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《数系的扩充与复数的引入》复习课说课


《数系的扩充与复数的引入》复习课说课稿
对于高三第一阶段复习,学生重温高一、高二所学课程,全面复习巩固各个知识点,熟 练掌握基本方法和技能;然后站在全局的高度,对学过的知识产生全新认识。在高一、高二 时,是以知识点为主线索,依次传授讲解的,由于后面的相关知识还没有学到,不能进行纵 向联系,所以,学的知识往往是零碎和散乱的,而在第一轮复习时,以章节为单位,将那些 零碎的、

散乱的知识点串联起来,并将他们系统化、综合化,把各个知识点融会贯通。对于 普通高中的学生,第一轮复习尤为重要,我们希望能做高考试题中一些基础题目,必须侧重 基础,加强复习的针对性,讲求实效。 一、考纲解读 1、地位分析 由复数在整个高中数学所处的地位看,复数的考查从分值上、难度上在逐渐下降,这也 是目前教学内容改革的趋势,在今后的命题中,复数将以填空、选择题的形式出现,由于难 度要求降低, 将多以考查基本概念、 基本运算的题目出现.考查的内容将是复数的基本概念, 加、减、乘、除四则运算,复数的向量表示及简单的几何意义,要注意复数问题实数化处理 的化归思想、方程思想和数形结合的思想方法. 2、复习目标 (1) 知识与技能 理解复数的概念及复数的代数表示,掌握复数相等的充要条件.了 解复数的代数表示法及其几何意义, 会进行复数代数形式的四则运算, 了解复数代数形式的 加、减运算的几何意义. (2 )过程与方法 通过考纲解读及基础知识的复习,构建出知识网络,领悟高考的本质. (3 )情感、态度与价值观 通过高考题目的练习,掌握复数题目的做题的方法,树立学习数学的信心. 3、复习的重点和难点 根据考纲的要求确定本节课的复习重点为: 复数的概念及复数的代数表示,复数相等 的充要条件及复数代数形式的四则运算. 二、学校情况与学生分析 (1)我校是一所三类普通高中,学生的基础不好,记忆力较差,反应速度慢,普遍感到 数学难学。 (2)授课班是普理班,学生听课积极性不高,听课率低(60﹪) ,注意力不能持久,不 能连续从事某项数学活动。课堂上喜欢轻松诙谐的气氛,部分能机械的模仿,个别学生好记 笔记。 三、教法分析 针对高中生这一思维特点和心理特征, 本节课我采用启发式、 讨论式以及讲练结合的教 学方法,通过问题激发学生求知欲,使学生主动参与数学实践活动,以独立思考和相互交流 的形式,在教师的指导下发现、分析和解决问题。 四、学法指导 在引导分析时,留出学生的思考空间,让学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑, 围绕中心各抒己见,把思路方法和需要解决的问题弄清。 五、教学程序 分为六个环节:

(一)课前热身(5 分钟) (二)情景导入、呈现目标、复习知识点(7 分钟) (三)自主学习、展示交流,整理记录(22 分钟) (四)提升(2 分钟) (五)检测(8 分钟) (六)作业延伸(1 分钟)

1.复数的概念 (1)复数: 形如 a+bi(a, b∈R)的数, 其中 i 叫做虚数单位, a 和 b 分别叫做它的____和____. (2)复数相等:a+bi=c+di?__________. (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?_____________.

?实数:b=0. ?纯虚数:____. (4)复数的分类? ? 虚数:____? ?非纯虚数:____. ? ?
2.复数的几何意义 (1)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面,横轴叫做实轴,____叫做虚 轴.实轴上的点都表示____;除原点外,虚轴上的点都表示______. 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ______________; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=_____________
③乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)= ___________________; z1 a+bi ?a+bi??c-di? ?ac+bd?+?bc-ad?i ④除法: = = = (c+di≠0). z2 c+di ?c+di??c-di? c2+d2

(2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1、z2、z3∈C,有:z1+z2=_____,(z1+z2)+z3=__________. (二)典型例题 例 1 计算下列各式的值: 2i 2+4i 1+i 3 (1)?1+i?2;(2) +i . 2;(3) ? ? ?1+i? 1-i 2i ?2 -4 4i2 ? 【解】 (1) 1+i = ? ? ?1+i?2= 2i =2i. 2+4i 2+4i (2) = =2-i. 2i ?1+i?2

1+i 3 ?1+i?2 2i (3) +i = +i3= +i3=i-i=0. 2 1-i ?1-i??1+i? 设计意图:主要是巩固复数的运算。(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算, 除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把 i 的幂写成最简形式. (2)记住以下结论,可提高运算速度: 1+i 1-i a+bi + + ①(1± i)2=± 2i;② =i;③ =-i;④ =b-ai;⑤i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n i 1-i 1+i
+3

