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2015-2016学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入知能基础测试 新人教B版选修2-2


2015-2016 学年高中数学 第 3 章 数系的扩充与复数的引入知能基础 测试 新人教 B 版选修 2-2
时间 120 分钟,满分 150 分. 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1+z 1.(2015·新课标Ⅰ理,1)设复数 z 满足 =i,则|z|=( 1-z A.1 C

. 3 [答案] A 1+z -1+i ?-1+i??1-i? [解析] 由 =i 得,z= = =i,故|z|=1,故选 A. 1-z 1+i ?1+i??1-i? 2.若复数 1+i、-2+i、3-2i 在复平面上的对应点分别为 A、B、C,BC 的中点 D, → 则向量AD对应的复数是( 3 5 A. - i 2 2 3 5 C.- + i 2 2 [答案] D [解析] A(1,1),B(-2,1),C(3,-2), 1 1 ∴D( ,- ), 2 2 1 3 → ∴AD=(- ,- ). 2 2 → ) 1 3 B. + i 2 2 1 3 D.- - i 2 2 B. 2 D.2 )

AD对应复数为- - i.
3.设 z 是复数,a(z)表示满足 z =1 的最小正整数 n,则对虚数单位 i,a(i)=( A.8 C.4 [答案] C [解析] 考查阅读理解能力和复数的概念与运算. ∵a(z)表示使 z =1 的最小正整数 n. 又使 i =1 成立的最小正整数 n=4,∴a(i)=4.故选 C.
n n n

1 3 2 2

)

B.6 D.2

1

z
4.(2015·山东理,2)若复数 z 满足 A.1-i C.-1-i [答案] A =i,其中 i 为虚数单位,则 z=( 1-i B.1+i D.-1+i )

z
[解析] 因为 =i,所以 z =i(1-i)=1+i, 1-i

∴z=1-i.故选 A.

a+i 5.已知 a、b∈R,且 为实数,则 a·b 等于( 1-bi
A.-1 C.2 [答案] A B.-2 D.1

)

a+i ?a+i??1+bi? [解析] ∵ = 2 1-bi 1+b
= ?a-b?+?1+ab?i 为实数,∴1+ab=0, 2 1+b

∴a·b=-1.故选 A. 7+i 6.i 是虚数单位,复数 =( 3+4i A.1-i C. 17 31 + i 25 25 ) B.-1+i 17 25 D.- + i 7 7

[答案] A [解析] 本题考查复数的加、减、乘、除四则运算. 原式= ?7+i??3-4i? 25-25i = =1-i,故选 A. ?3+4i??3-4i? 25
2 2 100

7.若 1+x+x =0,则 1+x+x +…+x 等于( A.0 1 3 C.- ± i 2 2 [答案] D 1 3 2 [解析] 由 1+x+x =0 得 x=- ± i. 2 2 B.1

)

1 3 D. ± i 2 2

由 ω 的性质得 1+x+x +…+x =x +x =x (1+x)

2

100

99

100

99

2

1 3 =1+x= ± i.故选 D. 2 2 8.若 i 是虚数单位,且满足(p+qi) =q+pi 的实数 p、q 一共有( A.1 对 C.3 对 [答案] D [ 解析 ]
? ?p -q =q 由 (p + qi) = q + pi 得 (p - q ) + 2pqi = q + pi ,所以 ? ?2pq=p ?
2 2 2 2 2 2

)

B.2 对 D.4 对

,解得

? ?p=0 ? ?q=0 ?

? ?p=0 或? ?q=-1 ?

3 ? ?p= 2 或? 1 q= ? ? 2

3 ? ?p=- 2 或? 1 ? ?q=2

.因此满足条件的实数 p、q 一共有 4 对.故选 D.

9.设复数 z 满足(z-2i)(2-i)=5,则 z=( A.2+3i C.3+2i [答案] A [解析] 考查了复数的运算.

