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01—10年江苏专转本数学真题(附答案)


2001 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高等数学
一、选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1、下列各极限正确的是 ( )

1 A、 lim (1 ? ) x ? e x ?0 x
2、不定积分

1 B、 lim (1 ? ) x ? e x ?? x
dx ? 1 1? x2<

br />'

1

C、 lim x sin
x ??

1 ?1 x

D、 lim x sin
x ?0

1 ?1 x


?

1 1? x
2



A、

1 1? x2

B、

?c

C、 arcsin x

D、 arcsin x ? c

3、若 f ( x) ? f (? x) ,且在 ?0,??? 内 f ( x) ? 0 、 f ( x) ? 0 ,则在 (??,0) 内必有
''





A、 f ( x) ? 0 , f ( x) ? 0
' ''

B、 f ( x) ? 0 , f ( x) ? 0
' ''

C、 f ( x) ? 0 , f ( x) ? 0
' ''

D、 f ( x) ? 0 , f ( x) ? 0
' ''

4、

?

2

0

x ? 1 dx ?
B、2
2 2

( C、-1 D、1 ( C、圆



A、0

5、方程 x ? y ? 4 x 在空间直角坐标系中表示 A、圆柱面 B、点



D、旋转抛物面

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)

? x ? te t dy 6、设 ? ,则 2 dx ? y ? 2t ? t
'' '

t ?0

?

7、 y ? 6 y ? 13 y ? 0 的通解为 8、交换积分次序
y

? dx?
0

2

2x x

f ( x, y)dy ?

9、函数 z ? x 的全微分 dz ?

1

10、设 f (x) 为连续函数,则

?

1

?1

[ f ( x) ? f (? x) ? x]x 3 dx ?

三、计算题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 11、已知 y ? arctan x ? ln(1 ? 2 x ) ? cos

?
5

,求 dy .

12、计算 lim

x ? ? e t dt
2

x

0

x ?0

x 2 sin x

.等价无穷小,洛必达

13、求 f ( x) ?

( x ? 1) sin x 的间断点,并说明其类型.x 分别为 0,1,-1 时化简求极限 x ( x 2 ? 1)

14、已知 y ? x ?
2

ln y dy ,求 x dx

x ?1, y ?1

.

e2x 15、计算 ? dx . 1? ex

16、已知

?

k 1 dx ? ,求 k 的值. 2 ?? 1 ? x 2
0
x ?0

17、求 y ? y tan x ? sec x 满足 y
'

? 0 的特解.

18、计算

?? sin y
D

2

dxdy , D 是 x ? 1、 y ? 2 、 y ? x ? 1 围成的区域.

19 、 已 知 y ? f (x) 过 坐 标 原 点 , 并 且 在 原 点 处 的 切 线 平 行 于 直 线 2 x ? y ? 3 ? 0 , 若

f ' ( x) ? 3ax 2 ? b ,且 f (x) 在 x ? 1处取得极值,试确定 a 、b 的值,并求出 y ? f (x) 的表达式.

20、设 z ? f ( x , ) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求
2

x y

?2z ?z 、 . ?x ?x?y

2

四、综合题(本大题共 4 小题,第 21 小题 10 分,第 22 小题 8 分,第 23、24 小题各 6 分,共 30 分) 21、过 P(1,0) 作抛物线 y ? (1)切线方程; (2)由 y ?

x ? 2 的切线,求

x ? 2 ,切线及 x 轴围成的平面图形面积;

(3)该平面图形分别绕 x 轴、 y 轴旋转一周的体积。

? f ( x) ? 22、设 g ( x) ? ? x ? a ?

x?0 x?0

,其中 f (x) 具有二阶连续导数,且 f (0) ? 0 .

(1)求 a ,使得 g (x) 在 x ? 0 处连续; (2)求 g ( x) .
'

23、设 f (x) 在 ?0, c ? 上具有严格单调递减的导数 f ( x) 且 f (0) ? 0 ;试证明:
'

对于满足不等式 0 ? a ? b ? a ? b ? c 的 a 、 b 有 f (a) ? f (b) ? f (a ? b) .

24、一租赁公司有 40 套设备,若定金每月每套 200 元时可全租出,当租金每月每套增加 10 元 时,租出设备就会减少一套,对于租出的设备每套每月需花 20 元的维护费。问每月一套的定金 多少时公司可获得最大利润?

3

2002 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高等数学
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1、下列极限中,正确的是 A、 lim (1 ? tan x )
x ?0 cot x

( B、 lim x sin
x ?0



?e ?e

1 ?1 x
1

C、 lim (1 ? cos x )
x ?0

sec x

D、 lim (1 ? n) n ? e
n??

2、已知 f (x) 是可导的函数,则 lim A、 f ?(x)

h?0

f ( h) ? f ( ? h) ? h
C、 2 f ?(0)

( D、 2 f ?( x) (



B、 f ?(0)

3、设 f (x) 有连续的导函数,且 a ? 0 、1,则下列命题正确的是 A、 C、



? f ?(ax)dx ? a f (ax) ? C
? f ?(ax)dx)? ? af (ax)
x

1

B、 D、

? f ?(ax)dx ?
? f ?(ax)dx ?

f (ax) ? C
f ( x) ? C
( )

4、若 y ? arctan e ,则 dy ?

1 A、 dx 1 ? e2x

ex dx B、 1 ? e2x

C、

1 1 ? e2x

dx

D、

ex 1 ? e2x

dx
( )

5、在空间坐标系下,下列为平面方程的是 A、 y ? x
2

B、 ?

?x? y?z ?0 ?x ? 2 y ? z ? 1

C、

x?2 y?4 z = = 2 7 ?3

D、 3x ? 4 z ? 0

6、微分方程 y ?? ? 2 y ? ? y ? 0 的通解是 A、y ? c1 cos x ? c2 sin x B、y ? c1e ? c2 e
x 2x

( C、y ? ?c1 ? c2 x ?e
?x


?x

D、y ? c1e ? c2 e
x

7、已知 f (x) 在 ?? ?,?? ? 内是可导函数,则 ( f ( x) ? f (? x))? 一定是 A、奇函数 8、设 I ? B、偶函数
1 0





C、非奇非偶函数

D、不能确定奇偶性 ( )

?

x4 1? x

dx ,则 I 的范围是

4

A、 0 ? I ?

2 2

B、 I ? 1
?? 1

C、 I ? 0

D、

2 ? I ?1 2
( )

9、若广义积分 A、 0 ? p ? 1

?

1 dx 收敛,则 p 应满足 xp
B、 p ? 1 C、 p ? ?1

D、 p ? 0

10、若 f ( x) ?

1 ? 2e 1? e

1 x

1 x

,则 x ? 0 是 f ? x ? 的





A、可去间断点

B、跳跃间断点

C、无穷间断点

D、连续点

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 11、设函数 y ? y(x) 是由方程 e ? e ? sin(xy) 确定,则 y ?
x y

x ?0

?

12、函数 f ( x) ?
1

x 的单调增加区间为 ex

x tan 2 x 13、 ? dx ? ?1 1 ? x 2
14、设 y (x ) 满足微分方程 e yy ? ? 1 ,且 y (0) ? 1,则 y ?
x

15、交换积分次序

?

1 0

dy? y f ?x, y ?dx ?
e e

三、计算题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)

16、求极限 lim

x 2 tan x

x ?0

? t ?t ? sin t ? dt
x 0
t?

17、已知 ?

? x ? a ?cos t ? t sin t ? dy ,求 dx ? y ? a ?sin t ? t cos t ?

?
4

18、已知 z ? ln x ?

?

x ?y
2

2

?

?2z ?z ,求 , ?x ?y?x

? 1 , x?0 2 ? 19、设 f ( x) ? ? x ? 1 ,求 ? f ?x ? 1?dx 0 1 ? , x?0 x ?1 ? e

5

20、计算

?

2 2 0

dx?

x 0

x 2 ? y 2 dy ? ?

1

2

2 dx?

1? x 2 0

x 2 ? y 2 dy

21、求 y ? ? ?cos x ? y ? e

sin x

满足 y (0) ? 1的解.

22、求积分

?

x arcsin x 2 1? x4

dx

1 ? ??1 ? x ? x , x ? 0 23、设 f ?x ? ? ? ?k , x?0 ?

,且 f ? x ? 在 x ? 0 点连续,求: (1) k 的值(2) f ?? x ?

四、综合题(本大题共 3 小题,第 24 小题 7 分,第 25 小题 8 分,第 26 小题 8 分,共 23 分) 24、从原点作抛物线 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 的两条切线,由这两条切线与抛物线所围成的图形记为
2

(1) S 的面积; (2)图形 S 绕 X 轴旋转一周所得的立体体积. S ,求:

25、证明:当 ?

?
2

?x?

?
2

时, cos x ? 1 ?

1

?

x 2 成立.

26、已知某厂生产 x 件产品的成本为 C ( x) ? 25000 ? 200 x ? 之间的关系为: P( x) ? 440 ?

1 2 ,产品产量 x 与价格 P x (元) 40

1 x (元) 20

求:(1) 要使平均成本最小,应生产多少件产品? (2) 当企业生产多少件产品时,企业可获最大利润,并求最大利润.

6

2003 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高等数学
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 1、已知 f ( x 0 ) ? 2 ,则 lim
'

h ?0

f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? h) ? h
C、0

( D、 ? 2 (



A、2
'

B、4

2、若已知 F ( x) ? f ( x) ,且 f (x) 连续,则下列表达式正确的是 A、 F ( x ) dx ? f ( x ) ? c C、



?

? f ( x)dx ? F ( x) ? c
arctan x B、 lim ?1 x ?? x
2

d F ( x)dx ? f ( x) ? c dx ? d D、 F ( x)dx ? f ( x) dx ?
B、 ( )
x

3、下列极限中,正确的是

sin 2 x A、 lim ?2 x ?? x

x2 ? 4 C、 lim ?? x ?2 x ? 2

D、 lim? x ? 1
x?0

4、已知 y ? ln( x ? 1 ? x ) ,则下列正确的是 A、 dy ?

( B、 y ' ? 1 ? x dx
2



1 x ? 1? x 1 1? x2
2

dx

C、 dy ?

dx

D、 y ' ?

1 x ? 1? x2
( )

5、在空间直角坐标系下,与平面 x ? y ? z ? 1 垂直的直线方程为

A、 ?

? x ? y ? z ?1 ?x ? 2 y ? z ? 0

B、

x?2 y?4 z ? ? 2 1 ?3

C、 2 x ? 2 y ? 2 z ? 5 6、下列说法正确的是 A、级数

D、 x ? 1 ? y ? 2 ? z ? 3 ( B、级数 )

1 ? n 收敛 n ?1
(?1) n ? n 绝对收敛 n ?1
?

?

?n
n ?1 ? n ?1

?

2

1 收敛 ?n

C、级数

D、级数

? n!收敛

7

7、微分方程 y' '? y ? 0 满足 y A、 y ? c1 cos x ? c2 sin x C、 y ? cos x

x ?0

? 0 , y'

x ?0

? 1 的解是
B、 y ? sin x D、 y ? c cos x

? sin ax x?0 ? x ? 8、若函数 f ( x) ? ? 2 x ? 0 为连续函数,则 a 、 b 满足 1 ? ln(1 ? 3x) x ? 0 ? bx ?
A、 a ? 2 、 b 为任何实数 C、 a ? 2 、 b ? ? B、 a ? b ?

