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高二必修五数学试题解三角形2014


高二必修五数学试题解三角形 2014-2015 学年度考卷
一、选择题 1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 2.在△ABC 中, a =2, b=6,C=60°,则三角形的面积 S=( A.3 3 3.已知 △ ABC 中, a A. 45<

br />?

a c ? ,则△ cos A cos C

) D.6

B. 3 2

C. 6 3

? 2 , b ? 3 , B ? 60
?

,那么角 A 等于(
? ?


?

B. 60

C. 120 或60

?

D. 135 或45

4 .在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , S 表示△ ABC 的面积,若

acosB+bcosA=csinC. ,S=
A.90° B.60°

1 (b2+c2-a2) ,则∠B=( ) 4
D.30° )

C.45°

5.在△ABC 中,若 ?A ? 600 , ?B ? 450 , BC ? 3 2 ,则 AC =( A. 4 3 B. 2 3 C. 3

D.

3 2

6.已知 ? ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 B=2A, A.2 3
B C 7. 在 ?A

a =1,b= 3 ,则 c =

B.2

C. 2

D. 1

sin C ? sin( A ? B) ? 3 sin 2 B .若 C ? 中, 角 A, B , C 所对应的边分别为 a , b , c ,

?
3

,

则 A.

a ?( b

) B.3 C.

1 2

1 或3 2

D.3 或

1 4

8.在△ ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 18 , b ? 24 , A ? 45? ,则这 样的三角形有( A.0 个 ) B.两个

C.一个

D.至多一个

△ ABC 顶点坐标分别为 A(0, 0) ,B(1, 3) , C ( m, 0) . 9. 在平面直角坐标系中, 若 △ ABC
是钝角三角形,则正实数 m 的取值范围是( A. 0 ? m ? 1 )

B. 0 ? m ? 3 C. 0 ? m ? 3 或 m ? 4 D. 0 ? m ? 1 或 m ? 4 10.已知△ABC 三边满足 a +b =c - 3 ab,则此三角形的最大内角为________.
2 2 2

11.已知 ?ABC 满足 c ? 2a cos B ,则 ?ABC 的形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 12.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 A. b ? 10, A ? 450 , C ? 750 B. a ? 7, b ? 5, A ? 80
0

C. a ? 60, b ? 48, C ? 60 D. a ? 14, b ? 16, A ? 45

0

0

13.在△ABC 中,a=2 3 ,b=2 2 ,∠B=45°,则∠A 为. A.30°或 150° B.60° C.60°或 120° D.30° △ ABC 14 . 在 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , S 表 示 △ ABC 的 面 积 , 若
1 a cos B ? b cos A ? c sin C , S ? (b2 ? c2 ? a2 ) ,则 ?B ? ( 4



A. 90?

B. 60?

C. 45?

D. 30?

15.在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, ,若 3a ? 2b ,则 的值为( ) A. ?

2sin 2 B ? sin 2 A sin 2 A

1 9

B.

1 3

C.1

D.

7 2

2 2 16.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足 (a ? b) ? c ? 4 ,且 C = 60°,则 ab 的值为

(

) B.1 C.

A. 8 ? 4 3

4 3

D.
?

2 3

17.在 ?ABC 中, a ? 4, b ? 4 3, A ? 30 ,则角 B 等于 ( ). A. 30
?

B. 30 或 150

?

?

C. 60

?

D. 60 或 120

?

?

18.在 ?ABC 中, A ? 120? AB ? 5 , BC ? 7 ,则 A.

8 5

B.

5 8

C.

5 3

sin B 的值为 sin C 3 D. 5
1 ,则 c ? 3

19.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 a ? 3 , b ? 2 , cos( A ? B) ? ( (A) 4 ) (B) 15 (C) 3 (D) 17

20.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 a ? 3 , b ? 2 , cos( A ? B) ? ( (A) 4 ) (B) 15 (C) 3 (D) 17

1 ,则 c ? 3

21.已知△ABC 中, a ? 2, b ? 3, B ? 60? ,那么角 A 等于( ) A. 45° B. 60° C. 60°或 120° D. 45°或 135°

0a B C ? 1 5b C A 22. 在△ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c, 若2
最小角的正弦值等于( A. ) D.

1 ? 2 cA B

0?

, 则△ABC

4 5

B.

3 4

C.

3 5

7 4

sin C 5 ? 3, b 2 ? a 2 ? ac ,则 cos B 的值为( ) sin A 2 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 5 2 4 a?b?c 0 ?( 24.在 ?ABC中,A ? 60 ,b ? 1, S ?ABC ? 3, 则 sin A ? sin B ? sin C
23.在 ?ABC 中,若 A.



8 3 3

B.

2 39 3

C.

26 3 3

D. 2 3

25.在△ABC 中,a=4,b=4 3 ,角 A=30°,则角 B 等于( ). A.30° B.30°或 150° C.60° D.60°或 120°

二、填空题 26.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c= =3sinC,则 cosA 的值为_______. 27.在△ABC 中,若 a ? b ? bc ? c , 则A ?
2 2 2

1 a,2sinB 4

28 .在 ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,已知 b cos C ? c cos B ? b ,则

a =______ . b

29.如图,在水平地面上有两座直立的相距 60 m 的铁塔 AA1 和 BB1 .已知从塔 AA1 的底部 看塔 BB1 顶部的仰角是从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角的 2 倍, 从两塔底部连线中点 C 分 别 看 两 塔 顶 部 的 仰 角互 为 余 角 . 则 从 塔 BB1 的 底部 看 塔 AA1 顶 部 的 仰 角 的 正切 值 为 ;塔 BB1 的高为
B1

m.

A1

A

C

B

30.在 ?ABC 中, cos A : cos B : sin C ? a : b : c ,则 ?ABC 的形状为 . 31 . 已 知 锐 角 A 是 ?ABC 的 一 个 内 角 , a , b , c 是 三 角 形 中 各 角 的 对 应 边 , 若

1 , 则 b ? c 与 2 a 的大小关系为 . (填 < 或 > 或 ? 或 ? 或=) 2 1 32.在 ?ABC 中, a ? 1 , b ? 2 , cos C ? ,则 c ? ; sin A ? . 4 ? 33.如图,在 ?ABC 中,已知 B ? , D 是 BC 边上一点, AD ? 10 , AC ? 14 , DC ? 6 , 4 则 AB ? . sin 2 A ? cos 2 A ?
A

B

D

C

34.在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则 ?ABC 是

三角形.

35.在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 sin A ? sin B ? cos C ,

? a ,则 ? . c 6 36.在△ABC 中,若 sinA<sinB,则 A 与 B 的大小关系为
则 B ? __________.若 A ?



37.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边长分别是 a , b, c ,若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则 角 C 的大小为 38.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角 C=________.

三、 解答题 39. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 2 . (1)当 x ? [0,

?
2

] 时,求 f ( x ) 的值域;
b ? 3, a

(2)若 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且满足

sin(2 A ? C ) ? 2 ? 2 cos( A ? C ) ,求 f ( B ) 的值. sin A

40. (本小题满分 14 分)海上某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75 ,距离为 12 6 海 里;在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30 ,距离为 8 3 海里;货轮向正北由 A 处行驶到 D 处时看灯塔 B 在货轮的北偏东 120 .(要画图)
o
o

o

求: (1) A 处与 D 处之间的距离; (2)灯塔 C 与 D 处之间的距离.

i n B? 41. (本小题满分 14 分) 在Δ ABC 中, 角 A, B, C 的对应边分别为 a,b,c, 且s
(1)当 A=30°时,求 a 的值; (2)当 a=2,且△ABC 的面积为 3 时,求△ABC 的周长. 42. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,分别根据下列条件解三角形: (1) a ? 3, b ? 1, A ? 60? ; (2) b ? 3, c ? 3 3, B ? 30?

3 ,b ? 2 . 5

43. 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 sinB(tanA+tanC )=tanAtanC. (1)求证:a,b,c 成等比数列; (2)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S. 44.△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c asinA +csinC- 2asinC=bsinB (1)求 B ; (2)若 A ? 75 , b ? 2, 求 a , c
0

45 . ( 本 小 题 12 分 ) 已 知 a 、 b 、 c 分 别 为 ?ABC 三 个 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 ,

c ? 3 a si nC ? c cos A .
(1)求 A ; (2)若 a =2, ?ABC 的面积为 3 ,求 b 、 c .

46. (本题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长的取值范围.

1 c?b. 2

?B ? 47. 如图, 在 △ ABC 中,

?
3

,AB ? 8 , cos ?ADC ? 点 D 在 BC 边上, 且 CD ? 2 ,

1 . 7

(1)求 sin ?BAD ; (2)求 BD,AC 的长. 48 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c , 若

a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ? 0 。
(1)求 ? A 的大小; (2)设

c 1 ? ? 3 ,求 tan B 的值。 b 2

49. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? sin2 x ? 2 3 sin x cos x , x ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c ,若 f ( A) ? 1 , a ? 3
b ? c ? 3 ,试求 ?ABC 的面积.

50. (本小题满分 12 分)在锐角△ABC 中, a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 所对的边,且

3a ? 2c sin A
(1)确定∠C 的大小; (2)若 c= 3 ,求△ABC 周长的取值范围. 51 . ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知 ?ABC 的 内 角 A , B , C 所 对 边 分 别 为 a , b , c , 且

1 c? b . 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 bc ? 2 ,求边长 a 的最小值. a c o sC ?
52 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 a , b, c 分 别 为 ?ABC 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 ,

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 。
(1)求 A 的大小; (2)若 a = 7,求 ?ABC 的周长的取值范围. 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c , 且 53 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ABC 中 , 角 A、 B

a ? 1,c ? 2 , cos C ?
(1)求 sin A 的值;

3 . 4

(2)求 ABC 的面积. 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c , 且 54 . ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 在 ABC 中 , 角 A、 B

a ? 1,c ? 2 , cos C ?
(1)求 sin A 的值; (2)求 ABC 的面积.

3 . 4

55. (本小题满分 14 分) 如图, 在△ ABC 中,?ACB 为钝角,AB ? 2, BC ? 为 AC 延长线上一点,且 CD ? 3 ? 1.
B

2, A ?

π .D 6

A

C

D

(Ⅰ)求 ?BCD 的大小; (Ⅱ)求 BD, AC 的长. 56. (本小题满分 13 分) 如图, 在△ ABC 中,?ACB 为钝角,AB ? 2, BC ? 为 AC 延长线上一点,且 CD ? 3 ? 1.
B

2, A ?

π .D 6

A

C

D

(Ⅰ)求 ?BCD 的大小; (Ⅱ)求 BD 的长及△ ABC 的面积. 57. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的三内角 A,B,C 所对边的长依次为 a, b, c, 若o s c
cos C ? 1 . 8 A? 3 , 4

(1)求 a : b : c ; (2)若 | AC ? BC |? 46 ,求△ABC 的面积. 58 . (本小题满分 12 分)设 ?ABC 的内角 A , B , C ,所对的边长分别为 a , b ,

c , m ? ? cos A,cos C ? , n ?
(1)求角 A 的大小;

?

3c ? 2b, 3a ,且 m ? n .

?

(2)若 a ? b ,且 BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求边 a 的值.

59. (本题满分 13 分)在 ?ABC 中, a 2 ? c 2 ? b 2 ? (1)求 B 的大小; (2)若 a ? 4 ,且

2 3 ac sin B. 3

?
6

? A?

?
3

,求边 c 的取值范围.
x?4

60. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时有 f ( x ) ? 4 x . (1)判断函数 f ( x) 的单调性,并求使不等式 f (2m ?1) ? f (m2 ? 2m ? 4) ? 0 成立的实数 m 的取值 范围. ( 2 ) 若 a 、 b 、 c 分 别 是 ?ABC 的 三 个 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 , ?ABC 面 积

S ?ABC ?

3 , c ? f (4), A ? 60?, 求 a 、 b 的值; 2
21 ,

61 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 ?ABC 的 三 边 a, b, c 成 等 比 数 列 , 且 a ? c ?

1 1 5 ? ? . tan A tan C 4 (1)求 cos B ;(2)求 ?ABC 的面积.
62. (本小题满分 12 分)已知 A、B、C 为 ?ABC 的三个内角,他们的对边分别为 a、b、c, 且 cos B cos C ? sin B sin C ? (1)求 A; (2)若 a ? 2 3, b ? c ? 4, 求 bc 的值,并求 ?ABC 的面积 63. (本小题满分 12 分)如图,山脚下有一小塔 AB,在塔底 B 测得山顶 C 的仰角为 60°, 在山顶 C 测得塔顶 A 的俯角为 45°,已知塔高 AB=20 m,求山高 CD.

1 . 2

64. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,C= △ABC 的面积为 10 3 . (1)求 b,c 的值; (2)求 cos(B-

? ,a=5, 3

? )的值. 3

65. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边依次为 a,b,c,已知 a=bcosC



3 csinB 3

(1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 66. (本小题满分 12 分)已知锐角△ABC 中的三个内角分别为 A,B,C. (1)设 ,求证△ABC 是等腰三角形;
2

(2)设向量 s=(2sinC,- 3 ) ,t=(cos2C,2 cos

C 2 -1) ,且 s∥t,若 sinA= , 2 3

求 sin(

? -B)的值. 3

67. (本题满分 14 分)已知△ ABC 的面积为 S ,且 AB ? AC ? S . (1)求 tan A 的值; (2)若 B ?

?
4

, c ? 3 ,求△ABC 的面积 S .

68. (本小题满分 12 分)在△ ABC 中,A、B、C 为三个内角,f(B)=4cos B· sin2 ?

?? B ? ? ?+ ?4 2?

3 cos 2B-2cos B.
(1)若 f(B)=2,求角 B; (2)若 f(B)-m>2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 69 . (本小题满分 12 分)在△ ABC 中,角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c ,且 (2a ? c ) cosB ? b cosC. (1)求角 B 的大小; (2)若 A ?

