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九年级数学 二次函数的应用(3)-浙教版


2.4 二次函数的应用(3) 教学目标:(1)会运用一元二次方程求二次函数的图象与 x 轴或平行于 x 轴的直线的交点坐 标,并用来解决相关的实际问题。 (2)会用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解。 (3)进一步体验在问题解决的过程中函数与方程两种数学模式经常需要相互转换。 教学重点和难点: 重点:问题解决过程中二次函数与一元二次方程两种数学模型的转换。 难点:例 4 涉及较多的“科学”知识,解题思路不易形成,是本节教学的难点。 教学过程: 一、复习引入: 1.利用函数解决实际问题的基本思想方法?解题步骤? 2.几个物理问题: (1) 直线等加速运动 我们知道,在匀速直线运动中,物体运动的距离等于速度与时间的乘积,用字母表示 为S=vt, 而在直线等加速运动 (即通常所说的加速度) 中, 速度的数值是时刻在改变的, 我们仍用S表示距离(米),用v0 表示初始速度(米/秒),用t表示时间(秒),用a 表示每秒增加的速度(米/秒)。那么直线等加速运动位移的公式是: 1 2 S=v0t+ at 2 就是说,再出是速度和每秒增加的速度一定时,距离是时间的函数,但不再是正比例函数, 而是二次函数。 我们来看一个例子:v0=1米/秒,a=1米/秒,下面我们列表看一下S和t的关 系。 t(秒) 0 1 2 3 4 5 6 S(米) 0 1.5 4 7.5 12 17.5 24 注意,这里的时间必须从开始等加速时开始计时,停止等加速时停止计时。t 的取值范 围,很明显是 t≥0,而 S 的取值范围,同样是 S≥0。下面我们来看看它的图象: S

O

t

(2) 自由落体位移 我们知道,自由落体位移是直线等加速运动的特殊情况,它的初始速度为0,而每秒增 加的速度为 9.8 米/秒,我们用g表示,但这个g不是9.8 牛顿/千克。 1 2 自由落体位移的公式为:S= gt 2 我们再来看看这个函数的表格: t(秒) 0 1 2 3 4 5 6 S(米) 0 4.9 19.6 44.1 78.4 122.5 图象我们就不画了,它只是直线等加速运动的特殊情况,图象大同小异。 (3) 动能 176.4

现在我们来看另一方面的问题。我们知道,物体在运动中具有的能量叫做动能,动能与 物体的质量和速度有关。比如说,以个人走过来不小心撞上你,或许没什么,但如果他是跑 步时撞上你,说不定会倒退几步,而假如你站在百米终点线上,想不被撞倒都不容易。这是 因为对方具有的动能随速度的增大而增大。 我们用E表示物体具有的动能(焦耳),m表示物体的质量(千克),用v表示物体的速度 1 2 (米/秒),那么计算物体动能的公式就是:E= mv 2 来看一个表格(m=1千克): v(米/秒) 0 1 2 3 4 5 6 E(焦耳) 0 0.5 2 4.5 8 12.5 18 v的取值范围显然是v≥0, E的取值范围也是E≥0, 所以它的图象和前两个没什么 区别。 通过上面几个问题的研究,我们认为二次函数在物理方面的实际应用中的特点,在于 物理学上对取值范围的要求大部分都是要求该数值大于等于0, 所以图象大部分是二次函数 图象的一半,除原点外,图象都在第一象限。还有,物理学上用到的公式,一般很少有常数 项。 现在我们反过来研究:物体运动某一路程或物体自由下落到某一高度所需的时间? 二、例题讲评 例 4:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为 10m/s,经过 t(s)时求的高度为 h(m)。已 知物体竖直上抛运动中,h=v0t-
2

1 2 gt (v0 表示物体运动上弹开始时的速度,g 表示重力系 2

数,取 g=10m/s )。问球从弹起至回到地面需多少时间?经多少时间球的高度达到 3.75m? 分析:根据已知条件,易求出函数解析式和画出函数图象。从图象可以看到图象与 x 轴交点横坐标 0 和 2 分别就是球从地面弹起后回到地面的时间, 此时 h=0,所以也是一元二 2 次方程 10t-5t =0 的两个根。这两个时间差即为所求。 2 同样,我们只要取 h=3.75m,的一元二次方程 10t-5t =3.75,求出它的根,就得到 球达到 3.75m 高度时所经过的时间。 结论:从上例我们看到,可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于 横轴的直线)的交点坐标。反过来,也可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解。 2 例 5 利用二次函数的图象求方程 x +x-1=0 的近似解。 2 分析:设 y=x +x-1,则方程的解就是该函数图象与 x 轴交点的横坐标。可以画出草 图,求出近似解。 2 结论:我们知道,二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象与 x 轴的交点的横坐标 x1,x2 2 2 就是一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两个根。 因此我们可以通过解方程 ax +bx+c=0 2 2 来求抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交点的坐标;反过来,也可以由 y=ax +bx+c 的图象来 2 求一元二次方程 ax +bx+c=0 的解。 2 两种方法: 上述是一种方法; 也可以求抛物线 y=ax 与直线 y=-bx-c 的交点横坐标. 练习:P50 课内练习、探究活动 补充练习: 1.某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如 图所示坐标系下经过原点 O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件) 。在跳某个规定动 2 作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面 10 米,入水处距池边的距离为 4 米, 3 同时,运动员在距水面高度为 5 米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否 则就会出现失误。

(1)求这条抛物线的解析式; (2) 在某次试跳中, 测得运动员在空中的运动路线是 (1) 中的抛物线,且运动员在空中调整好人水姿势时,距池边 3 问此次跳水会不会失误?并通过计算 的水平距离为 3 米, 5 说明理由 分析: 分析:挖掘已知条件,由已知条件和图形可以知道抛物线 2 过(0,0) (2,-10) ,顶点的纵坐标为 。 3 解: (1)如图,在给定的直角坐标系下,设最高点为 A,入水点为 B,抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c ,由题意知,O、B 两点的坐标依次为(0,0) (2,-10) ,且顶点 A 的纵坐标 2 为 。 3





-b ∵抛物线对称轴在 y 轴右侧,∴ >0, 2a 25 10 又∵抛物线开口向下,∴a<0, b>0, ∴a=- ,b= ,c=0 3 6 ∴抛物线的解析式为:y=- 25 2 10 x+ x 6 3

3 3 8 (2)当运动员在空中距池边的水平距离为 3 时,即 x=3 -2= 时, 5 5 5 y=(- 25 8 10 8 16 16 14 )×( )2+ × =- , ∴此时运动员距水面高为:10- = <5, 6 5 3 5 3 3 3

因此,此次试跳会出现失误。 2(2006 年宁波课改区).利用图象解一元二次方程 x2-2x-1=0 时, 我们采用的一种方法 2 是: 在直角坐标系中画出抛物线 y=x 和直线 y=2x+1, 两图象交点的横坐标就是该方程的 解。 (1)请再给出一种利用图象求方程 x2-2x-1=0 的解的方法。 (2)已知函数 y=x3 的图象,求方程 x3-x-2=0 的解。(结果保留 2 个有效数字)


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