1 2

3 2

D、 a ? b ? 1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分) 9、设函数 y ? y(x) 由方程 ln( x ? y ) ? e 所确定,则 y '
xy

x ?0

?

10、曲线 y ? f ( x) ? x ? 3x ? x ? 9 的凹区间为
3 2

11、

?

1

?1

x 2 (3 x ? sin x)dx ?

12、交换积分次序

? dy?
0

1

2y

0

f ( x, y)dx ? ? dy?
1

3

3? y

0

f ( x, y)dx ?

三、计算题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)
1

13、求极限 lim (1 ? x ) 1?cos x
2 x ?0

14、求函数 z ? tan? ?

?x? ? 的全微分 ? ? y?

15、求不定积分 x ln xdx

?

16、计算

? ? 1 ? cos
2 ? 2

?

sin ?
2

?

d?

17、求微分方程 xy'? y ? x e 的通解.
2 x

8

18、已知 ?

? x ? ln(1 ? t 2 ) ? y ? t ? arctan t

,求

dy d 2 y 、 . dx dx 2

19、求函数 f ( x ) ?

sin(x ? 1) 的间断点并判断其类型. x ?1

20、 计算二重积分 所围成的区域.

?? (1 ?
D

2 2 其中 D 是第一象限内由圆 x ? y ? 2 x 及直线 y ? 0 x 2 ? y 2 )dxdy ,

四、综合题(本大题共 3 小题,第 21 小题 9 分,第 22 小题 7 分,第 23 小题 8 分,共 24 分) 21、设有抛物线 y ? 4 x ? x ,求:
2

(i) 、抛物线上哪一点处的切线平行于 X 轴?写出该切线方程; (ii) 、求由抛物线与其水平切线及 Y 轴所围平面图形的面积; (iii) 、求该平面图形绕 X 轴旋转一周所成的旋转体的体积.

22、证明方程 xe ? 2 在区间 ?0,1? 内有且仅有一个实根.
x

23、要设计一个容积为 V 立方米的有盖圆形油桶,已知单位面积造价:侧面是底面的一半,而盖 又是侧面的一半,问油桶的尺寸如何设计,可以使造价最低?

五、附加题(2000 级考生必做,2001 级考生不做) 24、 将函数 f ( x) ?

1 展开为 x 的幂级数, 并指出收敛区间。 (不考虑区间端点) (本小题 4 分) 4? x

25、求微分方程 y' '?2 y'?3 y ? 3x ? 1 的通解。 (本小题 6 分)

9

2004 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高等数学
一、单项选择题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分.) 1、 f ( x) ? ? A、有界函数
2

? x3
3 ?? x

x ? ?? 3,0? x ? ?0,2?

,是:





B、奇函数

C、偶函数

D、周期函数 ( )

2、当 x ? 0 时, x ? sin x 是关于 x 的 A、高阶无穷小 B、同阶但不是等价无穷小
x

C、低阶无穷小

D、等价无穷小 ( D、 ?0,1? ( D、 2S ( ) ) )

3、直线 L 与 x 轴平行且与曲线 y ? x ? e 相切,则切点的坐标是 A、 ?1,1?
2 2 2

B、 ?? 1,1?

C、 ?0,?1?

4、 x ? y ? 8R 设所围的面积为 S ,则 A、 S 5、设 u ( x, y ) ? arctan B、

?

2 2R

0

8R 2 ? x 2 dx 的值为
C、

S 4

S 2

x 2 2 、 v( x, y ) ? ln x ? y ,则下列等式成立的是 y
B、

A、

?u ?v ? ?x ?y

?u ?v ? ?x ?x
?

C、

?u ?v ? ?y ?x

D、

?u ?v ? ?y ?y

2x

6、微分方程 y ' '?3 y '?2 y ? xe A、 Axe
2x

2x

的特解 y 的形式应为
2x


2 2x

B、 ( Ax ? B)e

C、 Ax e

D、 x( Ax ? B)e

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分)

?2? x? 7、设 f ( x) ? ? ? ,则 lim f ( x ) ? x ?? ?3? x ?
8、过点 M (1,0,?2) 且垂直于平面 4 x ? 2 y ? 3z ?

x

2 的直线方程为
'

9、设 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2)?( x ? n) , n ? N ,则 f (0) ?

10

10、求不定积分

?

arcsin3 x 1? x2
0

dx ?
2? x x2

11、交换二次积分的次序

? dx?

1

f ( x, y)dy ?

12、幂级数

?

( x ? 1) n 的收敛区间为 2n n ?1
?

三、解答题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 13、求函数 f ( x) ?

x 的间断点,并判断其类型. sin x

14、求极限 lim

? (tan t ? sin t )dt
0

x

x ?0

(e x ? 1) ln(1 ? 3x 2 )
2

.

15、设函数 y ? y(x) 由方程 y ? xe ? 1 所确定,求
y

d2y dx 2

x ?0

的值.

16、设 f (x) 的一个原函数为

ex ' ,计算 ? xf ( 2 x ) dx . x

17、计算广义积分

?

?? 2

1 x x ?1

dx .

18、设 z ? f ( x ? y, xy) ,且具有二阶连续的偏导数,求

?2z ?z 、 . ?x ?x?y

19、计算二重积分

??
D

sin y dxdy ,其中 D 由曲线 y ? x 及 y 2 ? x 所围成. y

11

20、把函数 f ( x) ?

1 展开为 x ? 2 的幂级数,并写出它的收敛区间. x?2

四、综合题(本大题共 3 小题,每小题 8 分,满分 24 分)
21、证明:

?

?

0

xf (sin x)dx ?

?

2?

?

0

f (sin x)dx ,并利用此式求 ? x
0

?

sin x dx . 1 ? cos2 x

22、设函数 f (x) 可导,且满足方程

? tf (t )dt ? x
0

x

2

? 1 ? f ( x) ,求 f (x) .

23、甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧,甲城位于岸边,乙城离河岸 40 公里,乙城在河岸 的垂足与甲城相距 50 公里,两城计划在河岸上合建一个污水处理厂,已知从污水处理厂到甲乙 二城铺设排污管道的费用分别为每公里 500、700 元。问污水处理厂建在何处,才能使铺设排污 管道的费用最省?

12

2005 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高等数学
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分)

1、 x ? 0 是 f ( x) ? x sin A、可去间断点

1 的 x
B、跳跃间断点 C、第二类间断点

( D、连续点 ( D、 1 ( D、 ? F (cos x) ? C



2、若 x ? 2 是函数 y ? x ? ln( ? ax) 的可导极值点,则常数 a ? A、 ? 1 3、若 C、 ?

1 2 1 B、 2



1 2

? f ( x)dx ? F ( x) ? C ,则 ? sin xf (cos x)dx ?
B、 ? F (sin x) ? C C、 F (cos) ? C



A、 F (sin x) ? C

4、设区域 D 是 xoy 平面上以点 A(1,1) 、 B(?1,1) 、C (?1,?1) 为顶点的三角形区域,区域 D1 是 D 在第一象限的部分,则: A、 2

?? ( xy ? cos x sin y)dxdy ?
D

( B、 2 D、0



?? (cos x sin y)dxdy
D1

?? xydxdy
D1

C、 4

?? ( xy ? cos x sin y)dxdy
D1

5、设 u ( x, y ) ? arctan

x 2 2 , v( x, y ) ? ln x ? y ,则下列等式成立的是 y
B、





A、

?u ?v ? ?x ?y

?u ?v ? ?x ?x

C、

?u ?v ? ?y ?x

D、

?u ?v ? ?y ?y
( )

6、正项级数(1)

?u
n ?1

?

n

、(2)

?u
n ?1

?

3 n

,则下列说法正确的是

A、若(1)发散、则(2)必发散

B、若(2)收敛、则(1)必收敛

C、若(1)发散、则(2)可能发散也可能收敛

D、 (1)(2)敛散性相同 、

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分)

13

7、 lim

e x ? e ? x ? 2x ? x ?0 x ? sin x



8、函数 f ( x) ? ln x 在区间 ?1, e ? 上满足拉格郎日中值定理的 ? ? 9、



?

1

?x ? 1
1? x2

?1

?

; ; ;

10、设向量 ? ? ?3,4,?2?、 ? ? ?2,1, k ?; ? 、 ? 互相垂直,则 k ? 11、交换二次积分的次序

?

0

?1

dx?

1? x 2 x ?1

f ( x, y)dy ?


12、幂级数

? (2n ? 1) x
n ?1

?

n

的收敛区间为

三、解答题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分)

13、设函数 F ( x) ? ?

? f ( x) ? 2 sin x x ? 0 ? ' 在 R 内连续,并满足: f (0) ? 0 、 f (0) ? 6 ,求 a . x x?0 ? a ?
? x ? cos t
所确定,求

14、设函数 y ? y(x) 由方程 ?

? y ? sin t ? t cos t

dy d 2 y 、 . dx dx 2

15、计算 tan x sec xdx .

?

3

16、计算

?

1

0

arctanxdx

17、已知函数 z ? f (sin x, y ) ,其中 f (u, v) 有二阶连续偏导数,求
2

?2z ?z 、 ?x ?x?y

18、求过点 A(3, 1, ? 2) 且通过直线 L :

x?4 y?3 z ? ? 的平面方程. 5 2 1

19、把函数 f ( x) ?

x2 展开为 x 的幂级数,并写出它的收敛区间. 2 ? x ? x2

14

20、求微分方程 xy ? y ? e ? 0 满足 y x ?1 ? e 的特解.
' x

四、证明题(本题 8 分) 21、证明方程: x ? 3x ? 1 ? 0 在 ?? 1,1? 上有且仅有一根.
3

五、综合题(本大题共 4 小题,每小题 10 分,满分 30 分) 22、设函数 y ? f (x) 的图形上有一拐点 P(2,4) ,在拐点处的切线斜率为 ? 3 ,又知该函数的二 阶导数 y ? 6 x ? a ,求 f (x) .
''

23、已知曲边三角形由 y ? 2 x 、 x ? 0 、 y ? 1 所围成,求:
2

(1) 、曲边三角形的面积; (2) 、曲边三角形饶 X 轴旋转一周的旋转体体积.

24、设 f (x) 为连续函数,且 f (2) ? 1 , F (u) ? (1) 、交换 F (u ) 的积分次序; (2) 、求 F (2) .
'

? dy?
1

u

u

y

f ( x)dx , (u ? 1)

15

2006 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高等数学
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分)

x f( ) 2 ? 1 ,则 lim 1、若 lim x ?0 x ?0 x 2
A、

x ? x f( ) 3
C、 3 D、





1 2

B、 2

1 3
( )

1 ? 2 ? x sin 2、函数 f ( x) ? ? x ? 0 ?
A、连续但不可导

x?0 x?0

在 x ? 0处

B、连续且可导

C、不连续也不可导

D、 可导但不连续 ( )

3、下列函数在 ?? 1,1? 上满足罗尔定理条件的是 A、 y ? e 4、已知 A、 2e
x

B、 y ? 1 ? x
2x

C、 y ? 1 ? x

2

D、 y ? 1 ?

