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解析几何对称和最值问题[1]


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一、解析几何中的对称问题及其应用 1、点关于点的对称: 理论基础:点 A(a, b) 关于 M ( x0 , y0 ) 的对称点为 B(2 x0 ? a, 2 y0 ? b) ,即 M 是 A, B 的中点,特别是中点的应用比较广泛,中点也就是对称的另一种说法而已。 2、理论基础:点 A(a, b) 关于直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的对称点为 B (c, d ) ,则 A,B 的中点在直线 l 上,且 AB 与 l 垂直。根据两个关系,建立方程组进行求解。 例 1 求点 A(2,1) 关于直线 2 x ? y ? 10 ? 0 的对称点。

练习 已知光线通过点 A(2,3) ,经直线 x ? y ? 1 ? 0 反射,其反射光线通过点 B(1,1) , 求入射光线和反射光线所在的方程。 3、直线关于点的对称: 理论基础:就本质而言,直线关于点的对称即点关于点的对称,结合几何特性,直线 关于点的对称直线与已知直线平行(对称点不在直线上) ,应用几何特性就可以降低解题 运算量,提高解题效率。 例 2 求直线 3x ? y ? 4 ? 0 关于点 P(2, ?1) 对称的直线 l 的方程。 方法一:取两点,求对称点,求方程。 方法二:因为所求直线与已知直线平行,可设平行直线,然后取一点对称后代入。 方法三:根据平行设方程,再利用距离相等求参数。 4、直线关于直线的对称: 理论基础:直线关于直线对称,及点关于直线对称, 解决方法一:取两点,分别求对称,得到方程; 方法二:求交点(交点存在)再求一个点的对称点即可 例 3、 求直线 x ? y ? 2 ? 0 关于直线 y ? 3x ? 3 对称的直线方程。

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5、圆关于直线的对称: 如果原本身关于直线对称,说明之先经过圆的圆心; 若求圆关于直线的对称的对称圆,即转化为圆心关于直线的对称点问题,半径不变。 和直线相同,对于特殊对称轴问题可以应用同样的结论。 练习:圆 x2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称的圆的方程。

二、解析几何中的最值问题
例 1、.在直线 -y-1=0 上求一点 P,使得: (1)P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大; (2)P 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小.

例 2.一条光线从点 A(-1,1)出发,经 x 轴反射到⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1 上,则光路的 最短路程为________. 例 3.已知点 P(x,y)是圆(x+2)2+y2=1 上任意一点. (1)求 P 点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值和最小值; (2)求 x-2y 的最大值和最小值; (3)求 y-2 的最大值和最小值. x-1

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例 4.已知 M,N 分别是圆 C1:(x+3)2+y2=4 和圆 C2:x2+(y-4)2=1 上的两动点, 则|MN|的最小值为( )

x2 y2 例 5、.已知点 F 是双曲线 - =1 的左焦点,定点 A 的坐标为(1,4),P 是双曲线右 4 12 支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为________.

x2 y 2 ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,P 为椭圆上任一点,点 M 坐 .例 6、 设椭圆 ? 9 8

标为(4,3) ,则 PM ? PF1 的最大值为 例 7.P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点.

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(1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值; (2)若 B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.

练习 1.已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物 线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( 1 ? A.? ?4,-1? 1 ? B.? ?4,1? C.(1,2) )

D.(1,-2)

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练习 2.设 P 是抛物线 y=x2 上的点,若 P 点到直线 2x-y-4=0 的距离最小,则 P 点的坐标为________.

x2 练习 3.点 P 是双曲线 -y2=1 的右支上一点,M、N 分别是(x+ 5)2+y2=1 和(x- 5)2 4 +y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值是( A.2 B.4 C.6 D.8 )

x2 y2 练习 4..设 F1、F2 分别是椭圆25+16=1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐 标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为_____________.

三、直线过定点问题:
1.点斜式法: 将直线方程化成 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 的形式,则定点坐标为 ( x0 , y0 ) . 例 1:已知直线 ax ? ky ? k ? 0 ( a 为常数, k ? 0 为参数) ,不论 k 取何值,直线总过 定点

2. 分离系数法: 若已知方程是含有一个参数 m 的直线系方程,则我们可以把系数中的 m 分离出来,化 为

? f ( x, y ) ? 0 f ( x, y) ? mg( x, y) ? 0 的形式.由 ? 解出 x 和 y 的值,即得定点坐标. ? g ( x, y ) ? 0
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例 2:无论 m 取何实数,直线 (2m ? 1) x ? (m ? 3) y ? (m ? 11) ? 0 恒过定点,此定点坐标 为

3.特殊值法: 取参数的两个特殊值可得两条直线的方程,求出它们的交点后,在验证交点坐标也适 合所给直线方程. 例 3:无论 m 取何实值, (3m ? 4) x ? (5 ? 2m) y ? 7m ? 6 ? 0 所表示的直线恒过一定点, 此定点坐标为

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