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数学 B版(必修一)单元检测题第三章 函数的应用(含幂函数)基础训练A组及答案


必修 1 第三章 函数的应用(含幂函数)基础训练 A 组
一、选择题
1 1.若 y ? x 2 , y ? ( ) x , y ? 4 x 2 , y ? x 5 ? 1, y ? ( x ? 1) 2 , y ? x, y ? a x (a ? 1) 2 上述函数是幂函数的个数是( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 2.已知 f

( x) 唯一的零点在区间 (1,3) 、 (1, 4) 、 (1,5) 内,那么下面命题错

二、填空题 1 . 若 函 数 f ?x ? 既 是 幂 函 数 又 是 反 比 例 函 数 , 则 这 个 函 数 是 。 f ?x ? = 2.幂函数 f ( x) 的图象过点 (3, 4 27) ,则 f ( x) 的解析式是_____________。 3.用“二分法”求方程 x 3 ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2, 3] 内的实根,取区间中 点为 x0 ? 2.5 ,那么下一个有根的区间是 。 4.函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为 。 ,方程 5.设函数 y ? f ( x) 的图象在 ? a, b? 上连续,若满足 f ( x) ? 0 在 ? a, b? 上有实根. 三、解答题 1 1.用定义证明:函数 f ( x) ? x ? 在 x ??1, ??? 上是增函数。 x

误的( ) A.函数 f ( x) 在 (1, 2) 或 ? 2,3? 内有零点 B.函数 f ( x) 在 (3,5) 内无零点 C.函数 f ( x) 在 (2,5) 内有零点 D.函数 f ( x) 在 (2, 4) 内不一定有零点 3.若 a ? 0, b ? 0, ab ? 1,log 1 a ? ln 2 ,则 loga b 与 log 1 a 的关系是(
2



2

A. loga b ? log 1 a
2

B. loga b ? log 1 a
2

C. loga b ? log 1 a
2

D. loga b ? log 1 a
2

4. 求函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 1 零点的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.已知函数 y ? f ( x) 有反函数,则方程 f ( x) ? 0 ( ) A.有且仅有一个根 B.至多有一个根 C.至少有一个根 D.以上结论都不对
3

2.设 x1 与 x2 分别是实系数方程 ax2 ? bx ? c ? 0 和 ?ax2 ? bx ? c ? 0 的一个 根,且 x1 ? x2 , x1 ? 0, x2 ? 0 ,求证:方程
a 2 x ? bx ? c ? 0 有仅有一根介于 2

6.如果二次函数 y ? x 2 ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范 围是( ) A. ?? 2,6? B. ?? 2,6? C. ?? 2,6? D. ? ??, ?2?

x1 和 x2 之间。

?6, ???

7.某林场计划第一年造林 10000 亩,以后每年比前一年多造林 20% ,则 第四年造林( ) 14400 A. 亩 B. 172800 亩 C. 17280 亩 D. 20736 亩

3.函数 f ( x) ? ? x2 ? 2ax ? 1 ? a 在区间 ?0,1? 上有最大值 2 ,求实数 a 的值。

4.某商品进货单价为 40 元,若销售价为 50 元,可卖出 50 个,如果销售 单价每涨 1 元, 销售量就减少 1 个,为了获得最大利润,则此商品的最佳售价应为多少?

必修 1 第三章 函数的应用(含幂函数)基础训练 A 组
一、选择题 1. 2. 3. 4. C A C C

三、解答题 1.证明:设 1 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 )(1 ? 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ∴函数 f ( x) ? x ?
1 )?0 x1 x2

y ? x 2 , y ? x 是幂函数

唯一的零点必须在区间 (1,3) ,而不在 ?3,5?

log 1 a ? ln 2 ? 0, 得0 ? a ? 1, b ? 1 , loga b ? 0,log 1 a ? 0
2 2

1 在 x ??1, ??? 上是增函数。 x

2.解:令 f ( x) ?

a 2 x ? bx ? c, 由题意可知 2

f ( x) ? 2x3 ? 3x ? 1 ? 2x3 ? 2x ? x ? 1 ? 2x( x2 ?1) ? ( x ?1)

ax12 ? bx1 ? c ? 0, ?ax22 ? bx2 ? c ? 0
f ( x1 ) ?

bx1 ? c ? ?ax12 , bx2 ? c ? ax22 ,

? ( x ?1)(2 x2 ? 2 x ?1) , 2 x2 ? 2 x ? 1 ? 0 显然有两个实数根,共三个;
5. B 可以有一个实数根,例如 y ? x ? 1 ,也可以没有实数根,

例如 y ? 2x 6. 7. D C

? ? m2 ? 4(m ? 3) ? 0, m ? 6 或 m ? ?2 10000(1 ? 0.2) ? 17280
3

a 2 a a x1 ? bx1 ? c ? x12 ? ax12 ? ? x12 , 2 2 2 a 2 a 2 3 a f ( x2 ) ? x2 ? bx2 ? c ? x2 ? ax2 2 ? x2 2 , 因为 a ? 0, x1 ? 0, x2 ? 0 2 2 2 a ∴ f ( x1 ) f ( x2 ) ? 0 ,即方程 x 2 ? bx ? c ? 0 有仅有一根介于 x1 和 x2 之间。 2 3.解:对称轴 x ? a ,

当 a ? 0, ?0,1? 是 f ( x) 的递减区间, f ( x)max ? f (0) ? 1 ? a ? 2 ? a ? ?1 ; 当 a ? 1, ?0,1? 是 f ( x) 的递增区间, f ( x)max ? f (1) ? a ? 2 ? a ? 2 ; 当 0 ? a ? 1 时 f ( x)max ? f (a) ? a 2 ? a ? 1 ? 2, a ?
3

二、填空题 1 1. 设 f ( x) ? x? , 则 ? ? ?1 x 2. 3. 4. 5.

f ( x) ? 4 x 3
[2, 2.5)
2

f ( x) ? x? , 图象过点(3, 4 27) , 3? ? 4 27 ? 3 4 , ? ?

3 4

1? 5 , 与 0 ? a ? 1 矛盾; 2

所以 a ? ?1 或 2 。 4.解:设最佳售价为 (50 ? x) 元,最大利润为 y 元,
y ? (50 ? x)(50 ? x) ? (50 ? x) ? 40 ? ? x2 ? 40 x ? 500

令 f ( x) ? x3 ? 2x ? 5, f (2) ? ?1 ? 0, f (2.5) ? 2.53 ?10 ? 0

分别作出 f ( x) ? ln x, g ( x) ? x ? 2 的图象; 见课本的定理内容

f (a) f (b) ? 0

当 x ? 20 时, y 取得最大值,所以应定价为 70 元。


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