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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.9 函数模型及其应用 理


【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第二章 函数概念 与基本初等函数 I 2.9 函数模型及其应用 理

1.几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 (2)三种函数模型的性质 函数 性质 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 图象的变化 值的比

较 函数解析式

f(x)=ax+b (a,b 为常数且 a≠0) k f(x)= +b (k,b 为常数且 k≠0) x f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a, b, c 为常数, b≠0, a>0 且 a≠1) f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) f(x)=axn+b (a,b 为常数,a≠0)

y=ax(a>1)

y=logax(a>1)

y=x n(n>0)

单调递增 越来越快 随 x 的增大逐渐表 现为与 y 轴平行

单调递增 越来越慢 随 x 的增大逐渐表现为 与 x 轴平行

单调递增 相对平稳 随 n 值变化而各 有不同
n x

存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<x <a

2.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相 应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论;
1

(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 25%出售,后因库存积压降价,若按九折出售, 则每件还能获利.( √ ) (2)幂函数增长比直线增长更快.( × (3)不存在 x0,使 a
x0

)

n ? x0 ? loga x0 . ( × )
x a

(4)在(0,+∞)上,随着 x 的增大,y=a (a>1)的增长速度会超过并远远大于 y=x (a>0)的 增长速度.( √ )
x

(5)“指数爆炸”是指数型函数 y=a·b +c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比 喻.( × ) (6)指数函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.( √ )

1.(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间 2015 年 5 月 1 日 2015 年 5 月 15 日 加油量(升) 12 48 加油时的累计里程(千米) 35 000 35 600

注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为______升. 答案 8 解析 由表知:汽车行驶路程为 35 600-35 000=600 千米,耗油量为 48 升,∴每 100 千米 耗油量 8 升. 2.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源 节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截 取的矩形面积最大时,矩形两边长 x,y 应为________. 答案 15,12

2

24-y x 5 解析 由三角形相似得 = ,得 x= (24-y), 24-8 20 4 5 2 ∴S=xy=- (y-12) +180, 4 ∴当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15. 3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 p,第二年的增长率为 q,则该市这 两年生产总值的年平均增长率为__________. 答案 ?p+1??q+1?-1
2

解析 设年平均增长率为 x,则(1+x) =(1+p)(1+q), ∴x= ?1+p??1+q?-1. 4.用长度为 24 的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长 度为________. 答案 3 24-4x 2 解析 设隔墙的长度为 x(0<x<6),矩形面积为 y,则 y=x× =2x(6-x)=-2(x-3) 2 +18,∴当 x=3 时,y 最大. 5.(2015·四川)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系 y =e
kx+b

(e=2.718?为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0

℃的保鲜时间是 192

小时,在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是________小时. 答案 24 解析
? ?e =192, 由题意得? 22k+b ?e =48, ?
b

48 1 1 22k 11k ∴e = = , ∴e = , ∴x=33 时, y=e33k+b=(e11k)3·eb 192 4 2

?1?3 b 1 =? ? ·e = ×192=24. 8 ?2?

题型一 用函数图象刻画变化过程 例 1 (1)设甲、乙两地的距离为 a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟, 在乙地休息 10 分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟,则小王从出发到返回原 地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为________(填序号).

3

(2)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿 色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0,各种方案 的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示, 在这四种方案中, 运输效率(单位时间的运输量) 逐步提高的是________(填序号).

答案 (1)④ (2)② 解析 (1)y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,故排除①③;又因为小 王在乙地休息 10 分钟,故排除②,④符合题意. (2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得, 曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大, 故函 数的图象应一直是下凹的,故②正确. 思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象. (2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点, 结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的 答案. 已知正方形 ABCD 的边长为 4, 动点 P 从 B 点开始沿折线 BCDA 向 A 点运动. 设点

P 运动的路程为 x,△ABP 的面积为 S,则函数 S=f(x)的图象是________(填序号).