?
4

, a ? 2 ,求△ABC 的面积.

70 . (本小题满分 12 分)在三角形 ABC 中,∠ A ,∠ B ,∠ C 的对边分别为 a、b、c 且

b2 ? c 2 ? bc ? a 2
(1)求∠ A;
2 2 (2)若 a ? 3 ,求 b ? c 的取值范围.

71 . (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,已知角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a, b, c ,直线

l1 : ax ? y ? 1 ? 0 与直线 l2 : ? b 2 ? c 2 ? bc ? x ? ay ? 4 ? 0 互相平行(其中 a ? 4 ).
(1)求角 A 的值; (2)若 B ? ?

? ? 2? , ?2 3

? 2 A?C ? cos 2 B 的取值范围. ? , 求 sin 2 ?

72 .( 本 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , a , b, c 为 角 A, B, C 所 对 的 边 ,

sin 2 C ? sin A sin B ? sin 2 A ? sin 2 B
(1)求角 C 的大小; (2)若 c ? 2 ,且 sin C ? sin ? B ? A? ? 2sin 2 A ,求 ?ABC 的面积. 73. (12 分)如图,为测量山高 MN ,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点,从 A 点 测得 M 点的仰角 ?MAN ? 60? , C 点的仰角 ?CAB ? 45? 以及 ?MAC ? 75? ;从 C 点测 得 ?MCA ? 60? ,已知山高 BC ? 100 m,求山高 MN .

74. (12 分)已知 a , b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, c ? 3a sin C ? c cos A (1)求 A ; (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ,求 b, c . 75. (本小题满分 10 分)在 ?ABC 中, a , b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, ?ABC 的面积是 30, cos A ?

12 13

(1)求 AB ? AC ; (2)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值 76.在 ?ABC 中,已知 25cos 2 A ? 120sin (1)求 cos A 的值; (2)若 a ? 4 2, b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影. 77 . (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , 若 B ?
2

B?C ? 17 . 2

?
3

,且

(a ? b ? c)(a ? b ? c ) ?

3 bc . 7

(Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)若 a ? 5 ,求 ?ABC 的面积. 78.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a 2 ? b2 ? c2 ? 3ab . (1)求角 C 的值; (2)若 ?ABC 为锐角三角形,且 c ? 1 ,求 3a ? b 的取值范围.

79.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 A,B,C 成等差数列。 (1)若 b ? 2 3 , c ? 2 ,求△ABC 的面积; (2)若 sin A, sin B, sin C 成等比数列,试判断△ABC 的形状。 80 . ( 本小题满分 14 分 ) 已知 a,b,c 为 △ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 ? B 1) , m ? n , a ? 3 , b ? 1 m ? (2sinB,2 ? cos2B) , n ? (2sin 2( ? ), ?

4

2

(1)求角 B 的大小;(2)求 c 的值. 四、新添加的题型 81.△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 2acosC+ccosA=b, 则 s1nA+s1nB 的最大值为 82.在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,若 2c2 ? 2a 2 ? 2b2 ? ab ,则

?ABC 是
A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形

83.在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a ,b , c ,其面积为 S ,且 b 2 ? c 2 ? a 2 ? (1)求 A ; (2)若 a ? 5 3 , cos B ?

4 3 S. 3

4 ,求 c . 5
4 3 S. 3

84.在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a ,b , c ,其面积为 S ,且 b 2 ? c 2 ? a 2 ? (1)求 A ; (2)若 a ? 5 3 , cos B ?

4 ,求 c . 5
2

85.已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos A+cos 2A=0,a=7,c =6,则 b=( ) A.10 B.9 C.8 D.5 86.在 200m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30°、60°,则塔高为( )

400 A. 3 m

200 3 3 m B.

400 3 3 m C.

200 D. 3 m

87 .( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 向 量 a ? (sin x, ?1), b ? ( 3 cos x, ? ) , 函 数

1 2

f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 .
(1)求函数 f(x)的最小正周期 T; (2)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,其中 A 为锐角,a= 2 3 ,c=4,且 f(A)=1,求△ABC 的面积 S. 88. (本题满分 14 分)已知函数 f (x) ? 2sin 2 .设 x ? ? ( x ? ) ? 3cos2 , x x ?? , 4 ?4 2 ? ?

?

?? ? ?

时 f ( x ) 取到最大值. (1)求 f ( x ) 的最大值及 ? 的值; (2) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,A ? ? ? 求 b ? c 的值. 89 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 若

?
12

, 且 sin B sin C ? sin 2 A ,

3a cos C ? c sin A 。
(1)求角 C 的大小; (2)若 a ? 3 , ?ABC 的面积为

3 3 ,求 CA ? AB 的值。 2

90 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 若

3a cos C ? c sin A 。
(1)求角 C 的大小; (2)若 a ? 3 , ?ABC 的面积为

3 3 ,求 CA ? AB 的值。 2

91 . 已 知 G 为 ?ABC 为 重 心 , a 、 b 、 c 分 别 为 ? A 、 ? B 、 ?C 所 对 的 边 , 若

aGA ? bGB ?

3 cGC ? 0 ,则 ? A ? 3

.

92.在 ?ABC 中,已知 sin 2 A ? sin 2C ,则 ?ABC 是 A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰或直角三角形 D、等腰直角三角形 93.在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,已知

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? . cos B b

sin C 的值; sin A 1 (2)若 cos B ? , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S. 4
(1)求 94.周长为 6 的等腰 ?ABC 中,当顶角 A ?

?

3

时, S?ABC 的最大值为 3 ,周长为 4 的扇形 (弧度)时, S扇形?AOB 的最大值是

OAB 中,则当圆心角 ? ,| ? |? ?AOB ?
1.

95.在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,其中 a ? 5, b ? 3,sin B ?

2 ,则角 A 2

的取值范围一定属于 A、 (45? ,90? ) B、 (45? ,90? ) C、 (0? , 45? ) D、 (90? ,135? ) 96. (本小题满分 12 分)设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若角 B 为锐 角,且 a ? 2b sin A . (1)求 B 的大小; (2)求 cos A ? sin C 的取值范围. 97.在 ?ABC 中, A ? 60?, b ? 4, a ? 2 3 ,则 ?ABC 的面积等于___ __. 98. (本小题满分 12 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 a ? 2b sin A . (1)求 B 的大小; (2)求 cos A ? sin C 的取值范围. 99.在 ?ABC 中, A ? 60?, b ? 4, a ? 2 3 ,则 ?ABC 的面积等于___ __. 100. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B, C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos A ? (1)求 sin( B+C)的值; (2)若 a ? 2, S?ABC ? 2 ,求 b,c 的值. 参考答案 1.A 【解析】 试题分析:由

(90? ,135? ) (135? ,180? )

1 3

a c sin A sin C ? ? 结合正弦定理得 ,即 tan A ? tan C ,而 A,C 是 cos A cos C cos A cos C

△ABC 的内角, 故 A=C. 考点:正弦定理的应用 2.A 【解析】 试题分析:三角形的面积 S ? 考点:三角形的面积公式 3.A 【解析】 试题分析:由正弦定理

1 1 ab sin C ? 2 6 sin 60? ? 3 3 . 2 2

a b 2 3 2 , 故 s i nA ? , A ? 45? 或 ? ? ? sin A sin B sin A sin 60? 2

A ? 135? ,又 a ? b ∴ A ? B ? 60? ∴ A ? 45? .

考点:正弦定理的应用 4.C 【解析】 试 题 分 析 : 由 正 弦 定 理 可 知 acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin ( A+B ) =2RsinC=2RsinC?sinC ∴sinC=1,C=90°. ∴S=

1 1 ab ? (b2+c2-a2), 2 4

解得 a=b,因此∠B=45°. 考点:正弦定理的应用. 5.B 【解析】 试题分析: ?A ? 600 , ?B ? 450 , BC ? 3 2 由正弦定理可得,

AC BC ? sin B sin A

可得 AC ? BC sin B ?
sin A

3 2? 3 2

2 2 ?2 3

考点:正弦定理在解三角形中的应用. 6.B. 【解析】 试题分析:在 ? ABC 中,应用正弦定理

a b ? 3 ? 得, cos A ? ,所以 A ? ,所以 6 sin A sin B 2

B?

?
3

,C ?

?
2

,所以 c ?

a 2 ? b 2 ? 2 ,故应选 B.

考点:1、正弦定理;2、勾股定理. 7.C. 【解析】 试题分析:由 sin C ? sin( A ? B) ? 3 sin 2B ,得 sin( A ? B) ? sin( A ? B) ? 6 sin B cos B ,

o s 即 sin A cos B ? 3 sin B cos B ; 若c

B ? 0 ,则 sin A ? 3 sin B , 此时

a o s B ?0, ? 3; 若c b

即B ?

?
2

,C ?

?
3

,A?

?
6

,此时

a ? b

sin

?

6 ? 1 ;故选 C. ? 2 sin 2

考点:解三角形. 8.B. 【解析】

试题分析:由正弦定理,得

18 24 2 2 ? ,解得 sin B ? ? 1 ,又因为 b ? a ,所以满 0 sin B sin 45 3

足要求的角 B 有两个,即这样的三角形有两个. 考点:正弦定理. 9.D 【解析】 试题分析: 由 B 1,3 , 得到 AE ? 1 根据勾股定理得:AB ? 2,?BAE ? 60? , ,BE ? 3 , 过 B 作 BD ? AB ,可得 ?ADB ? 30? ,∴ AD ? 2 AB ? 4 ,即 D ? 4, 0? ,则 ABC 是 钝角三角形时,正实数 m 的取值范围是 0 ? m ? 1 或 m ? 4 ,故选:D. 考点:余弦定理. 10.

?

?

5? 6 5? a2 ? b2 ? c2 3 , 所以 C ? . ?? 6 2ab 2

【解析】 试题分析: 由题意, c 边最大, 由余弦定理得 cosC ? 考点:余弦定理及应用. 11.A 【解析】 试 题 分 析 : 由 正 弦 定 理 得 sin C ? 2 sin A cos B , 又 s i n C ? s i nA(? B) , 所 以

2 sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B , 所 以 s i n Ac o B s ?c o s As i n B?0 , 所 以
sin( A ? B) ? 0 ,所以 A ? B .
考点:正弦定理、两角和的正弦公式. 12.D 【解析】 试题分析:A 中由三角形内角和为 180°,得 B=60°,所以三角形已确定,只有一个,B 中 由正弦定理 sin B ?

b 5 5 sin A ? sin 80 0 ? ,又 a ? b 所以 ?A ? ?B ,所以 ?B ? 800 , a 7 7

只 有 一 解 ; C 中 边 角 边 可 知 三 角 形 唯 一 确 定 ; D 中 由 正 弦 定 理 得

2 b 8 2 4 2 ?s i B n? sin A? ? ? ? 1 ,又 a ? b ,所以 ?B ? ?A ? 450 ,所以有两 2 a 7 2 7
解. 考点:解三角形. 13.C 【解析】 试题分析:由正弦定理

a b ? 2? a 3 ? 得 sin A ? sin B ? ,所以 A ? 或 sin A sin B 3 3 b 2

又 a ? b ,所以 ?A ? ?B ,所以 A ?

?
3



2? . 3

考点:正弦定理及其应用. 14.C 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 a cos B ? b cos A ? c sin C

及 正 弦 定 理 得 即
2

2R s i An

? c Bo s R

2 B?s i A n2

c Ro s

C 2

,n s i 以

sin( A ? B) ? sin 2 C ,sin C ? sin 2 C ,sin C ? 1, C ?
1 1 2 ab ? ? (b 2 ? c ?2a ), a ? b. 选C . 2 4
考点:1.正弦定理;2.两角和与差的三角函数. 15.D 【解析】 试 题 分 析 : 由

?
2

,



c2 ? b ?2a ),





3a = 2b



b 3 = a 2
2

, 根 据 正 弦 定 理 可 得

骣 2sin 2 B - sin 2 A 2b2 - a 2 b2 3 = = 2 ? 1 = 2? 琪 琪 2 2 2 sin A a a 2 桫
考点:正弦定理. 16.C. 【解析】

7 1 = .故正确答案为 D. 2

2 2 2 试 题 分 析 : 因 为 (a ? b) 2 ? c 2 ? 4 , 所 以 a ? b ? c ? 2ab ? 4 , 由 余 弦 定 理 知

2ab co sC ? 2ab ? 4 ,所以 ab ?
考点:余弦定理的应用. 17.D. 【解析】 试 题 分 析 : 在 ?ABC

4 .故应选 C. 3

中 , 应 用 正 弦 定 理

a b ? sin A sin B

知 ,

s iB n ?

b s i An ? a

4 3?

1 2 ? 3 ,所以角 B 等于 60? 或 120? .故应选 D. 4 2

考点:正弦定理. 18.D 【解析】
2 2 2 0 试 题 分 析 : 由 余 弦 定 理 得 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC cos120 , 即

? 1? 7 2 ? 52 ? AC 2 ? 2 ? 5 ? AC ? ? ? ? , ? 2?
得 AC ? 3 ,由正弦定理得

sin B AC 3 ? ? ,故答案为 D. sin C AB 5

考点:正、余弦定理的应用. 19.D 【解析】

? , ? cosC ?﹣ , 试题分析: 由题意求出 cosC, 利用余弦定理求出 c 即可. cos(A ? B) ﹣ , 在△ABC 中,a=3,b=2,cosC= 1 3

1 3

1 3

? 1? ? c2 ? a 2 ? b 2 ﹣ 2abcosC ? 9 ? 4﹣2 ? 3 ? ? ? ? ? 17, ? c ? 17. ? 3?
考点:余弦定理. 20.D 【解析】

? , ? cosC ?﹣ , 试题分析: 由题意求出 cosC, 利用余弦定理求出 c 即可. cos(A ? B) ﹣ , 在△ABC 中,a=3,b=2,cosC= 1 3

1 3

1 3

? 1? ? c2 ? a 2 ? b 2 ﹣ 2abcosC ? 9 ? 4﹣2 ? 3 ? ? ? ? ? 17, ? c ? 17. ? 3?
考点:余弦定理. 21.A 【解析】 试题分析:因为

a b 2 3 2 ,因为 a<b,所以 A<B,故 ? ? ? ? sin A ? sin A sin B sin A sin 60? 2

A= 45°.故选 A. 考点:正弦定理. 22.C 【解析】 试题分析:∵ 20aBC ? 15bCA ? 12cAB ? 0 ,∴ 20a( AC ? AB) ?15bCA ?12cAB ? 0 , ∴

(20a ?15b) AC ? (12c ? 20a) AB ? 0





AC



AB





线



4 ? b? a ? 20 a ? 15 b ? 0 ? ? 3 ?? ? ?12c ? 20a ? 0 ?c ? 5 a ? ? 4





△ABC











A







1 6 2 5 2 2 a ?2a 2 a ? b 2 ? c ?2a 4 1 6 ? ,∴ sin A ? 3 ,故选 C. c o A ?s ? 9 4 5 5 2bc 5 2 ? ? a2 3 4
考点:1.向量共线;2.余弦定理.