1 x
( )

? f ( x)dx ? e
?C

? C ,则 ? f ' (? x)dx ?

?2 x

B、

1 ?2 x e ?C 2

C、 ? 2e

?2 x

?C

D、 ?

1 ?2 x e ?C 2
( )

5、设

?u
n ?1

?

n

为正项级数,如下说法正确的是
?

A、如果 lim u n ? 0 ,则
n ?0

? u n 必收敛
n ?1 ?

B、如果 lim
?

? u n ?1 ? l (0 ? l ? ?) ,则 ? u n 必收敛 n ?? u n ?1 n ?

C、如果

? u n 收敛,则 ? u n2 必定收敛 D、如果 ? (?1) n u n 收敛,则 ? u n 必定收敛
n ?1 n ?1 n ?1 n ?1
2 2

?

6、设对一切 x 有 f (? x, y) ? ? f ( x, y) , D ? {( x, y ) | x ? y ? 1, y ? 0} ,

D1 ? {( x, y ) | x 2 ? y 2 ? 1, x ? 0, y ? 0},则 ?? f ( x, y )dxdy ?
D

( D、4



A、0

B、

?? f ( x, y)dxdy
D1

C、2

?? f ( x, y)dxdy
D1

?? f ( x, y)dxdy
D1

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分)

16

7、已知 x ? 0 时, a(1 ? cos x) 与 xsin x 是等级无穷小,则 a ? 8、若 lim f ( x) ? A ,且 f (x) 在 x ? x0 处有定义,则当 A ?
x ? x0

时, f (x) 在 x ? x0 处连

续. 9、设 f (x) 在 ?0,1? 上有连续的导数且 f (1) ? 2 , 10、设 a ? 1 , a ? b ,则 a ? ( a ? b) ? 11、设 u ? e sin x ,
xy

?

1

0

f ( x)dx ? 3 ,则 ? xf ' ( x)dx ?
0

1

?u ? ?x
. 其中 D 为以点 O(0,0) 、 A(1,0) 、 B(0,2) 为顶点的三角形区域.

12、

?? dxdy ?
D

三、解答题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分)
3

13、计算 lim

x ?1 x ?1

x ?1

.

14、若函数 y ? y(x) 是由参数方程 ?

? x ? ln(1 ? t 2 ) ? y ? t ? arctan t

所确定,求

dy d 2 y 、 . dx dx 2

15、计算

?

1 ? ln x dx . x
?

16、计算

?

2 0

x 2 cos xdx .

17、求微分方程 x y ? xy ? y 的通解.
2 ' 2

18、将函数 f ( x) ? x ln(1 ? x) 展开为 x 的幂函数(要求指出收敛区间).

19、求过点 M (3,1,?2) 且与二平面 x ? y ? z ? 7 ? 0 、 4 x ? 3 y ? z ? 6 ? 0 都平行的直线方程.

20、设 z ? xf ( x , xy) 其中 f (u, v) 的二阶偏导数存在,求
2

?2z ?z 、 . ?y ?y?x

17

四、证明题(本题满分 8 分). 21、证明:当 x ? 2 时, 3 x ? x ? 2 .
3

五、综合题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,满分 30 分) 22、已知曲线 y ? f (x) 过原点且在点 ( x, y ) 处的切线斜率等于 2 x ? y ,求此曲线方程.

23、已知一平面图形由抛物线 y ? x 、 y ? ? x ? 8 围成.
2 2

(1)求此平面图形的面积; (2)求此平面图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积.

?1 f ( x)dxdy t ? 0 ? 24、设 g (t ) ? ? t ?? ,其中 Dt 是由 x ? t 、 y ? t 以及坐标轴围成的正方形区域, Dt ? a t?0 ?
函数 f (x) 连续. (1)求 a 的值使得 g (t ) 连续; (2)求 g (t ) .
'

18

2007 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高等数学
一、单项选择题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 1、若 lim A、

x ?0

1 4

f (2 x) 1 ? 2 ,则 lim xf ( ) ? x ?? x 2x 1 B、 2
2 2

( C、 2
n n



D、 4

2、已知当 x ? 0 时, x ln(1 ? x ) 是 sin x 的高阶无穷小,而 sin x 又是 1? cos x 的高阶无穷 小,则正整数 n ? A、1 B、2
'

( C、3 D、4 ( D、4 ( D、 sin 4x ? C ( C、 2 x cos x
2



3、设函数 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ,则方程 f ( x) ? 0 的实根个数为 A、1 B、2 C、3



4、设函数 f (x) 的一个原函数为 sin 2 x ,则 A、 cos 4 x ? C 5、设 f ( x) ? A、 sin x
4

?f

'

(2 x)dx ?
C、 2 cos 4 x ? C



B、
x2

1 cos 4 x ? C 2

?

1

sin t 2 dt ,则 f ' ( x) ?
B、 2 x sin x
2



D、 2 x sin x

4

6、下列级数收敛的是 A、

( B、



2n ? n2 n ?1

?

?
n ?1

?

n n ?1

C、

1 ? (?1) n ? n n ?1
?

D、

?
n ?1

?

(?1) n n

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分)
1 ? ?(1 ? kx) x 7、设函数 f ( x) ? ? ? 2 ?

x ? 0 ,在点 x ? 0 处连续,则常数 k ? x?0
2

8、若直线 y ? 5 x ? m 是曲线 y ? x ? 3x ? 2 的一条切线,则常数 m ? 9、定积分

?

2

?2

4 ? x 2 (1 ? x cos3 x)dx 的值为

19

10、已知 a , b 均为单位向量,且 a ? b ? 11、设 z ?

?

?

? ?

? ? 1 ,则以向量 a ? b 为邻边的平行四边形的面积为 2

x ,则全微分 dz ? y
2x

12、设 y ? C1e

? C 2 e 3 x 为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解,则该微分方程为

三、解答题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分)

13、求极限 lim

ex ? x ?1 . x ?0 x tan x
x y

14、设函数 y ? y(x) 由方程 e ? e ? xy 确定,求

dy d2y 、 . dx x ? 0 dx 2 x ? 0

15、求不定积分 x e dx .

?

2

?x

16、计算定积分

?

1 2 2

1? x2 dx . x2

17、设 z ? f (2 x ? 3 y, xy) 其中 f 具有二阶连续偏导数,求

?2z . ?x ?y

18、求微分方程 xy ? y ? 2007 x 满足初始条件 y
' 2

x ?1

? 2008 的特解.

19、求过点 (1,2,3) 且垂直于直线 ?

?x? y?z?2?0 的平面方程. ?2 x ? y ? z ? 1 ? 0

20、计算二重积分

??
D

x 2 ? y 2 dxdy,其中 D ? ?( x, y) | x 2 ? y 2 ? 2 x, y ? 0?.

20

四、综合题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,满分 20 分) 21、设平面图形由曲线 y ? 1 ? x ( x ? 0 )及两坐标轴围成.
2

(1)求该平面图形绕 x 轴旋转所形成的旋转体的体积; (2)求常数 a 的值,使直线 y ? a 将该平面图形分成面积相等的两部分.

22、设函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? 9 具有如下性质:
3 2

(1)在点 x ? ?1 的左侧临近单调减少; (2)在点 x ? ?1 的右侧临近单调增加; (3)其图形在点 (1,2) 的两侧凹凸性发生改变. 试确定 a , b , c 的值.

五、证明题(本大题共 2 小题,每小题 9 分,满分 18 分)

23、设 b ? a ? 0 ,证明:

? dy?
a

b

b y

f ( x)e 2 x? y dx ? ? (e 3 x ? e 2 x?a ) f ( x) dx .
a

b

24、求证:当 x ? 0 时, ( x ? 1) ln x ? ( x ? 1) .
2 2

21

2008 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高等数学
一、单项选择题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 1、设函数 f (x) 在 (??,??) 上有定义,下列函数中必为奇函数的是 A、 y ? ? f (x ) C、 y ? ? f (? x) B、 y ? x f ( x )
3 4





D、 y ? f ( x) ? f (? x) ( )

2、设函数 f (x) 可导,则下列式子中正确的是

A、 lim

x ?0

f (0) ? f ( x) ? ? f ' (0) x
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? ?x) ? f ' ( x0 ) ?x

B、 lim

x ?0

f ( x 0 ? 2 x) ? f ( x) ? f ' ( x0 ) x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? ?x) ? 2 f ' ( x0 ) ?x
( )

C、 ? lim

x ?0

D、 ? lim

x ?0

3、设函数 f (x) ? A、 4 x sin 2 x
?

?

1 2x

t 2 sin t dt ,则 f ' ( x) 等于
B、 8x sin 2 x
?

2

2

C、 ? 4 x sin 2 x
2
? ?

D、 ? 8x sin 2 x
2

4、设向量 a ? (1,2,3) , b ? (3,2,4) ,则 a ? b 等于 A、 (2,5,4) 5、函数 z ? ln B、 (2,-5,-4) C、 (2,5,-4)





D、 (-2, -5, 4) ( D、 ? )

y 在点(2,2)处的全微分 dz 为 x 1 1 1 1 1 1 A、 ? dx ? dy B、 dx ? dy C、 dx ? dy 2 2 2 2 2 2
6、微分方程 y ? 3 y ? 2 y ? 1的通解为
'' '

1 1 dx ? dy 2 2
( )

A、 y ? c1e

?x

? c2 e ?2 x ? 1
?2 x

B、 y ? c1e

?x

? c2 e ?2 x ?
?2 x

C、 y ? c1e ? c 2 e
x

?1

D、 y ? c1e ? c 2 e
x

1 2 1 ? 2

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 7、设函数 f ( x) ?

x2 ?1 ,则其第一类间断点为 x ( x ? 1)

.

22

8、设函数 f (x) ? ? tan 3x

a ? x, x ? 0, x , x ? 0,
在点 x ? 0 处连续,则 a = .

9、已知曲线 y ? 2 x ? 3x ? 4 x ? 5 ,则其拐点为
3 2

. .

10、设函数 f (x) 的导数为 cos x ,且 f (0) ? 11、定积分

?

1

?1
?

2 ? sin x dx 的值为 1? x2

1 ,则不定积分 ? f ( x ) dx = 2
.

12、幂函数

xn ? n ? 2 n 的收敛域为 n ?1

.

三、计算题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分) 13、求极限: lim (
x ??

x ? 2 3x ) x
? x ? t ? sin t , dy d 2 y t ? 2n? , n ? Z 所决定,求 , 2 dx dx ? y ? 1 ? cos t ,

14、设函数 y ? y(x) 由参数方程 ?

15、求不定积分:

x3 ? x ? 1 dx .

16、求定积分:

?

1

0

e x dx .

17、设平面 ? 经过点 A(2,0,0) ,B(0,3,0) ,C(0,0,5) ,求经过点 P(1,2,1)且 与平面 ? 垂直的直线方程.

18、设函数 z ? f ( x ? y, ) ,其中 f (x) 具有二阶连续偏导数,求

y x

?2z . ?x ?y

19、计算二重积分 面区域.

?? x dxdy ,其中 D 是由曲线 y ? x ,直线 y ? x, x ? 2 及 y ? 0 所围成的平
2 D

1

23

20、求微分方程 xy ? 2 y ? x 的通解.
' 2

四、综合题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,满分 20 分) 21、求曲线 y ?