答案 ④ 解析 依题意知当 0≤x≤4 时,f(x)=2x;当 4<x≤8 时,f(x)=8;当 8<x≤12 时,f(x)= 24-2x,观察四个图象知,④正确. 题型二 已知函数模型的实际问题 例 2 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟 类的飞行速度 v(单位: m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为 v=a+blog3 (其中 a、 b 是实数). 据 10 统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30 个单位,而其耗氧量为 90 个单位时,其飞行速

Q

4

度为 1 m/s. (1)求出 a、b 的值; (2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于 2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位? 解 (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为 0 m/s,此时耗氧量为 30 个单位,故 30 有 a+blog3 =0, 10 90 即 a+b=0;当耗氧量为 90 个单位时,速度为 1 m/s,故 a+blog3 =1,整理得 a+2b=1. 10 解方程组?
? ?a+b=0, ?a+2b=1, ?

得?

? ?a=-1, ?b=1. ?

(2)由(1)知, v=-1+log3 .所以要使飞行速度不低于 2 m/s, 则有 v≥2, 即-1+log3 ≥2, 10 10 即 log3 ≥3,解得 Q≥270. 10 所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于 2 m/s,则其耗氧量至少要 270 个单位. 思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题. 某般空公司规定,乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函 数图象确定,那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.

Q

Q

Q

答案 19 解析 由图象可求得一次函数的解析式为 y=30x-570,令 30x-570=0,解得 x=19. 题型三 构造函数模型的实际问题 命题点 1 构建二次函数模型 例 3 某汽车销售公司在 A,B 两地销售同一种品牌的汽车,在 A 地的销售利润(单位:万元) 为 y1=4.1x-0.1x ,在 B 地的销售利润(单位:万元)为 y2=2x,其中 x 为销售量(单位: 辆 ), 若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是________万元. 答案 43 解析 设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆, 则在 B 地销售该品牌的汽车(16-x)辆, 所以可
2

5

21 2 21 2 2 得利润 y=4.1x-0.1x +2(16-x)=-0.1x +2.1x+32=-0.1(x- ) +0.1× +32. 2 4 因为 x∈[0,16],且 x∈N,所以当 x=10 或 11 时,总利润取得最大值 43 万元. 命题点 2 构建指数函数、对数函数模型 例 4 (1)世界人口在过去 40 年翻了一番,则每年人口平均增长率约是________(参考数据: lg 2≈0.301 0,10
0.007 5

2

≈1.017).

(2)某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了 n 次涨停(每次 上涨 10%), 又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%), 则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费 用)为________. ①略有盈利 ②略有亏损 ③没有盈利也没有亏损 ④无法判断盈亏情况 答案 (1)1.7% (2)② 解析 (1)设每年人口平均增长率为 x,则(1+x) =2,两边取以 10 为底的对数,则 40 lg(1 lg 2 0.007 5 +x)=lg 2,所以 lg(1+x)= ≈0.007 5,所以 10 =1+x,得 1+x≈1.017,所以 40
40

x≈1.7%.
(2)设该股民购进这支股票的价格为 a 元,则经历 n 次涨停后的价格为 a(1+10%) =a×1.1
n n n n n n n

元,经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1 ×(1- 10%) = a×1.1 ×0.9 = a×(1.1×0.9) = 0.99 ·a<a,故该股民这支股票略有亏损. 命题点 3 构建分段函数模型 例 5 某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付 费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分 按每千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了________ km. 答案 9 解析 设出租车行驶 x km 时,付费 y 元, 9,0<x≤3, ? ? 则 y=?8+2.15?x-3?+1,3<x≤8, ? ?8+2.15×5+2.85?x-8?+1,x>8, 由 y=22.6,解得 x=9. 思维升华 构建数学模型解决实际问题,要正确理解题意,分清条件和结论,理顺数量关系, 将文字语言转化成数学语言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的 限制. (1)一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL,在停止喝
n