23.D 【解析】 试题分析:由正弦定理得

c 5 15 ? 3, 即 c ? 3a ,代入 b 2 ? a 2 ? ac 得 b 2 ? a 2 ? a 2 ,所以 a 2 2

b2 ?

17 2 a , 2

由余弦定理变形 cos B ?

a ?c ?b ? 2ac
2 2 2

a 2 ? 9a 2 ?

17 2 a 1 2 ? 2 4 6a

考点:正余弦定理的应用 24.B 【解析】 试题分析:根据三角形的面积公式,求出 c,然后利用余弦定理即可得到 a 的值. 解答:解:∵A=60°,b=1,△ABC 的面积为 3

∴S△=

1 1 3 bcsinA , 3 ? ? 1 ? c ? ,解得 c=4, 2 2 2
2 2 2

则由余弦定理得 a =b +c -2bccos60°=1+16-2×4× 即 a= 13 所以

1 =13, 2

a?b?c a 13 2 39 ? ? ? sin A ? sin B ? sin C sin A 3 3 2

考点:正弦定理和余弦定理的应用,合比性质. 25.D 【解析】 试题分析:由正弦定理得

a b 4 4 3 3 ? 可得 解得 sin B ? , 又因为 ? 0 sin A sin B sin B 2 sin 30

a ? b ,所以 B ? 60°或 120°
考点:正弦定理及三角形解得个数 26.-

1 4

【解析】 试题分析:∵2sin B=3sin C,∴2b=3c.

a 3 ,∴a=2c,b= c, 4 2 9 2 2 c ? c ? 4c 2 b2 ? c 2 ? a 2 4 1 ∴cos A= ? ?? . 3 2bc 4 2? c? c 2
又∵b-c=

考点:正弦定理,余弦定理 27. 120? 【解析】 试 题 分 析 : ∵

a 2 ? b2 ? bc ? c 2



b2 ? c 2 ? a 2 ? ?bc





c

b2 ? c2 ? o A?s 2b c

a2 ?

? 1b c A ? 120? . ? ,故 ? 2 b c 2

考点:余弦定理的应用 28. 【解析】 试 题 分 析 : 将 b cos C ? c cos B ? b , 利 用 正 弦 定 理 化 简 得 :

sin B cos C ? sin C cos B ? 2sin B ,即 sin ? B ?C ? ?2sin B ,∵ sin ? B ? C ? ? sin A ,∴
sin A ? 2sin B ,利用正弦定理化简得: a ? b ,则
考点:正弦定理.

a ? 1 .故答案为:1. b

45 29. ;
【解析】 试 题 分 析 : 设 从 塔 BB1 的 底 部 看 塔 AA1 顶 部 的 仰 角 为

1 3

?

, 则

AA1 ? 60 tan ?,BB1 ? 60 tan 2? ,
∵从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角,∴ A 1 AC ∽ CBB 1 ,∴

AA1 30 ? 30 BB1

, \



AA1 ? BB1 ? 900 , ∴ 3600 tan ? tan 2? ? 900

, ∴

1 1 3 45 . tan ? ? , tan 2? ? ,BB1 ? 60 tan 2? ? 45 .故答案为: ; 3 3 4
考点:解三角形的实际应用. 30.等腰直角三角形. 【解析】由正弦定理,结合 cos A : cos B : sin C ? a : b : c ,即 sinA=cosA,sinB=cosB,得

A?B?

?
4

. 故 ?ABC 的形状为等腰直角三角形.

考点:正弦定理. 31. ? . 【解析】
2 2 试题分析:∵ sin A ? cos A ?

A ? (0, ) , 2

?

1 1 2 2 ,∴ cos 2 A ? cos A ? sin A ? ? ,又∵锐角 A ,∴ 2 2

2 A ? (0, ? ) ,∴ 2 A ?

2? ? ? A ? ,∴ a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c 2 ? bc , 3 3

(b ? c)2 ? 4a2 ? (b ? c)2 ? 4(b2 ? c2 ? bc) ? ?3(b ? c)2 ? 0 ,当且仅当 b ? c 时,等号成立,
∴ b ? c ? 2a . 考点:1.三角恒等变形;2.余弦定理;3.作差法. 32. 2,

15 8
1 ?4 , 所 以 c?2 , 4

【解析】
2 2 2 2 2 试 题 分 析 : c ? a ? b ? 2ab cos C ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ?

sin C ? 1 ? cos2 C ?

15 a ? sin C 15 ,由正弦定理可得 sin A ? 。 ? 4 c 8

考点:正、余弦定理,解三角形。 33. 5 6 【解析】 试 题 分 析 : 在 ?ACD 中 , 由 余 弦 定 理 可 得 : cos ?ADC ?

62 ? 102 ? 142 1 ? ? ,则 2 ? 6 ?10 2

?A D C?

2? ? AB 10 ? ,故 ?ADB ? ,在 ?ABD 中,由正弦定理可得: ,可 0 3 3 sin 60 sin 450

解得: AB ? 5 6 . 考点:1.正弦定理的运用;2.余弦定理的运用 34.等腰或直角 【解析】

b2 + c 2 - a 2 试 题 分 析 : 由 余 弦 定 理 得 a? 2bc

a 2 + c 2 - b2 b 2ac

, 整 理 得

(c

2

- a 2 - b2

)(

2 a-

)

ABC 为 直 角 三 角 形 , 若 0 b 2, = 若 c2 - a 2 - b2 =0 成 立 , 则 D

ABC 为等腰三角形.所以 D ABC 是等腰三角形开直角三角形. a 2 - b 2 = 0 成立,则 D
考点:余弦定理. 35.

? 3 ; . 2 3

【解析】 试题分析:应用正弦定理和 sin A ? sin B ? cos C 知, a ? b cos C ;然后应用余弦定理知,

a ? b?

a2 ? b2 ? c2 ? 2 2 2 即 a ? c ? b ,所以 B ? . 2 2ab

若A?

? ? a sin A 3 ,则 C ? ,应用正弦定理知, ? . ? 3 c sin C 6 3

考点:正弦定理和余弦定理的应用. 36.A<B 【解析】由正弦定理 sin A ? sin B ? a ? b .大边对大角,所以 A<B. 37.

2? 3
题 分 析 : 由

【解析】 试

?a ? b ? c??a ? b ? c? ? ab





a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?ab



? cosC ?
?C ?

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab 1 ? ?? , 2ab 2ab 2

2? . 3

考点:余弦定理的应用. 38.

2? 3

【解析】 2 2 2 试题分析:解:由已知条件(a+b-c)(a+b+c)=ab 可得 a +b -c +2ab=ab 2 2 2 即 a +b -c =-ab 由余弦定理得:cosC=

a2 ? b2 ? c2 1 ?? 2ab 2
2? 3

又因为 0<B<π ,所以 C=

考点:解三角形的知识,余弦定理及其变式 39. (1) [?1, 2] ; (2)1. 【解析】 试题分析: (1)依据同角三角函数函数关系,二倍角公式将原式进行化简,然后再利用辅助 角 公 式 将 原 式 化 简 为 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ,

sin(2 x ?

?

? ? ? 7? x ? [0, ],? 2 x ? ? [ , ] , 2 6 6 6

1 ) ? [ ? ,1] , 6 2

(2)由条件得 sin(2 A ? C ) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C ) ,利用两角和 ? f ( x) ? [?1, 2] . 的正弦、余弦化简为 sin A cos( A ? C ) ? cos Asin( A ? C ) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C ) ,
? ? ? 化简得 sin C ? 2 sin A ?c ? 2a, b ? 3a, 由余弦定理得 A ? 30 , B ? 60 , C ? 90 ,

f ( B ) =1.

试题解析: (1) f ( x) ? 2 ? (3sin2 x ? cos2 x ? 2 3sin x cos x)

? cos2 x ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6

?

? 1 ? ? ? 7? x ? [0, ],? 2 x ? ? [ , ] , sin(2 x ? ) ? [ ? ,1] , 6 2 2 6 6 6
? f ( x) ? [?1, 2]
6分

(2)由条件得 sin(2 A ? C ) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C )

sin A cos( A ? C ) ? cos Asin( A ? C ) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C )
? ? ? 化简得 sin C ? 2 sin A ?c ? 2a, b ? 3a, 由余弦定理得 A ? 30 , B ? 60 , C ? 90

f ( B ) =1

12 分

考点:1.同角三角函数函数关系,2.二倍角公式. 40. (1) AD ? 24 ; (2) CD ? 8 3 . 【解析】 试题分析: (1)由题意画出示意图如图所示,在 ?ABD 中用正弦定理可得 AD ? 24 ; (2 ) 在 ?ABD 中由余弦定理得 CD ? 8 3 . 试题解析:由题意画出示意图,如图所示:

?ABD 中,由题意得 ?ADB ? 60o , ?B ? 45o ,
由正弦定理得 AD ?

AB sin 45o ? 24 (海里). o sin 60

在 ?ABD 中,由余弦定理,
o 2 2 2 得 CD ? AD ? AC ? 2 AD ? AC cos 30 ? 242 ? (8 3)2 ? 2 ? 24 ? 8 3 ?

3 , 2

故 CD ? 8 3 (海里). 答: A 处与 D 处之间的距离为 24 海里,灯塔 C 与 D 处之间的距离为 8 3 海里. 考点:正弦定理、余弦定理的实际应用 41. (1) a ? 【解析】 试题分析: (1)由正弦定理即得 a ?

5 56 ; (2) . 3 9 5 1 2 ; (2)由 S ?ABC ? ab sin C 得 sin C ? ,再由正弦 3 3 2

定理得 c ?

20 56 ,故周长= . 9 9

3 , b ? 2 ,A=30°, 5 1 2? b a b ? sin A 2 ?5 ? ∴由正弦定理 ,得 a ? 5分 ? 3 sin B sin A sin B 3 5 3 (2)在Δ ABC 中,∵ sin B ? , b ? 2 ,a=2,且 S ?ABC ? 3 , 5 1 1 ∴ S ?ABC ? ab sin C ? ? 2 ? 2 sin C ? 2 sin C ? 3 , 2 2 2 ∴ sin C ? , 10 分 3 2 2? b ? sin C b c 3 ? 20 , ? 又由正弦定理 ,得 c ? 12 分 ? 3 sin B sin C sin B 9 5 20 56 ? ∴△ABC 的周长为 a ? b ? c ? 2 ? 2 ? . 14 分 9 9
试题解析: (1)在Δ ABC 中,∵ sin B ? 考点:正弦定理、余弦定理及面积公式的应用 42. (1) B ? 30? , C ? 90? , c ? 2 ;(2)当 a ? 3 时, A ? 30?,C ? 120? ;当 a ? 6 时,

A ? 90?, C ? 60? .
【解析】

1 ,判断 B ? 30? ,C ? 90? ,再由正弦定理求 c ? 2 ; 2 (2)由余弦定理构造方程得 a ? 3 或 a ? 6 ,分类讨论求得其余的元素.
试题分析: (1)由正弦定理得 sin B ? 试题解析: (1)由正弦定理得 sin B ?

b sin A sin 60? 1 ? ? a 2 3

?b ? a ?B ? A ? B ? 30?
? ?

? C ? 180 ? ? A ? B ? ? 180 ? 60 ? 30 ? 90
? ?

?

?

6分
?

?c ?

b sin C 1 ? ?2 1 sin B 2

2 2 2 (2)由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B



3 2 ? a 2 ? 3 3 ? 2a ? 3 3 ? cos30?

? ?

2

? a 2 ? 9a ? 18 ? 0, 得a ? 3或a ? 6
? ?

? C ? 120 当 a ? 3时,A ? 30 ,
当 a ? 6时, sin A ?

a sin B ? b

6? 3

1 2 ?1

,? A ? 90?,? C ? 60? (12 分)

考点:利用正弦、余弦定理解三角形 43. (1)证明见解析; (2) s ?

1 1 7 7 ac sin B ? ?1? 2 ? ? 2 2 4 4

【解析】 试题分析: (1)在三角形中遇到正切时,一般化为弦; (2)处理边角关系时,一般全部转化 为角的关系,或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理,出现边的 二次式一般采用余弦定理,应用正弦、余弦定理时,注意公式变形的应用,解决三角形问题

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B , 2 2 2 选择那一个公式时,一般角优先; (4)在三角形中,注意隐含条件 A ? B ? C ? ?
时,注意角的限制范围;(3)三角形的面积公式 S ? 试题解析: (1)证明:在△ABC 中,由于 sinB(tanA+tanC )=tanAtanC. 所以 sinB ? ? ? ? ? cos A cosC ? ? cos A cosC 因此 sinB(sinAcosC+cosAsinC )=sinAsinC , 所以 sinBsin( A+C )=sinAsinC , 又 A? B ?C ?? , 所以 sin( A ? C ) ? sin B 因此 sin 2 B ? sinAsinC , 6 8 4

? sin A

sin C ?

sin A sin C

2

2 由正弦定理得 b ? ac ,即 a , b, c 成等比数列.