1 ( x ? 0) 的切线,使其在两坐标轴上的截距之和最小,并求此最小值. x

22、设平面图形由曲线 y ? x , y ? 2x 与直线 x ? 1所围成.
2 2

(1)求该平面图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积. (2)求常数 a ,使直线 x ? a 将该平面图形分成面积相等的两部分.

五、证明题(本大题共 2 小题,每小题 9 分,满分 18 分) 23、 设函数 f (x) 在闭区间 ?0,2a ? (a ? 0) 上连续, f (0) ? f (2a) ? f (a) , 且 证明: 在开区间 (0, a) 上至少存在一点 ? ,使得 f (? ) ? f (? ? a) .

24、对任意实数 x ,证明不等式: (1 ? x)e ? 1 .
x

24

2009 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高等数学
一、单项选择题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分)
2 1、已知 lim x ? ax ? b ? 3 ,则常数 a, b 的取值分别为 x ?2 x?2

( D、 a ? ?2, b ? ?1



A、 a ? ?1, b ? ?2

B、 a ? ?2, b ? 0

C、 a ? ?1, b ? 0

2 2、已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2 ,则 x ? 2 为 f (x) 的

x2 ? 4

A、跳跃间断点

B、可去间断点

C、无穷间断点

D、震荡间断点 ( D、 ? ? 1 ( ) )

x?0 ? 0, 3、设函数 f ( x) ? ? ? 在点 x ? 0 处可导,则常数 ? 的取值范围为 ? x sin 1 , x ? 0 ? x ?

A、 0 ? ? ? 1 4、曲线 y ? A、1

B、 0 ? ? ? 1

C、 ? ? 1

2x ? 1 的渐近线的条数为 ( x ? 1) 2
B、2 C、3 D、4

5、 F ( x) ? ln(3x ? 1) 是函数 f (x) 的一个原函数, 设 则 A、

?f

'

(2 x ? 1)dx ?

( D、



1 ?C 6x ? 4

B、

3 ?C 6x ? 4

C、

1 ?C 12 x ? 8

3 ?C 12 x ? 8
( )

6、设 ? 为非零常数,则数项级数 A、条件收敛

?

n ?? n2 n ?1
?

B、绝对收敛

C、发散

D、敛散性与 ? 有关

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 7、已知 lim ( x ) x ? 2 ,则常数 C ? x ??
x?C

. .
? ? ?

8、设函数 ? ( x) ?
?

?

2x 0

tet dt ,则 ? ( x) =
'
?

9、已知向量 a ? (1, 0, ? 1) , b ? (1, ? 2, 1) ,则 a ? b 与 a 的夹角为 10、设函数 z ? z ( x, y) 由方程 xz 2 ? yz ? 1 所确定,则 ?z =
?x

. .

11、若幂函数

an n 1 ? n 2 x (a ? 0) 的收敛半径为 2 ,则常数 a ? n ?1
2

?

.

12、微分方程 (1 ? x ) ydx ? (2 ? y) xdy ? 0 的通解为

.

25

三、计算题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分) 13、求极限: lim
x3 x ? sin x
? 2 ? y ? t ? 2t ? 3
dx dx 2

x ?0

2 14、设函数 y ? y(x) 由参数方程 ? x ? ln(1 ? t ) 所确定, ,求 dy , d y .

15、求不定积分: sin 2 x ? 1dx . 16、求定积分:

?

?

1 0

x2 2 ? x2

dx .

17、求通过直线 x ? y ? 1 ? z ? 2 且垂直于平面 x ? y ? z ? 2 ? 0 的平面方程.
3 2 1

18、计算二重积分

?? yd? ,其中 D ? {( x, y) 0 ? x ? 2, x ? y ? 2, x
D

2

? y 2 ? 2} .
?2z . ?x ?y

19、设函数 z ? f (sin x, xy) ,其中 f (x) 具有二阶连续偏导数,求 20、求微分方程 y '' ? y ? x 的通解.

四、综合题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,满分 20 分) 21、已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 ,试求: (1)函数 f (x) 的单调区间与极值; (2)曲线 y ? f (x) 的凹凸区间与拐点; (3)函数 f (x) 在闭区间 [?2, 3] 上的最大值与最小值.

22、设 D1 是由抛物线 y ? 2x 2 和直线 x ? a, y ? 0 所围成的平面区域,D2 是由抛物线 y ? 2x 2 和直线
x ? a, x ? 2 及 y ? 0 所围成的平面区域,其中 0 ? a ? 2 .试求:

(1) D1 绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积 V1 ,以及 D 绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积 V 2 .
2

(2)求常数 a 的值,使得 D1 的面积与 D2 的面积相等. 五、证明题(本大题共 2 小题,每小题 9 分,满分 18 分)
?x 23、已知函数 f ( x) ? ? e , x ? 0 ,证明函数 f (x) 在点 x ? 0 处连续但不可导.

? ?1 ? x ,

x?0

24、证明:当 1 ? x ? 2 时, 4 x ln x ? x ? 2 x ? 3 .
2

26

2010 年江苏省普通高校“专转本”统一考试 高等数学
一、单项选择题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 1.设当 x ? 0 时,函数 f ( x) ? x ? sin x 与 g ( x) ? ax 是等价无穷小,则常数 a, n 的值为 (
n

)

A. a ?

1 ,n ? 3 6

B. a ?

1 ,n ? 3 3

C. a ?

1 ,n ? 4 12

D. a ?

1 ,n ? 4 6
( )

2.曲线 y ? A. 1 条

x 2 ? 3x ? 4 的渐近线共有 x2 ? 5x ? 6 B. 2 条

C. 3 条

D. 4 条 ( D. ?e cos x
x2 2

3.设函数 ?( x) ? A. 2 xe cos x
x2 2

?

2

x2

et cos tdt ,则函数 ?( x) 的导数 ??( x) 等于
B. ?2 xe cos x
x2 2

)

C. ?2 xe cos x
x

4.下列级数收敛的是

(

)

n A. ? n ?1 n ? 1
5.二次积分 A. C.

?

2n ? 1 B. ? 2 n ?1 n ? n
?

1 ? ( ?1) n C. ? n n ?1
?

n2 D. ? n n ?1 2
( )

?

?

1

0

dy ?

y ?1

1

f ( x, y)dx 交换积分次序后得
B. D.

? dx?
0 2 1

1

x ?1

1 x ?1

f ( x, y)dy f ( x, y)dy
3

? dx?
1 2 1

2

x ?1

0 1

f ( x, y)dy f ( x, y)dy
( )

? dx?

1

? dx?

x ?1

6.设 f ( x) ? x ? 3x ,则在区间 (0,1) 内 A. 函数 f ( x) 单调增加且其图形是凹的 C. 函数 f ( x) 单调减少且其图形是凹的 B. 函数 f ( x) 单调增加且其图形是凸的 D. 函数 f ( x) 单调减少且其图形是凸的

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 7. lim(
x ??

x ?1 x ) ? x ?1
x ?0

8. 若 f ?(0) ? 1 ,则 lim
1

f ( x) ? f ( ? x) ? x

9. 定积分

x3 ? 1 ??1 x 2 ? 1dx 的值为
?

10. 设 a ? (1, 2,3), b ? (2,5, k ) ,若 a 与 b 垂直,则常数 k ? 11. 设函数 z ? ln

?

?

?

x 2 ? 4 y ,则 dz

x ?1 y ?0

?
27

12. 幂级数

( ?1) n n ? n x 的收敛域为 n ?0
?

三、计算题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分) 13、求极限 lim(
x ?0

1 1 ? 2) x tan x x
x? y

14、设函数 y ? y ( x) 由方程 y ? e 15、求不定积分 x arctan xdx 16、计算定积分

? 2 x 所确定,求 dy , d

y dx dx 2

2

?

?

4

0

x?3 dx 2x ?1
? x ? 2?t ? ? z ? 5 ? 3t ?

17、求通过点 (1,1,1) ,且与直线 ? y ? 3 ? 2t 垂直,又与平面 2x ? z ? 5 ? 0 平行的直线的方程。
2 x 18、设 z ? y f ( xy, e ) ,其中函数 f 具有二阶连续偏导数,求 ? 2 z

?x?y

19、计算二重积分

?? xdxdy ,其中 D 是由曲线 x ?
D
x
?2 x

1 ? y 2 ,直线 y ? x 及 x 轴所围成的闭区域。
" '

20、已知函数 y ? e 和 y ? e

是二阶常系数齐次线性微分方程 y ? py ? qy ? 0 的两个解,试
" ' x

确定常数 p, q 的值,并求微分方程 y ? py ? qy ? e 的通解。 四、证明题(每小题 9 分,共 18 分) 21、证明:当 x ? 1 时, e
x ?1

?

1 2 1 x ? 2 2

?? ( x) , 22、设 f ( x) ? ? x ? ? 1, ?

x ? 0, x ? 0,

其中函数 ? ( x) 在 x ? 0 处具有二阶连续导数,且

? (0) ? 0, ? ' (0) ? 1,证明:函数 f ( x) 在 x ? 0 处连续且可导。
五、综合题(每小题 10 分,共 20 分) 23、设由抛物线 y ? x ( x ? 0) ,直线 y ? a (0 ? a ? 1) 与 y 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周
2

2

所形成的旋转体的体积记为 V1 ( a ) ,由抛物线 y ? x ( x ? 0) ,直线 y ? a (0 ? a ? 1) 与直线 x ? 1
2

2

所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为 V2 ( a ) ,另 V (a) ? V1 (a) ? V2 (a) , 试求常数 a 的值,使 V (a ) 取得最小值。
' ' x 24 、 设 函 数 f ( x) 满 足 方 程 f ( x) ? f ( x) ? 2e , 且 f ( 0 )? 2, 记 由 曲 线 y ? f ( x) 与 直 线

f ( x)

y ? 1, x ? t (t ? 0) 及 y 轴所围平面图形的面积为 A(t ) ,试求 lim A(t )
t ???

28

2001 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高 等 数 学 参 考 答 案
1、C 2、D
3x

3、B

4、D

5、A

6、2

7、 y ? e (C1 cos 2 x ? C 2 sin 2 x) ,其中 C1 、 C 2 为任意实数 8、

? dy?
0

2

y

y 2

f ( x, y)dx ? ? dy?y f ( x, y)dx
2 2

4

2

9、 yx

y ?1

dx ? x y ln xdy

10、

64 5

11、 dy ? ? ?

? 1 1 2 x ln x ? ?dx ? ? x ? ?1? x 2 x 1? 2 ?

12、 ?

1 3

13、 x ? ?1 是第二类无穷间断点; x ? 0 是第一类跳跃间断点; x ? 1是第一类可去间断点. 14、1 15、

e2x e2x ? e x ? e x dx ? ? dx ? e x ? ln(1 ? e x ) ? C x ?1? ex 1? e

16、

1 ?

? ? tan xdx ? ? tan xdx 17、 y ? e ? sec x ? e ? dx ? C ? ? e ?ln cos x

?? ?

? ?

?? sec x ? e

ln cos x

dx ? C ?

?

x?C , cos x

y

x ?0

?0?

0?C x . ?C ?0? y ? cos 0 cos x

18、解:原式 ?

? sin y dy?
2 0

2

1? y

1

dx ?

