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2015-2016学年(人教版必修四)同步练习第二章 2.4 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(含答案)


数学· 必修 4(人教 A 版)

2. 4
2.4.1

平面向量的数量积

平面向量数量积的物理背景及其含义

基 础 提 升 1.下列命题正确的是( )

A.若 a· b=0,则 a=0 或 b=0 B.a· b=b· a C.若 a· b<0,则 a 与 b 的夹角为钝角 D.(a· b)· c=a· (b · c)

解析:a· b=0?a⊥b,a 与 b 不一定是零向量,故 A 错;对于 C, a 与 b 的夹角可以为 π,故 C 错;a· b∈R, b· c∈R,a 与 c 不一定共 线,故 D 错,故选 B. 答案:B

2.若|a|=4,|b|=3,a 与 b 的夹角为 120° ,则 a· b 为( A.6 B.-6

)

C.-6 2

D.6 2

答案:B

3.如果 a· b=a· c,且 a≠0,那么( A.b=c B.b=λc C.b⊥c D.b、c 在 a 方向上的投影相等

)

答案:D → → ? ?CA → -CB → ?=0,则△ABC 为( 4.在△ABC 中,若? ?CA+CB?· ? ? A.直角三角形 C.等腰三角形 B.正三角形 D.等腰直角三角形

)

答案:C

→· → 等于( 5.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=4,则AB AC A.-16 C.8 B.-8 D.16

)

→· → =0, 解析:因为∠C=90° ,所以AC CB →· → = ? → → ?· → ? → ?2 → CB → =16,故选 D. 所以AB AC ?AC+CB? AC=?AC? +AC· 答案:D

巩 固 提 高 → 与AC → 的夹角为 120° → |=3, → 6. (2013· 山东卷)已知向量AB , 且|AB |AC → =λAB → +AC → ,且AP → ⊥BC → ,则实数 λ 的值为________. |=2,若AP

→ 转化为AC → -AB → ,再通过AP →· → =0 求解. 解析:把BC BC → ⊥BC → ,∴AP →· → =0. ∵AP BC → =λAB → +AC → ,BC → =AC → -AB →, 又AP → +AC → )(AC → -AB → )=0. ∴(λAB →· → -λAB → 2+AC → 2=0. 即(λ-1)AC AB → ||AB → |cos 120° ∴(λ-1)|AC -9λ+4=0.
? 1? 7 ∴(λ-1)×3×2×?-2?-9λ+4=0.解得 λ= . 12 ? ?

答案:

7 12

π 7.已知|a|=|b|=5,a 与 b 的夹角为 ,求|a+b|,|a-b|的值. 3

π 1 25 解析:∵a· b=|a||b|cos =5×5× = , 3 2 2 25 ∴(a+b)2=a2+2a· b+b2=25+2× +25=75, 2

25 (a-b)2=a2-2a· b+b2=25-2× +25=25. 2 ∴|a+b|=5 3,|a-b|=5.

8.已知 a,b 的夹角为 120° ,且|a|=1,|b|=2,当向量 a+λb 与 λa+b 夹角为钝角时,求 λ 的取值范围.

解析:∵|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 120° ,
? 1? ∴a· b=|a||b|cos 120° =1×2×?-2?=-1. ? ?

∵向量 a+λb 与 λa+b 的夹角为钝角, ∴(a+λb)· (λa+b)<0. 又(a+λb)· (λa+b)=λa2+(λ2+1)a· b+λb2, ∴λ-(λ2+1)+4λ<0. 5- 21 5+ 21 解得 λ< 或 λ> . 2 2 ∴λ 的取值范围是?-∞,
? ? ? 5- 21? ?5+ 21 ?∪? ,+∞?. 2 ? ? 2 ?

→ =a,CA → =b,AB → = c 且 a· 9.在△ABC 中,若BC b=b· c=c· a,判 断△ABC 的形状.

解析:如下图所示,a· b=|a||b|cos(π-C)=

-|a||b|cos C,

b· c=|b||c|cos(π-A)=-|b||c|cos A, c· a=|c||a|cos(π-B)=-|c||a|cos B.

|a|cos C=|c|cos A, ∵a· b=b· c=c· a, ∴-|a||b|cos C=-|b||c|cos A,
→ |=acos C,|AD → |=|c|cos A,∴|CD → |=|AD → |. 作 BD⊥AC 于 D,则|CD → |=|BC → |. ∴D 为 AC 的中点,∴|AB → |=|AC → |. 同理可证|AB ∴△ABC 为正三角形.

→ |=4,|AD → |=3,∠DAB=60° 10.如右图所示,在?ABCD 中,|AB . 求: →· →; (1)AD BC →· →; (2)AB CD →· →. (3)AB DA

→ ∥BC → ,且方向相同,所以AD → 与BC → 的夹角是 0° 解析:(1)因为AD . →· → =|AD → |· → |cos 0° 所以AD BC |BC =3×3×1=9.

→ ∥CD → ,且方向相反,所以AB → 与CD → 的夹角是 180° (2)因为AB ,所以 →· → =|AB → |· → |· AB CD |CD cos 180° =4×4×(-1)=-16.

→ 与AD → 的夹角为 60° → 与DA → 的夹角为 120° (3)因为AB ,所以AB ,所以
? 1? →· → =|AB → |· → |· AB DA |DA cos 120° =4×3×?-2?=-6. ? ?


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