(2)因为 a ? 1, c ? 2, 所以 b ?

2 ,由余弦定理得 cos B ?
7 , 4

a 2 ? c 2 ? b 2 12 ? 2 2 ? 2 3 ? ? 2bc 2 ? 1? 2 4

因为 0 ? B ? ? ,所以 sin B ? 1 ? cos2 B ?

10

故△ABC 的面积 s ?

1 1 7 7 . ac sin B ? ?1? 2 ? ? 2 2 4 4

12

考点:正弦定理;求三角形的面积 44. (1) B ? 45 (2) a ? 1 ? 3 , c ?
0

6.

【解析】 试题分析: (1)在三角形中处理边角关系时,一般全部转化为角的关系,或全部转化为边的 关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理,出现边的二次式一般采用余弦定理,应用 正弦、余弦定理时,注意公式变形的应用,解决三角形问题时,注意角的限制范围;(2)在 三角形中,注意隐含条件 A ? B ? C ? ? (3)解决三角形问题时,根据边角关系灵活的选 用定理和公式. 试题解析:由正弦定理得 a ? b ? 2ac ? b
2 2 2

由余弦定理得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 故 cos B ?

2 ,因此 B ? 450 2

(2) sin A ? sin(300 ? 450 )

? sin 300 cos450 ? cos300 sin 450

?

2? 6 4
sin A ? 1? 3 sin B

故 a ? b?

c ? b?

sin C sin 600 ? 2? ? 6 sin B sin 450

考点:正余弦定理的应用 45. (1) A ? 【解析】 试题分析: (1)直接运用正弦定理将已知化简为 sin C ? 整理化简可得 sin( A ?

?
3

; (2) b ? c ? 2 .

3 sin A sin C ? sin C cos A ,并

?
6

)?

1 ,根据三角形内角范围( 0 ? A ? ? )可得角 A 的大小即可; 2

2 2 (2)首先由 ?ABC 的面积为 3 可得等式 bc ? 4 ;然后根据余弦定理可得 b ? c ? 8 ,

联立方程组即可求出 b 、 c 的值. 试题解析: (1)由正弦定理得, sin C ?

3 sin A sin C ? sin C cos A ,又因为 sin C ? 0 ,

n ( A? 所以 3 sin A ? cos A ? 1 , 即 2 si

?
6

) ? 1, 所以 sin( A ?

?
6

)?

1 , 又因为 0 ? A ? ? , 2

所以 A ?

?
6

?

?
6

,即 A ?

?
3



(2)因为 ?ABC 的面积为 3 ,所以 余弦定理知,

1 bc sin A ? 3 ,所以 bc ? 4 ;在 ?ABC 中,应用 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,所以 b 2 ? c 2 ? 8 ;联立两式可得, b ? c ? 2 ,即为所求.
考点:1、正弦定理;2、余弦定理. 46. (1) A ? 【解析】 试题分析: (1)根据正弦定理化简原式中的等式,得 sin A cos C ?

2? 2 3 ; (2) (2,1 ? ]. 3 3

1 sin C ? sin B ,由三角 2

形的内角和定理与诱导公式可得, sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C ,代入前 面的等式即可解出 cos A ? ? (2)根据 A ?

1 ,由三角形中 0 ? A ? ? 即可得出角 A 的大小; 2

2 2 2? a ? 1 sin B , c ? sin C ,将其代 且 ,并利用正弦定理可算出 b ? 3 3 3

入 ?ABC 的周长表达式,利用三角恒等变换化简即可得到 ?ABC 的周长关于角 B 的三角函 数表达式,再根据正弦函数的图像与性质即可得出 ?ABC 的周长的取值范围. 试题解析: ( 1 ) 由 a cos C ?

1 1 Ac o s C? sin C ?sin B ,又因为 c?b 得 , si n 2 2 1 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C , 所 以 s i nC ? ? co sA s i nC , 又 因 为 2

s i nC ? 0 ,所以
1 2? cos A ? ? ,又因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? ; 2 3
( 2 ) 由 正 弦 定 理 得 : b?

a sin B 2 2 ? sin B , c ? sin C , 所 以 sin A 3 3

l ? a ? b ? c ? 1? 2 3

2 3

( sB i? ns i C n )?

1?

(sin B ? sin( A ? B)) ? 1 ?

2 1 3 2 ? ( sin B ? cos B) ? 1 ? sin(B ? ) , 2 3 3 2 3

因为 A ?

2? ? ? ? 2? ? 3 ) ,所以 sin(B ? ) ? ( ,所以 B ? (0, ) ,所以 B ? ? ( , ,1] ,故 3 3 3 3 3 3 2

?ABC 的周长的取值范围为 (2,1 ? 2 3 ] . 3
考点:正弦定理的应用. 47. (1) 【解析】 试题分析: (1)由题意知, sin ?BAD ? sin(?ADC ? ?B) ,然后根据正弦差角公式将其 进行展开并代入已知值即可求得结果; (2)在 ?ABD 中,直接应用正弦定理公式即可计算 出 BD 的长;在 △ ABC 中,直接应用余弦定理公式即可计算出 AC 的长. 试 题 解 析 : (1) 在 △ ABC 中 , 因 为 当 sin ?ADC ?

3 3 ; (2) BD ? 3 , AC ? 7 . 14

4 3 , 所 以 7

sin ?BAD ? sin(?ADC ? ?B) ?

3 3 ; 14
AB ? sin ?BAD ? 3 ,在 △ ABC 中,由余弦定 sin ?ADB

(2)在 ?ABD 中,由正弦定理得: BD ?

2 2 2 理得: AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ? 49 ,所以 AC ? 7 .

考点:正弦定理、余弦定理的应用. 48. (1) ?A ? 60? ; (2) tan B ?

1 . 2

【解析】 试题分析: (1)由余弦定理直接求解; (2)由正弦定理,将边边关系转化为角角关系,再利 用内角和定理保留 B,利用两角差的正弦公式进行求解.

b2 ? c2 ? a2 1 ? ,得 ?A ? 60? ; 试题解析: (1)由 cos A ? 2bc 2
(2)由正弦定理,得:

sin(120 ? ? B) 1 3 1 1 ? ? 3 ,即 t a nB ? ? ? 3 , 解 得 sin B 2 2 2 2

tan B ?

1 . 2

考点:1.余弦定理;2.正弦定理;3.两角差的直线公式. 49. (Ⅰ) [k? ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 单调性: 根据 y=sint 和 t=ωx+φ 的单调性来研究, 由-

?

. , k? ? ](k ? Z ) (Ⅱ) 3 6 2

?

3

? ? +2kπ≤ωx+φ≤ 2 2

? 3? +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ,k∈Z 得单调减区间. (Ⅱ)在 2 2 1 1 1 解决三角形问题中,面积公式 S= absinC= bcsinA= acsinB 最常用,公式中既有边也 2 2 2
+2kπ,k∈Z 得单调增区间;由 有角,容易和正弦定理、余弦定理结合应用.在解面积与正、余弦定理结合的题目时,要注 意整体代换方法的运用,如面积公式中含 ab 时可在余弦定理中通过变形得出 a+b 的形式. 试题解析: (Ⅰ)

f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x
∵ ? cos 2 x ? 3 sin 2 x 4分

? 2 sin(2 x ?
由 2k? ?

?
6

)

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

得: k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

(k ? Z )
6分

因此, f ( x) 的单调递增区间是 [k? ? (Ⅱ)由 f ( A) ? 2 sin(2 A ?

?

, k? ? ](k ? Z ) 3 6

?

?
6

) ? 1 得: A ?

?
3

,

8分

由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 得: b 2 ? c 2 ? bc ? 3 ① 由 b ? c ? 3 得: b2 ? c 2 ? 2bc ? 9 ② ②-①得: 3bc ? 6 , bc ? 2 10 分

1 1 3 3 bc sin A ? ? 2 ? ? . 2 2 2 2 考点:三角函数、解三角形.
∴ S ?ABC ?

12 分

0 0 50. (1) ?C ? 60 或 ?C ? 120 ;(2) 3 ? 3,3 3 .

?

?

【解析】 试题分析: (1)利用正弦定理,将边角关系转化为角角关系进行求解; (2)利用正弦定理用 角 A 的三角函数表示,利用三角函数的图像与性质进行求解. 解题思路: 解三角形问题,要灵活选用正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和内角和定 理进行求解,还往往与两角和的三角公式相联系. 试题解析: (1)已知 a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 所对的边,由 3 a=2csinA, 得 3 sinA=2sinCsinA,又 sinA≠0,则 sinC=

3 ,∴∠C=60°或∠C=120°, 2

∵△ABC 为锐角三角形,∴∠C=120°舍去。∴∠C=60° (2)∵c= 3 ,sinC=

3 2

∴由正弦定理得:

a b c ? ? ? sin A sinB sinC

3 ?2, 3 2

即 a=2sinA,b=2sinB,又 A+B=π -C= ∴a+b+c=2(sinA+sinB)+ 3

2? 2? ,即 B= -A, 3 3

2? -A)]+ 3 3 2? 2? =2(sinA+sin cosA-cos sinA)+ 3 3 3
=2[sinA+sin( =3sinA+ 3 cosA+ 3 =2 3 (sinAcos =2 3 sin(A+

? )+ 3 , 6

? ? +cosAsin )+ 3 6 6

∵△ABC 是锐角三角形, ∴

? ? ? 3 <∠A< ,∴ <sin(A+ )≤1, 6 2 6 2

则△ABC 周长的取值范围是(3+ 3 ,3 3 ]. 考点:1.正弦定理;2.三角恒等变换;3.三角函数的图像与性质. 51. (1) A ?

?
3

;(2) 2 .

【解析】 试题分析: (1)利用正弦定理将边角关系转化为角角关系, ,再利用三角形的内角和定理进 行求解; (2)利用余弦定理和基本不等式进行求解. 解题思路:解三角形问题,要灵活选用正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和内角和定 理进行求解,还往往与两角和的三角公式相联系. 试题解析: sin A cos C ? ∴

1 sin C ? sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C 2

1 sin C ? cos A sin C , sin C ? 0 2 1 ? ∴ cos A ? , Q A ? (0, ? ),? A ? 2 3
2 2 2 2 2 (2) a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? bc ? 2bc ? bc ? bc ? 2

a ? 2 ? 边长 a 的最小值为 2 .
考点:1.正弦定理;2.余弦定理;3.基本不等式. 52. (1) 60 ; (2) (14,21] .
?

【解析】 试题分析: (1)利用正弦定理把 a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 中的边转化为角,再根据三 角形中三角之间的关系转化为两个角之间关系,从而约去一个角 C,只剩角 A,得角 A 的值; (2)已知边 a,求 ?ABC 的周长的取值范围,只需求 b、c 之和的取值范围,由(1)知角 A 的度数,根据余弦定理 a
2

? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 及基本不等式可得 b ? c 的取值范围,

既得 ?ABC 的周长的取值范围. 试题解析: (1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(A ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
(2)由已知: b ? 0, c ? 0 , b+c>a=7 由余弦定理

1 2

49 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos

?

3 1 ? (b ? c) 2 ? 3bc ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 4 4 3

(当且仅当 b ? c 时等号成立) ∴(b+c) ≤4×49, 又 b+c>7,∴7<b+c≤14 从而 ?ABC 的周长的取值范围是 (14,21] 考点:1、正弦定理、余弦定理;2、基本不等式. 53. (1) 【解析】 试题 分析: ( 1 ) 由正弦定理 得:
2

14 7 ;(2) . 8 4
a c ? 即可 求出结果 ; ( 2 )由余 弦定理得 : sin A sin C

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
可得 b ? 2 ,根据面积公式 S
ABC

?

1 ab sin C ,代入数据即可求出结果. 2 a c 1 ? 即: ? sin A sin C sin A

试题解析:解: (1)由正弦定理得:

2 7 4

? sin A ?

14 8

4分

(2)由余弦定理得: c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
2 即: 2 ? 1 ? b ? 2b ?

3 ? 2b 2 ? 3b ? 2 ? 0 ? ? 2b ? 1?? b ? 2 ? ? 0 4
8分

?b ? 2
∴S
ABC

1 1 7 7 ? ab sin C ? ?1? 2 ? ? 2 2 4 4

10 分 .

考点:1.正弦定理;2.余弦定理. 54. (1) 【解析】 试题 分析: ( 1 ) 由正弦定理 得:

14 7 ;(2) . 8 4
a c ? 即可 求出结果 ; ( 2 )由余 弦定理得 : sin A sin C

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
可得 b ? 2 ,根据面积公式 S
ABC

?

1 ab sin C ,代入数据即可求出结果. 2 a c 1 ? 即: ? sin A sin C sin A

试题解析:解: (1)由正弦定理得:

2 7 4

? sin A ?

14 8

4分

2 2 2 (2)由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cos C

2 即: 2 ? 1 ? b ? 2b ?

3 ? 2b 2 ? 3b ? 2 ? 0 ? ? 2b ? 1?? b ? 2 ? ? 0 4
8分

?b ? 2
∴S
ABC

1 1 7 7 ? ab sin C ? ?1? 2 ? ? 2 2 4 4
π ; (Ⅱ) BD ? 2 , AC ? 3 ? 1. 4

10 分 .

考点:1.正弦定理;2.余弦定理. 55. (Ⅰ) ?BCD ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用正弦定理求出 sin ?ACB ?

2 ,再根据因为 ?ACB 为钝角,求出角 2

的大小; (Ⅱ)在△BCD 中,由余弦定理可求 BD 的长,然后再用余弦定理即可求出 AC 的长. 试题解析:解: (Ⅰ)在 ABC 中,

π , BC ? 2 , 6 AB BC ? 由正弦定理可得 , sin ?ACB sin A
因为 AB ? 2, A ? 即

2 2 2 ? ? ?2 2, 1 sin ?ACB sin π 6 2

所以 sin ?ACB ?

