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2.3 幂函数教案设计一


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2.3 幂函数教案
一、教学目标:
1.知识目标:
1 1 通过实例,了解幂函数的概念;结合函数 y=x,y=x ,y=x , y ? , y ? x 2 的图象,探求幂函数的性质, x
2 3

并能应用性

质解决简单的为题。 2.能力目标: 通过类比指数函数的概念引入幂函数的概念,培养学生抽象概括和类比分析能力;通过列表、描点作幂 函数的图象,培养学生的作图能力;通过对几个特殊的幂函数图象的观察、分析、抽象出一般幂函数的性质, 培养和提高学生的抽象概括、归纳总结和数学表达等基本思维能力,体验用数形结合、转化函数等数学思想 来解决数学问题的方法,学习从特殊到一般的研究问题的方法和认识规律。 3.德育目标: 通过师生互动,生生互动的教学活动过程,引导学生主动参与作图、交流讨论、分析图象特征和归纳函 数性质的过程,体验数学发现和研究的历程,体会成功的喜悦,培养学生的探索精神、创新意识和合作交流 的科学态度,在研究图象变化的过程中渗透辨证唯物主义观点。

二、重点遇难点:
1、重点:幂函数的概念、图象和性质。 2、难点:将函数图象的直观特点上升到理性认识,归纳概括成函数性质。

三、教学方法与教学手段:
1、教学方法:本节课采用探索发现法、讨论法和类比分析的教学方法。 通过不同形式的自主学习和探究活动,让学生积极参与到教学活动中来,并且始终处于积极的问题探究 和辩析思考的学习气氛中。 2、教学手段:利用实物投影仪及计算机辅助教学,增强直观性,增大课堂容量,提高效率。

四、教学过程

高中数学必修 1 第二章

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教学 环节 新 课 引 入

教学内容 教师提出问题:1、到目前为止,我们已经学习了 哪些基本初等函数? 2、观察下列两组函数,每一组的表达式有什么共 同特征? (1)y=3x,y=0.5x,y=5x, y=0.7x (2) y ? x ,

师生互动 学生积极回 忆思考,回答 教师问题。教 师引导:从函 数自变量的 位置这一角 度来考虑。学 生回答后教 师引出幂函 数的课题。

设计意图 温故知新, 从复习指数函 数的定义入 手,引出幂函 数的定义,培 养学生的类比 分析的能力。

y?x ,y?x ,y?x ,y?x
2

?1

2 3

?2

生:共同特征:(1)底数是常数,自变量在指数 位置上,是我们学过的指数函数。 (2)底数可变,而指数不可变,即是以幂的底数 为自变量,指数为常数的函数。

教学 环节

教学内容 师:指数函数的定义式为 y=ax(a>0 且 a≠1), 你认为幂函数的一般形式应如何表示?

师生互动 学生积极思 考,讨论回答
?

设计意图 培养学生观 察、归纳、概 括能力。

概 念 形 成 及 深 化

生:y=x 。 教师板书定义: 一般地, 形如 y=x

?

教师提出的 问题。

( ? ∈R)的函数称为幂函数。其中 ? 为常数。 注:(1)我们目前只讨论指数为有理数的比较简 单的幂函数; (2)并不是所有的一次函数和二次函数都是幂函 数。 思考: 1、 幂函数的表达式有什么特征? 2、 判断下列函数是否是幂函数?

教 师 指 出 (1) 和 (3) 不 符 和 幂函数的定 义,不过它们 可以看作是 通过三个思考 题的设计,训 练学生思维的 广阔性、发散 性,进一步加 深对幂函数定 义的认识和理

(1) y ? x ? 1 (2) y ? x
2

?3

(3) y ? 2 x (4) y ? x

?2

?

2 3

由幂函数与 常数经过算 术运算得到

3、 你能举出几个幂函数的例子吗?