6

酒后,血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交 通安全法》 规定: 驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL, 那么, 此人至少经过________ 小时才能开车.(精确到 1 小时) (2)某企业投入 100 万元购入一套设备, 该设备每年的运转费用是 0.5 万元, 此外每年都要花 费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年 增加 2 万元.为使该设备年平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为________. 答案 (1)5 (2)10 解析 (1)设经过 x 小时才能开车. 由题意得 0.3(1-25%) ≤0.09, ∴0.75 ≤0.3,x≥log0.750.3≈4.19.∴x 最小为 5. (2)设该企业需要更新设备的年数为 x, 设备年平均费用为 y, 则 x 年后的设备维护费用为 2+4+?+2x=x(x+1), 所以 x 年的平均费用为 y= 100 =x+ +1.5, 100+0.5x+x?x+1?
x x

x

x

100 由基本不等式得 y=x+ +1.5≥2

x



100

x

+1.5

100 =21.5,当且仅当 x= ,即 x=10 时取等号.

x

2.函数应用问题

典例 (14 分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为 40 万美元,每生产 1 万部还需另投入 16 万美元. 设公司一年内共生产该款手机 x 万部并全部销售完, 每万部的销 400-6x,0<x≤40, ? ? 售收入为 R(x)万美元,且 R(x)=?7 400 40 000 - ,x>40. ? x2 ? x (1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式; (2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润. 规范解答 解 (1)当 0<x≤40 时,W=xR(x)-(16x+40) =-6x +384x-40,[2 分] 当 x>40 时,W=xR(x)-(16x+40)
2

7

40 000 =- -16x+7 360.[4 分]

x

-6x +384x-40,0<x≤40, ? ? 所以 W=? 40 000 - -16x+7 360,x>40. ? x ?
2

2

[6 分]

(2)①当 0<x≤40 时,W=-6(x-32) +6 104, 所以 Wmax=W(32)=6 104;[8 分] 40 000 ②当 x>40 时,W=- -16x+7 360,

x

40 000 由于 +16x≥2

x

40 000 ×16x=1 600,

x

40 000 当且仅当 =16x,

x

即 x=50∈(40,+∞)时,取等号, 所以 W 取最大值为 5 760.[12 分] 综合①②知, 当 x=32 时,W 取得最大值 6 104 万元.[14 分]

解函数应用题的一般程序 第一步:(审题)弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; 第二步:(建模)将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型; 第三步:(解模)求解数学模型,得到数学结论; 第四步:(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义; 第五步: (反思)对于数学模型得到的数学结果, 必须验证这个数学结果对实际问题的合理性. 温馨提醒 (1)此类问题的关键是正确理解题意,建立适当的函数模型.(2)分段函数主要是 每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找 出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的范围,特别是端点值.

[方法与技巧] 1.认真分析题意,合理选择数学模型是解决应用问题的基础. 2.实际问题中往往解决一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本 不等式等求得最值. 3.解函数应用题的五个步骤:①审题;②建模;③解模;④还原;⑤反思. [失误与防范]

8

1.函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以,要正确理解题意,选择适当的函数模型. 2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.若一根蜡烛长 20 cm,点燃后每小时燃烧 5 cm,则燃烧剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(小 时)的函数关系用图象表示为________.

答案 ② 解析 根据题意得解析式为 h=20-5t(0≤t≤4),其图象为②. 2.某家具的标价为 132 元,若降价以九折出售(即优惠 10%),仍可获利 10%(相对进货价), 则该家具的进货价是________元. 答案 108 解析 设进货价为 a 元,由题意知 132×(1-10%)-a=10%·a,解得 a=108. 3.某工厂 6 年来生产某种产品的情况是:前 3 年年产量的增长速度越来越快,后 3 年年产量 保持不变,则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t( 年 ) 的函数关系图象正确的是 ________.