1 ? cos 4 2
' x ?0

19、解: “在原点的切线平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 ” ? f ( x)
'

? ?2 即 b ? ?2

又由 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,得 f (1) ? 0 ,即 3a ? b ? 0 ,得 a ? ? 故 f ( x) ? 2 x ? 2 ,两边积分得 f ( x) ?
' 2

b 2 ? 3 3

2 3 x ? 2 x ? c ,又因曲线 y ? f (x) 过原点, 3

所以 c ? 0 ,所以 y ? f ( x) ?

2 3 x ? 2x 3

20、

?2z 2x 2 x 1 ?z 1 ? ? 2 f ''12 ? 3 f '' 22 ? 2 f ' 2 ? f '1 ? 2 x ? f ' 2 ? , ?x?y ?x y y y y

21、 (1) 2 y ? x ? 1 ? 0 ; (2) 22、 ? lim

1 ? 6 ; (3) V x ? , V y ? ? 3 6 5

?x ?0

f ' (?x) ? ?x ? f (?x) f ' (?x) ? ?x ? f (?x) ? lim ?x ?0 1 (?x) 2

f '' (?x) ? ?x ? f ' (?x) ? f ' (?x) f '' (?x) ? ?x 1 '' ? lim ? lim ? f (0) . ?x ?0 ?x ?0 2?x 2?x 2
23、由拉格朗日定理知:

29

f (a ? b) ? f (b) ? f ' (?1 ) (b ? ?1 ? a ? b) , a f (a) ? f (0) (b ? ? 2 ? a) ? f ' (? 2 ) a
由于 f ( x) 在 (0, c) 上严格单调递减,知 f (?1 ) ? f (? 2 ) ,因 f (0) ? 0 ,故
' ' '

f (a) ? f (b) ? f (a ? b) .
24、解:设每月每套租金为 200 ? 10 x ,则租出设备的总数为 40 ? x ,每月的毛收入为:

(200 ? 10 x)(40 ? x) ,维护成本为: 20(40 ? x) .于是利润为:
L( x) ? (180 ? 10 x)( 40 ? x) ? 7200 ? 220 x ? 10 x 2 (0 ? x ? 40) L' ( x) ? 0 ? x ? 11
比较 x ? 0 、 x ? 11 、 x ? 40 处的利润值,可得 L(11) ? L(0) ? L(40) , 故租金为 (200 ? 10 ? 11) ? 310 元时利润最大.

2002 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高 等 数 学 参 考 答 案
01-05、ACABD 14、 ? 2e
?x

06-10、CBABB 15、 ,

11、1 16、

12、 ( ?? , 1]

13、0

?3
1

?

e

1

dx?

ln x

0

f ( x, y)dy

3 2

17、1

18、

?z ? ?x

x2 ? y2

?2z y ?? 2 ?y?x (x ? y 2 )4

19、解:令 t ? x ? 1,则 x ? 2 时 t ? 1 , x ? 0 时, t ? ?1 , 所以

? f ?x ? 1?dx ? ?
2 0

1 1 1 dx ? ? dx ? 1 ? ln(1 ? e ?1 ) ? ln(e ? 1) x ?1 1 ? e 01? x 0

20、原式 ? 21、 y ? e

?

2 2 0

dy?

1? y 2 y

x 2 ? y 2 dx ? ? 4 d? ? r ? rdr ?
0 0

?

1

?
12

cos x

( x ? 1)

22、

1 arcsin2 x 2 ? C 4

23、 (1) k ? e
1 ? ? 1 ln(1 ? x) ? x ? (1 ? x) ? ? x(1 ? x) ? x 2 ?....... x ? 0 ? ? ' ? ? (2) f ( x) ? ? ?? e .......... .......... .......... .......... ........ x ? 0 ? 2 ?

30

24、 (1) S ? (2) V ? ?

?
2

0

?2

dx?

x 2 ?2 x ? 4 ?6 x

dy ? ? dx?
0

2

x 2 ?2 x?4 2x

dy ?

16 3
2 0

?

?2

( x 2 ? 2 x ? 4) 2 dx ? ? ? (?6 x) 2 dx ? ? ? (2 x) 2 dx ?
?2

0

512 ? 15

25、证明: F ( x) ? 1 ?

x2

?

? cos x ,因为 F (? x) ? F ( x) ,所以 F (x) 是偶函数,我们只需要考虑

区间 ?0,

2x 2 ? ?? ' ? sin x , F '' ( x) ? ? ? cos x . ? ,则 F ( x) ? ? ? ? ? 2?
? ? 2? ?
'' '

在 x ? ?0, arccos ? 时, F ( x) ? 0 ,即表明 F ( x) 在 ?0, arccos ? 内单调递增,所以函数 ? ?

? ?

2? ?

2? ? F (x) 在 ?0, arccos ? 内严格单调递增; ?? ?
在 x ? ? arccos

? ?

2 ?? 2 ?? ? , ? 时, F '' ( x) ? 0 ,即表明 F ' ( x) 在 ? arccos , ? 内单调递减,又因为 ? 2? ? 2? ?

2 ?? ? ? F ' ( ) ? 0 ,说明 F (x) 在 ? arccos , ? 内单调递增. ? 2? 2 ?
综上所述, F (x) 的最小值是当 x ? 0 时,因为 F (0) ? 0 ,所以 F (x) 在 ? ?

? ? ?? , ? 内满足 ? 2 2?

F ( x) ? 0 .
26、 (1)设生产 x 件产品时,平均成本最小,则平均成本

C ( x) ?

' C ( x) 25000 1 (件) ? ? 200 ? x , C ( x) ? 0 ? x ? 1 0 0 0 x x 40

(2)设生产 x 件产品时,企业可获最大利润,则最大利润

1 ? ? 1 2? ? xP( x) ? C ( x) ? x? 440 ? x ? ? ? 25000 ? 200 x ? x ?, 20 ? ? 40 ? ?

?xP( x) ? C ( x)?' ? 0 ? x ? 1600 .

此时利润 xP( x) ? C ( x) ? 167000 (元).

2003 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高 等 数 学 参 考 答 案
1、B 2、C 3、D 4、C 5、D 6、B 7、B 8、C 9、 e ? 1
2

10、 ?1,?? ?
x2 1 2 ?x 2

11、0

12、

?

2

0

dx? x

3? x

1

f ( x, y )dy

13、原式 ? lim[(1 ? x 2 ) x ]
2

1 x ? 1?cos x
2

2

x ?0

? lim e
x ?0

? e2

31

14、 dz ?

1 x x x sec2 dx ? 2 sec2 dy y y y y
0

15、

1 2? 1? x ? ln x ? ? ? C 2 ? 2?

? sin ? sin ? ? d? ? ? 2 d? ? 16、原式 ? ? ? ? 1 ? cos2 ? 0 1 ? cos2 ? 2 2
17、 y ? x(e ? c)
x

?

18、

dy t d 2 y 1 ? t 2 ? ? 、 4t dx 2 dx 2

19、 x ? 1是 f ( x ) ?

sin(x ? 1) sin(x ? 1) sin(x ? 1) ? ?1 , lim? ?1 的间断点, lim? x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 sin(x ? 1) 的第一类跳跃间断点. x ?1
?
2 2 cos ? 0

x ? 1是 f ( x ) ?

20、

?? (1 ? x ? y )dxdy ? ? 2 d? ?
2 0 D

(1 ? r )dr ?

?
2

?

16 9

21、 (i)切线方程: y ? 4 ; (iii) Vx ? V1 ? V2 ? ? ? 4 ? 2 ? ?
2
x

(ii) S ?

8 ? ?4 ? (4 x ? x )?dx ? 3
2 2 0

?

2

0

(4 x ? x 2 )dx ?

224 ? 15

22、证明:令 f ( x) ? xe ? 2 , f (0) ? ?2 ? 0 , f (1) ? e ? 2 ? 0 ,因为 f (x) 在 ?0,1? 内连续, 故 f (x) 在 ?0,1? 内至少存在一个实数 ? ,使得 f (? ) ? 0 ;又因为 f ( x) ? e (1 ? x) 在 ?0,1? 内大于
' x

零,所以 f (x) 在 ?0,1? 内单调递增,所以在 ?0,1? 内犹且仅有一个实根. 23、解:设圆柱形底面半径为 r ,高位 h ,侧面单位面积造价为 l ,则有

? V ? ? r 2h (1) ? l ? 2 2 ? y ? ? r ? 2l ? ? r ? 2 ? 2? rhl (2) ?
由(1)得 h ?

? 2 1 2 2V ? V ? 代入(2)得: y ? ? l ? 2r ? r ? ? 2 2 ?r? ?r ? ?

2V ? 令 y ' ? ?l ? 5r ? 2 r ? ?

2V V ? 2V ? 3 3 25V ? ;此时圆柱高 h ? ? . ? ? 0 ,得: r ? 3 ? ? 5? ? ? 5? ? 4? ?
2V 25V ,高为 h ? 3 时造价最低. 5? 4?

2

所以当圆柱底面半径 r ? 3

32

24、解: f ( x) ? ?
'

1 2 2?3 '' ''' , f ( x) ? , f ( x) ? ? ,? 2 3 (4 ? x) (4 ? x) (4 ? x) 3 f ( n ) ( x) ? (?1) n n! , (4 ? x) n ?1

f (0) ?

1 1 2 n! , f ' (0) ? ? 2 , f '' (0) ? 3 ,?, f ( n ) ( x) ? (?1) n n ?1 4 4 4 4
n 1 1 1 2 n x f ( x) ? ? 2 x ? 3 x ? ? ? (?1) n ?1 ? ? , 4 4 4 4

收敛区间 ?? 4,4? 25、 解: 对应特征方程 ? ? 2? ? 3 ? 0 ,?1 ? ?1 、?2 ? 3 , 所以 y ? C1e
2
?

?x

? C2 e 3x , 因为 ? ? 0

?x 3x 不是特征方程的根, 设特解方程为 y ? b0 x ? b1 , 代入原方程, 解得:y ? C1e ? C 2 e ? x ?

1 . 3

2004 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高 等 数 学 参 考 答 案
1、A 8、 2、B 3、C 4、B 5、A 6、D 7、 e
?1

x ?1 y z ? 2 ? ? 4 2 ?3

9、 n!
2 2? y

10、

1 arcsin4 x ? C 4

11、

? dy?
0

1

y

0

f ( x, y)dx ? ? dy?
1

0

f ( x, y)dx
x ?0

12、 ?? 1,3?

13、 间断点为 x ? k? ,k ? Z , x ? 0 时,lim f ( x) ? lim 当

x 为可去间断点; x ? k? , 当 ? 1, x ?0 sin x

k ? 0 , k ? Z 时, lim

x ?0

x ? ? ,为第二类间断点. sin x

? 14、原式 ? lim
x ?0

x

0

(tan t ? sin t )dt 3x 4

1 x ? x2 tan x ? sin x tan x(1 ? sin x) 1 . ? lim ? lim ? lim 2 3 ? 3 3 x ?0 x ?0 x ?0 12 x 24 12 x 12 x
y y

15、 x ? 0 代入原方程得 y (0) ? 1,对原方程求导得 y '?e ? xe y ' ? 0 ,对上式求导并将 x ? 0 、

y ? 1 代入,解得: y ' ' ? 2e 2 .
? ex ex 16、因为 f (x) 的一个原函数为 ,所以 f ( x ) ? ? ? x x ? ? ( x ? 1)e x ? ? , ? x2 ?
'

? xf
?

