时 ? ? , OC ? (4,8) ,…………14 分 由 k 6 ??? ??? ? ? ?OA ? OC ? (8,0) ? (4,8) ? 32 。………………15 分
22.解: (Ⅰ)f(x)-g(x)=mx-

m mx 2 ? 2x ? m ? 2 ln x , (f(x)-g(x))?= ,由于 f(x)-g(x)在其定义域内为单 x x2 2 2 调 函 数 , 则 mx ? 2x ? m ? 0或者mx ? 2x ? m ? 0 在 ?1, ?? ? 上 恒 成 立 , 即 2x 2x 或者m ? 在 ?1, ?? ? 上 恒 成 立 , 故 m ? 1或者m ? 0 , 综 上 , m 的 取 值 范 围 是 2 1? x 1? x2 …………6 分 ? ??,0? ??1, ??? m?
数学(文科)试题卷·第 6 页(共 4 页)

(Ⅱ)构造函数 F(x)=f(x)-g(x)-h(x), F(x) ? mx ? 当 m ? 0时, x ??1,e? 得, mx ? 由

m 2e ? 2 ln x ? , x x

m 2e ? 0,? 2 ln x ? ? 0 ,所以在 ?1,e? 上不存在一个 x 0 ,使得 x x
…………10 分

f (x 0 ) ? g(x 0 ) ? h(x 0 ) ;
当 m>0

? 时 , ( F ( ? x ) )?

2 e ?

2? x

m 2 2 e 2? x ? 2? m x m 2 e m? ? ? , 因 为 x ??1,e? , 所 以 2 2 2 x x x x 2 0 , ? x 所以( ( , ? 在 ?1,F ? x ) ) > 0 F(x)在 x ??1,e? 上单调递增, m ? m 0 ?? 上恒成立,故
m m 4e ? 4, 只要me ? ? 4>0,解得m> 2 , e e e ?1

F(x) max ? me ?

故 m 的取值范围是 另法:(3) m ?

?

4e e2 ?1

, ?? …………15 分

?

2e ? 2 x ln x 2e ? 2 x ln x , , 令 F ( x) ? 2 x ?1 x2 ?1 (?2 x2 ? 2) ln x ? (2 x 2 ? 4ex ? 2) ' F ( x) ? ? 0 ? F ( x)在?1,e? 上递减, ( x2 ? 1)2 4e 4e F ( x) min ? 2 ? m ? 2 . e ?1 e ?1

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