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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版必修二【配套备课资源】直观图


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§2

[学习要求] 1.理解斜二测画法作直观图的要求及作图规则; 2.会用斜二测画法画空间图形的直观图.
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[学法指导] 通过观察和类比,学会利用斜二测画法画出空间几何体 的直观图,提高空间想象力,感受几何作图在生产活动 中的应用.

/> 填一填·知识要点、记下疑难点

§2

斜二测画法的规则:
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(1)在已知图形中建立直角坐标系 xOy.画直观图时, 它们分别 对应 x′轴、y′轴,两轴交于 O′,使∠x′O′y′= 45° , 它们确定的平面表示 水平平面 ; (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画 成平行于 x′轴或 y′轴的线段; (3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中 保持原长度

不变;平行于 y 轴的线段,长度为 原来的一半 .

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§2

[问题情境]
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空间几何体常用直观图来表示. 空间图形能否在平面中画出来, 使其既富有立感,又能表达出图形各主要部分的位置关系和度 量关系呢?这就是空间几何体的直观图.本节我们就来研究这 个问题.

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探究点一 问题 1 平面图形的直观图 把一个矩形水平放置,从适当的角度观察,给人以

§2

平行四边形的感觉,如图,比较两图,其中哪些线段之间
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的位置关系、数量关系发生了变化?哪些没有发生变化?



如上图,由矩形到平行四边形长没变,宽变小,直角变成

了锐角或钝角.

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问题 2 把一个直角梯形水平放置得其直观图如下,比较两

§2

图, 其中哪些线段之间的位置关系、 数量关系发生了变化? 哪些没有发生变化?
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如上图,发生变化的是高变为原来的一半,直角变成了

45° 角,相应的腰也发生了变化.

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问题 3 画一个水平放置的平面图形的直观图,关键是确定

§2

直观图中各顶点的位置,我们可以借助平面坐标系解决这 个问题.那么在画水平放置的直角梯形的直观图时应如何 操作?
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如上图,直角坐标系变成 45° 的坐标系,利用 A′B′= 1 AB, A′D′= AD, D′C′=DC 确定出点 A′, B′, D′, 2 C′,连接这四个点,即得到直角梯形的直观图.

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问题 4

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§2

你能画出水平放置的正六边形的直观图吗?(阅读教

材第 7 页例 1 的画法,然后自主作图)
画法如下图所示

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问题 5 问题 4 中画水平放置的平面图形的直观图的方法叫 作斜二测画法,你能概括出斜二测画法的规则吗?

§2


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(1)在已知图形中建立直角坐标系 xOy.画直观图时,它

们分别对应 x′轴、y′轴,两轴交于 O′,使∠x′O′y′ =45° ,它们确定的平面表示水平平面; (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画
成平行于 x′轴或 y′轴的线段;
(3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不 变;平行于 y 轴的线段,长度为原来的一半.

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问题 6 斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图, 如

§2

果把一个圆水平放置,看起来像什么图形?画出水平放置 的圆的直观图.

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看起来像椭圆.画法如下图:

研一研·问题探究、课堂更高效 探究点二 空间几何体的直观图
问题 1
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§2

画空间多面体的直观图,是按怎样的顺序进行的?
一般先用斜二测画法画底面,再以多面体顶点在底面的



射影点找出各个顶点,然后连接成图,成图后擦去作为辅助 线的坐标轴.

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例 1 画正五棱锥的直观图. 解 画法:
(1)画底面(根据平面图形的直观图画法)(如下图)
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§2

(2)画 z′轴(z′轴与 x′轴的交角为 90° ),并画高(与原长相 等),连线成图(如下图)

(3)擦去辅助线,被遮线画虚线.