'

(2 x) dx ?

1 1 1 1 ' ? xf (2 x)d (2 x) ? 2 ? xdf (2 x) ? 2 xf (2 x) ? 2 ? f (2 x)dx 2

1 1 x(2 x ? 1)e 2 x e 2 x x ? 1 2x xf (2 x) ? ? f (2 x)d (2 x) ? ? ?C ? e ?C 2 2 4 8x 4x 8x
33

17、

?

??

1 x x ?1

2

dxt ? x ? 1?

??

1

?? 2t 1 dt ? 2? 2 dt ? 2 arctan t 1 t (t ? 1) t ?1 2

?? 1

?

?
2

18、

?z ? f1' ? f 2' ? y ; ?x
?2z '' '' '' '' ? f11 ? (?1) ? f12 ? x ? f 2' ? y f 21 ? (?1) ? f 22 ? x ?x?y
'' '' '' ? ? f 11 ? ( x ? y) f 12 ? xyf 22 ? f 2'

?

?

19、原式 ?

??
D

1 y sin y 1 sin y dxdy ? ? dy? 2 dx ? ? (1 ? y ) sin ydy 0 y 0 y y

? ( y ? 1) cos y 1 ? ? cos ydy ? 1 ? sin1 0
0

1

20、 f ( x) ?

1 1 ? ? 4? x?2 4

( x ? 2) n 1 1 ? ? ? (?1) n , (?2 ? x ? 6) x ? 2 4 n ?0 4n 1? 4

21、证明:令 t ? ? ? x ,
?

?

?

0

xf (sin x)dx ? ?? (? ? t ) f (sin(? ? t )dt ? ? (? ? t ) f (sin t )dt
?
0

0

?

? ? ? f (sin x)dx ? ? xf (sin x)dx
0 0

?



?

?

0

xf (sin x)dx ?

?

2?

?

0

f (sin x)dx ,证毕.

?

?

0

x

sin x ? ? sin x ? ?2 dx ? ? dx ? ? arctan(cosx) ? ? 0 2 0 1 ? cos2 x 2 4 1 ? cos2 x
' '

22 、 等 式 两 边 求 导 的 xf ( x) ? 2 x ? f ( x) 即 f ( x) ? xf ( x) ? ?2 x 且 f (0) ? ?1 , p ? ?x ,
? pdx ? pdx x2 q ? ?2 x , ? pdx ? ? , e ? ? e 2 , e ? ? e 2 , 2
? ? ? pdx ? qe dx ? ? ? 2 xq 2 dx ? 2e 2 x2 x2

e2

x2

所以 f ( x) ? (2e

?

x2 2

? C )e

?

x2 2

? 2 ? Ce ,由 f (0) ? ?1 ,
x2 2

x2 2

解得 C ? ?3 , f ( x) ? 2 ? 3e

23、设污水厂建在河岸离甲城 x 公里处,则

M ( x) ? 500 x ? 700 40 2 ? (50 ? x) 2 , 0 ? x ? 50 ,

34

1 2( x ? 50) M ' ? 500 ? 700 ? ? ?0 2 40 2 ? (50 ? x) 2
解得 x ? 50 ?

500 6

(公里) ,唯一驻点,即为所求.

2005 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高 等 数 学 参 考 答 案
1、A 11、
1

2、C
y ?1

3、D

4、A

5、A

6、C

7、2

8、 e ? 1

9、

? 2

10、5

? dy?
0

? 1? y 2

f ( x, y)dx

12、 (?1,1)

13、因为 F (x) 在 x ? 0 处连续,所以 lim F ( x) ? F (0) ,
x ?0

lim F ( x) ? lim
x ?0

x ?0

f ( x) ? 2 sin x f ( x) ? f (0) ? lim ? 2 ? f ' (0) ? 2 ? 6 ? 2 ? 8 , x ?0 x x

F (0) ? a ,故 a ? 8 .

dy d 2 y ( y ' )' ?1 dy dt cos t ? cos t ? t sin t ? csct . 14、 ? ? ? ?t , 2 ? ' t ? ? sin t dx xt dx dx ? sin t dt
15、原式

1 ? ? tan 2 x tan x sec xdx ? ? (sec2 x ? 1)d sec x ? ? sec2 xd sec x ? sec x ? sec3 x ? sec x ? C . 3
x ? 1 1 d (1 ? x 2 ) dx ? ? ? 16、原式 ? x arctan x ? ? 0 1? x2 4 2 0 1 ? x2
1 0 1

1 ? ln(1 ? x 2 ) 1 0 4 2 ? 1 ? ? ln 2 4 2 ?
17、

?

?2z ?z '' '' ? cos x( f12 ? 2 y ) ? 2 y cos xf12 ? cos x ? f1' , ?x?y ?x

1 18、 l ? ?5,2,1? , B ? ?4,?3,0? , AB ? ? ,?4,2?

i

j 2

k

? ? l ? AB ? 5

1 ? ?8,?9,?22?

1 ?4 2
平面点法式方程为:

8( x ? 3) ? 9( y ? 1) ? 22( z ? 2) ? 0 ,即 8x ? 9 y ? 22 z ? 59 .
35

x2 1 1 x2 1 x2 1 19、 f ( x) ? ( ? )? ? ? ? x 3 1? x 3 2 ? x 1? x 6 1? 2
x2 ? 3
20、 y ?
'

? (?1) n ? ? ? 2 n?1 ? 1?x n ,收敛域为 ? 1 ? x ? 1 . n ?0 ? ?
?

1 ex ,通解为 ?y? x x
y?e
? 1 1 x ? C ex ? x dx ? e ? x dx ?? e dx ? C ? ? ? ? x ? x x ? ?

因为 y (1) ? e , e ? e ? C ,所以 C ? 0 ,故特解为 y ?
3

ex . x

21、 证明: f ( x) ? x ? 3x ? 1 , ? ?? 1,1? , f (?1) ? 3 ? 0 ,f (1) ? ?1 ? 0 ,f (?1) ? f (1) ? 0 , 令 且 x 由连续函数零点定理知, f (x) 在 (?1,1) 上至少有一实根. 22、设所求函数为 y ? f (x) ,则有 f (2) ? 4 , f (2) ? ?3 , f (2) ? 0 .
' ''

由 y ? 6 x ? a , y (2) ? 0 得 a ? ?12 ,即 y ? 6 x ? 12 .
'' '' ''

因为 y ? 6 x ? 12 ,故 y ? 3x ? 12 x ? C1 ,由 y (2) ? ?3 ,解得 C1 ? 9 .
'' ' 2 '

故 y ? x ? 6 x ?9 x ? C 2 ,由 y(2) ? 4 ,解得 C2 ? 2 .
3 2

所求函数为: y ? x ? 6 x ? 9 x ? 2 .
3 2

23、 (1) S ? (2) V x ? ?

? 2y
0
1 2 0 2

1

1

2

dy ?

1 3 y 6

1 0

?

1 6
2

?

1 ? (1 ? 2 x)dx ? ? ( x ? x ) 2 ? 0 4

24、解:积分区域 D 为: 1 ? y ? u , y ? x ? u (1) F (u ) ?

?? f ( x)d? ? ? dx?
1 D
'

u

x

1

f ( x)dy ? ? ( x ? 1) f ( x)dx ;
1

u

(2) F (u ) ? (u ? 1) f (u ) , F (2) ? (2 ? 1) f (2) ? f (2) ? 1 .
'

36

2006 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高 等 数 学 参 考 答 案
1、C
xy

2、B

3、C

4、C

5、C

6、A

7、2

8、 f ( x0 )

9、 ? 1

10、 1

11、 e ( y sin x ? cos x)

12、1

1 ?3 x 2 3 13、原式 ? lim ? 1 x ?1 1 ?2 3 x 2

4

1 dy 1 ( )' 2 dy y t d2y 1? t2 1? t ? , 14、 ? ? ? dx ? 2 ? 2t 2t dx x 2 dx 2 4t xt' 2 2 1? t 1? t
' t ' t

1?

15、原式 ?

?
?
?
2 0

1 ? ln x d (1 ? ln x) ?

2 (1 ? ln x) 2 ? C 3
?
2 0

3

16、原式 ?

x 2 d sin x ? x 2 sin x
? ?

? 2 ? 2 x sin xdx ?
0

?

?2
4

? 2 ? 2 xd cos x
0

?

?

?2
4

? 2 x cos x

2 0

? 2 ? 2 cos xdx ?
0

?2
4

?2

y ? y? y ' 2 ' ' 17、方程变形为 y ? ? ? ? ,令 p ? 则 y ? p ? xp ,代入得: xp ? ? p ,分离变量得: x ?x? x
'

2

??

x 1 1 1 dp ? ? dx ,故 ? ln x ? C , y ? . 2 ln x ? C x p p
'

18、令 g ( x) ? ln(1 ? x) , g (0) ? 0 , g ( x) ?

? (?1) n x n dx ? ?
n ?0

?

(?1) n n ? 2 x , n ?0 n ? 1
?

故 f ( x) ?

(?1) n n ? 2 ? n ? 1 x , ?1 ? x ? 1 . n ?0
?

1 19、 n1 ? ,?1,1? 、 n2 ?4,?3,1? , l ? n1 ? n 2 ? 3

i

j

k

? 1 1 ? 2i ? 3 j ? k

4 ?3 1
直线方程为

x ? 3 y ?1 z ? 2 . ? ? 2 3 1

20、

?2z ?z '' '' '' '' ? 2 xf 2' ? x 2 ( f 21 ? 2 x ? f 22 ? y ) ? 2 xf 2' ? 2 x 3 f 21 ? x 2 yf 22 . ? x 2 f 2' , ?y?x ?y

37

21、令 f ( x) ? 3x ? x , x ? ?? 2,2? , f ( x) ? 3 ? 3x ? 0 , x ? ?1 , f (?1) ? ?2 , f (1) ? 2 ,
3 ' 2

f (2) ? ?2 , f (?2) ? 2 ;所以 f min ? ?2 , f max ? 2 ,故 ? 2 ? f ( x) ? 2 ,即 3 x ? x 3 ? 2 .
22、 y ? 2 x ? y , y (0) ? 0
'

通解为 y ? (?2 x ? 2) ? Ce ,由 y (0) ? 0 得 C ? 2 ,故 y ? ?2 x ? 2 ? 2e .
x x

23、 (1) S ? (2) V ? ? 24、

?

2

?2

(8 ? x 2 ? x 2 )dx ?
8

64 3

?