=-i(n∈N*). 变式训练 i2+i3+i4 1.(2011· 高考重庆卷)复数 =( 1-i 1 1 1 1 A.- - i B.- + i 2 2 2 2 1 1 C. - i 2 2 1 1 D. + i 2 2 2+i 的共轭复数是( 1-2i ) )

例 2(1)(2011· 高考课标全国卷)复数 3 A.- i 5 C.-i 3 B. i 5 D.I

1+ai (2)(2011· 高考安徽卷)设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 为( 2-i A.2 1 C.- 2 B.-2 1 D. 2 2+i ?2+i??1+2i? 2+i+4i-2 = = =i, 5 1-2i ?1-2i??1+2i?

)

【解析】 (1)法一:∵ ∴

2+i 的共轭复数为-i. 1-2i 2+i -2i2+i i?1-2i? 法二:∵ = = =i, 1-2i 1-2i 1-2i 2+i 的共轭复数为-i. 1-2i 1+ai 1+ai 2+i 2-a+?2a+1?i (2) = · = . 5 2-i 2-i 2+i 1+ai ∵ 为纯虚数. 2-i ∴
?2-a=0. ? ∴? ∴a=2. ?2a+1≠0, ?

设计意图 主要是巩固复数的有关概念。 处理有关复数的基本概念问题, 关键是找准复数的 实部和虚部,从定义出发,把复数问题转化成实数问题来处理.由于复数 z=a+bi(a,b∈ R),由它的实部与虚部唯一确定,故复数还可用点 Z(a,b)来表示. 变式训练

z1 z1 2.已知 a∈R,复数 z1=2+ai,z2=1-2i,若 为纯虚数,则复数 的虚部为( z2 z2 A.1 2 C. 5 解析:选 A.由 = =i,其虚部为 1. 2-i 例 3(2011· 高考山东卷)复数 z= (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( 2+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2-i ?2-i?2 4-4i-1 3 4 【解析】 ∵z= = = = - i, 2+i ?2+i??2-i? 5 5 5 4? ?3 ∴复数 z 对应的点的坐标为? ,- ?,在第四象限. 5? ?5 B.i D.0

)

z1 2+ai ?2+ai??1+2i? 2-2a 4+a z1 = = + i 是纯虚数,得 a=1,此时 z2 1-2i 5 5 5 z2

)

设计意图 巩固复数的几何意义。 数与复平面内的点是一一对应的, 复数和复平面内以原点 为起点的向量也是一一对应的, 因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解, 利用 平行四边形法则或三角形法则解决问题. 变式训练 3.如图,平行四边形 OABC,顶点 O、A、C 分别表示 0,3+2i,-2+4i,试求: → → (1)AO表示的复数,BC表示的复数; → (2)对角线CA所表示的复数. → → → 解:(1)AO=-OA,∴AO所表示的复数为-3-2i. → → → ∵BC=AO,∴BC所表示的复数为-3-2i. → → → → (2)CA=OA-OC,∴CA所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. 1.复数的代数运算 (1)复数代数运算的实质是转化为实数运算,在转化时常用的知识有复数相等,复数的加、 减、乘、除运算法则,模的性质,共轭复数的性质等. (2)复数的代数运算常考查的是一些特殊复数(如 i、1±i 等)的运算,这就要求熟练掌握特 殊复数的运算性质以及整体消元的技巧,才能减少运算量,节省运算时间,达到事半功倍的 效果. 2.复数的几何意义 (1)|z|表示复数 z 对应的点与原点间的距离. (2)|z1-z2|表示两点间的距离,即表示复数 z1 与 z2 对应点间的距离. (三)全课小结 1.判定复数是实数,仅注重虚部等于 0 是不够的,还需考虑它的实部是 否有意义. 2.对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解,判别式不再成立.因此解此类方 程的解,一般都是将实根代入方程,用复数相等的条件进行求解.

