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1.2.3空间几何体的直观图


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原编写者: 郑国勇

修订人:周钰

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1.2.3
一.知识归纳

空间几何体的直观图

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤: (1)在已知图形中取互相________的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O.画直观图时,把它们画成 对应的 x′轴与 y′轴,两轴交于点 O′,且使∠x′O′y′=45°(或 135°),它们确定的平面 表示水平面. (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成______于 x′轴或 y′轴的线 段. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度________,平行于 y 轴的线段, 长度为原来的________. 2.空间图形斜二测画法规则: (1)在已知图形中取水平平面,取互相垂直的轴 Ox、Oy,再画 Oz 轴,使∠xOz=90°; (2) 画 直 观 图 时 , 把 它 们 画 成 对 应 的 轴 O′x′ 、 O′y′ 、 O′z′ , 使 ∠x′O′y′ = ____________,∠x′O′z′=________,x′O′y′所确定的平面表示水平平面; (3)已知图形中平行于 x 轴、 y 轴或 z 轴的线段, 在直观图中分别画成平行于________________ 的线段; (4)已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中保持长度__________;平行于 y 轴的 线段,长度变为原来的________ 二.典例分析 知识点一 画水平放置的平面图形的直观图 例1 用斜二测画法画边长为 4 cm 的水平放置的正三角形的直观图.

知识点二 画空间几何体的直观图 例2 由下列几何体的三视图画出直观图.

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知识点三 直观图的还原 例3 ( ) A. 3 2 a 2 B. 3 2 a 4 C. 6 2 a 2 D. 6a
2

已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为 a 的正三角形, 那么原△ABC 的面积为

三.当堂检测 1.如图(1)是物体的实物图,则它的俯视图是( )

2.下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿正方形的相邻边折叠围成一个 正方体的图形是( )

3. 如图是一梯形 OABC 的直观图 O′A′B′C′,其直观图面积为 S ,则梯形 OABC 的面积 为 .

4.给出以下结论: ①矩形的平行投影一定是矩形;②梯形的平行投影一定是梯形;③两条相交直线的投影可 能平行;④如果一个三角形的平行投影仍是三角形,那么它的中位线的平行投影一定是这个三 角形的平行投影的中位线.其中正确结论的序号是________.

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1.2.3
一、选择题

空间几何体的直观图
)

1.已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的直观图△A′B′C′的面积为( A. 3 2 3 2 a B. a 4 8 C. 6 2 a 8 D. 6 2 a 16

2.如图所示,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形,则原来图形的形 状是( )

3.如图建立坐标系,得到的正三角形 ABC 的直观图不是全等三角形的一组是(

)

4.如图甲所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的(

)

二、填空题 5.利用斜二测画法得到: ①三角形的直观图是三角形; ②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是正方形; ④菱形的直观图是菱形. 以上结论,正确的是________. 6.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知 A′C′=3,B′C′=2,则 AB 边上的中线
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的实际长度为______. 7.如图所示,为一个水平放置的正方形 ABCO,它在直角坐标系 xOy 中,点 B 的坐标为(2,2),则 在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点 B′到 x′轴的距离为________. 8.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 BB1、BC 的中点,则图中阴影部分在平面

ADD1A1 上的正投影是

三、解答题 9.如图所示,梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4 cm,CD=2 cm,∠DAB=30°, AD=3 cm,试画出它的直观图.

10.如图所示, 四边形 ABCD 是一个直角梯形, CD∥AB, CD=AO=1, △AOD 等腰直角三角形,试求梯形 ABCD 水平放置的直观图的面积.



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1.2.3
1.(1)垂直 (2)平行 (4)不变 一半 例1 y 轴.

空间几何体的直观图

(3)不变 一半

2.(2)45°(或 135°) 90° (3)x′轴、y′轴、z′轴 解 (1)如图①所示,以 BC 边所在的直线为 x 轴,以 BC 边上的高线 AO 所在的直线为

(2)画对应的 x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45°. 1 在 x′轴上截取 O′B′=O′C′=2 cm, 在 y′轴上截取 O′A′= OA, 连接 A′B′, A′C′, 2 则三角形 A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观图,如图②所示. 例 2 解 (1) 画轴.画 x′轴、y′轴和 z′轴,使∠x′O′y′=45°(或 135°), ∠x′O′z′=90°.如图①所示.

(2)画底面.按 x′轴、y′轴画正五边形的直观图 ABCDE. (3)画侧棱.过点 A、B、C、D、E 分别作 z′轴的平行线,并在这些平行线上分别截取 AA′、 BB′、CC′、DD′、EE′都等于正五棱柱的侧棱长. (4)成图.顺次连接 A′、B′、C′、D′、E′,加以整理,去掉辅助线,改被遮挡部分为虚 线.如图②所示. 例3 C [画△ABC 直观图如图(1)所示:

则 A′D′=

3 6 a,又∠x′O′y′=45°,∴A′O′= a. 2 2
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画△ABC 的实际图形, 如图(2)所示,AO=2A′O′= 6a,BC=B′C′=a, 1 6 2 ∴S△ABC= BC·AO= a .] 2 2 变式训练 3 解 设 O′C′=h,则原梯形是一个直角梯形且高为 2h. C′B′=CB,O′A′=OA.过 C′作 C′D⊥O′A′于 D, 则 C′D= 2 h. 2

1 由题意知 C′D(C′B′+O′A′)=S, 2 即 2 h(C′B′+O′A′)=S. 4

1 又原直角梯形面积为 S′= ·2h(CB+OA) 2 =h(C′B′+O′A′)= 4S 2 =2 2S.

所以梯形 OABC 的面积为 2 2S. 课堂检测 1.C 课时作业 5 2 1.D 2.A 3.C 4.C 5.①② 6. 7. 8.A 2 2 9.解 (1)如图 a 所示,在梯形 ABCD 中,以边 AB 所在的直线为 x 轴,点 A 为原点,建立平 面直角坐标系 xOy.如图 b 所示,画出对应的 x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45°. 2.C 3.

2h

4. ④

(2)在图 a 中,过 D 点作 DE⊥x 轴,垂足为 E.在 x′轴上取 A′B′=AB=4 cm,A′E′=AE 3 1 = 3≈2.598 cm;过点 E′作 E′D′∥y′轴,使 E′D′= ED,再过点 D′作 D′C′∥x′轴, 2 2 且使 D′C′=DC=2 cm. (3)连接 A′D′、B′C′,并擦去 x′轴与 y′轴及其他一些辅助线,如图 c 所示,则四边形 A′B′C′D′就是所求作的直观图. 10.解 在梯形 ABCD 中,AB=2,高 OD=1.
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由于梯形 ABCD 水平放置的直观图仍为梯形, 且上底 CD 和下底 AB 的长度都不变, 如图所示. 在 1 2 1 直观图中,O′D′= OD,梯形的高 D′E′= ,于是,梯形 A′B′C′D′的面积 S= ×(1+ 2 4 2 2)× 2 3 2 = . 4 8

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1.2.3空间几何体的直观图【课时作业】

1.2.3空间几何体的直观图【课时作业】_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修二第一章 第一章 1.2.3 (本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订...