4

0

( y ) 2 dy ? ? ? ( 8 ? y ) 2 dy ? 16?
4
t t 0 0

?? f ( x)dxdy ? ? dx?
Dt

f ( x)dy ? t ? f ( x)dx
0

t

? t f ( x) t ? 0 ? g (t ) ? ??0 ? a t ?0 ?
(1) lim g (t ) ? lim
t ?0 t ?0 0
'

?

t

f ( x)dx ? 0 ,由 g (t ) 的连续性可知 a ? g (0) ? lim g (t ) ? 0
t ?0

(2)当 t ? 0 时, g (t ) ? f (t ) ,

g ( h ) ? g ( 0) ? f ( x)dx ? lim f (h) ? f (0) ' ? lim 0 当 t ? 0 时, g (0) ? lim h ?0 h ?0 h ?0 h h
综上, g (t ) ? f (t ) .
'

h

2007 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高 等 数 学 参 考 答 案
1、B 2、C 3、C 4、A 5、D 6、D 7、 ln 2 8、1 9、 2? 10、

3 2

11、

1 x dx ? 2 dy y y

12、 y' '?5 y'?6 y ? 0

13、解: lim

ex ? x ?1 ex ? x ?1 ex ?1 ex 1 ? lim ? lim ? lim ? . x ?0 x tan x x ?0 x ?0 2 x x ?0 2 2 x2
x y x y

dy ex ? y ? y' ? y 14、解:方程 e ? e ? xy ,两边对 x 求导数得 e ? e ? y' ? y ? xy' ,故 . dx e ?x
又当 x ? 0 时, y ? 0 ,故

dy d2y ? 1、 2 ? ?2 . dx x ? 0 dx x ? 0

38

15、解: x e dx ? ? x d (e
2 2

?

?x

?

?x

) ? ? x 2 e ? x ? 2? xe ? x dx ? ? x 2 e ? x ? 2? xd (e ? x )

? ? x 2 e ? x ? 2 xe? x ? 2e ? x ? C .
16、解:令 x ? sin t ,则

?

1 2 2

1? x2 cos2 t ? dx ? ??2 dt ? 1 ? . 2 2 4 x sin t 4

?

?2z ?z '' '' '' '' ' ' 17、解: ? 2( f11 ? 3 ? f12 ? x) ? f 2' ? y ( f 21 ? 3 ? f 22 ? x) ? 2 f1 ? yf 2 , ?x?y ?x
'' '' '' ? 6 f11 ? (2 x ? 3 y) f12 ? xyf22 ? f 2'

18、解:原方程可化为 y ?
'

1 1 ? y ? 2007 x ,相应的齐次方程 y ' ? ? y ? 0 的通解为 y ? Cx .可 x x
'

设 原 方 程 的 通 解 为 y ? C ( x) x . 将 其 代 入 方 程 得 C ( x) x ? C ( x) ? C ( x) ? 2007 x , 所 以

C ' ( x) ? 2007 ,从而

C ( x) ? 2007 x ? C ,故原方程的通解为 y ? (2007 x ? C ) x . 又 y(1) ? 2008 ,所以 C ? 1 ,于是
所求特解为 y ? (2007 x ? 1) x .(本题有多种解法,大家不妨尝试一下) 19、解:由题意,所求平面的法向量可取为
?

i

j 1

k 1 ? (2,1,?3) .

n ? (1,1,1) ? (2,?1,1) ? 1

2 ?1 1
故所求平面方程为 2( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 3( x ? 3) ? 0 ,即 2 x ? y ? 3z ? 5 ? 0 .

20、解:

??
D

x 2 ? y 2 dxdy ? ?? ? 2 d?d? ? ? 2 d? ?
0 D

?

2 cos ?

0

? 2 d? ?

8 2 16 3 ?0 cos ?d? ? 9 . 3

?

21、解: (1) V ?

? ? (1 ? x
0

1

2 2

) dx ?
1 2

8? ; 15
1 1 2

(2)由题意得

?

a

0

(1 ? y) dy ? ? (1 ? y) dy . 由 此 得 (1 ? a) ? 1 ? ?(1 ? a)
a

3 2

3 2

. 解得

1 a ? 1? ( )3 . 4
22、解: f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c , f ( x) ? 6ax ? 2b .
' 2 ''

1

由题意得 f (?1) ? 0 、 f (1) ? 0 、 f (1) ? 2 ,解得 a ? ?1 、 b ? 3 、 c ? 9
' ''

39

23、证明:积分域 D : ?

?a ? y ? b ?a ? x ? b ,积分域又可表示成 D : ? ?y ? x ? b ?a ? y ? x
b x b x

? dy?
a

b

b

y

f ( x)e 2 x ? y dx ? ?? f ( x)e 2 x ? y ? ? dx? f ( x)e 2 x ? y dy ? ? f ( x)e 2 x dx? e 2 y dy
a a a a D

? ? f ( x)e 2 x (e x ? e a )dx ? ? (e 3 x ? e 2 x?a ) f ( x)dx .
a a

b

b

24、证明:令 F ( x) ? ln x ?

x2 ?1 x ?1 ' ? 0, ,显然, F (x) 在 ?0,??? 上连续. 由于 F ( x) ? x( x ? 1) 2 x ?1

故 F (x) 在 ?0,??? 上单调递增, 于是, 0 ? x ? 1 时, ( x) ? F (1) ? 0 , ln x ? 当 即 F 当 x ? 1时, F ( x) ? F (1) ? 0 ,即 ln x ?
2

x ?1 2 2 2 ,又 x ? 1 ? 0 ,故 ( x ? 1) ln x ? ( x ? 1) . x ?1
2

x ?1 2 2 2 , x ? 1 ? 0 , ( x ? 1) ln x ? ( x ? 1) ; 又 故 x ?1

综上所述,当 x ? 0 时,总有 ( x ? 1) ln x ? ( x ? 1) .

2008 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高 等 数 学 参 考 答 案
1、B 2、A 3、D 4、C 5、A 6、B 7、0 8、3 9、 (2,17) 10、 ? cos x ?

1 x?c 2

11、 ?

12、 ?? 2, 2 ?
x

13、 lim (
x ??

x ? 2 3x 2 2 ?6 x ) ? lim (1 ? ) 3 x ? lim (1 ? ) 2 ,令 y ? ? ,那么 x ?? x ?? x x x 2

lim (
x ??

x ? 2 3x 1 1 ) ? lim (1 ? ) ? y?6 ? 6 . x ?? x y e
‘ ’ ‘ ’ ‘ ’

14、 y (t ) ? sin t,x (t ) ? 1 ? cost,y (t ) ? cost,x (t ) ? sin t.

dy y ’ t ) ( sin t d 2 y y ,, t ) x , t ) ? y , t ) x ’ t ) ( ( ( ‘( ?1 ? , ? , 2 ? ? . 3 ‘ dx x (t ) 1 ? cos t dx (1 ? cos t ) 2 x (t )

?

?

15、

x3 x3 ? 1 d ( x ? 1) dx ? ? dx ? ? dx ? ? ( x 2 ? x ? 1)dx ? ln x ? 1 ? C ? x ?1 x ?1 x ?1

x3 x2 ? ? ? x ? ln x ? 1 ? C. 3 2
16、

?e
0

1

1

x2

dx ? ? e d ( x ) ? 2 ? e
x2 2 0 0

1

1

1 2

1

1

x2

? x dx ? 2 ? e de ? 2( x e
x2 0

1 2

1 2

1

1

1 2

1 2

1

x2 1 0

? ? e dx )
x2 0

1

1

1 2

40

= 2e ? 2 e
0

?

1

x

1 2

dx ? 2e ? 2e
?

1 2

1

x2 1 0

? 2e ? 2e ? 2 ? 2.
?

3, AC 17、由题意得: AB ? (-2, 0), ? (?2,0,5) ,那么法向量为
?

?3 0 -2 -2 ? 2 ? 2 ? ? ? (15,10,6). n ? AB ? AC ? ? ,- , ?0 5 0 5 3 0 ? ? ?

, 1 ,, y 1 ’ ?z y , ?2z ’ ‘ 18、 ? f ,11+ f12 - 2 ( f ‘ ? f ‘ ) ? f 1 ? 2 f 2. 21 22 ?x?y 2 x ?x x x

'' =f 11 ?

y '' y '' 1 '' 1 f 12- 2 f 2' ? 2 f 21 ? 3 f 22 x x x x
1 x 2 2 1 x 0

19、

?? x
D

2

dxdy ? ? dx? x dy ? ? dx? x 2 dy
0 0 1

? ? x 3 dx ? ? xdx ?
0 1

1

2

x4 4
?2

1 0

?

x2 2

2 1

?

1 3 7 ? ? 4 2 4

20、积分因子为 ? ( x) ? e


?

?2 dx x

?e

ln x

?

1 . x2

dy 2 y ? ? x. dx x 1 dy 2y 1 在方程两边同乘以积分因子 2 ,得到 2 ? 3 ? . x x x dx x
化简原方程 xy ? 2 y ? x 为
2

化简得:

d ( x ?2 y ) 1 ? . dx x

d ( x ?2 y ) 1 ? ? dx. 等式两边积分得到通解 ? dx x
故通解为 y ? x ln x ? x C
2 2

21、令 F ( x, y ) ?

?1 1 ? y ,那么 x 和 y 的偏导分别为 Fx ( x0 , y 0 ) ? 2 , Fy ( x0 , y 0 ) ? ?1. x x0
x ? x0 y ? y 0 ? ? 0. 2 1 x0

所以过曲线上任一点 ( x 0 , y 0 ) 的切线方程为:

当 X=0 时,y 轴上的截距为 y ?

1 ? y0 . x0
2

当 y=o 时,x 轴上的截距为 x ? x0 y 0 ? x0 .
41

令 F ( x0 , y 0 ) ?

1 2 ? y 0 ? x0 y 0 ? x0 ,那么即是求 F ( x0 , y0 ) 的最小值. x0 1 1 1 ? x0 ? ? x0 ? 2( ? x0 ) ? 4 ,故当 x0 ? y 0 ? 1 时,取到最小值 4. x0 x0 x0

而 F ( x0 , y 0 ) ?

22、 (1) V ? ?

?

1

0

(4 x 4 ? x 4 )dx ?

3?x 5 5

1 0

?
1

3? . 5

(2)由题意得到等式: 化简得:

?

a

0

(2 x 2 ? x 2 )dx ?? (2 x 2 ? x 2 )dx
a

?

a

0

x 2 dx ? ? x 2 dx.
a
3

1

解出 a,得到: a ?

1 1 ,故 a ? 1 . 2 23

23、令 g ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x) ,那么 g (a) ? f (2a) ? f (a) , g (0) ? f (a) ? f (0). 由于 g (a) g (0) ? 0 ,并且 g (x) 在 ?0,a ? 上连续. 故存在 ? ? (0,a) ,使得 g (? ) ? 0 ,即 f (? ) ? f (? ? a) .

1 1 x ? x2 ? ??? 1! 2! 1 1 2 1 2 1 3 x 代入不等式左边: (1 ? x)e ? (1 ? x)(1 ? x ? x ? ? ? ?) ? 1 ? x ? x ? ? ? ? ? 1 1! 2! 2 3
24、将 e 用泰勒公式展开得到: e ? 1 ?
x

x

2009 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高 等 数 学 参 考 答 案
1、A 2、B 3、C 4、B 5、D 6、C 7、 ln 2 8、 4 xe
2x

9、

? 3

10、 ?

z2 2 xz ? y

11、2

12、 ln x ?