2 . 2
3π . 4
7分

因为 ?ACB 为钝角,所以 ?ACB ? 所以 ?BCD ?

π . 4

(Ⅱ)在△ BCD 中,由余弦定理可知 BD2 ? CB2 ? DC 2 ? 2CB ? DC ? cos ?BCD ,
2 2 2 即 BD ? ( 2) ? ( 3 ? 1) ? 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) ? cos

π , 4

整理得 BD ? 2 . 在△ ABC 中,由余弦定理可知 BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos A ,
2 2 2 即 ( 2) ? 2 ? AC ? 2 ? 2 ? AC ? cos

π , 6

整理得 AC ? 2 3AC ? 2 ? 0 .解得 AC ? 3 ? 1 .
2

因为 ?ACB 为钝角,所以 AC ? AB ? 2 .所以 AC ? 3 ? 1. 14 分. 考点:1.正弦定理的应用;2.余弦定理的应用. 56. (Ⅰ) ?BCD ?

π 3 ?1 ; (Ⅱ) 4 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 首先, 利用正弦定理求出 sin ?ACB 的正弦函数值, 再根据 ?ACB 为钝角, 所以 ?ACB ?

3π ,然后求出即可求出角 ?BCD 的大小; (Ⅱ)在△BCD 中,利用余弦定理 4

可求 BD 的长,然后继续由余弦定理求出 AC 的长,即可求解△ABC 的面积. 试题解析: (Ⅰ)在△ ABC 中,

π , BC ? 2 , 6 AB BC ? 由正弦定理可得 , sin ?ACB sin A
因为 AB ? 2, A ?



2 2 2 ? ? ?2 2, 1 sin ?ACB sin π 6 2

所以 sin ?ACB ?

2 . 2
3π . 4
6分

因为 ?ACB 为钝角,所以 ?ACB ? 所以 ?BCD ?

π . 4

(Ⅱ)在△ BCD 中,由余弦定理可知 BD2 ? CB2 ? DC 2 ? 2CB ? DC ? cos ?BCD ,
2 2 2 即 BD ? ( 2) ? ( 3 ? 1) ? 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) ? cos

π , 4

整理得 BD ? 2 . 在△ ABC 中,由余弦定理可知 BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos A ,
2 2 2 即 ( 2) ? 2 ? AC ? 2 ? 2 ? AC ? cos

π , 6

整理得 AC ? 2 3AC ? 2 ? 0 .解得 AC ? 3 ? 1 .
2

因为 ?ACB 为钝角,所以 AC ? AB ? 2 .所以 AC ? 3 ? 1. 所以△ ABC 的面积 S ?

1 1 1 3 ?1 AC ? AB ? sin A ? ? 2 ? ( 3 ? 1) ? ? 2 2 2 2

13 分.

考点:1.余弦定理的应用;2.解三角形. 57. (1)4:5:6; (2)

15 7 4

【解析】 试题分析: (1)由已知求出 sinA 和 sinC,进而求出 sinB,再由正弦定理可得三边的比值; (2)根据(1) ,可设出三边的长,由 | AC ? BC |? 46 即可求出三边长,又知道夹角正弦值, 可以求出三角形面积.
7 2 2 试题解析: (1) 依题设: sinA= 1 ? cos 2 A = 1 ? ( 3 sinC= 1 ? cos 2 C = 1 ? ( 1 8) 4) = 4 ,

= 8 , 故 cosB=cos[π - (A+C) ]=-cos (A+C) =- (cosAcosC-sinAsinC) =- ( 32 - 32 ) = 16 .
9
3 21

3 7

9) 则:sinB= 1 ? cos 2 B = 1 ? ( 16 = 16
2

5 7

所以 a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? 4:5:6 6分 (2)由(1)知: a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? 4:5:6, 不妨设:a=4k,b=5k,c=6k,k>0.故知:| AC |=b=5k,| BC |=a=4k. 依题设知:| AC | +| BC | +2| AC || BC |cosC=46 故△ABC 的三条边长依次为:a=4,b=5,c=6.
1 3 7 15 7 ? △ABC 的面积是 ? 4 ? 5 ? 2 8 4
2 2

? 46k2=46,又 k>0 ? k=1.

12 分

考点:同角三角函数关系式,正弦定理,三角形面积 58. (1) A ? 【解析】 试 题 分 析 :( 1 ) 根 据 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 , 由 m ? n ? 0 可 得

? ; (2) a ? 2 . 6

(2b ? 3c) cos A ? 3a cosC ,再由正弦定理,将所得的表达式统一为角之间所满足的关
系 式 :

( 2 B s ?i n

C 3 s? A i n

进 一 可 o得 ) c Ao , s C 3 步 s i化 n 简 c s

2sin B cos A ? 3sin A cos C ? 3sin C cos A ? 3sin( A ? C) , 从 而 cos A ?
A?


3 , 2

?
6


; (2) 由 (1) 可得 A ? 由 余 弦 定

?
6


C? ,


1 2? C ? x ,则 MC ? x ,AM ? 7 , M C , 设A 在 ?A 2 3


AC 2 ? MC 2 ? 2 AC ? MC cos C ? AM 2





x x 2? x 2 ? ( ) 2 ? 2 x ? cos ? ( 7) 2 ,解得 x ? 2 ,即 a ? 2 . 2 2 3
试题解析: (1)∵ m ? n ? 0 ,∴ (2b ? 3c) cos A ? 3a cosC , ∴ (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin A cos C , 4分 2分

2sin B cos A ? 3sin A cos C ? 3sin C cos A ? 3sin( A ? C) ,
则 2sin B cos A ? 3 sin B , 6 分∴ cos A ?

? 3 ,∴ A ? ; 6 2

8 分(2)由(1)知

A?

?
6

,又∵ a ? b ,∴ C ?

2? , 3

9 分 设 AC ? x ,则 MC ?

1 x , AM ? 7 ,在 2
11 分 即

?AMC 中 , 由 余 弦 定 理得 : AC 2 ? MC 2 ? 2 AC ? MC cos C ? AM 2 ,

x x 2? x 2 ? ( ) 2 ? 2 x ? cos ? ( 7) 2 , 2 2 3 解得 x ? 2 ,即 a ? 2 . 12 分
考点:1.三角恒等变形;2.正余弦定理解三角形. 59. (1) B ? 【解析】 试 题 分 析 :( 1 ) 首 先 由 余 弦 定 理 a 2 ? c 2 ? b2 ? 2ac cos B 结 合 条 件

?
3

; (2) c ?? 4,8? .

a 2 ? c 2 ? b2 ?
B?

2 3 2 3ac sin B , 即 有 tan B ? 3 , ac sin B , 从 而 可 得 2ac cos B ? 3 3

?
3

; (2)由正弦定理及 A ? B ? C ? ? ,

c a c a ,从而 ? ? ? sin C sin A sin( A ? B) sin A

将边长 c 表示为关于 A 的函数: c ?

4 sin( A ?

) 3 ? 2 ? 2 3 ,再由 ? ? A ? ? 可知 6 3 sin A tan A

?

? 3 ? t a nA ? ? , 3 ? ,从而 c ?? 4,8? . ? 3 ?
试题解析: (1)由余弦定理,可得 a 2 ? c 2 ? b2 ? 2ac cos B , 又∵ a 2 ? c 2 ? b 2 ? 可得 tan B ? 3 , 2分

2 3 ac sin B , 3
5分

3 分 ∴ 2ac cos B ? 6分

2 3ac sin B , 3
∴B ?

4分

又∵ 0 ? B ? ? ,

?
3



7分

(2)由正弦定理及 A ? B ? C ? ? ,

c a c a ? ? ? , sin C sin A sin( A ? B) sin A

9分

得c ?

4 sin( A ?

) 3 ? 2? 2 3 , sin A tan A

?

11 分 ∴ c ?? 4,8? . 13 分

又∵

?
6

? A?

?
3

,故 tan A ? ?

? 3 ? , 3 ? , 12 分 ? 3 ?

考点:正余弦定理解三角形. 60. (1) f ( x ) 在 ( ??, ??) 是增函数, m ? ? 3 或 m ? 3 【解析】 试题分析:解: (1)∵当 x ? 0 时 f(x)有 f ( x) ? ∴ f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上是增函数,
4x 16 ?4? x?4 x?4

(2) a ?

3, b ? 1

又∵f(x)是奇函数∴f(x)是在 (??, ??) 上是增函数, ∵ f (2m ? 1) ? f (m2 ? 2m ? 4) ? 0 ∴ 2m ? 1 ? ?(m ? 2m ? 4) ∴ m ? ? 3或m ? 3
2

(2)c=f(4)=2

考点:函数的单调性、奇偶性、解不等式、正、余弦定理解三角形 61. (Ⅰ) 【解析】 【试题分析】 (Ⅰ)由

3 5

(2)2

1 1 cos A cos C sin( A ? C ) 5 ? ? ? ? ? , tan A tan C sin A sin C sin A sin C 4
2

又∵ a, b, c 成等比数列,得 b ? ac , 由正弦定理有 sin B ? sin A sin C ,
2

sin B 5 4 ? ,即 sin B ? . 2 sin B 4 5 3 2 2 由 b ? ac 知, b 不是最大边,∴ cos B ? 1 ? sin B ? . 5
∵在 ?ABC 中有 sin( A ? C ) ? sin B ,∴得 (2)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B 得,
2 2 2

ac ? a 2 ? c 2 ? 2ac ?
∵a?c ? ∴ S ?ABC ?

3 16 ? (a ? c) 2 ? ac , 5 5

21 ∴ ac ? 5 ,

1 ac sin B ? 2 . 2

考点:正、余弦定理、解三角形 62. (1)

2? ; ( 2) 3 ; 3

【解析】 试题分析:1.解三角形时要熟练掌握正、余弦定理及其变形,具体应用中有时可用正弦定 理,有时也可用余弦定理,解题中应注意用哪一个定理更方便、简捷.2.已知两角和一边, 该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常 根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.3.注意三角形中的隐含条件 A+B+ C=π 的应用. (1)注意两个和的余弦公式的展开式; (2)余弦定理的应用,公式不要记混.

试题解析: (1)

cos B cos C ? sin B sin C ? cos( B ? C ) ?

1 2

2分

?B ?C ?

?
3

? A ? ? ??B ? C? ?

2? 3

6分

(2)由余弦定理可得: b2 ? c 2 ? bc ? 12

b ? c ? 4,?b2 ? c2 ? 2bc ? 16

? bc ? 4
由S ?

9分

1 1 3 bc sin A 得 S ? ? 4 ? ? 3 2 2 2

12 分

考点:解三角形、正、余弦定理的应用. 63.10(3+ 3 ) m 【解析】 试题分析:测量距离、高度的问题都可归结为求三角形中边长的问题,解题时选定或确定要 求解的三角形,即所求量所在的三角形,若其他量已知则可直接解;若有未知量,则把未知 量放在另一确定三角形中求解. 试题解析:

如图,设 CD=x m,则 AE=x-20 m, tan 60°=

CD , BD
6分

∴BD=

x CD 3 = = x (m) ? tan 60 3 3

在△AEC 中,x-20=

3 x,解得 x=10(3+ 3 ) m. 3
12 分

故山高 CD 为 10(3+ 3 ) m

考点:正弦定理、余弦定理、解三角形.

64. (1)c=7; (2)

13 14

【解析】 试题分析: (1)利用三角形面积公式可先求出 b,然后利用余弦定理求 c; (2)利用(1) , 用余弦定理求出 cosB,再求出 sinB,然后用余弦差角公式可求得 cos(B- 试题解析: (1)由已知,C= 即 10 3 ?

? =49,所以 c=7 3 49 ? 25 ? 64 1 ? (2)由(1)有 cosB= 70 7
由余弦定理得:c =64+25-80cos
2

1 ? b ? 5sin ,解得 b=8 2 3

? 1 ,a=5,因为 S△ABC= absinC 3 2

? )的值. 3

由于 B 是锐角三角形的内角,故 sinB= 1 ? cos 2 B ?

4 3 7

所以 cos(B-

? ? ? 1 1 4 3 3 13 )=cosBcos +sinBsin = ? ? ? ? 3 3 3 7 2 7 2 14

考点:解三角形,余弦定理,三角形面积,余弦差角公式 65. (1)

? ; (2) 3 3

【解析】 试题分析: (1)结合正弦定理,将已知条件转化为角的关系式,结合三角形内角关系,可求 出 B; (2)根据(1)求出的 B 的值,以及 b=2,利用余弦定理可建立 a,c 的关系式,利用 基本不等式可得到 ac 的最大值,从而得到三角形面积的最大值. 试题解析: (1)由 a=bcosC+

3 csinB,结合正弦定理, 3

得:sinA=sinBsinC+

3 sinCsinB 3 3 sinCsinB 3 3 sinCsinB 3

即:sin(B+C)=sinBsinC+

∴ sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+

于是 tanB= 3 而 B∈(0,π ) ,∴B=

? ; 3

(2)∵b=2,B=
2 2

? 2 2 ,由余弦定理,得:4=a +c -ac 3

∵a +c ≥2ac 2 2 于是 4=a +c -ac≥ac 即 ac≤4 S△ABC=

1 acsinB≤ 3 2

即△ABC 面积的最大值为 3 考点:解三角形,正弦定理,余弦定理,面积公式,三角函数变换,基本不等式 66. (1)见解析; (2)

2 ? 15 6

【解析】 试题分析: (1)根据条件,将向量的数量积转化为模长关系,证明两边长相等; (2)根据向 量平行, 对应坐标成比例, 转化为三角函数关系式, 结合三角形内角的关系, 可求出 sin ( -B)的值 试题解析: (1)因为 又 于是 所以 ,即 ,所以 ,所以

? 3

所以△ABC 是等腰三角形. (2)∵s∥t,∴2sinC(2 cos
2

C -1)=- 3 cos2C 2

即 2sinCcosC=- 3 cos2C ∴sin2C=- 3 cos2C ∴tan2C=- 3 ∵C 是锐角,故 2C∈(0,π ) ,于是 2C=

2? 3

从而 C=

? 2? ,∴A= -B 3 3

∴sin(

? 2? ? ? -B)=sin[( -B)- ]=sin(A- ) 3 3 3 3
2 5 且 A 是锐角,故 cosA= 3 3

由 sinA=

∴sin(

? ? ? ? 2 ? 15 -B)=sin(A- )=sinAcos -cosAsin = 3 3 3 3 6

考点:三角函数恒等变形,和差角公式,二倍角公式,平面向量,解三角形 67. (1) tan A ? 2 ; (2) 3 【解析】 试题分析: (1)根据向量数量积的定义和三角形的面积公式很容易找到问题的切入点,即由 已知条件: AB ? AC ? S ,可得: bc cos A ? bc sin A ,化简即为: cos A ? sin A ,则所 求为: tan A ? 2 ; (2)由小条件和(1)中所求,可知在三角形中已知两个角和一条边,则 可想到要借助于下弦定理和余弦定理进行求解,先求出角 C 的正弦值:

1 2

1 2

sin A ?

