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《数系的扩充与复数的引入》复习课说课


《数系的扩充与复数的引入》复习课说课稿
对于高三第一阶段复习,学生重温高一、高二所学课程,全面复习巩固各个知识点,熟 练掌握基本方法和技能;然后站在全局的高度,对学过的知识产生全新认识。在高一、高二 时,是以知识点为主线索,依次传授讲解的,由于后面的相关知识还没有学到,不能进行纵 向联系,所以,学的知识往往是零碎和散乱的,而在第一轮复习时,以章节为单位,将那些 零碎的、散乱的知识点串联起来,并将他们系统化、综合化,把各个知识点融会贯通。对于 普通高中的学生,第一轮复习尤为重要,我们希望能做高考试题中一些基础题目,必须侧重 基础,加强复习的针对性,讲求实效。 一、考纲解读 1、地位分析 由复数在整个高中数学所处的地位看,复数的考查从分值上、难度上在逐渐下降,这也 是目前教学内容改革的趋势,在今后的命题中,复数将以填空、选择题的形式出现,由于难 度要求降低, 将多以考查基本概念、 基本运算的题目出现.考查的内容将是复数的基本概念, 加、减、乘、除四则运算,复数的向量表示及简单的几何意义,要注意复数问题实数化处理 的化归思想、方程思想和数形结合的思想方法. 2、复习目标 (1) 知识与技能 理解复数的概念及复数的代数表示,掌握复数相等的充要条件.了 解复数的代数表示法及其几何意义, 会进行复数代数形式的四则运算, 了解复数代数形式的 加、减运算的几何意义. (2 )过程与方法 通过考纲解读及基础知识的复习,构建出知识网络,领悟高考的本质. (3 )情感、态度与价值观 通过高考题目的练习,掌握复数题目的做题的方法,树立学习数学的信心. 3、复习的重点和难点 根据考纲的要求确定本节课的复习重点为: 复数的概念及复数的代数表示,复数相等 的充要条件及复数代数形式的四则运算. 二、学校情况与学生分析 (1)我校是一所三类普通高中,学生的基础不好,记忆力较差,反应速度慢,普遍感到 数学难学。 (2)授课班是普理班,学生听课积极性不高,听课率低(60﹪) ,注意力不能持久,不 能连续从事某项数学活动。课堂上喜欢轻松诙谐的气氛,部分能机械的模仿,个别学生好记 笔记。 三、教法分析 针对高中生这一思维特点和心理特征, 本节课我采用启发式、 讨论式以及讲练结合的教 学方法,通过问题激发学生求知欲,使学生主动参与数学实践活动,以独立思考和相互交流 的形式,在教师的指导下发现、分析和解决问题。 四、学法指导 在引导分析时,留出学生的思考空间,让学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑, 围绕中心各抒己见,把思路方法和需要解决的问题弄清。 五、教学程序 分为六个环节:

(一)课前热身(5 分钟) (二)情景导入、呈现目标、复习知识点(7 分钟) (三)自主学习、展示交流,整理记录(22 分钟) (四)提升(2 分钟) (五)检测(8 分钟) (六)作业延伸(1 分钟)

1.复数的概念 (1)复数: 形如 a+bi(a, b∈R)的数, 其中 i 叫做虚数单位, a 和 b 分别叫做它的____和____. (2)复数相等:a+bi=c+di?__________. (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?_____________.

?实数:b=0. ?纯虚数:____. (4)复数的分类? ? 虚数:____? ?非纯虚数:____. ? ?
2.复数的几何意义 (1)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面,横轴叫做实轴,____叫做虚 轴.实轴上的点都表示____;除原点外,虚轴上的点都表示______. 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ______________; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=_____________
③乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)= ___________________; z1 a+bi ?a+bi??c-di? ?ac+bd?+?bc-ad?i ④除法: = = = (c+di≠0). z2 c+di ?c+di??c-di? c2+d2

(2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1、z2、z3∈C,有:z1+z2=_____,(z1+z2)+z3=__________. (二)典型例题 例 1 计算下列各式的值: 2i 2+4i 1+i 3 (1)?1+i?2;(2) +i . 2;(3) ? ? ?1+i? 1-i 2i ?2 -4 4i2 ? 【解】 (1) 1+i = ? ? ?1+i?2= 2i =2i. 2+4i 2+4i (2) = =2-i. 2i ?1+i?2

1+i 3 ?1+i?2 2i (3) +i = +i3= +i3=i-i=0. 2 1-i ?1-i??1+i? 设计意图:主要是巩固复数的运算。(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算, 除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把 i 的幂写成最简形式. (2)记住以下结论,可提高运算速度: 1+i 1-i a+bi + + ①(1± i)2=± 2i;② =i;③ =-i;④ =b-ai;⑤i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n i 1-i 1+i
+3