1 2 x ? 2 ln y ? y ? C 2

13、 lim

x ?0

x3 3x 2 ? lim ? 6 ,. x ? sin x x ?0 1 ? cos x

14、 dx ?

dy (2t ? 2)dt 1 ? ? 2(t ? 1) 2 , dt, dy ? (2t ? 2)dt , 1 dx 1? t dt 1? t

dy d y 4(t ? 1)dt ? dx ? ? 4(t ? 1) 2 . 2 1 dx dx dt 1? t
2

d

42

15、令 2 x ? 1 ? t , x ?

t 2 ?1 , ? sin 2 x ? 1dx ? ? sin t ? tdt ? ? ? td cos t ? ?t cos t ? ? cos t dt 2

? ?t cos t ? sin t ? C ? ? 2 x ? 1 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 1 ? C
16、令 x ?

2 sin ? ,当 x ? 0, ? ? 0 ;当 x ? 1, ? ?

?
4

.

?

1 0

x2 2 ? x2

dx ? ? 4
0

?

2 sin 2 ? 2 cos?

2 cos? d? ? ? 4 (1 ? cos 2? ) d? ? (? ?
0

?

1 ? 1 sin 2? ) 4 ? ? 2 0 4 2

?

17、已知直线的方向向量为 s 0 ? (3, 2, 1) ,平面的法向量为 n0 ? (1, 1, 1) .由题意,所求平面的法

i
向量可取为 n ? s 0 ? n 0 ? (3, 2, 1) ? (1, 1, 1) ? 3

j k 2 1 ? (1, ? 2, 1) .又显然点 (0, 1, 2) 在所求平面

1 1 1
上,故所求平面方程为 1( x ? 1) ? (?2)( y ? 1) ? 1( z ? 2) ? 0 ,即 x ? 2 y ? z ? 0 .
2 ?? yd? ? ?? ? sin ? d? d? ? ? ?2 sin ? d? ? D D 4

?

18、

2 cos ? 2

? 2 d? ?

1 2 2 ? (8 csc ? ? 2 2 sin ? ) d? 3 ?4

?

?
1 ? (?8 cot? ? 2 2 cos? ) 2 ? 2 ? 3 4
?2z ?z '' '' ' ' ? f 2' ? x cos x ? f 12 ? xyf 22 19、 ? f 1 ? cos x ? f 2 ? y ; ?x?y ?x
20、积分因子为 ? ( x) ? e


?

?2 dx x

?e

ln x

?2

?

1 . x2

dy 2 y ? ? x. dx x 1 dy 2y 1 在方程两边同乘以积分因子 2 ,得到 2 ? 3 ? . x x x dx x
化简原方程 xy ? 2 y ? x 为
2

化简得:

d ( x ?2 y ) 1 ? . dx x

d ( x ?2 y ) 1 ? ? dx. 等式两边积分得到通解 ? dx x
故通解为 y ? x ln x ? x C
2 2

43

21、 (1)函数 f (x) 的定义域为 R , f ( x) ? 3x ? 3 ,令 f ( x) ? 0 得 x ? ?1 ,函数 f (x) 的单
' 2 '

调 增 区 间 为 (??, ? 1] , [1, ? ?) , 单 调 减 区 间 为 [?1, 1] , 极 大 值 为 f (?1) ? 3 , 极 小 值 为

f (1) ? ?1 .
(2) f ( x) ? 6 x ,令 f ( x) ? 0 ,得 x ? 0 ,曲线 y ? f (x) 在 (??, 0 ] 上是凸的,在 [ 0, ? ? ) 上
'' ''

是凹的,点 ( 0, 1 ) 为拐点. (3)由于 f (?1) ? 3 , f (1) ? ?1 , f (3) ? 19 ,故函数 f (x) 在闭区间 [?2, 3 ] 上的最大值为

f (3) ? 19 ,最小值为 f (1) ? f (?2) ? ?1 .
22、 (1) V1 ? ?a 2 ? 2a 2 ? (2) A1 ?

?

2a 2 0

?x 2 dy ? ?a 4 . V2 ? ? ? (2 x 2 ) 2 dy ? ? (32 ? a 5 ) .
a 2

2

4 5

?

a 0

2 x 2 dx ?
x ?0

2 3 2 a . A2 ? ? 2 x 2 dx ? (8 ? a 3 ). 由 A1 ? A2 得 a ? 3 4 . a 3 3
x ?0

?x 23、证(1)因为 lim? f ( x ) ? lim? e ? 1 , lim? f ( x) ? lim? ( x ? 1) ? 1 ,且 f (0) ? 1 ,所以函数

x ?0

x ?0

f (x) 在 x ? 0 处连续。
(2)因为 lim?
x ?0

f ( x) ? f (0) f ( x) ? f (0) e?x ? 1 x ?1?1 ? lim? ? ?1, lim? ? lim? ? ?1 ,所以 x ?0 x ?0 x ?0 x?0 x x?0 x
f
' ?

f ' ? (0) ? ?1,

(0) ? 1 . 由于 f ' ? (0) ? f
2

'

?

(0) ,所以函数 f (x) 在 x ? 0 处不可导.
'

'' 24、证 令 f ( x) ? 4 x ln x ? x ? 2 x ? 3 ,则 f ( x) ? 4 ln x ? 2 x ? 2 , f ( x) ?

4 4 ? 2x , ?2? x x

由 于 当 1 ? x ? 2 时 , f ( x) ? 0 , 故 函 数 f ( x) 在 [ 1, 2 ) 上 单 调 增 加 , 从 而 当 1 ? x ? 2 时
'' '

f ' ( x) ? f ' (1) ? 0 ,于是函数 f (x) 在 [ 1, 2 ) 上单调增加,从而当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,
即当 1 ? x ? 2 时, 4 x ln x ? x ? 2 x ? 3
2

2010 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高 等 数 学 参 考 答 案
1、A 7、 e
2

2、C 8、2

3、B 9、

4、D

5、D

6、C 11、 dx ? 2dy 12、 (?1, 1]

? 2

10、 ? 4

13、原式= lim

x ?0

x ? tan x x ? tan x 1 ? sec2 x ? tan 2 x 1 ? lim ? lim ? lim ?? . 2 3 2 2 x ?0 x ?0 x ?0 3 x tan x x 3x 3x

44

14、

dy dy dy 2 ? e x ? y ? e x ? y (1 ? ) ? 2, ? ; dx dx dx 1 ? e x ? y

d2y 9e x ? y ?? dx 2 (1 ? e x ? y ) 3

15、原式 ?

1 2 1 1 x arctan x ? x ? arctan x ? C. 2 2 2
t 2 ?1 , dx ? tdt , 2

16、变量替换:令 2 x ? 1 ? t , x ?

t 2 ?1 ?3 2 3 3 t 5 1 5 3 28 2 原式 ? ? ? t dt ? ? ( ? ) dt ? ( t 3 ? t ) ? 1 1 t 2 2 6 2 1 3
? ?

17、 n1 ? (1, 2, 3) , n 2 ? ( 2, 0, ? 1) , n ? n1 ? n 2 ? 1

?

?

?

i

j 2

k 3 ? (?2, 7, ? 4) ,

2 0 ?1
所求直线方程为

x ?1 y ?1 z ?1 ? ? ?2 7 ?4

18、

?2z ?z '' '' ? 3 y 2 f1'+2e x yf 2' ? xy 3 f11 ? xy 2 e x f12 ? y 2 ( f1' y ? f 2' e x ) ; ?x?y ?x

19、

?? xdxdy ? ?
D

2 0 0

dy?

1? y 2 y

xdx ?

2 6
2

20、特征方程的两个根为 r1 ? 1, r2 ? ?2 ,特征方程为 r ? r ? 2 ? 0 ,从而 p ? 1, q ? ?2 ;

? ? 1是特征方程的单根, p( x) ? 1 ,可设 Q( x) ? Ax ,即设特解为 Y ? Axe x ,
Y ' ? Ae x ? Axe x , Y '' ? 2 Ae x ? Axe x , p ? 1, q ? ?2 ,代入方程 y" ? py ' ? qy ? e x 得
(2 A ? Ax ? A ? Ax ? 2 A)e x ? e x , 3 A ? 1, A ?

1 1 x ?2 x ,通解为 y ? C1e ? C 2 e ? x 3 3

21、 构造函数 f ( x) ? e
'

x ?1

?

1 2 1 x ? ,f ' ( x) ? e x ?1 ? x ,f '' ( x) ? e x ?1 ? 1 ? 0 ,f ' ( x) 在 (1, ? ?) 2 2
'

上单调递增, f (1) ? 0 , f ( x) ? 0 , f (x) 在 (1, ? ?) 上单调递增, f (1) ? 0 , f ( x) ? 0 ,即

e x ?1 ?

1 2 1 x ? 。 2 2
x ?0

22、 lim f ( x) ? lim
x ?0

? ( x)
x

? lim

? ( x) ? ? (0)
? ( x)
x x

x ?0

x?0
?1

? ? ' (0) ? 1 ? f (0) ,连续性得证;

f ( x) ? f (0) f (0) ? lim ? lim x ?0 x ?0 x?0
'

? lim

? ( x) ? x
x2

x ?0

? lim

? ' ( x) ? 1
2x

x ?0

?

1 ? ' ( x) ? ? ' (0) lim 2 x ?0 x?0

45

1 1 lim ? '' ( x) ? ? '' (0) ,可导性得证。 2 x ?0 2 a 4 23、 V1 (a) ? ? ? [( a 2 ) 2 ? ( x 2 ) 2 ] dx ? ?a 5 , 0 5 1 1 4 V2 (a) ? ? ? [( x 2 ) 2 ? (a 2 ) 2 ] dx ? ( ? a 4 ? a 5 )? , a 5 5 1 8 V (a) ? V1 (a) ? V2 (a) ? ( ? a 4 ? a 5 )? , 5 5 1 1 3 V ' (a) ? (8a 4 ? 4a 3 )? ,令 V ' (a) ? 0 得 a ? ,最小值为 V ( ) ? ? 2 2 16 ?
? dx dx 24、 f ( x) ? e ? ( 2e x e ? dx ? C) ? e ? x (e 2 x ? C ) ? e x ? Ce? x ,

?

f (0) ? 2, C ? 1 , f ( x) ? e x ? e ? x , f ' ( x) ? e x ? e ? x ,
y? f ' ( x) e x ? e ? x e 2 x ? 1 e 2 x ? 1 ? 2 2 ? x ? 2x ? ? 1 ? 2x , ?x 2x f ( x) e ? e e ?1 e ?1 e ?1
t 2x t te t 2 2 ? 1 ? e2x e2x )) dx ? ? 2 x dx ? ? d 2x ? ? 1 ? 2x d 2x 0e 0 0 e2x ? 1 ?1 e2x ? 1 e ?1

A(t ) ? ? (1 ? (1 ?
0

? 2t ? ?

1 e 2t d (e 2 x ? 1) ?2t ? ln(e 2t ? 1) ? ln 2 ? ln e 2t ? ln(e 2t ? 1) ? ln 2 ? ln ? ln 2 0 e2x ? 1 1 ? e 2t
t

从而 lim A(t ) ? lim (ln
t ??? t ???

e 2t ? ln 2) ? ln 2 1 ? e 2t

46


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2002 年江苏省普通高校“专转本”统一考试高 等数学参考答案 01-05、ACABD 14、 ? 2e ?x ? 3 18、 06-10、CBABB 15、 , 11、1 16、 12、 (?? ,...

2002年江苏专转本高等数学真题

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