2 5 5 3 10 , cos A ? . 再由正弦 , 则有 sin C ? sin ? A ? B ? ? sin Acos B ? cos Asin B ? 10 5 5

1 1 2 5 c b c 5 ?3? ? 3. ? ?b ? ? sin B ? 5 , S ? bc sin A ? 2 2 5 sin C sin B sin C 试题解析: (1)设△ ABC 的角 A, B, C 所对应的边分别为 a , b, c . 1 ? AB ? AC ? S ,?bc cos A ? bc sin A , 2 1 ?cos A ? sin A , ? tan A ? 2 . 2
定理知:

? tan A ? 2,0 ? A ?
? sin A ?

?
2

,

2 5 5 , cos A ? . 5 5

?sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos Asin B
2 5 2 5 2 3 10 ? ? ? ? . 5 2 5 2 10 c b c 由正弦定理知: ? ?b ? ? sin B ? 5 , sin C sin B sin C 1 1 2 5 S ? bc sin A ? 5 ?3? ? 3. 2 2 5 考点:1.向量的数量积;2.正弦定理的运用;3.三角化简求值 ?
68. (1) B= 【解析】

?
12

; (2) m ? ?4

?? ? 1 ? cos ? ? B ? ?2 ? ? 3cos 2B-2cos B 化简整理可得 试题分析:(1) f(B)=4cos B ? 2

? ? 7? ? ?? ?? ? ? ,即可得到 B= . f(B)=2sin ? 2 B ? ? . 从而 2sin ? 2 B ? ? =2 根据 ? 2 B ? ? 12 3 3 3 3? 3? ? ?
(2)转化成 2sin ? 2 B ?

? ?

??

? >2+m 恒成立. 3?

由 2sin ? 2 B ?

? ?

??

? ?[-2,2] ,得到 2+m<-2, m ? ?4 . 3?

?? ? 1 ? cos ? ? B ? ?2 ? ? 3cos 2B-2cos B 试题解析:(1) f(B)=4cos B ? 2

=2cos B(1 +sin B)+ 3cos 2B-2cos B

= 3分

?? ? 2cos Bsin B+ 3cos 2B=sin 2B+ 3cos 2B=2sin ? 2B ? ? . 3? ?
∵ f(B)=2, ? 2sin ? 2 B ? ∴ ? 2B ?

? ?

??
?

? ? 7? 0<B<? ,∴ ? 2 B ? ? , ? =2 ∵ 3 3 3 3?
. 6分

?

?
3

3

?

?
2

,B=

12

(2) f

? B ?-m>2 恒成立,即 2sin ? ? 2B ?
?
? ?

??

? >2+m 恒成立. 3?

8分

0<B<? ,∴ ∵ 2sin ? 2 B ?

??

2+m<-2, m ? ?4 . ? ?[-2,2] ,∴ 3?

12 分

考点:1.和差倍半的三角函数;2.三角函数的图象和性质;3.转化与化归思想. 69. (1) B ?

?
3

. (2) 3 ? 3 .
2

【解析】 试题分析: (1)由已知及正弦定理得
2sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C ? sin( B ? C ) ? sin A ,进一步得到 cos B ?

1 . 2

3 2? 2 ? 6 , (2)由正弦定理 a ? b ,得 b ? sin A sin B 2 2

6? 2 ,由面积公式即得所求. 4 试题解析: (1)∵ (2a ? c) cos B ? b cos C ,由正弦定理,得

求得 sinC ?

∴ (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C . ∴ 2sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C ? sin( B ? C ) ? sin A , ∵ A ? ? 0,? ? , ∴ cos B ?
1 . 2
sin A ? 0 ∴

2分 4分

又∵ 0 ? B ? ? ,

∴B ?

?
3

.

6分

3 2? a b 2 ? 6 (2)由正弦定理 ,得 b ? ? sin A sin B 2 2
A?

8分

?
4

,B ?

?
3

∴ sinC ?

6? 2 4

10 分 12 分

?s ?

1 1 6 ? 2 3? 3 . ab sin C ? ? 2 ? 6 ? ? 2 2 4 2

考点:1.两角和差的三角函数;2.正弦定理. 70. (1) A ? 【解析】 试题分析: (1)由余弦定理有 cos A ?
b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,根据角的范围即得. 2bc 2

?
3

;(2) 3 ? b 2 ? c 2 ? 9 .

2 2 2 (2)思路一:根据 b ? c ? bc ? a ,应用基本不等式.

思路二、由正弦定理得到 b ? 2sin B, c ? 2sin C ,将

? ? ? 7? b 2 ? c 2 化成 2sin(2B ? ) ? 4 ,根据 ? ? 2B ? ? 即得. 6 6 6 6
试题解析: (1)由余弦定理有 cos A ?
0 ? A ? ? ,? A ?
b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2bc 2

?
3

(2)方法一:
0 ? bc ?

a ? 3 且 b2 ? c 2 ? bc ? a 2 ,? b 2 ? c 2 ? bc ? 3 3 时取等号)

b2 ? c 2 2 2 ,? b ? c ? 6 , (当且仅当 b ? c ? 2

? 3 ? b2 ? c2 ? 9

方法二、由正弦定理
b ? 2sin B, c ? 2sin C

b c a 3 ? ? ? ?2 sin B sin C sin A sin ? 3

?b2 ? c2 ? 4sin B sin C ? 3 ? 4sin B sin( B ? ) ? 3 ? 2sin 2 B ? 2 3 sin B cos B ? 3 3

?

? = 3 sin 2B ? cos 2B ? 4 ? 2sin(2B ? ) ? 4
6

因为 0 ? B ?

2? ? ? 7? ,所以 ? ? 2B ? ? 3 6 6 6 6

1 ? 所以 ? ? sin(2B ? ) ? 1 即 ? 3 ? b 2 ? c 2 ? 9 . 2

考点:1.两角和差的三角函数;2.三角函数的图象和性质;3.正、余弦定理;4.基本不等式. 71. (1) A = 【解析】

轹 17 1 p ; (2) ê,- ÷ ÷. ê 3 滕 32 4

k2 = 试题分析: (1) 在斜率存在的情况下, 两直线平行, 斜率相等, 又 k1 = - a ,

b 2 + c 2 - bc , a

2 2 2 两式相等整理可得 b + c - a = bc ,根据余弦定理可得 cos A =

b2 + c 2 - a 2 1 = ,又由三 2bc 2

角形内角可知 A ?

( 0,p ) ,从而可求出角 A = 3 .
2

p

(2)根据题意先对式子 sin

A +C + cos 2 B 进行化归,即将该式转化为只有一个三角函数 2
2
2

骣 A +C 1 + cos 2 B = 2 琪 名且只含一个角度的式子,利用倍角公式可得 sin cos B + 琪 2 8 桫
又因为 B ? ê , 而求出式子 sin

-

17 , 32

轹 p 2 p ÷ ÷ ,所以 cos B ? ê 2 3 滕
2

纟1 骣 1 ,所以 2 琪 ? 琪 cos B + ? , 0ú 8 棼2 ú 桫

2

-

17 轹 17 1 ,从 ?ê ,ê 32 4 32 滕

A +C + cos 2 B 的取值范围. 2

试题解析: (1)由 l1 所以 cos A = (2) sin
2

l2 ,得 a2 = b2 + c2 - bc ( a

4) ,即 b2 + c 2 - a 2 = bc ,
5分

2分

b2 + c 2 - a 2 1 p = ,又因为 A ? ( 0,p ) ,所以 A = . 3 2bc 2

A +C B + cos 2 B = cos 2 + 2 cos 2 B - 1 2 2
2

=

骣 cos B +1 1 1 1 + 2cos2 B - 1 = 2cos2 B + cos B - = 2 琪 cos B + 琪 2 2 2 8 桫

-

17 . 32

8分

因为 B ? ê ,

轹 p 2 p ÷ ÷ ,所以 cos B ? ê 2 3 滕

纟1 . ? ? , 0ú 棼2 ú

9分

所以 2 琪 cos B + 琪

骣 桫

1 8

2

-

17 ? 32

轹 17 1 , ,ê ê 32 4 滕

11 分

即 sin

2

轹 17 1 A +C + cos 2 B 的取值范围为 ê,- ÷ ÷. ê 2 滕 32 4

12 分

考点:1.两直线平行;2.余弦定理;3.倍角公式(化归思想). 72. (1) C ? 【解析】 试题分析: (1)首先运用正弦定理将已知等式 sin C ? sin A sin B ? sin A ? sin B 转化为 边的形式即 c ? ab ? a ? b , 然后根据余弦定理即可计算出 cos C , 进而求出角 C 的大小; ( 2 ) 首 先 由 已 知 等 式 sin C ? sin ? B ? A? ? 2sin 2 A 化 简 可 得 : cos A ? 0 或
2 2 2

?
3

; (2) S ?ABC ?

2 3 . 3

2

2

2

sin B ? 2sin A ;然后分类讨论并结合余弦定理计算 ?ABC 的面积即可.
试题解析: (1)由正弦定理得: c ? ab ? a ? b
2 2 2

? cosC ?

? a 2 ? b2 ? c2 1 ? ,又因为 0 ? C ? ? ,? C ? 3 2ab 2

(2)由 sin ? A ? B? ? sin ? B ? A? ? 2sin 2 A , 可得 sin B cos A ? 2sin A cos A .所以 cos A ? 0 或 sin B ? 2sin A . 当 cos A ? 0 时, A ?

?
2

,此时 b ?

2 1 1 2 2 3 ; , S?ABC ? ? b ? c ? ? ?2 ? 2 2 3 3 3

当 sin B ? 2sin A 时,由正弦定理得 b ? 2a , 所以由 cos C ?

a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 ? 4a 2 ? 4 1 4 ? ? ,可知 a 2 ? , 2ab 2 ? a ? 2a 2 3

所以 S?ABC ?

1 1 3 3 2 2 3 . ? b ? a ? sin C ? ? 2a ? a ? ? a ? 2 2 2 2 3
2 3 . 3

综上可知, S ?ABC ?

考点:正弦定理和余弦定理的应用.

73. 150 m 【解析】 试题分析: (1)在三角形中处理边角关系时,一般全部转化为角的关系,或全部转化为边的 关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理,出现边的二次式一般采用余弦定理,应用 正弦、余弦定理时,注意公式变形的应用,解决三角形问题时,注意角的限制范围;(2)在 三角形中,注意隐含条件 A ? B ? C ? ? (3)解决三角形问题时,根据边角关系灵活的选 用定理和公式,熟记正弦定理的内容和正弦定理的变形公式,求解三角形,把实际问题转化 为三角形数学问题. 试题解析:解:在 Rt ?ABC 中, ?CAB ? 45? , BC ? 100 m,所以 AC ? 100 2 m 在 ?AMC 中, ?MAC ? 75? , ?MCA ? 60? ,从而 ?AMC ? 45? ,

AC AM ? ,因此 AM ? 100 3 m sin 45? sin 60? MN ? sin 60? 在 Rt ?MNA 中, AM ? 100 3 m, ?MAN ? 60? ,由 AM
由正弦定理得, 得 MN ? 100 3 ?

3 ? 150 m. 2

考点:正弦定理在实际中应用. 74. (1) A ?

?
3

; (2) b ? c ? 2

【解析】 试题分析: (1)利用正弦定理将边角混合的式子转化为角关系,利用辅助角公式进行化简; (2)在解决三角形的问题中,面积公式 S ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 最常用, 2 2 2

因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来; (3)在三角形中,两边和 一角知道,该三角形是确定的,其解是唯一的,利用余弦定理求第三边.(4)在三角形中, 注意 A ? B ? C ? ? 这个隐含条件的使用,在求范围时,注意根据题中条件限制角的范围. 试题解析: (1)由 a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 及正弦定理得

sin A cos C ? 3 sin A sin c ? sin B ? sin C ? 0 因为 B ? ? ? A ? C ,所以

? 1 3 sin A sin C ? cos A sin C ? sin C ? 0 .由于 sin C ? 0 ,所以 sin( A ? ) ? 6 2 ? 又 0 ? A ? ? ,故 A ? . 3 1 2 2 2 (2) ?ABC 的面积 S ? bc sin A ? 3 ,故 bc ? 4 .而 a ? b ? c ? 2bc cos A , 2
2 2 故 b ? c ? 8 ,解得 b ? c ? 2 .

考点:1、正弦定理的应用;2、三角形面积公式的应用. 75. (1) AB ? AC ? 144; (2) a ? 5 【解析】

试题分析: (1)平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中

??