=-i(n∈N*). 变式训练 i2+i3+i4 1.(2011· 高考重庆卷)复数 =( 1-i 1 1 1 1 A.- - i B.- + i 2 2 2 2 1 1 C. - i 2 2 1 1 D. + i 2 2 2+i 的共轭复数是( 1-2i ) )

例 2(1)(2011· 高考课标全国卷)复数 3 A.- i 5 C.-i 3 B. i 5 D.I

1+ai (2)(2011· 高考安徽卷)设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 为( 2-i A.2 1 C.- 2 B.-2 1 D. 2 2+i ?2+i??1+2i? 2+i+4i-2 = = =i, 5 1-2i ?1-2i??1+2i?

)

【解析】 (1)法一:∵ ∴

2+i 的共轭复数为-i. 1-2i 2+i -2i2+i i?1-2i? 法二:∵ = = =i, 1-2i 1-2i 1-2i 2+i 的共轭复数为-i. 1-2i 1+ai 1+ai 2+i 2-a+?2a+1?i (2) = · = . 5 2-i 2-i 2+i 1+ai ∵ 为纯虚数. 2-i ∴
?2-a=0. ? ∴? ∴a=2. ?2a+1≠0, ?

设计意图 主要是巩固复数的有关概念。 处理有关复数的基本概念问题, 关键是找准复数的 实部和虚部,从定义出发,把复数问题转化成实数问题来处理.由于复数 z=a+bi(a,b∈ R),由它的实部与虚部唯一确定,故复数还可用点 Z(a,b)来表示. 变式训练

z1 z1 2.已知 a∈R,复数 z1=2+ai,z2=1-2i,若 为纯虚数,则复数 的虚部为( z2 z2 A.1 2 C. 5 解析:选 A.由 = =i,其虚部为 1. 2-i 例 3(2011· 高考山东卷)复数 z= (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( 2+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2-i ?2-i?2 4-4i-1 3 4 【解析】 ∵z= = = = - i, 2+i ?2+i??2-i? 5 5 5 4? ?3 ∴复数 z 对应的点的坐标为? ,- ?,在第四象限. 5? ?5 B.i D.0

)

z1 2+ai ?2+ai??1+2i? 2-2a 4+a z1 = = + i 是纯虚数,得 a=1,此时 z2 1-2i 5 5 5 z2

)

设计意图 巩固复数的几何意义。 数与复平面内的点是一一对应的, 复数和复平面内以原点 为起点的向量也是一一对应的, 因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解, 利用 平行四边形法则或三角形法则解决问题. 变式训练 3.如图,平行四边形 OABC,顶点 O、A、C 分别表示 0,3+2i,-2+4i,试求: → → (1)AO表示的复数,BC表示的复数; → (2)对角线CA所表示的复数. → → → 解:(1)AO=-OA,∴AO所表示的复数为-3-2i. → → → ∵BC=AO,∴BC所表示的复数为-3-2i. → → → → (2)CA=OA-OC,∴CA所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. 1.复数的代数运算 (1)复数代数运算的实质是转化为实数运算,在转化时常用的知识有复数相等,复数的加、 减、乘、除运算法则,模的性质,共轭复数的性质等. (2)复数的代数运算常考查的是一些特殊复数(如 i、1±i 等)的运算,这就要求熟练掌握特 殊复数的运算性质以及整体消元的技巧,才能减少运算量,节省运算时间,达到事半功倍的 效果. 2.复数的几何意义 (1)|z|表示复数 z 对应的点与原点间的距离. (2)|z1-z2|表示两点间的距离,即表示复数 z1 与 z2 对应点间的距离. (三)全课小结 1.判定复数是实数,仅注重虚部等于 0 是不够的,还需考虑它的实部是 否有意义. 2.对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解,判别式不再成立.因此解此类方 程的解,一般都是将实根代入方程,用复数相等的条件进行求解.