)

B.2-3i D.3-2i

z-2i=

5 =2+i, 2-i

∴z=2+3i. 10.当 m∈R 时,方程(1-i)x +mx-(1+i)=0 有( A.两不等实根 C.两非共轭虚根 [答案] C 1+i 2 [解析] 令 m=0,则 x = =i, 1-i ∴x= 2 2 2 2 + i 或 x=- - i 排除 A、B、D. 2 2 2 2 虚系数一元二次方程不能用判别式,本题中 Δ = m + 4(1+ i)(1- i)= m +
2 2 2

)

B.一对共轭虚根 D.一个实根和一个虚根

[说明 ]

8>0,但不能因此说此方程有两不等实根.故选 C.

3

z2 → → → → 11.设向量OZ1、OZ2分别对应非零复数 z1、z2,若OZ1⊥OZ2,则 是( z1
A.非负数 C.正实数 [答案] B → → [解析] ∵OZ1⊥OZ2,设 z1=a+bi,z2=c+di,则有 ac+bd=0. ∴ = B.纯虚数 D.不确定

)

z2 c+di ?ad-bc?i+?ac+bd? ad-bc = = 2 i.故选 B. z1 a+bi a2+b2 a +b2
2

12.设复数 z=lg(m -1)+ 1-mi,z 在复平面内的对应点( A.一定不在一、二象限 B.一定不在二、三象限 C.一定不在三、四象限 D.一定不在二、三、四象限 [答案] C [解析]
? ?m -1>0 ∵? ?1-m≥0 ?
2 2

)



∴m<-1,此时 lg(m -1)可正、可负, 1-m> 2,故选 C. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将正确答案填在题中横线上) 1 1 2015 13.已知 x+ =-1,则 x + 2015的值为________.

x

x

[答案] -1 1 2 [解析] ∵x+ =-1,∴x +x+1=0.

x

1 3 3 ∴x=- ± i,∴x =1. 2 2 2015=3×671+2,x ∴x
2015 2015

=x

3×671+2

=x ,

2



1

x

2015

1 ? 1?2 2 =x + 2=?x+ ? -2

x

?

x?

=(-1) -2=-1. 14.已知复数 z=(5-2i) (i 为虚数单位),则 z 的实部为________. [答案] 21 [解析] 本题考查复数的运算及复数的概念. 由题意 z=(5+2i) =25+2×5×2i+(2i) =21+20i,其实部为 21. 复数 z=a+bi 的实部为 a,虚部为 b. 15.复数 z 与(z+2) -8i 均为纯虚数,则 z=________.
4
2 2 2 2

2

[答案] -2i [解析] 设 z=mi(m≠0),则 (z+2) -8i=(4-m )+(4m-8)i 是纯虚数,
?4-m =0 ? ∴? ? ?4m-8≠0
2 2 2

,∴m=-2.

16.若复数 z 满足 z(1+i)=1-i(i 是虚数单位),则其共轭复数 z =________. [答案] i [解析] 本题考查共轭复数的概念及复数的代数运算. 1-i ?1-i? ∵z(1+i)=1-i,∴z= = =-i, 1+i 2 ∴ z =i. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 1 2 17.(本题满分 12 分)虚数 z 满足|z|=1,z +2z+ <0,求 z.
2

z

[解析] 设 z=x+yi (x、y∈R,y≠0),∴x +y =1. 1 1 2 2 则 z +2z+ =(x+yi) +2(x+yi)+ z x+yi =(x -y +3x)+y(2x+1)i.
? ① ?2x+1=0, 1 2 ∵y≠0,z +2z+ <0,∴? 2 2 z ?x -y +3x<0, ② ?
2 2

2

2

又 x +y =1. 1 x=- ? ? 2 由①②③得 ? 3 ? ?y=± 2

2

2



1 3 . ∴z=- ± i. 2 2

a-i 18.(本题满分 12 分)已知 z= ,其中 i 为虚数单位,a>0,复数 ω =z(z+i)的虚 1-i
3 部减去它的实部所得的差等于 ,求复数 ω 的模. 2

a-i [解析] ∵z= ,代入 ω =z(z+i),得 1-i a-i a-i ?a-i??a+1? ω= ( +i)= 2 1-i 1-i ?1-i?