?
2

利用平方关系解决问题时, 要注意开方运算结果的符号, 需要根据角 ? ? k? , k ? Z ,

的范围确定; (2) 在解决三角形的问题中, 面积公式 S ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

最常用,因为公式中既有边又有角, 容易和正弦定理、余弦定理联系起来; (3)在三角形中, 两边和一角知道,该三角形是确定的,其解是唯一的,利用余弦定理求第三边.(4)在三角 形中,注意 A ? B ? C ? ? 这个隐含条件的使用,在求范围时,注意根据题中条件限制角的 范围. 试题解析: 解: 由 cos A ?

12 2 5 12 1 , 得 sin A ? 1 ? ( ) ? .又 bc sin A ? 30 , ∴ bc ? 156 . 13 2 13 13
12 ? 144 . 13

(1) AB ? AC ? bc cos A ? 156 ?

2 2 2 2 (2) a ? b ? c ? 2bc cos A ? (c ? b) ? 2bc(1 ? cos A) ? 1 ? 2 ?156 ? (1 ?

12 ) ? 25 , 13

∴a ? 5 . 考点:1、求平面向量的数量积;2、求三角形的边长. 76. (1) cos A ? ? 【解析】 试题分析: ( 1 )根据二倍角公式及诱导公式将 25cos 2 A ? 120sin
2

3 2 ; (2) . 5 2 B?C ? 17 化成关于 2

cos A 的一元二次方程得解;
(2)首先利用(1)的结果,结合正弦定理及余弦定理解三角形 ABC,求得 cos B 及 c 的值, 再由向量投影的公式求出向量 BA 在 BC 方向上的投影

BA ? BC . | BC |

试题解析:解: (1)由 25cos 2 A ?120sin 得 25cos 2 A ? 60[1 ? cos( B ? C )] ? 17

2

B?C ?17 2

25cos 2 A ? 60 cos A ? 43 ? 0

25cos2 A ? 30cos A ? 9 ? 0

(5cos A ? 3)2 ? 0
? cos A ? ? 3 5
(6 分)

(2)由(1)得 sin A ?

4 5

?sin B ? b ?
a?b

sin A 2 ? a 2

??B ? ?A

? cos B ?
由余弦定理

2 2

(8 分)

32 ? c2 ? 25 2 ? cos B ? 2 2 ? 4 2c
解得: c ? 1 或 c ? 7

c?a

? c ? 1 (11 分)

故 BA 在 BC 上的投影为

BA ? BC c ? a cos B 2 ? ? cos B ? a 2 | BC |

(13 分)

考点:1、三角函数的二倍角公式及诱导公式;2、正弦定理及余弦定理;3、平面向量的数 量积. 77. (Ⅰ) 【解析】 试 题 分 析 : ( Ⅰ
2

5 3 ;(Ⅱ) 10 3 . 14
) 根 据

(a ?

b ? ) c ( ?a b c

3 ?b ) 可? c 得 7

b

c

a2 ? (

b ? ) 2c

?

2

a ?

3 b ? 2 2c ? 7

b ?c

2 2 2 所以 a ? b ? c ?

b 2 ? c 2 ? a 2 11 11 bc ,由余弦定理推论可知 cos A ? ? ,根据同角基本 7 2bc 14








sin A ? 1 ? cos 2 A ?

5 3 14







cos C ? ? cos( A ? B) ? ?(cos A cos B ? sin A sin B) 代入数据即可求出结果.(Ⅱ)由(1)
可得 s

C i ?n 1? c

2

oC ? s

4 3 ,在△ ABC 中,由正弦定理 7

c

s C i n s

?

b

B i n s
3 bc 7

?

a A i n

即可求出 b,c 进而求出面积. 试 题 解 析 : 解 : ( Ⅰ )

(a ? b ? c)(a ? b ? c ) ?





a 2 ? (b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ?
2 2 2 所以 a ? b ? c ?

3 bc 7
3分

b 2 ? c 2 ? a 2 11 11 bc ,所以 cos A ? ? , 7 2bc 14
5 3 14

2 所以 sin A ? 1 ? cos A ?

所以 cosC ? ? cos( A ? B )? ? (cos A cos B ? sin A 分 (Ⅱ)由(1)可得 sin C ? 1 ? cos2 C ? 在△ ABC 中,由正弦定理 ∴c ? ∴S ?

11 1 5 3 3 sin B ?)? ( ? ? ? 14 2 14 2

1 ? ) 6 7

4 3 7

a sin C ?8 sin A

,

c b a ? ? sin C sin B sin A b sin A b? ?5 a

9分

1 1 3 ac sin B ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 . 2 2 2

12 分.

考点:1.正弦定理;2.余弦定理. 78. (1)

? 6

(2) 3a ? b ? 1, 3 .

?

?

【解析】 试题分析:(1)在三角形中处理边角关系时,一般全部转化为角的关系,或全部转化为边的 关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理,出现边的二次式一般采用余弦定理,应用 正弦、余弦定理时,注意公式变形的应用,解决三角形问题时,注意角的限制范围;(2)在三 角形中,注意隐含条件 A ? B ? C ? ? , (3)注意锐角三角形的各角都是锐角.(4)把边的 关系转化成角,对于求边的取值范围很有帮助 试题解析: (1)由 a 2 ? b2 ? c2 ? 3ab ,得 a 2 ? b2 ? c2 ? 3ab ,
? 3 ,由 C ? (0, ?) , C ? 。 ? 2 ?? ?? (2)由(1)得 A ? B ? ,即 B ? ?A, ? ?

所以 2ab cos C ? 3ab ,则 cos C ?

?? ? ? 0? ? A? , ? ? ? ? ? ? 又 ?ABC 为锐角三角形,故 ? 从而 ? A ? . ? ? ? ?0 ? A ? , ? ? ?

由 c ? 1 ,所以

1 sin

?
6

?

a b ? sin A sin B

所以 a ? 2 sin A, b ? 2 sin B , 所以 3a ? b ? 2 3 sin A ? 2 sin B ? 2 3 sin A ? 2 sin(

?
6

? A)

? 3 sin A ? cos A ? 2 sin( A ?
因为

?
6 ?

)

?
3

? A?

?
2

,得

?
6

? A?

?
6

?
6

所以

1 ? 3 ? sin( A ? ) ? , 2 6 2

即 3a ? b ? 1, 3 . 考点:余弦定理的变形及化归思想 79. (1) 2 3 【解析】 试题分析: (1)在解决三角形的问题中,面积公式 S ? (2)等边三角形

?

?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

最常用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来;在求面积时注意 角优先;(2)在判断三角形的形状时,一般将将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦 定理转化为角角关系或边边关系,再利用三角变换或代数式恒等变形(因式分解,配方等) 求解,注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提公因式,否者会漏解 试题解析: (1)因为在△ABC 中,A,B,C 成等差数列,所以 B ? 600 解法一:因为 b ? 2 3 , c ? 2 ,所以由正弦定理

b c 2 3 2 ? 得 ,解得 ? 0 sin B sin C sin 60 sin C

sin C ?

1 2

因为 b ? c ,所以 B ? C ,即 C 为锐角,所以 C ? 所以 s ?ABC ?

?
6

,从而 A ?

?
2

;

1 bc ? 2 3 2

解法二:由余弦定理 b 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos B ,
2 即 a ? 2a ? 8 ? 0, 解得 a ? 4

所以 s ?ABC ?

1 1 3 ac sin B ? ? 4 ? 2 ? ?2 3 2 2 2

2 (2)因为 sin A , sin B , sin C 成等比数列,所以 sin B ? sin A ? sin C 。 2 由正弦定理得 b ? ac

由余弦定理得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac 。 所以 ac ? a 2 ? c 2 ? ac ,即 ?a ? c? ? 0 ,即 a ? c 。
2

又因为 B ?

?
3

,所以△ABC 为等边三角形。

考点: (1)与面积有关的问题; (2)判断三角形形状 80. (1) B ? 【解析】
2 试题分析: (1)由已知可得 m ? n ? 0 ,即 4sin B sin (

?
6

; (2) c ? 2 或 c ? 1 .

?
4

?

B ) ? cos 2 B ? 2 ? 0 ,变形可得 2

? 5? ? 1 ,根据 a ? b ,得 B ? . sin B ? ,又 B ? (0, ? ) ,则 B ? 或 6 6 6 2
由余弦定理得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,解之即得.
2 试题解析: (1) m ? n ? 0 , 4sin B sin (

?
4

?

B ) ? cos 2 B ? 2 ? 0 , 2
5分

3分

则 2sin B[1 ? cos( 所以 sin B ?

?
2

? B)] ? cos 2 B ? 2 ? 0 ,
7分

1 , 2

又 B ? (0, ? ) ,则 B ? 又 a ? b ,所以 B ?

?
6



?
6

5? 6
9分

8分

2 2 2 (2)由余弦定理: b ? a ? c ? 2ac cos B

10 分

得 c ? 2 或 c ?1 14 分 考点:1.余弦定理;2.平面向量的数量积;3.三角函数的恒等变换. 81. 2 【解析】 试题分析:∵2acosC+ccosA=b ∴根据正弦定理 S1nAcosC+s1nAcosC+s1nCcosA=s1nB ∴S1nAcosC+s1n(A+C)=s1nB ∴S1nAcosC=0 ∵A,B,C 为三角形内角, ∴s1nA≠0, ∴cosC=0 ∴C=90° ∴s1nB=cosA

∴s1nA+s1nB=s1nA+cosA= 2 sin( A ?

?
4

),

∴s1nA+s1nB 的最大值是 2 ; 故答案为: 2 . 考点:1.正弦定理;2.同角三角函数基本关系的运用. 82.D 【解析】 试 题 分 析 : 由 2c2 ? 2a 2 ? 2b2 ? ab 得 c ? a ? b ?
2 2 2

1 ab , 由 余 弦 定 理 可 知 : 2

1 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cosC ,所以有 cos C ? ? ? 0 ,故 C 为钝角,选 D. 4
考点:余弦定理. 83. (1) A ? 60 0 ;(2) 3 ? 4 3 . 【解析】 试题分析: (1)由已可得 2bc cos A ?

4 3 1 ? bc sin A ,即可得到 tan A ? 3 由 A 是内角, 3 2
4 3 可 知 sinB ? , 根 据 三 角 形 内 角 的 关 系 可 得 5 5

即可求出 A 的值; ( 2 ) 由 与 cos B ?

sinC ? sin( B ?

?
3

)?

1 3 3? 4 3 ,再根据正弦定理得即可求出 C 的值. sin B ? cosB ? 2 2 10
4 3 1 ? bc sin A 3 2
5分 4分

试题解析:解: (1)由已知得: 2bc cos A ?

? tan A ? 3
由 A 是内角,∴ (2)由 cos B ?

A ? 60 0

6分

4 5

得 sinB ?

3 5

7分

∴ sinC ? sin( B ?

?
3

)?

1 3 3? 4 3 sin B ? cosB ? 2 2 10

10 分

由正弦定理得: c ?

a sin C ? 3? 4 3 sin A

12 分.

考点:1.正弦定理;2.解三角形. 84. (1) A ? 60 0 ;(2) 3 ? 4 3 .

【解析】 试题分析: (1)由已可得 2bc cos A ?

4 3 1 ? bc sin A ,即可得到 tan A ? 3 由 A 是内角, 3 2
4 3 可 知 sinB ? , 根 据 三 角 形 内 角 的 关 系 可 得 5 5

即可求出 A 的值; ( 2 ) 由 与 cos B ?

sinC ? sin( B ?

?
3

)?

1 3 3? 4 3 ,再根据正弦定理得即可求出 C 的值. sin B ? cosB ? 2 2 10

试题解析:解: (1)由已知得: 2bc cos A ?

4 3 1 ? bc sin A 3 2
5分

4分

? tan A ? 3
由 A 是内角,∴ (2)由 cos B ?

A ? 60 0

6分

4 5

得 sinB ?

3 5

7分

∴ sinC ? sin( B ?

?
3

)?

1 3 3? 4 3 sin B ? cosB ? 2 2 10

10 分

由正弦定理得: c ?

a sin C ? 3? 4 3 sin A

12 分.

考点:1.正弦定理;2.解三角形. 85.D 【解析】
2 2 2 2 试题分析: :由 23cos A ? cos 2 A ? 0 ,得 23cos A ? 2cos A ? 1 ? 0 ,得 cos A ?

1 , 25

∵ A ? ? 0,

? ?

??
2?

? , ∴ cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 b 2 ? 36 ? 49 1 1 ? ? ,∴ b ? 5 或 , ∵ cos A ? 5 2bc 2 ? 6b 5

b??

13 (舍) .故选 D. 5

考点:解三角形. 86.A 【解析】 试题分析:如图所示:设山高为 AB ,塔高为 CD 为 x ,且 ABEC 为矩形,由题意得 ,

tan 30? ?

CE 200 DE 200 ? x 3 tan 60? ? ? ? 3 ? ? BE BE BE BE 3 ,∴ BE ? 3 ? 200 ? x ? , ,∴

BE ?

400 200 3 200 3 x? 3 ? 200 ? x ? ? 3 (米),故选 A. 3 ,解得 3 ,所以

考点:解三角形. 87.(1)T = π ; (2)2 3 . 【解析】 试题分析:(1)利用向量数量积的坐标表示可得,结合辅助角公式可得 f(x)= sin ( 2x

? 2? ) ,利用周期公式 T ? 可求; 6 ? ? ? ? 5? ? ? ? ) 可得 2 A ? ? ? A ? , ,由余 (2)由 f ( A) ? 1 结合 A ? (0, ), 2 A ? ? (? , 2 6 6 6 6 2 3 1 2 2 2 2 2 弦定理可得,a =b +c -2bccosA,从而有 12 = b +16 ? 2×4 b × ,即 b ? 4b ? 4 ? 0 ,解 2
? 方程可得 b,代入三角形面积公式可求. 试题解析: (Ⅰ)f ( x ) = ( a + b )? a -2 = a ? a b ? 2 =sin x+1+ 3 sinxcosx+
2

2

1 1 ? cos 2 x 1 3 ? 2= + sin2x ? 2 2 2 2
(4 分) (6 分)

=

1 ? 3 sin2x ? cos2x=sin ( 2x ? ) 2 6 2

因为 ω =2,所以 T = π (Ⅱ)f ( A ) = sin ( 2A ?