的初等函数。 解。

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学生分组作出下列函数的图象(每组作 2 个)

学生列表描 点作图,教师 先用实物投 影仪展示学

通过作图训练 学生的动手实 践能力,并为下 面的学习提供 丰富的直观材 料。

(1) y ? x

(2) y ? x

1 2

(3) y ? x 2

(4) y ? x3 (5) y ? x?1 (6) y ? x?2
跟据图象填写函数性质表: 定义域
y?x
1 2

值域

单 调 区 间

奇 偶 性

生的优秀作 品,并用几何 画板展示各

y?x
函 数 图 象

函数的图象。

y ? x2
学生观察图

y?x

3

象 , 归纳 , 、想 象性质,填写 表格。 培养学生的作 图技能和识图 能力,以及抽 象概括能力。

y ? x ?1 y ? x ?2

教师巡视,学 生口答表格 从这些函数的图象我们可以看到,幂函数 y=x 随 着 ? 的取值不同,它们的定义域、性质和图象也 不尽相同。但它们也有一些共同的性质:
?

内容。

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教学 环节

教学内容

师生互动

设计意图

教师利用计算机分别展示幂函数

y=x?

当 论,一段时间 后,派代表发 表本组的意 见,各组之间 进行交流,最 后达成一致 意见,师生共 同总结出幂 函数的性质。 破难点。

学 生 分 组 讨 师生互动,突 让学生观察它们在 ? ? 1, 0 ? ? ? 1,? ? 0 的图象, 第一象限内的图象,探究、讨论,归纳、概括幂函 数的性质。 教师引导: 函 数 性 质 探 究 (1) y=x 在 (0, ??) 上都有定义吗? (2)它们的图象恒过哪些定点? (3)它们的单调性怎样?与 ? 有何关系? 师生共同总结: (1) 所有的幂函数在 (0, ??) 上都有定义, 并且 图象都通过点(1,1); (2) 如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象通过原点, 并且在区间 [0, ??) 上是增函数; (3) 如果 ? ? 0 , 则幂函数在区间 (0, ??) 上是 减函数,在第一象限内,当 x 从右边趋向 于原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴,当 x 趋于 ?? 时,图象在 x 轴上方无 限地逼近 x 轴。 在整个交流 讨论中,教师 既要有对正 确认识的赞 赏,又要有对 错误见解的 分析及对本 人的鼓励。 当学生的讨 论误入歧途 时,教师还要 给予适当的 引导。 最后,教师板 书幂函数的 三种形式的 简图。
?

培养学生的看 图、析图能力, 归纳、概括和 想象能力,让 学生自主探 究,主动学习, 逐步体会用数 形结合、函数 等数学思想解 决问题的方 法,在合作、 讨论中提高数 学表达和交流 的能力,发展 独立获取数学 知识的能力。 学生在合作交 流、与人分享、 探讨的氛围中 倾听、质疑、 表述,体验成 功的喜悦;学 会合作,并在 合作中懂得欣 赏他人。

练习图 练习:已知幂函数 y=x 在第一象限的图象如图 所示,已知 ? 取 ?2, ?
?

1 四个值,则相应于曲线 2 学生讨论交
流,口答练习 题。

C1、C2、C3、C4 的 ? 值依次为( )
1 1 , ,2 2 2 1 1 C. ? , ?2, 2, 2 2
A . ?2, ?

这一练习题的 设计,目的在 于检测学生幂 函数图象及性 质的掌握情 况。

1 1 , ? , ?2 2 2 1 1 D. 2, , ?2, ? 2 2
B . 2,

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教学 环节

教学内容 例 1:比较下列各组数的大小: (1) 0.5 ,0.4
? 7

师生互动

设计意图

1.3

1.3

(2) 3.1 ,3.7

?

5 4

?