5

= =

?a-i??a+1? ?1+ai??a+1? = -2i 2

a+1 a?a+1?
2 + 2

i,

∴ω 的实部为 由已知得
2

a+1
2

,虚部为 -

a?a+1?
2



a?a+1? a+1 3
2 2

= , 2

解得 a =4,∴a=±2. 又 a>0,故 a=2. |ω |=|

a+1 a?a+1?
2 + 2

2+1 2?2+1? i|=| + i| 2 2

3 3 =| +3i|= 5. 2 2 19.(本题满分 12 分)已知复数 z=(2m -3m-2)+(m -3m+2)i. (1)当实数 m 取什么值时,复数 z 是:①实数;②纯虚数; (2)当 m=0 时,化简
2 2 2

z2

z+5+2i

.

[解析] (1)①当 m -3m+2=0 时,即 m=1 或 m=2 时,复数 z 为实数.
? ?2m -3m-2=0, ②若 z 为纯虚数,则? 2 ?m -3m+2≠0, ?
2

1 ? ?m=- 或m=2, 2 解得? ? ?m≠1且m≠2,

1 ∴m=- . 2

1 即 m=- 时,复数 z 为纯虚数. 2 (2)当 m=0 时,z=-2+2i, -8i -8i?3-4i? 32 24 = = =- - i. z+5+2i 3+4i 25 25 25 20. (本题满分 12 分)(2015·洛阳高二期中)(1)已知复数 z 在复平面内对应的点在第四 - 象限,|z|=1,且 z+ z =1,求 z; 5m (2)已知复数 z= -(1+5i)m-3(2+i)为纯虚数,求实数 m 的值. 1-2i [解析] (1)设 z=a+bi(a、b∈R),
? ?a +b =1, 由题意得? ?2a=1. ?
2 2 2

z2

6

1 3 解得 a= ,b=± . 2 2 ∵复数 z 在复平面内对应的点在第四象限,∴b=- 1 3 ∴z= - i. 2 2 5m 2 2 2 (2)z= -(1+5i)m-3(2+i)=(m -m-6)+(2m -5m-3)i,依题意,m -m-6= 1-2i 0,解得 m=3 或-2. ∵2m -5m-3≠0.∴m≠3. ∴m=-2. 21.(本题满分 12 分)已知复数 z= ?-1+3i??1-i?-?1+3i? ω ,ω =z+ai(a∈R),当| |≤ 2时,求 a 的取值范 i z 围. ?-1+3i??1-i?-?1+3i? 1+i [解析] ∵z= = =1-i, i i
2 2

3 . 2

?ω ? |ω |≤ 2,∴|ω |≤2. ∴|z|= 2.又? ?= ? z ? |z|
而 ω =z+ai=(1-i)+ai=1+(a-1)i,(a∈R), 则 1 +?a-1? ≤2? (a-1) ≤3, ∴- 3≤a-1≤ 3,1- 3≤a≤1+ 3. 22.(本题满分 14 分)设虚数 z 满足|2z+15|= 3| z +10|. (1)求|z|; (2)若 + 是实数,求实数 a 的值. [解析] (1)设 z=x+yi(x,y∈R,y≠0), |2x+2yi+15|= 3|x-yi+10|, ∴|z|= x +y =5 3. (2) + =
2 2 2 2 2

z a a z

z a x+yi a + a z a x+yi

? =? +

x ax ? ?y ay ? 2 2?+? - 2 2 i. a x + y a x +y ? ? ? ? ? z a a z y ay =0. a x2+y2

∵ + 为实数,∴ -

7

1 a ∵y≠0,∴ - 2 =0, a x +y2 ∴a =x +y =75,a=±5 3.
2 2 2

8


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