? )=1 6 ? ? ? 5? ? ? ? 因为 A ∈ ( 0 , ) , 2A ? ∈ ( ? , ) ,所以 2A ? = ,A = (8 分) 2 6 6 6 6 2 3 1 2 2 2 2 2 则 a =b +c -2bccosA,所以 12 = b +16 ? 2×4 b × ,即 b -4b+4=0 则 b=2 2 1 1 ? 从而 S = bcsinA = ×2×4× sin = 2 3 (12 分) 2 2 3
考点:1.解三角形;2.平面向量数量积的运算;3.三角函数的周期性及其求法. 88. (1) f ( x ) ,? ? m a x? 3 【解析】 试题分析: (1)首先利用二倍角公式的降幂变形以及辅助角公式可将 f ( x) 的表达式化简为

5? ; (2) b ? c ? 0 . 12

? ? ? f ( x )? ? 1 ? c o sx(? 2 ??) 2 ? ?

3x c? o s? 2

,s再 1 x ? s i n 2 x ? 3?c o s 2 x ? 1 2 i n由 (2 3

?

)

? ? ? ? 2? ?? ? ? , 从 而 f ( x) 取 到 最 大 值 时 有 2 x ? ? ,即 x ? ? , ? 可 知 ? 2x ? ? 3 2 6 3 3 ?4 2?
x ?? ?


5? ? ? ? ,再由正弦定理可由条 时, f ( x)max ? 3 ; (2)由(1)可知知 A ? ? ? 12 12 3


sin B sin C ? sin 2 A

bc ? a 2





















a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? bc ? bc ? (b ? c)2 ? 0 ? b ? c ? 0 .
试 题 解 析 : ( 1 ) 由 题 意 可 得 :

? ? ? ? (3 分) f ( x) ? ?1 ? cos(2 x ? ) ? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) , 2 ? 3 ?
又∵ x ? ?

? ? ? ? 2? ?? ? ? , (5 分)故当 2 x ? ? , , ? ,∴ ? 2 x ? ? 3 2 6 3 3 ?4 2?
5? ? ? ? , 时, f ( x)max ? 3 ; (8 分) (2)由(1)知 A ? ? ? (9 分) 12 12 3

即 x ?? ?

2 又∵ sin B sin C ? sin A ,∴ bc ? a 2 , (10 分)

2 2 2 2 2 2 2 2 ∵ a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? bc , (12 分)∴ b ? c ? bc ? bc ,即 (b ? c) ? 0 ,

故b ?c ? 0. (14 分) 考点:1.三角恒等变形;2.正余弦定理解三角形. 89. (1) C ? 【解析】 试题分析: (1) 根据正弦定理: 3a cos C ? c sin A 可化为 3 sin A cos C ? sin C sin A , 约掉 sin A ? ? 得 3 cos C ? sin C ,即 tan C ? 3 ,从而得 C ? ; (2)因为 a ? 3 , C ? , △ ABC 的面积
3 3

?
3

; (2)-1.



3 3 , 2
1 ? 3 3 ? 3b sin ? , 由 此 得 b?2 , 再 由 余 弦 定 理 可 得 c? 7 , 从 而 求 得 2 3 2
22 ? ( 7) 2 ? 32 2? 2? 7 ? 7 , 14

所以

cos A ?

7 ) ? ?1 . 14 试题解析: (1)∵ 3a cos C ? c sin A ,

所以 CA AB ? bc cos(? ? A) ? 2 ? 7 ? (?

由正弦定理得: 3 sin A cos C ? sin C sin A , 2 分 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 0 , 3 分 ∴ 3 cos C ? sin C ,即 tan C ? 3 , 5 分 ? 又 0 ? C ? ? ,∴ C ? ; 6 分
3

(2)∵ a ? 3 , △ ABC 的面积为 ∴ ? 3b sin
1 2

3 3 , 2

?
3

?

3 3 , 7分 2

∴b ? 2 , 8 分
c2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3cos
cos A ? 22 ? ( 7) 2 ? 32 2? 2? 7 ?

?
3

? 7 ,即 c ? 7 , 9 分

7 , 10 分 14

∴ CA AB ? bc cos(? ? A) 11 分
7 ) ? ?1 . 12 分 14 考点:解三角形. ? 2 ? 7 ? (?

90. (1) C ? 【解析】

?
3

; (2)-1.

试题分析: (1) 根据正弦定理: 3a cos C ? c sin A 可化为 3 sin A cos C ? sin C sin A , 约掉 sin A ? ? 得 3 cos C ? sin C ,即 tan C ? 3 ,从而得 C ? ; (2)因为 a ? 3 , C ? , △ ABC 的面积
3 3



3 3 , 2
1 ? 3 3 ? 3b sin ? , 由 此 得 b?2 , 再 由 余 弦 定 理 可 得 c? 7 , 从 而 求 得 2 3 2
22 ? ( 7) 2 ? 32 2? 2? 7 ? 7 , 14

所以

cos A ?

7 ) ? ?1 . 14 试题解析: (1)∵ 3a cos C ? c sin A ,

所以 CA AB ? bc cos(? ? A) ? 2 ? 7 ? (?

由正弦定理得: 3 sin A cos C ? sin C sin A , 2 分 ∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 0 , 3 分 ∴ 3 cos C ? sin C ,即 tan C ? 3 , 5 分 ? 又 0 ? C ? ? ,∴ C ? ; 6 分
3

(2)∵ a ? 3 , △ ABC 的面积为 ∴ ? 3b sin
1 2

3 3 , 2

?
3

?

3 3 , 7分 2

∴b ? 2 , 8 分
c2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3cos
cos A ? 22 ? ( 7) 2 ? 32 2? 2? 7 ?

?
3

? 7 ,即 c ? 7 , 9 分

7 , 10 分 14

∴ CA AB ? bc cos(? ? A) 11 分

7 ) ? ?1 . 12 分 14 考点:解三角形. ? 2 ? 7 ? (?

91.

? 6

【解析】 试题分析:因为 G 为 ?ABC 为重心,所以 GA ? GB ? GC ? 0 所以, GC ? ?(GA ? GB) 又因为 aGA ? bGB ?

3 3 cGC ? 0 ,所以 aGA ? bGB ? c(GA ? GB) ? 0 3 3

所以 ? a ?

? ? ?

? 3 ? 3 ? c? GA ? ? b? c ? GB ? 0 ? ? 3 ? 3 ? ? ?

所以 a ?

3 3 3 c ?0 b? c ? 0 ,所以, a ? b ? c 3 3 3

1 2 2 1 2 c ?c ? c b2 ? c 2 ? a 2 3 3 ? 3 ,得: A ? ? . 所以,由余弦定理: cos A ? ? 6 2bc 2 3 2 2 c 3
所以答案应填:

? . 6

考点:1、余弦定理;2、平面向量的线性运算. 92.C 【解析】 试题分析:因为角 A、C 是 ?ABC 的内角,所以 0 ? A ? C ? ? ,所以 0 ? 2A ? 2C ? 2? 由 sin 2 A ? sin 2C 得, 2 A ? 2C ,或 2 A+2C =? ,即 A ? C ,或 A+C = 所以是等腰三角形或是直角三角形.故选 C. 考点:正弦函数的性质. 93. (1)2 【解析】 试 题 分 析 : 首 先 利 用 正 弦 定 理 将 (2)

?
2

15 4
cos A ? 2 cos C 2c ? a ? 化 为 cos B b

c oA s ? 2 Cc o s ?C 2 s A i n s i n ? c oB s Bs i n 再利用两角和与差的三角函数公式和到 sin A 与 sin C 的关系.

试题解析: (1)由正弦定理: a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C 所以,

cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? ,整理得: sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ) cos B sin B

又 A ? B ? C ? ? ,所以, A ? B ? ? ? C, B ? C ? ? ? A 所以, sin C ? 2sin A ? 0 , 所以,

sin C =2 sin A sin C c sin C =2 ,根据正弦定理有 ? =2 ,即: c ? 2a sin A a sin A


(2)由(1)得: 又因为 cos B ?

1 , b ? 2 ,根据余弦定理: b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B 4 1 1 2 2 2 2 所以, 4 ? a ? c ? 2ac ? ,整理得: a ? c ? ac =4 4 2
解由①②组成的方程组得: a ? 1, c ? 2



1 1 1 15 ?1? 2 所以 ?ABC 的面积 S = ac sin B ? ac ? 1 ? cos B ? ?1? 2 ? 1 ? ? ? ? 2 2 2 4 ?4?
考点:1、两角和与差的三角函数;2、正弦定理与余弦定理;3、三角形的面积公式. 94.2 【解析】 试题分析:设扇形的半径为 r ,则扇形的弧长为 4 ? 2r 所以扇形的面积 S扇形?AOB

2

1 1 1 ? ? 2r ? ? ? 4 ? 2r ? ? ? r ? 4 ? 2r ? ? ? 2r ?? 4 ? 2r ? ? ? ? ?1 2 4 4? 2 ?
2

其中等号当且仅当 r ? 1 时成立, 此时, 扇形的中心角的弧度数为 所以答案应填 2. 考点:弧度制与扇形的面积公式. 95.B 【解析】

l 4 ? 2r 4 ? 2 ? 1 ? ? ? 2, r r 1

a b a sin B ? 试题分析:由正弦定理: ,得:sin A ? ? sin A sin B b
因为 a ? b ,所以, 45 ? A ? 90 或 90 ? A ? 135 ,故选 B. 考点:正弦定理. 96. (1) 【解析】

5?

2 2 ? 30 ? ? 2 ,1? ? ? 2 ? ? 6 3 ? ?

? 3 ; (2 ) ( ? , 3] 6 2

试题分析: (1)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由角 B 为锐角得 B ?

π ? ; (2)由(1)知 C ? ? ? ? A ,利用诱导公式与辅助角公式变形 6 6 ?? ? ? ?? ? C ? 3 s i nA (? ) , 由 0? A? 化 简 得 c o sA ? s i n 知 , ? A? ? ,因此 6 3 3 6 3

1 , 2

cos A? s C i n的取值范围为 (?

3 , 3] . 2
1 , 2

试题解析: (1)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

π . 6

(2) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

? ?

? ? ?? ? ? A ? ? cos A ? sin ? ? A ? ? ? ?6 ?

1 3 ?? ? ? cos A ? cos A ? sin A ? 3 sin ? A ? ? . 2 2 3? ?
由0 ? A ? 所以 ?

?? ? ? ?? 知, ? A ? ? , 6 3 3 6

3 ?? 1 ?? ? ? ? sin ? A ? ? ? 1 .由此有 ? ? 3 sin ? A ? ? ? 3 , 2 3? 2 3? ? ?
3 , 3] . 2

所以, cos A ? sin C 的取值范围为 (? 考点:解三角形与三角恒等变换 97. 2 3 【解析】

? b sin A ? 1 ,所以 B ? ,即 ?ABC 为直角三角形,所 2 a 1 1 2 2 以 c ? 4 ? (2 3 ) ? 2 ,因此 S ?ABC ? ac ? ? 2 ? 2 3 ? 2 3 . 2 2
试题分析:由正弦定理可知 sin B ? 考点:正弦定理与三角形的面积公式 98. (1) 【解析】 试题分析: (1)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

? 3 3? ? ? ; (2 ) ? ? 2 ,2? 6 ? ?
1 , 2

π ? ; (2)由(1)知 C ? ? ? ? A ,利用诱导公式与辅助 6 6

角 公 式 变 形 化 简 得 cos A ? sin C ? 3 sin( A ?

?
3

) , 由 △ ABC 为 锐 角 三 角 形 知

? 3 3? 2? ? ? ? A ? ? ,因此 cos A ? sin C 的取值范围为 ? ?. ? 2 , 3 3 6 2? ? ?
试题解析: (1)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

1 , 2

π . 6

(2) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

? ?

? ? ?? ? ? A ? ? cos A ? sin ? ? A ? ? ?6 ? ?

1 3 ?? ? ? cos A ? cos A ? sin A ? 3 sin ? A ? ? . 2 2 3? ?
由 △ ABC 为锐角三角形知,

2? ? ? ? A? ? , 3 3 6

所以

1 ?? 3 3 ?? 3 ? ? .由此有 ? sin ? A ? ? ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 3? 2 2 3? 2 ? ?
? 3 3? ?. ? 2 , 2? ? ?

所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ? 考点:解三角形与三角恒等变换 99. 2 3 【解析】

? b sin A ? 1 ,所以 B ? ,即 ?ABC 为直角三角形,所 2 a 1 1 2 2 以 c ? 4 ? (2 3 ) ? 2 ,因此 S ?ABC ? ac ? ? 2 ? 2 3 ? 2 3 . 2 2
试题分析:由正弦定理可知 sin B ? 考点:正弦定理与三角形的面积公式 100. (1) 【解析】 试题分析: (1) 因为 cos A ? 根据 a ? 2, S ?ABC ? 试题解析:解:

2 2 ;(2) 3 . 3
1 ,sin( B ? C ) ? sin(? ? A) ? sin A , 即可求出 sin ( B+C) ; (2) 3

1 bc sin A ? 2 ,即可求出 bc=3,利用余弦定理,即可解除 b,c 的值. 2

(1) ? cos A ?

1 2 2 ?sin A ? ??? 2分 3 3

又B ? C ? ? ? A

?sin(B ? C ) ? sin(? ? A) ? sin A ?
1 (2)由S ?ABC ? 2得 bc sin A ? 2 2

2 2 ???6分 3

?bc ? 3???8分
又a2 ? b2 ? c2 ? 2bccos A
?b2 ? c2 ? 6???10分
由上解得 b ? c ? 3 ???12分 考点:1.诱导公式;2.余弦定理.


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