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2014年高考数学第一轮复习:数列


数列
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) S3 1 S6 1.设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和, = ,则 等于( ) S6 3 S12 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 5 8 9 2.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k=( ) A.8 B.7 C.6 D.5 3.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,a1=3,前 3 项和 S3=21,则 a3+a4+a5=( ) A.2 B.33 C.84 D.189 4.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a7-a10=5,a11-a4=7,则 S13 等于( ) A.152 B.154 C.156 D.158 1 5.已知数列{an}中,a1=b(b>1),an+1=- (n∈N*),能使 an=b 的 n 可以等于( ) an+1 A.14 B.15 C.16 D.17 1 1 1 6.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2an-1(n∈N*),则 Tn= + +?+ 的结果可化为 a1a2 a2a3 anan+1 ( ) 1 1 1 1 2 2 A.1- n B.1- n C. ?1-4n? D. ?1-2n? ? ? 4 2 3? 3? S1 S2 S15 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S15>0,S16<0,则 , ,?, 中最大的是( ) a1 a2 a15 S6 S7 S8 S9 A. B. C. D. a6 a7 a8 a9 1 4 8.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am,an,使得 aman=4a1,则 + 的最 m n 小值为( ) 3 5 25 4 A. B. C. D. 2 3 6 3 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡相应位置) a15 9.在等比数列{an}中,a5·11=3,a3+a13=4,则 =________. a a5 5an-13 10.已知数列{an}满足 a1=2,an+1= (n∈N*),则数列{an}的前 100 项的和为________. 3an-7 11.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,那么 a10=________. an 12.数列{an}中,a1=35,an+1-an=2n-1(n∈N*),则 的最小值是________. n a2+b2 13.已知 a,b,c 是递减的等差数列,若将数列中两个数的位置对换,得到一个等比数列,则 2 c 的值为________. 14.用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正五边形数组,其排列的规律如下图所示: 正三角 形数组 每边 1 个钢珠 每边 2 个钢珠 正方形 数组 正五边 形数组

每边 3 个钢珠

每边 4 个钢珠

已知 m 个钢珠恰好可以排成每边 n 个钢珠的正三角形数组与正方形数组各一个;且知若用这 m 个 钢珠去排成每边 n 个钢珠的正五边形数组时,就会多出 9 个钢珠,则 m=________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(12 分)在数列{an}、{bn}中,已知{an}是等差数列,且 a2=3,a5=9,又点(n,bn)在曲线 y=3x 上. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)令 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

16.(13 分)设各项为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S4=1,S8=17. (1)求数列{an}的通项公式; 2011 (2)是否存在最小正整数 m,使得当 n≥m 时,an> 恒成立?若存在,求出 m;若不存在,请说 15 明理由.

17.(13 分)某同学在暑假的勤工俭学活动中,帮助某公司推销一种产品,每推销 1 件产品可获利润 4 元,第 1 天他推销了 12 件,之后加强了宣传,从第 2 天起,每天比前一天多推销 3 件. 问:(1)该同学第 6 天的获利是多少元? (2)该同学参加这次活动的时间至少要达到多少天,所获得的总利润才能不少于 1020 元?

1 18.(14 分)已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列,Sn 是其前 n 项和,且满足 S2n-1= a2,n∈N 2 n


. (1)求 an;

?2 ?n为奇数?, ? (2)数列{bn}满足 bn=?1 Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求 T2n. ?2an-1?n为偶数?, ?
n-1

19.(14 分)数列{bn}(n∈N*)是递增的等比数列,且 b1+b3=5,b1b3=4. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)若 an=log2bn+3,求证数列{an}是等差数列; (3)若 a2+a2+a3+?+am≤a46,求 m 的最大值. 1 20.(14 分)已知数列{an}单调递增,且各项非负,对于正整数 K,若对任意 i,j(1≤i≤j≤K),aj- ai 仍是{an}中的项,则称数列{an}为“K 项可减数列”. (1)已知数列{bn}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,且数列{bn-2}是“K 项可减数列”,试确定 K 的最大值. n (2)求证:若数列{an}是“K 项可减数列”,则其前 n 项和 Sn= an(n=1,2,?,K). 2