3.两个虚数不能比较大小. 4.利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时,注意 a,b,c,d∈R 的前提条件. 5.z2<0 在复数范围内有可能成立,例如:当 z=3i 时 z2=-9<0. 从近几年的高考试题来看, 复数的基本概念、 复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高 考的考点,每套高考试卷都有一个小题,并且一般在前三题的位置上,主要考查对复数概念 的理解以及复数的四则运算.预测 2013 年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算 为主要考点,重点考查运算能力及转化与化归思想、方程思想. (四)作业布置 必做题:优化方案课后作业 A 本 221 页第四课时 1 至 10 题 选做题:11 题 板书设计 5 教学设计流程 从建构主义的角度来看,数学学习是指学生自己建构数学知识的活动.在数学活动过程中, 学生与教材及教师产生交互作用,形成了数学知识、技能和能力,发展了情感态度和思维品 质.基于这一理论,我把这一节课的教学程序分成四个环节来进行。 5.1 创设情境 以历史上卡当的源问题入手: 问题 1 将 10 分成两部分,使两者的乘积为 40. 引领学生重温历史,感悟数学发现并不神秘,数学家也是从常规问题入手.由此,提出问题 串: 问题 2 有没有两个数之和为 10 呢?之积为 40 呢? 问题 3 那为什么刚才的问题无解呢? 问题 4 实数集中有没有这两个数? 设计意图: 一方面, 让学生与数学大师一起思考问题、 解决问题; 另一方面, 让学生处于 “愤 悱”状态,形成认知冲突,感受到数已经不够用了,体现学习新知识的必要性,从而引出课 题. 数的历史源远流长,现在,就让我们沿着历史的足迹看看数集是如何发展壮大的. 5.2 建构理论 问题 5 数集经历了哪几次扩充? 设计意图:学生已经学习过一些数集,在此基础之上,帮助学生重新建构数集的扩充过程, 这是本节课的生长点. 此时,提出开放性问题: 问题 6 每一次扩充分别解决了哪些问题? 让学生充分交流、合作、讨论,师生共同完成数系扩充表.并感受到这些数的产生不是从天 而降,是数学内部发展的需要,也是社会发展的需要. 由此,追问: 问题 7 这几次扩充有什么共同的特点? 设计意图:一方面培养学生的归纳、概括与表达能力;另一方面通过对前几次数集扩充的梳 理, 为数系的再一次扩充以及如何扩充打好了坚实的基础, 让学生感受到数系扩充的合理性, 并能提炼出数系扩充的一般原则.由此,突破本节课的难点. 然而,历史在前进,社会在发展,生活中的矛盾不断涌现.五百多年前一个怪东西摆在卡当 面前,即-15 开平方问题. (播放视频) 设计意图:教师引领学生再现卡当问题,将问题转化为找一个数的平方为-1,从而让“引

入新数”水到渠成. 此时,教师适时介绍与虚数单位 i 有关历史,如:为什么用 i?是谁引入了 i?,从而激发 学生学习的兴趣,强化对 i 的认识,并让学生感受到科学上每一步的迈出是多么的艰辛! 引入 i 后,给出问题串: 问题 8 你能写出卡当要找的数吗? 问题 9 你还能写出其他含有 i 的数吗? 问题 10 你能写出一个形式,把刚才所写出来的数都包含在内吗? 设计意图:学生利用新知解决卡当问题,通过设计问题 7、8 的铺垫,引导学生由特殊到一 般,抽象概括出复数的代数形式,帮助学生主动建构复数的代数形式. 由此,追问: a ? bi(a, b ? R) 一定是虚数吗? 设计意图:引导学生自然而然地想到要对复数进行分类,从而深化对复数概念的理解,攻克 本节课的重点. 5.3 数学运用 为了检测学生对复数有关概念的理解,我设置了下列三组练习: 例 1.请你说出下列集合之间的关系:N,Z,Q,R,C. 例 2.写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数. 4, 2 ? 3i ,0, ?

1 4 ? i , 5 ? 2 i , 6i , 2i 2 2 3

例 3.实数 m 取什么值时,复数 z ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i 是: (1)实数? (2)虚数? (3) 纯虚数? 设计意图:例题 1 主要是前后照应,采用概念同化的方式完善认知结构;例题 2、例题 3 主 要是巩固复数的分类标准.让学生在解决问题的过程中内化复数有关概念,起到及时反馈、 学以致用的功效. 并追问:对于复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) ,你认为在什么情况下相等呢? 从而为在直角坐标系中用点表示复数提供了可能.并设置了: 例 4.已知 ( x ? y) ? ( x ? 2 y)i ? (2 x ? 5) ? (3x ? y)i ,求实数 x , y 的值. 设计意图: 强化复数相等的充要条件, 并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解. 5.4 回顾反思 (播放视频) 回顾本节课,i 的引入者是欧拉,问题的提出者是卡当,卡当虽然没有解决问题,但他依然 是大数学家,因为,发现问题比解决问题更重要,哈尔莫斯说,问题是数学的心脏. 会不会还有复数以外的数呢,很好!数学是无穷的科学.我们就是一叶扁舟,在知识的海洋 探索永无止境,屈原说“路漫漫其修远兮,吾将上下而求索”以此和大家共勉. 设计意图:通过学生总结、教师提炼,深化内容,让学生体会数系扩充过程中蕴含的创新精 神和实践能力.最后,以三句名言作为结束语,期望与学生产生共鸣.


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