3.两个虚数不能比较大小. 4.利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时,注意 a,b,c,d∈R 的前提条件. 5.z2<0 在复数范围内有可能成立,例如:当 z=3i 时 z2=-9<0. 从近几年的高考试题来看, 复数的基本概念、 复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高 考的考点,每套高考试卷都有一个小题,并且一般在前三题的位置上,主要考查对复数概念 的理解以及复数的四则运算.预测 2013 年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算 为主要考点,重点考查运算能力及转化与化归思想、方程思想. (四)作业布置 必做题:优化方案课后作业 A 本 221 页第四课时 1 至 10 题 选做题:11 题 板书设计 5 教学设计流程 从建构主义的角度来看,数学学习是指学生自己建构数学知识的活动.在数学活动过程中, 学生与教材及教师产生交互作用,形成了数学知识、技能和能力,发展了情感态度和思维品 质.基于这一理论,我把这一节课的教学程序分成四个环节来进行。 5.1 创设情境 以历史上卡当的源问题入手: 问题 1 将 10 分成两部分,使两者的乘积为 40. 引领学生重温历史,感悟数学发现并不神秘,数学家也是从常规问题入手.由此,提出问题 串: 问题 2 有没有两个数之和为 10 呢?之积为 40 呢? 问题 3 那为什么刚才的问题无解呢? 问题 4 实数集中有没有这两个数? 设计意图: 一方面, 让学生与数学大师一起思考问题、 解决问题; 另一方面, 让学生处于 “愤 悱”状态,形成认知冲突,感受到数已经不够用了,体现学习新知识的必要性,从而引出课 题. 数的历史源远流长,现在,就让我们沿着历史的足迹看看数集是如何发展壮大的. 5.2 建构理论 问题 5 数集经历了哪几次扩充? 设计意图:学生已经学习过一些数集,在此基础之上,帮助学生重新建构数集的扩充过程, 这是本节课的生长点. 此时,提出开放性问题: 问题 6 每一次扩充分别解决了哪些问题? 让学生充分交流、合作、讨论,师生共同完成数系扩充表.并感受到这些数的产生不是从天 而降,是数学内部发展的需要,也是社会发展的需要. 由此,追问: 问题 7 这几次扩充有什么共同的特点? 设计意图:一方面培养学生的归纳、概括与表达能力;另一方面通过对前几次数集扩充的梳 理, 为数系的再一次扩充以及如何扩充打好了坚实的基础, 让学生感受到数系扩充的合理性, 并能提炼出数系扩充的一般原则.由此,突破本节课的难点. 然而,历史在前进,社会在发展,生活中的矛盾不断涌现.五百多年前一个怪东西摆在卡当 面前,即-15 开平方问题. (播放视频) 设计意图:教师引领学生再现卡当问题,将问题转化为找一个数的平方为-1,从而让“引

入新数”水到渠成. 此时,教师适时介绍与虚数单位 i 有关历史,如:为什么用 i?是谁引入了 i?,从而激发 学生学习的兴趣,强化对 i 的认识,并让学生感受到科学上每一步的迈出是多么的艰辛! 引入 i 后,给出问题串: 问题 8 你能写出卡当要找的数吗? 问题 9 你还能写出其他含有 i 的数吗? 问题 10 你能写出一个形式,把刚才所写出来的数都包含在内吗? 设计意图:学生利用新知解决卡当问题,通过设计问题 7、8 的铺垫,引导学生由特殊到一 般,抽象概括出复数的代数形式,帮助学生主动建构复数的代数形式. 由此,追问: a ? bi(a, b ? R) 一定是虚数吗? 设计意图:引导学生自然而然地想到要对复数进行分类,从而深化对复数概念的理解,攻克 本节课的重点. 5.3 数学运用 为了检测学生对复数有关概念的理解,我设置了下列三组练习: 例 1.请你说出下列集合之间的关系:N,Z,Q,R,C. 例 2.写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数. 4, 2 ? 3i ,0, ?

1 4 ? i , 5 ? 2 i , 6i , 2i 2 2 3

例 3.实数 m 取什么值时,复数 z ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i 是: (1)实数? (2)虚数? (3) 纯虚数? 设计意图:例题 1 主要是前后照应,采用概念同化的方式完善认知结构;例题 2、例题 3 主 要是巩固复数的分类标准.让学生在解决问题的过程中内化复数有关概念,起到及时反馈、 学以致用的功效. 并追问:对于复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) ,你认为在什么情况下相等呢? 从而为在直角坐标系中用点表示复数提供了可能.并设置了: 例 4.已知 ( x ? y) ? ( x ? 2 y)i ? (2 x ? 5) ? (3x ? y)i ,求实数 x , y 的值. 设计意图: 强化复数相等的充要条件, 并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解. 5.4 回顾反思 (播放视频) 回顾本节课,i 的引入者是欧拉,问题的提出者是卡当,卡当虽然没有解决问题,但他依然 是大数学家,因为,发现问题比解决问题更重要,哈尔莫斯说,问题是数学的心脏. 会不会还有复数以外的数呢,很好!数学是无穷的科学.我们就是一叶扁舟,在知识的海洋 探索永无止境,屈原说“路漫漫其修远兮,吾将上下而求索”以此和大家共勉. 设计意图:通过学生总结、教师提炼,深化内容,让学生体会数系扩充过程中蕴含的创新精 神和实践能力.最后,以三句名言作为结束语,期望与学生产生共鸣.


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