参考答案
S3 1 1.B [解析] 设等比数列{an}的公比为 q,则由 = , S6 3 3 1-q 1 得 = , 1-q6 3 6 1-4 1 S6 1-q 3 解得 q =2,所以 = = = ,故选 B. S12 1-q12 1-16 5 2.D [解析] ∵Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=2a1+(2k+1)d=4k+4,∴4k+4=24,可得 k=5,故选 D. 3.C [解析] 设等比数列{an}的公比为 q,由 S3=a1+a2+a3=21,得 a1(1+q+q2)=21,即 q2+q -6=0,解得 q=2 或 q=-3(舍去),∴a3+a4+a5=a1(q2+q3+q4)=3(22+23+24)=84,故选 C. 4.C [解析] 由题设 a3+a7-a10=5,a11-a4=7,得 a3+a11+a7-(a10+a4)=12,即 a7=12,则 13?a1+a13? 13· 7 2a S13= = =156,故选 C. 2 2 b+1 1 1 5.C [解析] ∵a1=b(b>1),∴a2=- ,a =- =-1- ,a4=b,由此可得数列{an}是周 b b b+1 3 期为 3 的数列,a16=a3×5+1=a1=b,故选 C. 6.C [解析] 由已知,有 Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1(n≥2), 两式相减,得 an=2an-2an-1,即 an=2an-1,∴数列{an}是公比为 2 的等比数列, 1 - 1 - 又 S1=2a1-1,得 a1=1,则 an=2n 1, =? ?2n 1, anan+1 ?2? 1 1 - 1 1 1 1 1 ∴Tn= + +?+ = +? ?3+? ?5+?+?2?2n 1 ? ? a1a2 a2a3 anan+1 2 ?2? ?2? 1? ?1?n? 1- 2? ?4? ? 2? 1 = = ?1-4n?,故选 C ? 1 3 1- 4 15?a1+a15? 16?a1+a16? 7.C [解析] 由 S15>0,得 S15= =15a8>0,即 a8>0,由 S16<0,得 S16= =8(a8 2 2 +a9)<0,即 a9<-a8<0,∴数列{an}是递减数列,前 8 项为正,第 9 项起为负,则 S8 最大,而正项中 a8 最小,故选 C. 8.A [解析] 设等比数列的公比为 q,由 a7=a6+2a5,得 a1q6=a1q5+2a1q4,q2-q-2=0,解得 q=2 或 q=-1(舍去). - - + - 由 aman=4a1,得 a1·m 1·1·n 1=4a1,即 2m n 2=24,m+n=6, 2 a 2 1 4 m+n 5 2m n 1 4 ∴ + =?m+n?· ? 6 =6+ 3n +6m m n ? 5 2m n 5 2 3 ≥ +2 · = + = , 6 3n 6m 6 3 2 2m n 当且仅当 = ,即 m=2,n=4 时取等号,故选 A. 3n 6m 1 a15 a13 9.3 或 [解析] ∵a5·11=a3·13=3,a3+a13=4,∴a3=1,a13=3 或 a3=3,a13=1,∴ = = a a 3 a5 a3 1 3 或 ,故选 C. 3 5an-13 10.200 [解析] 由已知 an+1= ,得 a2=3,a3=1,a4=2,?,由此可知数列{an}是周期为 3an-7 3 的数列,其前 100 项的和为 33×6+2=200. 11.1 [解析] 方法一:由 Sn+Sm=Sn+m,得 S1+S9=S10, ∴a10=S10-S9=S1=a1=1. 方法二: ∵S2=a1+a2=2S1,∴a2=1, ∵S3=S1+S2=3,∴a3=1,

∵S4=S1+S3=4,∴a4=1, 由此归纳 a10=1. 12.10 [解析] 由已知,得 a2-a1=1,a3-a2=3,?,an-an-1=2(n-1)-1,各式相加,得 ?n-1??1+2n-3? an-a1=1+3+?+2(n-1)-1= =(n-1)2,即 an=(n-1)2+35, 2 an 36 36 ∴ =n+ -2≥2 n· -2=10, n n n 36 an 故当且仅当 n= ,即 n=6 时, 有最小值,最小值是 10. n n 5 17 13. 或 [解析] 依题意,得 16 4 ? ? ? ?a+c=2b, ?a+c=2b, ?a+c=2b, ①? 2 或②? 2 或③? 2 ? ? ? ?b =ac ?a =bc ?c =ab, 由①得 a=b=c,与“a,b,c 是递减的等差数列”相矛盾; a2+b2 5 由②消去 c 整理得(a-b)(a+2b)=0,又 a>b,∴a=-2b,c=4b, 2 = ; c 16 a2+b2 17 由③消去 a 整理得(c-b)(c+2b)=0,又 b>c,∴c=-2b,a=4b, 2 = . c 4 n?n+1? 14.126 [解析] 每边 n 个钢珠的正三角形需要钢珠 个,每边 n 个钢珠的正方形需要钢珠 2 n?n+1? 2 n2 个,根据已知 +n =m. 2 设每边 n 个钢珠的正五边形需要钢珠 an 个,根据组成规律,则 an+1=an+3n+1 且 a1=1,根据这 ?3n+2??n-1? ?3n+2??n-1? n?n+1? 个递推式解得 an =1+ ,根据已知 1+ +9=m.所以 +n2 =10+ 2 2 2 ?3n+2??n-1? 9×10 2 ,解得 n=9,所以 m= +9 =126. 2 2 15.[解答] (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 3d=a5-a2=9-3=6,d=2, ∴数列{an}的通项公式是 an=a1+(n-1)d=a2-d+(n-1)d=2n-1; ∵点(n,bn)在曲线 y=3x 上,∴数列{bn}的通项公式为 bn=3n. (2)由已知 cn=an+bn,得数列{cn}的前 n 项和为 Tn=c1+c2+?+cn=(a1+a2+?+an)+(b1+b2+?+bn) n?1+2n-1? 3?1-3n? 1 n+1 3 = + = · +n2- . 3 2 2 2 1-3 a1?q4-1? a1?q8-1? 16.[解答] (1)设{an}的公比为 q,由 S4=1,S8=17,知 q≠1,所以得 =1, =17. q-1 q-1 q8-1 相除得 4 =17,解得 q4=16,所以 q=2 或 q=-2(舍去). q -1 - a1?q4-1? 2n 1 1 将 q=2 代入 =1 得 a1= ,所以 an= . 15 15 q-1 - 2n 1 2011 - (2)由 an= > ,得 2n 1>2011,而 210<2011<211,所以 n-1≥11,即 n≥12. 15 15 2011 因此,存在最小的正整数 m=12,使得 n≥m 时,an> 恒成立. 15 17.[解答] (1)记此同学第 n 天推销的产品的件数为 an,由题设可知,{an}是一个公差为 3 的等差数 列,则 an=12+(n-1)×3=3n+9,a6=27, ∴该同学第 6 天的获利是 27×4=108(元). (2)设该同学前 n 天推销的产品的件数为 Sn,由题设可知, n?n-1? Sn=12n+ ×3, 2