答案 ① 解析 前 3 年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有①③图象符合要求,而后 3 年年产量保持不变,故①正确. 4.将出货单价为 80 元的商品按 90 元一个出售时,能卖出 400 个,已知这种商品每涨价 1 元,其销售量就要减少 20 个,为了赚得最大利润,每个售价应定为________元. 答案 95 解析 设每个售价定为 x 元,则利润 y=(x-80)·[400-(x-90)·20]=-20[(x-95) - 225].
2

9

∴当 x=95 时,y 最大. 5.我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税.已知某种酒每瓶 售价为 70 元,不收附加税时,每年大约销售 100 万瓶;若每销售 100 元国家要征附加税 x 元(叫做税率 x%),则每年销售量将减少 10x 万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加 税额不少于 112 万元,则 x 的最小值为________. 答案 2 解析
4

由分析可知,每年此项经营中所收取的附加税额为 10 ·(100-10x)·70·

4

x
100

,令

10 ·(100-10x)·70· ≥112×10 ,解得 2≤x≤8.故 x 的最小值为 2. 100 6.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边 长 x 为________m. 答案 20

x

4

x 40-y 解析 设内接矩形另一边长为 y, 则由相似三角形性质可得 = ,解得 40 40 y=40-x,所以面积 S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0<x<40),当 x=20 时,Smax
=400. 7.一个容器装有细沙 a cm ,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩 余的细沙量为 y = ae
- bt 3

(cm ) ,经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过

3

________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. 答案 16 解析 当 t=0 时,y=a,当 t=8 时,y=ae ∴e
-8b -8b

1 = a, 2

1 1 1 -bt -bt -8b 3 -24b = , 容器中的沙子只有开始时的八分之一时, 即 y=ae = a, e = =(e ) =e , 2 8 8

则 t=24,所以再经过 16 min. 8.西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.在一年内,根据预 51 ?x 8? 算得羊皮手套的年利润 L 万元与广告费 x 万元之间的函数解析式为 L= -? + ?(x>0).则 2 ?2 x? 当年广告费投入________万元时,该公司的年利润最大. 答案 4 4 ?2 51 ?x 8? 43 1? 4 解析 由题意得 L= -? + ?= - ? x- ? (x>0).当 x- =0,即 x=4 时,L 取 2 x 2 ? ? 2 2? x? x 得最大值 21.5. 故当年广告费投入 4 万元时,该公司的年利润最大. 9. 某地上年度电价为 0.8 元, 年用电量为 1 亿千瓦时. 本年度计划将电价调至 0.55 元~0.75
10

元之间,经测算,若电价调至 x 元,则本年度新增用电量 y(亿千瓦时)与(x-0.4)(元)成反 比例.又当 x=0.65 时,y=0.8. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)若每千瓦时电的成本价为 0.3 元, 则电价调至多少时, 本年度电力部门的收益将比上年度 增加 20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)] 解 (1)∵y 与(x-0.4)成反比例, ∴设 y=

k (k≠0). x-0.4

把 x=0.65,y=0.8 代入上式, 得 0.8= ,k=0.2. 0.65-0.4 ∴y= 0.2 1 = , x-0.4 5x-2 1 . 5x-2

k

即 y 与 x 之间的函数关系式为 y=

1 (2)根据题意,得(1+ )·(x-0.3) 5x-2 =1×(0.8-0.3)×(1+20%). 整理,得 x -1.1x+0.3=0,解得 x1=0.5,x2=0.6. 经检验 x1=0.5,x2=0.6 都是所列方程的根. ∵x 的取值范围是 0.55~0.75, 故 x=0.5 不符合题意,应舍去.∴x=0.6. ∴当电价调至 0.6 元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%. 10.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升 血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.
2

(1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时治疗疾病有效,求服药一次后治 疗疾病有效的时间. 解 (1)由题图,

kt,0≤t≤1, ? ? 设 y=??1?t-a ? ? ,t>1, ? ??2?
11

当 t=1 时,由 y=4 得 k=4,

?1?1-a 由? ? =4 得 a=3. ?2?
4t,0≤t≤1, ? ? 所以 y=??1?t-3 ? ? ,t>1. ? ??2?
? ?0≤t≤1, (2)由 y≥0.25 得? ?4t≥0.25 ?

t>1, ? ? 或??1?t-3 ? ? ≥0.25, ? ??2?