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§2

小结
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画空间几何体时,首先依照斜二测画法规则画出几何

体的底面直观图,然后根据平行于 z 轴的线段在直观图中保 持长度不变,画出几何体的各侧面,所以画空间多面体的步 骤可简单总结为: 画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图

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2 cm 的长方体 ABCD-A′B′C′D′的直观图. 解 画法:
(1)画轴.如图,画 x 轴、y 轴、z 轴,三轴相交于点
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§2

跟踪训练 1 用斜二测画法画长、宽、高分别为 4 cm、3 cm、

O,使∠xOy=45° ,∠xOz=90° . (2)画底面.以点 O 为中点,在 x 轴上取线段 MN,使 3 MN=4 cm;在 y 轴上取线段 PQ,使 PQ= cm. 2 分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线, 过点 P 和 Q 作 x 轴的平行

线,设它们的交点分别为 A,B,C,D,四边形 ABCD 就是 长方体的底面 ABCD. (3)画侧棱.过 A,B,C,D 各点分别作 z 轴的
平行线,并在这些平行线上分别截取 2 cm 长 的线段 AA′,BB′,CC′,DD′. (4)成图.顺次连接 A′,B′,C′,D′,并加以整理(去掉
辅助线, 将被遮挡的部分改为虚线), 就得到长方体的直观图.

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§2

问题 2 如何画出圆柱、圆锥的直观图?

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先画出圆的直观图,由于圆的直观图是椭圆,在实际操

作中,通常使用不同尺寸的椭圆模板.会画圆的直观图,就 能画出圆柱、圆锥的直观图. 问题 3 阅读教材第 10 页第一段,回答问题平行投影的投影线
和中心投影的投影线有什么不同? 答 平行投影的投影线互相平行;中心投影的投影线相交于
一点.

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例 2 如图,一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一

§2

个等腰梯形,它的底角为 45° ,两腰和上底边长均为 1,求 这个平面图形的面积.
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2 解 根据斜二测画法,等腰梯形的高为 ,所以 AB = 1 + 2 2 2× =1+ 2,在平面图形中,AB 的长度不变,CD 的长为 2 1 1,AD 的长为 2,所以这个平面图形的面积为 (1+1+ 2)×2 2 =2+ 2.

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§2

小结
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平面图形的面积都大于它的直观图的面积.若已知直

观图中的一些量,要求平面图形的面积,首先根据斜二测画 法的规则,把直观图中的已知量还原成平面图形的已知量, 然后再根据平面图形的这些量求面积.

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§2

跟踪训练 2 如图为水平放置的△OAB 的直
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观图,由图判断原三角形中 AB、OB、OD、
OD<BD<AB=OB BD 由小到大的顺序为__________________ .

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§2

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1.当图形中的直线或线段不平行于投影线时,关于平行投影 的性质,下列说法中不正确的是 A.直线或线段的平行投影仍是直线或线段 B.平行直线的平行投影仍是平行的直线 C.与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等 D.在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等 于这两条线段的比 ( B )

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§2

2.图中是水平放置的三角形的直观图,已 知 AB∥y 轴,则△ABC 是( C )
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A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

解析

在如图中的直观图中,∠xOy=∠BAC,由斜二测画法

知,∠xOy=∠BAC=90° .

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3.画水平放置的正三角形的直观图.

§2



画法按如下步骤完成: 在已知的正三角形 ABC 中,取 AB 所在的直线为 x

第一步
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轴,取对称轴 CO 为 y 轴.画对应的 x′ 轴、 y′ 轴,使 ∠x′O′y′=45° . 第二步 在 x′轴上取 O′A′=OA,O′B′=OB,O′C′ 1 =2OC. 第三步 连接 A′C′, B′C′, 所得的三角形 A′B′C′就
是正三角形 ABC 的直观图.

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§2

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1.画水平放置的平面图形的直观图时,平行于 x 轴的线段,在直 观图中保持其长度不变;平行于 y 轴的线段,在直观图中长度 减半. 画直观图, 关键是确定各顶点(或其它有代表性的点)的位 置;而确定顶点的位置,需要选取有关的两个坐标系,并在两 个坐标系之间,建立一定的对应关系,其中以平行投影的性质 为主要依据. 2.圆的直观图是椭圆,由于画圆的直观图比较复杂,通常使用不 同尺寸的椭圆模板来画,会画圆的直观图,就能画出圆柱、圆 锥、圆台的直观图. 3.中心投影的投影线相交于一点,中心投影后,图形与原图形相 比虽然相差较大, 但直观性强, 看起来与人的视觉效果一致. 若 一个平面图形所在的平面与投射面平行,则中心投影后得到的 图形与原图形相似.


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