n?n-1? 令 4Sn≥1020,即 12n+ ×3≥255, 2 化简,得 n2+7n-170≥0,解得 n≥10 或 n≤-17(舍去), 故该同学参加这次活动的时间至少要达到 10 天,所获得的总利润才能不少于 1020 元.
2 ? ?2S1=a1, 1 2 18.[解答] (1)设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,在 S2n-1= an中,令 n=1,n=2,得? 即 2 2 ?2S3=a2, ?

?2a1=a2, ? 1 ? 2 ? ?2?3a1+3d?=?a1+d? ,

解得 a1=2,d=4 或 d=-2(舍去). 所以 an=4n-2. - ? n 1 ?2 ?n为奇数?, (2)由(1)得 bn=? ?2n-3?n为偶数?, ? - 所以 T2n=1+(2×2-3)+22+(2×4-3)+24+(2×6-3)+?+22n 2+(2×2n-3) 2 4 2n-2 =1+2 +2 +?+2 +4(1+2+?+n)-3n 1-4n n?n+1? = +4× -3n 2 1-4 n 4 1 = +2n2-n- . 3 3 ? ?b1b3=4, 19.[解答] (1)由? 知 b1,b3 是方程 x2-5x+4=0 的两根, ? ?b1+b3=5, 注意到 bn+1>bn 得 b1=1,b3=4. b2=b1b3=4,得 b2=2,∴b1=1,b2=2,b3=4. 2 b2 - - 等比数列{bn}的公比为 =2,∴bn=b1qn 1=2n 1. b1 - (2)证明:an=log2bn+3=log22n 1+3=n-1+3=n+2. ∵an+1-an=[(n+1)+2]-(n+2)=1, 故数列{an}是首项为 3,公差为 1 的等差数列. (3)由(2)知数列{an}是首项为 3,公差为 1 的等差数列,有 2 a2+a2+a3+?+am=a1+a1+a2+a3+?+am-a1 1 m?m-1? m2-m =32+m×3+ ×1-3=6+3m+ , 2 2 2 m -m ∵a46=48,∴6+3m+ ≤48, 2 2 整理得 m +5m-84≤0,解得-12≤m≤7. ∴m 的最大值是 7. 20.[解答] (1)设 cn=bn-2=2n-2,则 c1=0,c2=2,c3=6, 则 c1-c1=c1,c2-c1=c2,c2-c2=c1,即数列{cn}一定是“2 项可减数列”, 但因为 c3-c2≠c1,c3-c2≠c2,c3-c2≠c3,所以 K 的最大值为 2. (2)证明:因为数列{an}是“K 项可减数列”,所以 aK-at(t=1,2,?,K)必定是数列{an}中的项, 而{an}是递增数列,aK-aK<aK-aK-1<aK-aK-2<?<aK-a1, 所以必有 aK-aK=a1,aK-aK-1=a2,aK-aK-2=a3,?,aK-a1=aK. 故 a1+a2+a3+?+aK=(aK-aK)+(aK-aK-1)+(aK-aK-2)+?+(aK-a1) =KaK-(a1+a2+a3+?+aK), K 所以 SK=KaK-SK,即 SK= aK, 2 n 所以 Sn= an(n=1,2,?,K). 2


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