1 解得 ≤t≤5. 16

因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 1 79 5- = (小时). 16 16 B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 11.有浓度为 90%的溶液 100 g,从中倒出 10 g 后再倒入 10 g 水称为一次操作,要使浓度低 于 10%,这种操作至少应进行的次数为(参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)________. 答案 21 -1 -1 ? 9 ?n+1 ? 9 ?n+1 解析 操作次数为 n 时的浓度为? ? ,由? ? <10%,得 n+1> = ≈21.8, 9 2lg 3-1 ?10? ?10? lg 10 ∴n≥21. 12.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓 储时间为 天, 且每件产品每天的仓储费用为 1 元. 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓 8 储费用之和最小,每批应生产产品________件. 答案 80 解析 设每件产品的平均费用为 y 元,由题意得

x

y=

800 x + ≥2 x 8

800 x · =20. x 8

800 x 当且仅当 = (x>0),即 x=80 时“=”成立. x 8 13.某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍,且知病毒的繁殖规律为 y=e (其中 k 为常数,t 表示时间,单位:小时,y 表示病毒个数),则 k=________,经过 5 小时,1 个病毒能繁殖 为________个. 答案 2ln 2 1 024 解析 当 t=0.5 时,y=2,? 2=e 2 ,
12
1 k
kt

∴k=2ln 2,∴y=e 当 t=5 时,y=e

2tln 2


10

10ln 2

=2 =1 024.

14.某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过 800 元,不享受任何折 扣,如果顾客购物总金额超过 800 元,则超过 800 元部分享受一定的折扣优惠,按下表折扣 分别累计计算. 可以享受折扣优惠金额 不超过 500 元的部分 超过 500 元的部分 折扣率 5% 10%

某人在此商场购物总金额为 x 元,可以获得的折扣金额为 y 元,则 y 关于 x 的解析式为 0,0<x≤800, ? ? y=?5%?x-800?,800<x≤1 300, ? ?10%?x-1 300?+25,x>1 300. 若 y=30 元,则他购物实际所付金额为________元. 答案 1 350 解析 若 x=1 300 元,则 y=5%(1 300-800)=25(元)<30(元),因此 x>1 300. ∴由 10%(x-1 300)+25=30,得 x=1 350(元). 15.已知一家公司生产某品牌服装有年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万 元. 设该公司一年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完, 每千件的销售收入为 R(x)万元, 1 10.8- x ?0<x≤10?, ? ? 30 且 R(x)=? 108 1 000 ? ? x - 3x ?x>10?.
2 2

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大?(注:年利 润=年销售收入-年总成本) 解 (1)当 0<x≤10 时,

x3 W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x- -10;
30 当 x>10 时,W=xR(x)-(10+2.7x) 1 000 =98- -2.7x. 3x

x 8.1x- -10?0<x≤10?, ? ? 30 ∴W=? 1 000 98- -2.7x?x>10?. ? ? 3x
13

3

(2)①当 0<x≤10 时, 令 W′=8.1- =0, 得 x=9, 可知当 x∈(0,9)时, W′>0, 当 x∈(9,10] 10 时,W′<0, ∴当 x=9 时,W 取极大值,即最大值, 1 3 且 Wmax=8.1×9- ×9 -10=38.6. 30 ②当 x>10 时,W=98-? ≤98-2

x2

?1 000+2.7x? ? ? 3x ?

1 000 ·2.7x=38, 3x

1 000 100 当且仅当 =2.7x,即 x= 时,W=38, 3x 9 100 故当 x= 时,W 取最大值 38(当 1 000x 取整数时,W 一定小于 38). 9 综合①②知,当 x=9 时,W 取最大值,故当年产量为 9 千件时,该公司在这一品牌服装生产 中所获年利润最大.

14


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