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【导与练】2014届高三数学(理)一轮总复习:第二篇 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程Word版含解析






函数与方程

【选题明细表】 知识点、方法 函数零点及其个数 函数零点所在区间 零点的应用 一、选择题 1.(2012 年高考湖北卷)函数 f(x)=xcos x2 在区间[0,4]上的零点个数为 ( C ) (B)5 (C)6 (D)7 题号 1、4、5、6、7 2、8 3、9、10、11

/>(A)4

解析:令 f(x)=0,得 x=0 或 cos x2=0, 因为 x∈[0,4],所以 x2∈[0,16]. 由于 cos =0(k∈Z),

故当 x2= , , , , 时,cos x2=0. 所以零点个数为 6.故选 C. 2.(2012 江西九校联考)为了求函数 f(x)=2x-x2 的一个零点,某同学利用计 算器,得到自变量 x 和函数值 f(x)的部分对应值(精确到 0.01)如下表所示: x 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0

f(x)

1.16

1.00

0.68

0.24

-0.25

-0.70

-1.00

则函数 f(x)的一个零点所在的区间是( C ) (A)(0.6,1.0) (C)(1.8,2.2) (B)(1.4,1.8) (D)(2.6,3.0)

解析:函数零点位于区间端点函数值异号的区间内,故选 C. 3.(2013 乐山市第一次调研考试)“a>1”是“函数 f(x)=ax-1-2(a>0 且 a≠1)在区 间[1,2]上存在零点”的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:若 f(x)=ax-1-2 在[1,2]上存在零点,则 f(1)·f(2)<0,∴-1·(a-2)<0,∴a>2, 则必有 a>1,但 a>1 推不出 a>2,∴“a>1”是“f(x)在[1,2]上存在零点”的必要不 充分条件.故选 B. 3.函数 f(x)= (A)0 (B)1 (C)2 的零点个数为( (D)3 C ) B )

解析:当 x≤0 时,令 x2+2x-3=0,解得 x=-3 或 x=1(舍去),当 x>0 时,令-2+ln x=0,解得 x=e2,所以函数 f(x)有 2 个零点,故选 C. 4.(2012 浙江调研)函数 f(x)=ex+3x 的零点个数是( B (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 )

解析:易知 f(x)=ex+3x 在 R 上单调递增, 又∵f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0, ∴函数只有一个零点,故选 B. 5.已知关于 x 的方程 xln x=ax+1(a∈R),下列说法正确的是( B (A)有两不等根 (B)只有一正根 )

(C)无实数根 (D)不能确定 解析:由 xln x=ax+1(a∈R)知 x>0, ∴ln x=a+ ,作出函数 y1=ln x 与 y2=a+ 的图象,

易知选 B. 6.(2012 广东珠海模拟)对于函数 f(x)=x|x|+px+q,现给出四个命题,其中 所有正确命题的序号是( B )

①q=0 时,f(x)为奇函数;②y=f(x)的图象关于点 (0,q)对称;③p=0,q>0 时,f(x)有且只有一个零点;④f(x)至多有 2 个零点. (A)①④ (B)①②③ (C)②③ (D)①②③④

解析:当 q=0 时,f(x)=x(|x|+p),显然是奇函数,故①正确; 由于 g(x)=x(|x|+p)是奇函数,图象关于原点对称, q≠0 时,f(x)=g(x)+q 的图象由 g(x)的图象向上(或向下)平移|q|个单位得 到, 所以 f(x)的图象关于点(0,q)对称,故②正确;

当 p=0,q>0 时,由 f(x)=x|x|+q=0 可得 x=- ,只有一个根,函数只有一个 零点,故③正确; 当 p<0,q=0 时,函数 f(x)=x|x|+px 有三个零点 0,p,-p,所以④错误.故选 B. 二、填空题 7.函数 f(x)= 的零点个数是 .

解析:函数定义域是(3,+∞), 且由 f(x)=0 得 x=2 或 x=1, 但 1? (3,+∞),2? (3,+∞), 故 f(x)没有零点. 答案:0 8.(2012 福建厦门模拟)函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N) 内,则 n= .

解析:由于 f(1)=-4<0, f(2)=ln 2-1<0, f(3)=2+ln 3>0, 所以零点在区间(2,3)内,故 n=2. 答案:2 9. 已知 0<a<1,k≠0,函数 f(x)= 则实数 k 的取值范围是 . 若函数 g(x)=f(x)-k 有两个零点,

解析:函数 g(x)=f(x)-k 有两个零点,即 f(x)-k=0 有两个解,即 y=f(x)与 y=k 的图象有两个交点.分 k>0 和 k<0 作出函数 f(x)的图象.当 0<k<1 时,函数 y=f(x)与 y=k 的图象有两个交点;当 k=1 时,有一个交点;当 k>1 或 k<0

时,没有交点,故当 0<k<1 时满足题意. 答案:0<k<1 三、解答题 10.已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R). (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若对任意 a∈[3,4],函数 f(x)在 R 上都有 3 个零点,求实数 b 的取值范围. 解:(1)因为 f(x)=-x3+ax2+b, 所以 f'(x)=-3x2+2ax=-3x .

当 a=0 时,f'(x)≤0,函数 f(x)没有单调递增区间; 当 a>0 时,令 f'(x)>0,得 0<x< , 故 f(x)的单调递增区间为 ;

当 a<0 时,令 f'(x)>0,得 <x<0, 故 f(x)的单调递增区间为 .

综上所述,当 a=0 时,函数 f(x)没有单调递增区间; 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为 ;

当 a<0 时,函数 f(x)的单调递增区间为 (2)由(1)知,a∈[3,4]时,f(x)的单调递增区间为 (-∞,0)和 .

. ,单调递减区间为

所以函数 f(x)在 x=0 处取得极小值 f(0)=b,函数 f(x)在 x= 处取得极大值 f = +b.

由于对任意 a∈[3,4],函数 f(x)在 R 上都有 3 个零点, 则 即 解得- <b<0. 因为对任意 a∈[3,4],b>- 恒成立, 所以 b> ==-4.

所以实数 b 的取值范围是(-4,0). 11.(1)m 为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4. ①有且仅有一个零点; ②有两个零点且均比-1 大; (2)若函数 f(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)①f(x)=x2+2mx+3m+4 有且仅有一个零点

?方程 f(x)=0 有两个相等实根 ?Δ=0,即 4m2-4(3m+4)=0, 即 m2-3m-4=0, ∴m=4 或 m=-1. ②法一 设 f(x)的两个零点分别为 x1,x2, 则 x1+x2=-2m,x1· 2=3m+4. x 由题意,知

? ? ∴-5<m<-1. 故 m 的取值范围为(-5,-1). 法二 由题意,知

即 ∴-5<m<-1. ∴m 的取值范围为(-5,-1). (2)令 f(x)=0,得|4x-x2|+a=0, 即|4x-x2|=-a.

令 g(x)=|4x-x2|, h(x)=-a. 作出 g(x)、h(x)的图象.

由图象可知,当 0<-a<4, 即-4<a<0 时, g(x)与 h(x)的图象有 4 个交点, 即 f(x)有 4 个零点. 故 a 的取值范围为(-4,0).


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