5 4

(3) ?8 8 , ?( ) 8 应

1 9

7

(4) 0.20.3 ,0.30.3 ,0.30.2





分析:1.要比较的两个值有什么特点? 都是幂的形式 ,且指数相同(不变),底数不同(变),因 此我们想通过构造幂函数解决问题. 2.构造一个什么样的幂函数? 3. 要比较的两个值与所构造的幂函数有何关系 ? 把这两个值看成是两个函数值.那么,此题就变成了 比较两个函数值大小的问题. 4.根据幂函数在 (0, ??) 上的单调性,可通过比较自 变量取值的大小来比较对应的函数值的大小。 5.(3)需要转化,考察幂函数 y ? x 8 的单调性。 6.(4) 先利用幂函数 y ? x
x 0.3
7

学生先思考、 交流, 当思路受阻 时,教师及时 给予启发、引 导、分析,充 分体现教师 的主导作用。 最后教师板 书解答过程。 最后让学生 反思、归纳解 决这类比较 大小问题的 解题方法和 步骤。



这一例题的作 用主要在于培 养学生根据例 题构造函数, 并利用函数性 质来解决问题 的能力,同时 加深学生对幂 函数及其性质 的理解,渗透 数性结合、转 化、类比等数 学思想。

的单调性 , 再利用指数

函数 y ? 0.3 的单调性。

巩固练习:教材第 79 页,习题 2-3 1 知 识 巩 固 例 2:讨论函数 y ? x 的定义域、奇偶性,作出它 的图象,并根据图象说明函数的增减性。 分析:先根据解析式求出函数的定义域,然 后判断函数的奇偶性,列表、描点、连线,画出函 数在第一象限的图象, 再根据这个函数的图象关于 y 轴对称,作出整个函数的图象。 巩固练习:教材第 79 页,习题 2-3 3.(1) 思考与讨论: 能 力 提 高 (1) 在 幂 函 数
2 3

学生思考,口 答习题 1。 例 2 由学生独 立完成,教师 巡视,用实物 投影仪展示 学生的作品, 用计算机展 示此函数地 图象。 学生分组讨 论,交流,教 师展示这两 类函数图象, 师生共同归 纳出它们的 性质。

培养学生的作 图能力, 以及利用函数 的性质解决问 题的能力。

y=x?
?

中,如果

? 是正偶数

( ? =2,4,6,…),这一类函数具有哪些性质? (2)在幂函数 y=x 中,如果 ? 是正奇数( ? = 1,3,5,….),这一类函数具有哪些性质?

培养学生自主 探究、合作学 习的习惯,提 高抽象概括能 力,发展学生 的发散思维能 力。

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教学 环节

教学内容 师生共同完成: 1. 幂函数的概念; 2. 幂函数的图象和性质; 3. 观察、归纳是发现数学问题的重要方法; 4. 学习数形结合、转化、类比和函数的数学思想 和方法。

师生互动 让学生回忆 本节课收获, 大胆发言,归 纳概括,教师 及时点评并 总结完善。

设计意图 巩固本节课学 习成果,使学 生逐步养成善 总结、会总结 的习惯,提高 归纳概括能 力。 帮助学生巩固 所学知识,反 馈课堂教学效 果,使下一节 课的教学有的 放矢。

归 纳 小 结

1.教材第 79 页 习题 2-3 2,3(2),(3) 2.阅读:教材第 78 页的“探索与研究” 3. 课外探究: 幂函数的图象共有哪几种类型? (提 示:设 ? ? 布 置
??

p ,从 p 与 q 的奇偶性出发分情况讨 q

论)讨论交流后,填写下表:
p q

? ?0

0 ?? ?1

? ?1

作 业

p、 q 都
是奇数 p 是偶数 q 是奇数 p 是奇数 q 是偶数

特别是“课外 探究”这一内 容的设计,将 课堂延伸,使 学生将课堂所 学内容进行再 现和升华,对 所学内容有一 个系统的认 识。

五、板书设计设:

2.3 幂函数 一、复习引入 1.函数的定义: 2.幂函数的图象 3.幂函数的性质: 例2 练习 2 小结: 作业: 二、新课讲解 例1 三、应用举例 练习 1 四、巩固练习

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2.3 幂函数教案设计一

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